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G10021. Figures contre coeurs

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Academic year: 2022

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G10021. Figures contre coeurs

Dunabla vous propose le jeu suivant : vous misez un euro chacun, puis il tire une `a une les cartes d’un jeu de 52 cartes bien m´elang´e. C’est lui qui gagne si, `a un certain moment, il a tir´e deux figures (roi, dame ou valet) de plus que de coeurs ; sinon, c’est vous qui emportez les mises.

Que lui r´epondez-vous ? Solution

Une bonne r´eponse est : “Quand je mise un euro, tu dois miser 1,20 euro pour que le jeu soit ´equitable”.

En effet, le jeu de Dunabla lui donne 6 chances sur 11 de gagner.

On observe d’abord que les 3 figures de coeur, de mˆeme que les 10 piques, 10 carreaux et 10 tr`efles autres que les figures, ne font . . .que de la figuration pour l’´ecart entre coeurs et figures. La vraie comp´etition se passe entre les 9 figures non coeurs et les 10 coeurs non figures.

Le d´eroulement du tirage peut ˆetre repr´esent´e par un parcours dans un rectangle 9×10 : partant du coin inf´erieur gaucheO, un pas vers la droite si la carte tir´ee est un coeur, un pas vers le haut si c’est une figure. Le nombre de ces parcours est le nombre de fa¸cons de choisir les 9 rangs de sortie des figures parmi les 19 cartes, soit C199 .

Dunabla gagne si ce parcours touche la droiteDrepr´esentant un ´ecart de 2 entre les coeurs et les figures. Pour d´enombrer ces parcours, on dispose du

“principe du miroir” de D´esir´e Andr´e.

La partie du parcours entre le point de d´epart et le premier contact avecDse refl`ete sur un miroir plac´e le long deD. Le reflet deOestO0, d´ecal´e de deux pas vers le haut et deux pas vers la gauche. Les parcours correspondants, inscrits dans un rectangle 7×12, en nombreC197 , sont en bijection avec ceux gagnants pour Dunabla puisqu’ils coupent D, et le reflet de leur premi`ere partie (deO0 `a l’intersection avecD) constitue un parcours gagnant.

La probabilit´e de gain de Dunabla est par cons´equent C197 /C199 = (9·8)/(12·11) = 6/11.

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