< xx −=−⇔=− ayayxxaxx =− axx

1. 11.3-2, p. 536

Tout d’abord, on applique la transformation vue au cours pour une fonction ayant plusieurs valeurs possibles :

{ }

, ,

1

6 3 0

3 2 1

3 2 1

3 2 1 2 1

∈

= + +

+ +

=

− y y y

y y y

y y y x x

Puisque la fonction valeur absolue n’est pas linéaire, on doit appliquer une seconde transformation. Si on a : x¹−x² =a, avec a > 0, il suffit d’introduire deux variables binaires y⁺,y⁻telles quey⁺ =1, si

2

1 x

x ≥ , y⁻ =1, si x1< x2 et y⁺ +y⁻ =1. Ainsi, x1−x2 =a ⇔x1−x2 =ay⁺ −ay⁻.

En combinant ces deux transformations, on obtient :

{ }

, , ,

1

6 6 3 3 0

3 3 2 1 2

3 3 2 1 2

3 3 2 1 2

2 1

∈

= + + + +

− +

− +

=

−

− +

− +

− +

− +

− +

− +

y y y y y

y y y y y

y y y y y x x

2. 11.3-3, p. 536

1 4

3 2 1

1 4

3 2 1

3 3

) 1 ( 4

My x

x x x

y M x

x x x

+

≤ +

−

−

− +

≤ + + +

) 1 ( 10 5 3 3

) 1 ( 10 3 5 3

) 1 ( 10 3 5

2

) 1 ( 10 3

3 5

5 4

3 2 1

4 4

3 2 1

3 4

3 2 1

2 4

3 2 1

y M x

x x x

y M x

x x x

y M x

x x x

y M x

x x x

− +

≤ + +

−

− +

≤ + + +

−

− +

≤ +

− +

− +

≤

− + +

{ }

, , , ,

2

5 4 3 2 1

5 4 3 2

∈

≥ + + +

y y y y y

y y y y

3. 11.4-2, p. 537

Selon la première contrainte du modèle Wyndor Glass, on a x₁ ≤4. Selon la deuxième contrainte du modèle Wyndor Glass, on a x₂ ≤6.

On utilise ces bornes supérieures sur les variables lors de l’ajout de variables binaires associées afin de modéliser la contrainte additionnelle qu’un seul des deux produits peut être fabriqué :

=1

yi , si le produit i est fabriqué; 0, sinon.

On ajoute alors au modèle Wyndor Glass les contraintes suivantes :

{ }

1 6 4

2 1

2 1

2 2

1 1

∈

= +

≤

≤

y y

y y

y x

y x

4. 11.3.5, p. 536 a. Variables :

y_i = nombre d'avions de type i acheté, i = 1,2,3 (1 pour court, 2 pour moyen et 3 pour long-courrier) Objectif :

2 2

1 3 4.2

3 . 2

maxZ = y + y + y

Contraintes :

entiers et 0 , ,

40 3

/ 5 3 / 4

30

1500 67

50 35

3 2 1

3 2

1

3 2 1

3 2

1

≥

≤ +

+

≤ + +

≤ +

+

y y y

y y

y

y y y

y y

y

b. voir TP5_4b.xls TP5_4b

avions court moyen long

coût des achats budget maximum

coût $35 $50 $67 1498 <= 1500

utilisation de la

capacité de maintenance utilisée

capacité de maintenance

capacité de maintenance 1,00 1,33 1,67 39,33333333 <= 40

avions achetés maximum d'avion

nombre d'unités achetées 16 0 14 30 <= 30

profit $2,30 $3 $4,20 Noms d'intervalles Cellules

avions_achetés G11

budget_maximum I5

profit total 95,6 capacité_maintenance C8:E8

capacité_maintenance_maximum I8 capacité_maintenance_utilisé G8

coût_achats G5

coût_avions C5:E5

maximum_avions I11

nombre_unité_acheté C11:E11

profit C13:E13

profit_total C16

c. D’abord, on établit des bornes supérieures pour chaque variable à partir des contraintes :

3 20 / 5 , 40 1 ,30 67 min 1500

3 30 / 4 , 40 1 ,30 50 min 1500

1 30 ,40 1 ,30 35 min 1500

3 2 1

=





 







≤

=





 



≤

=





 



≤

y y y

Puisque y_i < 2⁴, on a N = 4 composantes binaires pour les trois variables : Soit yij

la j ième composante binaire de la variable i, i = 1,2,3, j = 0,1,2,3,4, on a yi =

∑

= 4

0

2

j

j i

jy .

On obtient alors le modèle de programmation 0-1 suivant :

Objectif :

∑

∑

∑

+ +

= ⁴

0 3 4

0 2 4

0

1 3 2 4.2 2

2 3 . 2 max

j

j j j

j j j

j

jy y y

Z Contraintes :

{ }

, ,

40 2

3 / 5 2

3 / 4 2

30 2

2 2

1500 2

67 2

50 2

35

3 2 1

4

0 3 4

0 2 4

0 1

4

0 3 4

0 2 4

0 1

4

0 3 4

0 2 4

0 1

=

∈

≤ +

+

≤ +

+

≤ +

+

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

j y

y y

y y

y

y y

y

y y

y

j j j

j

j j j

j j j

j j

j

j j j

j j j

j j

j

j j j

j j j

j j

d. voir TP5_4d.xls

TP5_4d composantes binaires coef

avions court moyen long y_1_0 0 0

coût des achats

budget

maximum y_1_1 0 2

coût $35 $50 $67 $1 498 <= 1500 y_1_2 0 4

y_1_3 0 8

utilisation de la capacité de capacité de y_1_4 1 16

capacité de

maintenance

utilisé maintenance y_2_0 0 0

maintenance 1,00 1,33 1,67 39,33333333 <= 40 y_2_1 0 2

y_2_2 0 4

avions achetés

maximum

d'avion y_2_3 0 8

30 <= 30 y_2_4 0 16

y_3_0 0 0

profit $2,30 $3 $4,20 y_3_1 1 2

y_3_2 1 4

y_3_3 1 8

y_3_4 0 16

profit total $95,60

Solution optimale : y₁⁴ =1,y¹₃ =1,y₃² =1,y₃³ =1(les autres variables égales à 0) et on retrouve bien la solution obtenue en b. en utilisant la formule de la décomposition binaire.

5. 11.3-7, p. 537 a. Variables :

i =

x nombre d’unités à fabriquer du produit i, i=1,2,3

i =

y 1, si au moins une unité du produit i est fabriquée; 0, sinon (i=1,2)

Note : il est inutile d’introduire une variable binaire pour le produit 3 puisque le coût fixe associé est nul Objectif :

2 1 3 2

1 3 0.8 3 2

2

maxZ = x + x + x − y − y Contraintes :

{ }

,

entiers et 0 , ,

5 2 3

1 2 . 0 4 . 0 2 . 0

2 1

3 2 1 3

2 2

1 1

3 2

1

∈

≥

≤

≤

≤

≤ +

+

y y

x x x x

y x

y x

x x

x

b. Voir le fichier TP5_5.xls

TP5_5

Produit 1 2 3 Capacité limite Noms d'intervalles Cellules

Capacité utilisée 0,2 0,4 0,2 1 <= 1 Capacité_limite I4 Capacité_totale G4

Revenu marginal net 2 3 0,8 Capacité_utilisée C4:E4

Nombre d'unités 0 2 1 Commande_max C9:E9

<= <= <= Coût_fixe C12:D12

Commande maximum 3 2 5 Nombre_unités C10:D10

Nombre d'unités max 0 2 Production C11:D11

Production? 0 1 Profit_total C15

Coût fixe de départ 3 2 Revenu_marginal C6:E6

Max

Profit total 4,8

1 , 0 , 1 , 2 ,

0 _{2 3 1 2}

1 = x = x = y = y =

x .