NOTES DE COURS DE l’UE MFIappro Informatique 3A MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L’INFORMATIQUE (APPRENTIS) 2021-2022, Automne Jérôme Bastien

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NOTES DE COURS DE l’UE MFIappro

Informatique 3A

MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES POUR L’INFORMATIQUE (APPRENTIS)

2021-2022, Automne

Jérôme Bastien

Document compilé le 12 septembre 2021

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Table des matières

Avant-propos v

Prérequis vii

Introduction ix

partie 1. Ensembles et Applications 1

Chapitre 1. Ensembles 3

1.1. Définitions 3

1.2. Union, Intersection 4

1.3. Produit cartésien 5

Chapitre 2. Applications 7

2.1. Définition 7

2.2. Surjection, Injection, Bijection 8

2.3. Ensembles finis et infinis 11

2.4. Parties d’un ensemble 11

2.5. Application définies par récurrence et récursivité 11

Chapitre 3. Un peu de logique 13

3.1. Proposition et tables de vérités 13

3.2. Implication et équivalence 14

3.3. Quantificateurs 15

partie 2. Fonctions 17

Chapitre 4. Fonctions (deRdansR) 19

4.1. Références 19

4.2. Notions de continuité, limite 19

4.3. Dérivation 20

4.4. Développements limités 25

partie 3. Intégration 29

Chapitre 5. Intégration (théorie) 31

5.2. Introduction informelle sur un exemple 31

5.3. «Le» principe 36

5.4. Intégrales impropres 37

Chapitre 6. Intégration (pratique) 39

i

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ii Table des matières

6.2. Intégration immédiate 39

6.3. Intégration par partie 39

6.4. Changement de variable 40

6.5. Intégration des fractions rationnelles et autres fonctions particulières 44

6.6. Et matlab symbolique ? 44

partie 4. Calcul matriciel et diagonalisation 45

Chapitre 7. Systèmes linéaires et matrices 47

7.1. Rappels sur les systèmes linéaire d’ordren 47

7.2. Programmation informatique 51

7.3. Étude d’un exemple concret 51

7.4. Un peu de théorie 56

Chapitre 8. Diagonalisation 63

partie 5. Divers (Équations différentielles (ordinaires) et Problèmes ouverts) 65

Chapitre 9. Équations différentielles (ordinaires) 67

Chapitre 10. Problèmes ouverts (ou non !) 69

10.1. Conjecture de Syracuse ou de Collatz ou Problème3n+ 1 69

10.2. Tri de Crêpes 73

10.3. Problème des flux d’argent et du gîte 73

partie 6. Annexes 77

Annexe A. Quelques développements limités usuels 79

Annexe B. Quelques dérivées usuelles 81

Annexe C. Quelques primitives usuelles 83

Annexe D. Changement de variable informatique 85

Annexe E. Quelques calculs de primitives 89

E.1. Primitives de fractions rationnelles 89

E.2. Primitives de fractions rationnelles de sinus et cosinus 91

E.3. Primitives de fractions rationnelles de sinus et cosinus hyperboliques 94

E.4. Intégrales abéliennes 96

Annexe F. Intégrales impropres 99

Annexe G. Trigonométrie 101

G.1. Rappels et définitions de base 101

G.2. Quelques exercices 109

G.3. Autres rappels 116

G.4. Les angles sont, en fait, inutiles ! 125

G.5. Propriétés des fonctions trigonométriques 126

G.6. Les fonctions trigonométriques réciproques 126

UCBL/Polytech 2021-2022 Automne Informatique 3A Cours de MFIappro Jérôme Bastien

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Table des matières iii

Annexe H. La fonction atan2 127

Annexe I. Étude théorique d’un problème de moindres carrés 129

I.1. Rappels sur la régression linéaire 129

I.2. Théorie 130

I.3. Rappels sur la norme Euclidienne 131

Annexe J. Diagonalisation 133

J.1. Étude d’un exemple 133

J.2. Généralisation 135

J.3. Une application : résolution d’un système différentiel 136

Annexe K. Équations différentielles (ordinaires) à coefficients constants 139

K.1. Introduction 139

K.2. Équations différentielles d’ordre un 139

K.3. Équations différentielles d’ordre deux 145

K.4. Et matlab symbolique ? 148

Annexe L. Quelques autres équations différentielles 149

L.1. Équations différentielles du premier ordre à variables séparables 149

L.2. Équations différentielles linéaires du premier ordre 149

L.3. Équations différentielles linéaires du second ordre 149

Annexe M. Approximations deπ 151

M.1. Introduction 151

M.2. Méthode d’Archimède 151

M.3. Méthode de Cues 166

M.4. Et la méthode originale des isopérimètres de Descartes ! 172

M.5. Approximation quadratique par une méthode arithmético-géométrique 174

M.6. Approximations d’ordres plus élevés 176

M.7. Simulations numériques 176

Bibliographie 185

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Avant-propos

Ce polycopié constitue les notes de cours de Mathématiques Fondamentales pour l’Informatique (Appren- tis) du département Informatique 3A (2021-2022, Automne).

Ce polycopié de cours et les fichiers matlab donnés en illustration sont normalement disponibles à la fois

• en ligne surhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html à la rubrique habituelle ;

• en cas de problème internet, sur le réseau de l’université Lyon I : il faut aller sur :

— ’Poste de travail’,

— puis sur le répertoire ’P:’ (appelé aussi ’\\teraetu\Enseignants’),

— puis ’jerome.bastien’,

— puis ’Polytech’,

— puis ’Informatique 3A’.

— enfin sur ’MFIappro’.

Vous pourrez consulter les deux url suivantes pour consulter en guise d’entraînement des annales des exa- mens des années précédentes : http://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MFImater.ht et http://utbmjb.

chez-alice.fr/Polytech/MFI.htmlAttention, certaines notions sont communes à cette UE mais pas toutes !

v

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Prérequis

Les notions qui suivent doivent vous être familières : (1) Ensembles, Applications

(2) Fonctions :

— Étude des fonctions (dérivées, extrémums et variations)

— Fonctions usuelles

— Développements limités (3) Primitives et Intégrales

(4) Résolutions de systèmes linéaires à 2 et 3 inconnues.

Elles feront l’objet d’un petit test en tout début de cours et seront appronfondies et développées pendant le mois de cours.

vii

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Introduction

Ce cours présente sous la forme de quatre parties les notions mathématiques qui vous serviront, notamment dans le cours de MNB (Méthodes Numériques de Base).

Sous la forme d’un cours-TD intégré (qui fait au total vingt-deux heures, auxquelles s’ajoutent deux heures d’examen), nous étudierons les quatre thèmes suivants :

(1) Ensembles, applications (2) Fonction, Suites

— Dévelopements limités et Développement de Taylor

— Étude de fonction (3) Calcul intégral

— Méthode usuelles d’intégration

— Intégration immédiate

— Intégration par partie

— Intégration par changement de variable

— Intégration des fractions rationnelles et autres fonctions particulières (4) Calcul matriciel et diagonalisation

Ces quatre thèmes seront utilisés dans quelques semaines (et dans le même ordre) par Mme Debit lors du cours de MNB.

Le principe de ce cours est de présenter rapidement les concepts et les notions théoriques afin de traiter ensuie directement les exercices d’application assiociés. Le cas échéant, des exemples seront données, justifiant l’étude des ces notions par rapport au programme de MNB.

Quelques heures de TP (quatre heures) vont permettront de traiter de façon pratique quelques exemples sous matlab.

Des exemples étaient donnés, justifiant l’étude des ces notions par rapport au programme de feu MNB (Méthodes numériques de Base), UE qui a disparu en troisième année. Voirhttp://utbmjb.chez-alice.fr/

Polytech//MNBif.html

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Première partie

Ensembles et Applications

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Chapitre 1

Ensembles

Ce chapitre est très fortement inspiré de [Rid17].

1.1. Définitions

Définition1.1. Un ensemble est une "collection" d’éléments. Il peut être défini par la liste de ses éléments ou par une propriété. L’ensemble vide, noté∅, est l’ensemble qui ne contient aucun élément.

Exemple1.2.

F={1,2,4,9}. F={n², n∈N}. F={n∈Z, 7|n}= 7Z.

Définition1.3. On dit quexappartient àE et on note x∈E sixest un élément deE. Sinon, on note x6∈E.

Définition1.4. SiAet B sont deux ensembles, on dit queAest inclus dansB ou queAest une partie ou un sous-ensemble deB et on note A⊂B si tout élément deAest un élément deB.

Exemple1.5.

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Définition 1.6. L’ensemble des parties de X est noté P(X). P(X) est donc un ensemble d’ensembles.

On a l’équivalence :

A⊂B⇐⇒A∈ P(B).

Exemple1.7.

Détermination deP({1,2,3,4}).

— L’unique parties à 0 élément est∅;

— Les 4 parties à 1 éléments (singletons) sont{1},{2},{3} et{4};

— Les6parties à 2 éléments (paires) sont{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4} et{3,4};

— Les4parties à 3 éléments sont{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4} et{2,3,4};

— L’unique parties à 4 élément est S ; ce qui nous fait un total de16parties.

La déterminations des parties à 0, 1 et 4 éléments ne posent aucun soucis.

Pour celles à 2 éléments, on procède comme suit : le premier élément peut être1,2,3ou4. Pour le premier d’entre eux,1, le second peut être 2,3 ou4. Pour 2, le second peut être3 ou4. Pour3, le second peut être4.

Pour4, aucun ne va.

Pour les parties à 3 éléments, chacune d’elles est le complémentaire d’une partie à 1 élément.

Exemple1.8.

On souhaite reprendre l’exemple 1.7 pour la détermination deP({1,2,3,4}). Traiter l’exercice de TD 1.1.

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4 1. ENSEMBLES

Définition1.9. SiAetB sont deux ensembles, on dit que Aest égal àB et on noteA=B siA⊂B et B⊂A, soit encore si tout élément deA est un élément deB et tout élément deB est un élément deA.

Définition1.10. SiEest un ensemble et Aune partie deE, on appelle complémentaire deAdansE et on noteE\AouA(siE est sous-entendu) l’ensemble des élémentsxdeE qui ne sont pas dansA.

Proposition1.11. Soient E un ensemble etA une partie deE. Alors E=∅, ∅=E, A=A.

1.2. Union, Intersection

Définition1.12. SiE est un ensemble etA,B deux parties deE, on appelle union (ou réunion) deAet B et on noteA∪B l’ensemble desx∈Equi sont dans Aou dansB.

Définition1.13. Si E est un ensemble etA, B deux parties deE, on appelle intersection deA etB et on noteA∩B l’ensemble desx∈E qui sont dansAet dans B.

Proposition1.14. SoientE un ensemble et A,B, deux parties deE. Alors A∪B=A∩B, A∩B=A∪B.

Démonstration. En anticipant sur le chapitre 3, on a successivement x∈A∪B ⇐⇒x6∈A∪B,

⇐⇒ ¬(x∈A∪B),

⇐⇒ ¬(x∈A oux∈B),

⇐⇒ ¬(x∈A) et¬(x∈B),

⇐⇒(x6∈A) et (x6∈B),

⇐⇒ x∈A

et x∈B ,

⇐⇒x∈A∩B.

Exemple1.15.

2Z∩3Z= 6Z. En effet, on procède en deux étapes, par double inclusion.

(1) Tout multiple de 6est à la fois multiple de 2 et de 3 ; on a donc 6Z⊂2Z∩3Z.

(2) Réciproquement, soit n∈2Z∩3Z. On a donc

n= 2q= 3p, (1.1)

oùpetq sont deux entiers relatifs. On en déduit que3 divise3pdonc2q. Puisque 3 est premier avec 2, il diviseq. On a doncq= 3roùrest un entier relatif. De (1.1), on tire :

n= 2q= 6r, et doncn∈6Z.

Exemple1.16.

4Z∩6Z= 12Z.

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1.3. PRODUIT CARTÉSIEN 5

1.3. Produit cartésien

Définition1.17. SoientAetBdeux ensembles. On appelle produit cartésien deAetBl’ensembleA×B des couples(a, b)oùa∈A etb∈B :

A×B ={(a, b), a∈A, b∈B}. Exemple1.18.

Détermination de{a, b} × {1,2,3,4}

On cherche l’ensemble des couples(x, y)tel que x∈ {a, b}et y∈ {1,2,3,4}.

• On peut d’abord remarquer que la première composante peut êtreaet la seconde1,2,3 ou4, ce qui donne(a,1),(a,2),(a,3)ou(a,4). La première composante peut être ensuitebet la seconde1,2,3ou 4, ce qui donne(b,1),(b,2),(b,3)ou(b,4).

•

(x, y) 1 2 3 4

a (a,1) (a,2) (a,3) (a,4) b (b,1) (b,2) (b,3) (b,4)

Table 1.1. Constructions des couples de{a, b} × {1,2,3,4}.

Autrement, on peut aussi utiliser un tableau comme le montre le tableau 1.1.

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Chapitre 2

Applications

Ce chapitre est inspiré de [Rid17].

2.1. Définition

Définition2.1. Une applicationf est la donnée d’un ensemble de départX, d’un ensemble d’arrivéeY et pour chaque élémentxdeX d’un unique élémenty deY, image dexparf que l’on notef(x).

On notef :

X→Y x7→f(x) .

Six∈X et y∈Y vérifienty=f(x), on dit alors quey est l’image dexet xun antécédent dey.

Définition2.2. On noteF(X, Y)ouY^X l’ensemble des applications deX dansY.

Remarque 2.3. On remarquera qu’une application est définie par trois éléménts : ensemble de départ, ensemble d’arrivée, correspondancex7→f(x). Ainsi, on pourra dire que deux applications sont égales ssi elles ont mêmes ensembles de départ et d’arrivée et même correspondance. On remarquera également que chaque élément deX possède une image et une seule mais qu’un élément deY n’a pas toujours d’antécédent et s’il en a, il peut en avoir plusieurs.

Définition 2.4. Une fonction f est la donnée d’un ensemble de départ X, d’un ensemble d’arrivée Y. Chaque élémentx deX possède au plus une image dansY. L’ensemble des éléments xde X qui possèdent exactement une image constitue l’ensemble de défintion def et est notéDf.

Remarque 2.5. La restriction d’une fonction f de X dans Y à son ensemble de définition définit une application.

Exemple2.6. (1) La fonction f :

R→R

x7→1/x a pour domaine de définitionDf =R^∗. (2) f :

R^∗→R

x7→1/x est une application.

(3) La fonction f :

R→R

x7→lnx a pour domaine de définitionDf =R^∗₊.

Exemple2.7. SoientE un ensemble et Aune partie deE. On considère l’application caractéristique de Adéfinie parχA:

E→ {0,1} x7→χA(x) =

(1 six∈A, 0 six6∈A,

Si l’ensembleE est fini, voir la figure 2.1 page suivante.

7

(20)

8 2. APPLICATIONS

0 1 E

A

Figure 2.1. L’application caractéristique deA.

2.2. Surjection, Injection, Bijection

Soitf :

X → Y

x 7→ f(x) . On considère un élémentydeY et on considère le problème suivant :

"Existe-ilx∈X tel que f(x) =y", (2.1) c’est-à-dire,

"yadmet-il un antécédent xdansX?". (2.2) Si, pour touty∈Y, le problème (2.1) ou (2.2) admet au moins une solution, on dit quef est surjective.

On donne donc la définition suivante Définition2.8. On dit quef:

X → Y

x 7→ f(x) est surjective ssi :

∀y∈Y, ∃x∈X, y=f(x). (2.3)

Si, pour touty∈Y, le problème (2.1) ou (2.2) admet au plus une solution, on dit quef est injective, ce qui est aussi équivalent à

tout élémenty∈Y admet au plus un antécédent. (2.4) On donne donc la définition suivante

Définition2.9. On dit quef:

X → Y

x 7→ f(x) est injective ssi :

∀x, x^′∈X, f(x) =f(x^′) =⇒x=x^′. (2.5) Si, pour touty∈Y, le problème (2.1) ou (2.2) admet exactement une solution, on dit quef est bijective, ce qui est aussi équivalent à dire quef est à la fois injective et surjective ou encore

tout élémenty∈Y admet un seul antécédent. (2.6)

On donne donc la définition suivante Définition2.10. On dit quef :

X → Y

x 7→ f(x) est bijective ssi :

∀y∈Y, ∃!x∈X, y=f(x). (2.7)

Donnons la définition suivante :

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2.2. SURJECTION, INJECTION, BIJECTION 9

(a) Non injective et non surjective (b) Injective et non surjective

(c) Non injective et surjective (d) bijective

Figure 2.2. Quatre exemples différents d’applications.

Définition2.11. Soitf:

X→Y

x7→f(x) . L’image d’une partieAdeXest l’ensemble des images des éléments deA, c’est-à- dire :

f(A) ={y∈Y, ∃a∈A, y=f(a)}. (2.8)

On en déduit le lemme suivant Lemme2.12. Une application f:

X→Y

x7→f(x) est surjective ssif(X) =Y.

♦

Exemple2.13. Donner un exemple d’une application : (1) ni injective, ni surjective ;

(2) injective, non surjective ; (3) non injective, surjective ; (4) bijective.

Donner le résultat sous forme de "patate". On pourra déterminer des exemples optimaux, c’est-à-dire, utilisant des ensemble de cardinaux les plus faibles.

On raisonne ainsi :

On renvoie à la figure 2.2 où chacune des situations est présentée :

(1) Pour la figure 2(a), un des éléments de l’ensemble d’arrivée n’a pas d’antécédent et l’autre en a deux donc l’application est ni surjective ni injective ;

(2) Pour la figure 2(b), un des éléments de l’ensemble d’arrivée n’a pas d’antécédent et l’autre en a un seul donc l’application est non surjective et injective ;

(3) Pour la figure 2(c), l’unique élément de l’ensemble d’arrivée a deux antécédents donc l’application est non injective et surjective ;

(4) Pour la figure 2(d), les deux ensemble ont un seul élément et donc le seul élément de l’ensemble de départ a un unique élément dans l’ensemble d’arrivée. l’application est donc bien bijective.

On peut montrer que ces quatre situations correspondent aux situations optimales, utilisant des ensemble de cardinaux les plus faibles.

Exemple2.14. Donner un exemple d’une application : (1) ni injective, ni surjective ;

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10 2. APPLICATIONS

(2) injective, non surjective ; (3) non injective, surjective ; (4) bijective.

Donner le résultat sous forme analytique On raisonne ainsi :

Soitf :

X →Y

x7→f(x) . On pose, pour toutx∈X,f(x) =x² et on donne différents cas de figure : (1) Pour,X =RetY =R,f est ni injective, ni surjective. En effet

• f(1) =f(−1) = 1donc1 et−1, distincts, ont la même image.

• f n’est pas surjective, car−1 n’est pas atteint parf, puisqu’il n’existe aucun réel de carré égal à

−1. On peut aussi remarquer, en utilisant le lemme 2.12, que f(X) =R₊,

et donc

f(X)6=Y.

(2) Pour,X =R₊ etY =R,f est injective, non surjective.

En effet

• sif(x) =f(y), alorsx²=y² et donc

0 =x²−y²= (x−y)(x+y)

et donc x=±y. Puisquexet y sont tous les deux positifs, alors ils ne peuvent qu’être égaux.

• Comme pour le cas 1, on conclut que f n’est pas surjective.

(3) Pour,X =RetY =R₊,f est non injective, surjective.

En effet

• Comme pour le cas 1, on conclut que f n’est pas injective.

• Tout nombre réel positif est le carré de sa racine carré¹. Donc f est surjective. On peut aussi remarquer, en utilisant le lemme 2.12, que

f(X) =R₊, et donc

f(X) =Y.

(4) Pour,X =R₊ etY =R₊,f est injective, surjective, donc bijective.

En effet

• f est injective, comme dans le cas 2.

• f est surjective, comme dans le cas 3.

On a donc la définition de la racine carrée :

∀y∈R+, ∃!x∈R+, y=x². (2.9a)

On pose alors

√y=x. (2.9b)

♦

1. Cest même la définition de la racine ! Voir (2.9).

(23)

2.5. APPLICATION DÉFINIES PAR RÉCURRENCE ET RÉCURSIVITÉ 11

2.3. Ensembles finis et infinis

Supposons queE etF soient des ensembles de cardinaux finis, notés respectivementnet p.

Proposition2.15.

(1) Il existe une surjection deE dansF ssi p≤n.

(2) Il existe une injection de E dansF ssin≤p.

(3) Il existe une bijection deE dansF ssi n=p.

Proposition2.16. L’ensemble des applications deEdansF est notéF^Eet est de cardinal card(F)^card^(E). Proposition2.17. Un ensemble infini est un ensemble tel qu’une partie propre de cet ensemble (partie non vide et différente de l’ensemble lui-même) est en bijection avec l’ensemble lui-même. Un ensemble fini est un ensemble non infini !

Définition2.18. Un ensemble est dit dénombrable s’il est en bijection avecN.

Exemple2.19. L’ensemble des entiers pairs, Z,N², Qsont dénombrables.Rne l’est pas. Autrement dit R(de cardinal, dit de la puissance du continu) est un infini strictement "plus grand" que N(de cardinal, dit de la puissance du dénombrable).

2.4. Parties d’un ensemble

2.4.1.

Application des applications à la définition des parties d’un ensemble Exemple2.20.

On souhaite reprendre l’exemple 1.7 pour la détermination deP({1,2,3,4}). Traiter l’exercice de TD 1.3.

2.4.2.

Programmation informatique de la définition des parties d’un ensemble

On pourra consulter la fonctionparties.metdemoparties.m, disponibles sur le site habituel, qui permet d’énumérer les parties d’un ensemble, de trois façons différentes :

— En utilisant la fonctionnchoosek;

— En faisant un calcul par récurrence, présenté dans l’exercice de TD 1.1 ;

— Avec le calcul en binaire, présenté dans l’exercice de TD 1.3 ; On renvoie aussi à la section 2.6 des TP.

2.5. Application définies par récurrence et récursivité

Exemple2.21. Donnons l’exemple de la fonction factorielle définie par récurrence de la façon suivante :

∀n∈N^∗, n! =

(n(n−1)! sin≥2,

1 sin= 1. (2.10)

que l’on peut améliorer de la façon suivante :

∀n∈N, n! =

(n(n−1)! sin≥1,

1 sin= 0. (2.11)

On peut aussi dans ce cas parler de récursivité : la fonction ! s’appelle elle-même. Dans le cas où récurrence et récursivité sont possible, essayer de favoriser la récurrence, sur le plan informatique.

On peut aussi consulter l’exemple 1.8 page 3 et l’exercice de TD 1.1.

(24)

12 2. APPLICATIONS

Exemple 2.22. Un autre exemple de récursivité est le calcul de ⁿ_p

avecn, p entiers naturels non nuls avec la formule

n p

= ( _n

−1 p

+ ⁿ_p₋⁻¹₁

sip≥2etp≤n−1, 1 sip= 1oup=n.

Exemple2.23. Un dernier exemple est celui du pgcd : si aet bsont deux entiers, alors pgcd(a, b) =

(a, sib= 0, pgcd(b, amodb), sib6= 0.

Voir par exemplehttps://www.labri.fr/perso/betrema/deug/poly/euclide.html.

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Chapitre 3

Un peu de logique

Ce chapitre est inspiré de [Rid17].

3.1. Proposition et tables de vérités

En logique, on manipule des propositions ou assertions que l’on notera en général par la suiteP etQ. Une proposition peut être vraie (V) ou fausse (F). Une proposition peut être définie sur un ensembleEet dépendre alors d’une variablex∈E. On la note alorsP(x).

Exemple3.1. P = "toute fonction dérivable est continue". Pour xréel,P(x) ="x²>2".

Définition 3.2. La négation de la proposition P est notée¬ et définie par¬P est vraie si P est fausse et¬P est fausse si P est vraie.

Définition3.3. Une proposition dépendant deP et deQpeut être définie par les valeurs deP et deQ selon les quatre cas :P fausse etQfausse,P fausse etQvraie,P vraie etQfausse,P vraie etQvraie.

Par exemple, la table de vérité deP∨Qest donnée par le tableau 3.2.

P Q P ∧Q

F F F

F V F

V F F

V V V

Table 3.1. Table de vérité de la lois∧

P Q P ∨Q

F F F

F V V

V F V

V V V

Table 3.2. Table de vérité de la lois∨

Définition3.4. SiP etQsont des propositions, on définit deux nouvelles propositions :

— P etQ, notéeP∧Qqui est vraie ssiP et Qsont toutes les deux vraies.

13

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14 3. UN PEU DE LOGIQUE

— P ouQ, notéeP∨Qqui est vraie ssiP est vraie ouQest vraie.

Voir les tables de vérité 3.1 et 3.2.

Remarque 3.5. Le "ou" est noté de façon proche de l’union et le et est noté de façon proche de l’intersection.

Donnons une proposition proche de la proposition 1.14.

Proposition3.6.

¬(¬P) =P, ¬(P∧Q) = (¬P)∨(¬Q), ¬(P∨Q) = (¬P)∧(¬Q).

Elle pourrait se montrer en établissant les différentes tables de vérités à partir des tableaux 3.1 et 3.2 et en constant qu’elles sont égales.♦

Remarque 3.7. Les "calculs" faits sur les proposition de ce chapitre sont parfois dit "booléens".P etQ sont appelés booléens. Ils ne peuvent prendre que deux valeurs vrai et faux.

3.2. Implication et équivalence

Définition3.8. SiP etQsont deux propositions, on définit une nouvelle proposition :P =⇒Qqui est égale à¬P∨Qest que l’on appelle P implique Q. Voir la table de vérité 3.3.

P Q ¬P P =⇒Q

F F V V

F V V V

V F F F

V V F V

Table 3.3. Table de vérité de la lois=⇒

Remarque3.9. On remarque dans la table 3.3 que F implique F et V ! Définition3.10. Notons que¬(P=⇒Q)est égale àP∧ ¬Q.

Démonstration. En effet, d’après la définition 3.8 et que l’on a vu, on a

¬(P =⇒Q) =¬(¬P∨Q) =¬(¬P)∧ ¬Q=P∧ ¬Q.

Définition3.11. La proposition(P =⇒Q)∧(Q=⇒P)est appelée équivalence deP et deQet est notée P ⇐⇒Q. Elle est égale à(P =⇒Q)∧(Q=⇒P). Voir la table de vérité 3.4.

Remarque 3.12. On remarque dans la table 3.4 queP ⇐⇒Q est vraie ssiP et Qsont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses, autrement dit si elles sont "égales".

Définition3.13. On parle aussi de "ou exclusif", noté⊕défini par : La fonction⊕prend une valeur égale à 1 quand l’une ou l’autre des variables, à l’exclusion des 2 à la fois, prennent une valeur égale à 1.

Voir la table de vérité 3.5. On peut remarquer que c’est la négation de la loi⇐⇒.

♦

(27)

3.3. QUANTIFICATEURS 15

P Q P =⇒Q P ⇐=Q P ⇐⇒Q

F F V V V

F V V F F

V F F V F

V V V V V

Table 3.4. Table de vérité de la lois⇐⇒

P Q P⊕Q

F F F

F V V

V F V

V V F

Table 3.5. Table de vérité de la lois⊕

Exemple3.14. Énoncé

Définir les tables de vérités de toutes les définitions vues dans ce chapitre.

Corrigé

Voir les tables de vérités dans les tableaux 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 et 3.5.

On pourra consulter le TP 2.1 page 17 dont la fonction créée a permis de définir ces tables automatique- ment.

3.3. Quantificateurs

Définition 3.15. On appelle quantificateur universel le symbole∀qui signifie "quel que soit" ou "pour tout". On appelle quantificateur existentiel le symbole∃ qui signifie "il existe".

On note∃!l’expression "il existe un unique".

(28)

(29)

Deuxième partie

Fonctions

(30)

(31)

Chapitre 4

Fonctions (de R dans R)

4.1. Références

(1) On pourra consulter par exemple le site de Frédéric Holweck relatif à l’UV MT12 de l’Université de Technologie de Belfort-Montbéliard (UTBM) :

http://utbmfh.pagesperso-orange.fr/MT12.html

Pour les développements limités, on pourra consulter notamment le liens suivant : http://utbmfh.pagesperso-orange.fr/dl.pdf

On jettera aussi un œil à

http://exo7.emath.fr/cours/ch_dl.pdf

(2) On pourra aussi consulter par exemple le site d’Arthur Lannuzel relatif à l’UV MT11 de l’UTBM : http://mathutbmal.free.fr/MT11.html

On pourra consulter notamment les liens suivants :

— Dérivée de fonctions :http://mathutbmal.free.fr/MT11/cours/deriveesdefonctions.pdf

— Développements limités :http://mathutbmal.free.fr/MT11/cours/Dvlptlimites.pdf

— Dévloppements limités à connaître :http://mathutbmal.free.fr/MT11/cours/formulairedvptlimites.

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4.2. Notions de continuité, limite

Rappelons qu’une fonction de R dans R n’est pas nécessairement définie sur tout R. Elle n’est définie que sur son ensemble de définitionDf. Dans ce cas,f :

Df → R

x 7→ f(x) est de nouveau une application. Par exempleDln=R^∗₊.

Une fonction est continue en un pointx0 de son ensemble (à l’intérieur) de définitionI si on a

xlim→x0

f(x) =f(x0), (4.1)

c’est-à-dire si

∀ε >0, ∃η >0, ∀x∈I, |x−x0| ≤η=⇒ |f(x)−f(x0)| ≤ε. (4.2) Si on traduit (4.2), en "mots courants", cela pourrait donner : une fonctionf deRdansRsera continue en un pointx0ssi "l’écart entre f(x0)etf(x)est inférieur à tout nombre strictement positif donné à l’avance, dès quexest suffisamment proche de x0".

La plupart des fonctions « usuelles » sont continues là où elles sont définies... sauf où où elles ne le sont pas.

Exemple4.1. Montrer que la fonction « signe » donnée par

signe(x) =









1, six >0,

−1, six <0, 0, six= 0

(4.3)

19

(32)

20 4. FONCTIONS (DERDANSR)

est continue surR^∗et est discontinue en zéro.

Exemple4.2. Montrer que la fonctionf donnée parf(x) =E(x)(partie entière) est discontinue en tous les entiers naturels.

On dit quef, non définie enx0 (c’est-à-dire quex0n’appartient pas à I), admetl pour limite si

∀ε >0, ∃η >0, ∀x∈I, |x−x0| ≤η=⇒ |f(x)−l| ≤ε. (4.4) Exemple4.3. Montrer que la fonctionf donnée par f(x) = sin(x)/xpour x6= 0admet0 comme limite en0.

On dit quef a pour limite +∞en un point x0 de son ensemble (à l’intérieur) de définitionI si

∀A∈R, ∃η >0, |x−x0| ≤η=⇒f(x)≥A (4.5) On dit par exemple quef a pour limitel∈Ren+∞si

∀ε >0, ∃A∈R, x≥A=⇒ |f(x)−l| ≤ε. (4.6) Exemple4.4. Montrer que pour la fonctionf donnée parf(x) = 1/x, on alimx→0⁺f(x) = +∞.

4.3. Dérivation

On pourra consulter, par exemple, [Vél03] ou [Bas18a, chapitre 4].

4.3.1.

Notions de dérivées

On se donne une fonction deRdansRet un pointa(dans son ensemble de définition).

y

a b x

y=f(x)

Figure 4.1. La droite passant par a, f(a)

et b, f(b) .

On rappelle que si b 6= a, la droite (cf. figure 4.1) passant par les points de coordonnées a, f(a) et b, f(b)

a pour équation :

Y −f(a)

X−a = f(b)−f(a)

b−a . (4.7)

Plus conventionnellement,

Y = f(b)−f(a)

b−a (X−a) +f(a). (4.8)

Si on fait tendreb versa, cette droite «tend» vers la tangente à la courbe au point a, f(a)

(cf. figure 4.2). Ainsi, la pente de la droite d’équation (4.8) (égale à(f(b)−f(a))/(b−a)) tend vers un nombre, égal à la pente de la tangente à courbe. Ce nombre est notéf^′(a)et est appelé nombre dérivé¹def ena. Autrement dit :

f^′(a) = lim

b→a b6=a

f(b)−f(a)

b−a . (4.9)

1. La fonction dérivée est la fonction, qui, àaassocief^′(a), si la dérivée existe.

(33)

4.3. DÉRIVATION 21

y

a x

y=f(x)

Figure 4.2. La tangente à la courbe au point a, f(a)

Cette limite n’existe pas nécessairement. Si elle existe, on dit quef est dérivable ena. On supposera que les fonctions étudiées sont toujours dérivables².

(4.9) est équivalent à : sif est dérivable ena

∀ε >0, ∃η >0, ∀b∈R,

|a−b| ≤η=⇒

f^′(a)−f(a)−f(b) a−b

≤ε

(4.10) Si on traduit (4.10), en "mots courants", cela pourrait donner : une fonction f de R dans R sera dérivable en un pointaet aura pour nombre dérivé en ce pointf^′(a)ssi "l’écart entre f^′(a)et le taux d’accroissement def entreaetb (défini comme(f(a)−f(b))/(a−b))est inférieur à tout nombre strictement positif donné à l’avance, dès quebest suffisamment proche de a".

Par passage à la limite dans (4.8), on constate que l’équation de la tangente à la courbe en a, f(a) s’écrit

Y =f^′(a)(X−a) +f(a). (4.11)

De façon similaire à (4.7), on pourra retenir (4.11) sous la forme Y −f(a)

X−a =f^′(a). (4.12)

On écrira parfois (4.9) sous la forme suivante : au voisinage dea,

f(a+h) =f(a) +hf^′(a) +hε(h), (4.13) avec lim

h→0ε(h) = 0. (4.14)

Cette écriture est, en fait, un développement limité³ Remarque4.5.

2. Le but de cette UV n’est pas d’étudier les propriétés de «régularité» des fonctions ou plus généralement, les hypothèses théo- riques nécessaires, mais de savoir utiliser les notions de mathématiques indispensables au métier d’ingénieur. Ainsi, on supposera toujours acquises ces différentes hypothèses théoriques

3. Voir la section 4.4 page 25. Les équations (4.13) et (4.14) peuvent s’écrire aussi, au «premier ordre» près enhet au voisinage dea:

f(a+h)≈f(a) +hf^′(a), (4.15)

qu’on notera aussi sous la forme

df

dx(a)≈f(a+h)−f(a)

h . (4.16)

Autrement dit, on assimile la courbe à la tangente. Cette notion se généralisera grâce aux formules de Taylor et de développements limités d’ordre plus élevés, où l’on assimilerafnon plus à polynôme de degré un mais de degrénpourn∈N. Cependant attention aux erreurs que peut produire l’écriture de (4.15), notamment si f^′(a) est nul. On peut être tenter d’écrire abusivement, par exemple, en zéro :

cos(h)≈cos(0) +hcos^′(0) = 1, (4.17)

et d’en déduire, pourhnon nul ,

1−cos(h) h² ≈ 0

h² ≈0,

(34)

(1) La notion de dérivée est liée à cellle de vitesse instantanée en mécanique. Voir [Bas15, transparent 23/60], disponible sur http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/expose_forum_2015.pdf.

(2) La tangente peut aussi être mise en évidence en faisant un zoom sur une courbe. Voir les transparents 25/60 et 26/60 de la référence précédente.

4.3.2.

Règles de dérivations

Donnons les règles suivantes : pour toute fonctionf et g⁴pour tout réelsαet β, pour tout réelx,

(αf+βg)^′(x) =αf^′(x) +βg^′(x), (4.19a)

(f g)^′(x) =f^′(x)g(x) +f(x)g^′(x), (4.19b)

1 f

′

(x) =− f^′(x)

f(x)2, (4.19c)

f g

_′

(x) = f^′(x)g(x)−f(x)g^′(x)

g(x)2 , sig(x)6= 0, (4.19d)

(f◦g)^′(x) =g^′(x)f^′ g(x)

, (4.19e)

f^α_′

(x) =α f^α⁻¹

(x)f^′(x), (4.19f)

f⁽⁻¹⁾′

(x) = 1

f^′ f⁽⁻¹⁾(x), oùf⁽⁻¹⁾ est l’application réciproque def. (4.19g) L’équation (4.19f) est souvent écrite pourα entier. Pourα= 1/2, elle permet de retrouver par exemple que

(p

f)^′(x) = f^′(x) 2p

f(x). Pourα=−1, elle permettrait de retrouver(1/f(x))^′.

On donne les dérivées usuelles en annexe B.

Voir les exercices de TD correspondant.

4.3.3.

Application de la dérivation à l’étude de la monotonie d’une fonction

L’une des applications directes de la dérivation est l’étude la monotonie (croissance ou décroissance) d’une fonction.

On pourra consulter l’URL suivante (dont est issue cette section) http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_monotone

On rappelle :

ce qui pourrait impliquer

h→0lim

h6=0

1−cos(h) h² = 0, alors qu’on peut montrer que

h→0lim

h6=0

1−cos(h) h² =1

2. (4.18)

Si on écrit correctement les développements limités, on n’a plus ce paradoxe. En effet, on réécrit (4.17) sous la forme

∀h, cos(h) = cos(0) +hcos^′(0) +h²

2 cos^′′(0) +h²ε(h) = 1−h²

2 +h²ε(h), avec lim

h→0ε(h) = 0.

On en déduit que

∀h6= 0, 1−cos(h) h² =1

2−ε(h), dont on déduit (4.18). .

4. supposées être dérivable enx

(35)

4.3. DÉRIVATION 23

Définition4.6 (Monotonie au sens large). SoientIun intervalle deRet f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalleI. On dit quef est :

— croissante (ou : croissante au sens large) surIsi pour tout couple(x, y)d’éléments deI tels quex < y, on af(x)≤f(y);

— décroissante (ou : décroissante au sens large) surI si pour tout couple(x, y)d’éléments deItels que x < y, on a f(x)≥f(y);

— monotone (ou : monotone au sens large) surI si elle est croissante surIou décroissante sur I.

Définition4.7 (Monotonie au sens strict). SoientI un intervalle deRet f une fonction à valeurs réelles, dont le domaine de définition contient cet intervalleI. On dit quef est :

— strictement croissante surIsi pour tout couple(x, y)d’éléments deItels quex < y, on af(x)< f(y);

— strictement décroissante surIsi pour tout couple(x, y)d’éléments deItels quex < y, on af(x)> f(y);

— strictement monotone surIsi elle est strictement croissante surI ou strictement décroissante surI.

Théorème4.8 (Lien entre signe de la dérivée et monotonie). SoientIun intervalle réel etf :I→Rune application dérivable surI. Alors,

(1) f est croissante (resp. décroissante) surIsi et seulement si pour toutx∈I,f^′(x)≥0(resp.f^′(x)≤0).

(2) f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I si et seulement si pour tout x∈ I,f^′(x)≥0 (resp.f^′(x)≤0) et de plus l’ensemble des points où la dérivée f^′ s’annule est d’intérieur vide (c’est- à-dire qu’il ne contient aucun intervalle non réduit à un singleton).

(3) f est constante sur I si et seulement si pour toutx∈I,f^′(x) = 0.

En pratique, notons que la seconde assertion du point 2 est vraie en particulier si les zéros⁵def^′ sont en nombre fini. En retiendra donc plutôt la forme simplifiée suivante :

Proposition4.9 (Lien entre signe de la dérivée et monotonie). Soient I un intervalle réel etf :I→R une application dérivable surI. Alors, six∈I,f^′(x)≥0(resp.f^′(x)≤0) et si les zéros def^′ sont en nombre fini alorsf est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

Exemple4.10. Montrer à la main que la fonctionx7→x²est strictement croissante surR₊, strictement décroissante surR₊ et non monotone sur R.

Exemple 4.11. Montrer à la main que la dérivée de la fonction x 7→ x² est x 7→ 2xet reprendre les résultats de l’exemple 4.10.

Exemple4.12. Montrer que la fonctionx7→√xest dérivable surR^∗₊ mais pas en zéro.

Exemple4.13. La fonctionx7→x³est-elle strictement croissante sur R? Quel est la valeur de sa dérivée en zéro ? Commenter !

De cela, on déduira les célèbres tableaux de variations.

Exemple4.14. Traitons cet exemple sous forme d’exercice corrigé.

Énoncé

(1) Sur l’intervalle[1,3], étudier la fonction polynomiale donnée par p(x) =3x³

2 −25x²

2 + 32x−23. (4.20)

(2) La tracer succinctement (3) En déduire ses extrémas.

5. c’est-à-dire l’ensemble des réelsxtels quef^′(x) = 0. On parle aussi de racine def^′.

(36)

(4) Quels sont les extrémas de la fonction|p|sur[1,3]? Corrigé

(1) La dérivéep^′ depvaut

p^′(x) = 9x²

2 −25x+ 32, (4.21)

dont les racines sont2et32/9. On en déduit le tableau de variation de la fonctionp. Voir le tableau 4.1.

x signe de p^′(x)

variations de p

1 2 3

+ 0 −

−2

3 3

1 1

Table 4.1. Tableau de variation dep

Ainsi,pest strictement croissante sur[1,2]etpest strictement décroissante sur[2,3].

(2)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 4.3. Le tracé de la fonctionp.

Voir la figure 4.3.

(3) Les extrémas de psont les valeurs parpdes valeurs appartenant à l’ensemble {1,2,3}. Leurs images parpsont{−2,3,1}. Ainsi, les extrémas depsont−2, pour le minimum et 3, pour le maximum.

(4) On vérifie que 0et 3sont le minimum et le maximum de|p|. Remarque4.15.

• Cette majoration d’une fonction sera très souvent faite en MNB, pour majorer des erreurs d’interpolation, d’intégration ....

(37)

4.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 25

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

fonction valeur absolue extrémaux max

Figure 4.4. Le résultat de la fonctionmaxabsfun.m.

•

Si on utilise la fonctionhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/MNB/fichiers_matlab/maxabsfun.m, disponible sur le web, on obtient directement le résultat suivant : le maximum de|p|est égal à3. Voir la figure 4.4.

• En fait, cet exercice a été posé « à l’envers » ! On se donne x0, x1 et x2 trois réels (que j’ai posés respectivement égaux à1,2et 3) ety0,y1et y2 trois réels (que j’ai posés respectivement égaux à−2, 3 et1). On cherche une fonction polynomialeptelle que

p(x0) =y0, p(x1) =y1, p^′(x1) =y1, p(x2) =y2.

La théorie de l’interpolation, vue en MNB ( !) nous dit que ce polynome existe et est unique et permet de le constuire. Voir aussi [BM03].

4.4. Développements limités

On pourra consulter l’URL suivante (dont est issue cette section) http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité

Un développement limité généralise à l’ordrenquelconque, l’approximation à l’ordre 1 de la fonction par sa tangente. En effet, on peut écrire la définition (4.9) sous la forme équivalente :

f(x) =f(a) +f^′(a)(x−a) + (x−a)ε(x−a) (4.22) oùε est une fonction tendant vers zéro au voisinage de zéro.

On dit quef admet un développement limité d’ordrenau pointas’il existea0,a1, ..., anet une fonction εtendant vers zéro au voisinage de zéro vérifiant

f(x) =a0+a1(x−a) +a2(x−a)²+...+an(x−a)ⁿ+ (x−a)ⁿε(x−a) = Xn i=0

ai(x−a)ⁱ+ (x−a)ⁿε(x−a) (4.23) ce que l’on écrit sous la forme

f(x) =a0+a1(x−a) +a2(x−a)²+...+an(x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ) = Xn i=0

ai(x−a)ⁱ+o((x−a)ⁿ). (4.24)

(38)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

fonction DL à l’ordre 1

(a) :n= 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

(b) :n= 3

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

(c) :n= 5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

(d) :n= 7

Figure 4.5. Tracé de la fonction sinus et de son approximation par différents développements limites d’ordren.

Sif est dérivablenfois ena, on montre que l’on a alors

f(x) =f(a) +f^′(a)(x−a) +1

2f^′′(a)(x−a)²+...+ 1

n!f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ+o((x−a)ⁿ)

= Xn i=0

1

i!f⁽ⁱ⁾(a)(x−a)ⁱ+o((x−a)ⁿ). (4.25)

On donne les développements limités usuels en annexe A.

(39)

4.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 27

Voir le fichier joint (sous matlab) developpement_limite, grâce au quel on été obtenus les résultats suivant :

sin(x) =x+o x¹ ,

sin(x) =−1/6x³+x+o x³ , sin(x) = 1

120x⁵−1/6x³+x+o x⁵ , sin(x) =− 1

5040x⁷+ 1

120x⁵−1/6x³+x+o x⁷ . Voir aussi la figure 4.5.

Les développements limités sont locaux : ils donnent des renseignement sur le comportement d’une fonction au voisinage d’un point a. Il existe aussi d’autres formules (celles de Taylor-Lagrange) où l’on remplace la fonction inconnueεpar un terme qui peut être majoré par une dérivée def.

Les développements limités peuvent s’ajouter, se mutltiplier, se diviser, se composer, comme des polynômes usuels.

(40)

(41)

Troisième partie

Intégration

(42)

(43)

Chapitre 5

Intégration (théorie)

5.1. Références

(1) On pourra consulter par exemple le site de Frédéric Holweck relatif à l’UV MT12 de l’Université de Technologie de Belfort-Montbéliard (UTBM) :

http://utbmfh.pagesperso-orange.fr/MT12.html

(2) On pourra aussi consulter par exemple le site d’Arthur Lannuzel relatif à l’UV MT11 de l’UTBM : http://mathutbmal.free.fr/MT11.html

On pourra consulter notamment les liens suivants :

— Intégrale de Riemann :http://mathutbmal.free.fr/MT12/cours/IntegraledeRiemann.pdf

— Primitives classiques :http://mathutbmal.free.fr/MT12/cours/primitivesclassiques.pdf

— Méthodes classiques d’intégration :http://mathutbmal.free.fr/MT12/cours/Methodes_classiques_dintegration.

pdf

(3) Pour une définition plus théorique (qui présente en même temps les intégrales multiples), on pourra aussi consulter [Bas11a, chapitres 5 et 6].

(4) On pourra aussi consulter l’URL de wikipédia suivante :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Intégration_(mathématiques)

5.2. Introduction informelle sur un exemple

Traitons plusieurs exemples issus de [Bas18a, chapitre 4].

Si on considère un solide évoluant sur un axe rectiligne, dont l’abscisse est notée x(t), nous passons du déplacement à la vitesse et de la vitesse à l’accélération par dérivation, ce qui graphiquement, correspond à prendre la tangente à la courbe.

Rappelons que sidest la distance parcourue, pendant un tempst, la vitesse moyenne est définie par v=d

t. (5.1)

Cette formule définit aussi la vitesse instantanée à tout instant, si celle-ci est constante.

Si x(t) est connue, la vitesse moyenne v sur l’intervalle de temps [t, t+T], la vitesse moyenne sur cet intervalle de temps est définie par

v= x(t+T) +x(t)

T , (5.2)

parfois notée sous la forme

v= ∆x

∆t. (5.3)

La vitesse instantanée à l’instanttest

v(t) =x^′(t), (5.4)

noté aussi sous une forme analogue à (5.3)

v= dx

dt, (5.5)

31

(44)

32 5. INTÉGRATION (THÉORIE)

et en confondant parfois abusivement∆xetdx, et∆tetdt, quanddtest « petit ».

On pourra consulter de nouveau [Bas18a, chapitre 4], mais aussi le cours de MNB où la notion de dérivation numérique sera abordée !

Nous allons maintenant faire l’opération inverse, passer de la vitesse au déplacement.

Exemple5.1. On suppose la vitesse constante et connue, égale àv0= 100km/h.

(1) À partir de la vitesse, comment calculer le déplacement au cours du temps ?

(2) Montrer que sur la courbe (temps,vitesse), cette quantité correspond à l’aire «sous la courbe» entre 0 ett.

Exemple5.2. On suppose maintenant la vitesse connue et définie par la formule v(t) = 200t.

(1) Montrer que si le déplacement est donné par

x(t) = 100t². (5.6)

alorsx^′(t) =v(t).

(2) En utilisant la formule du déplacement donnée par (5.6), montrer sur la courbe (temps,vitesse), le déplacement cette quantité correspond à l’aire «sous la courbe» entre 0 ett.

Exemple5.3. Supposons maintenant la courbev connue et quelconque. On cherche à déterminerx.

Plus précisément, on se donnea < b; on se suppose connuex(a), la fonctionv sur l’intervalle[a, b] et on cherche à calculerx(b).

Pour cela, on se donne un entier N et on découpe l’intervalle [a, b] en N intervalle [ti, ti+1] de la façon suivante : on pose

t0=a, h= b−a

N ,

∀i∈ {0, ..., N}, ti=hi+a.

On a donctN =b.

Voir figure 5.1.

00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111

000000 000000 000000 000000 000

111111 111111 111111 111111 111

000000 000000 000 111111 111111 111

00000000 00000000 00000000 0000

11111111 11111111 11111111 1111

00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111

000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111

00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111

00000000 00000000 00000000 0000

11111111 11111111 11111111 1111

a=t0 t1 t2 t3 ti ti+1

t v(t)

b=tN

Figure 5.1. L’aire sous la courbe avec des rectangles

Soitidans{0, ..., N−1}fixé. Nous allons «tricher» et supposer que, dans l’intervalle[ti, ti+1], la vitessev varie peu, de façon à remplacer la vitessea prioriquelconque par la vitesse constantev(ti). Cette approximation

(45)

5.2. INTRODUCTION INFORMELLE SUR UN EXEMPLE 33

sera d’autant meilleure quehest petit (c’est-à-direN grand). On a donc, pour toutt∈[ti, ti+1], v(t)≈v(ti)

La vitesse est constante et d’après (5.1), on a

v(t)≈v(ti) =∆x

∆t = x(t)−x(ti) t−ti

et donc

x(t)≈(t−ti)v(ti) +x(ti) En particulier

x(ti+1)≈(ti+1−ti)v(ti) +x(ti) =hv(ti) +x(ti).

soit encore

x(ti+1)−x(ti)≈(ti+1−ti)v(ti) =Ai, (5.7) où

Ai=hv(ti). (5.8)

Notons que Ai = hv(ti) représente l’aire sous la courbe v(t) où v(t) ≈v(ti) entre ti et ti+1. C’est l’aire du rectangle de largeurhet de hauteurv(ti). Voir figure 5.1 page ci-contre.

On en déduit successivement

x(t1)≈hv(t1) +x(t0) =hv(t0) +x(a),

x(t2)≈hv(t2) +x(t1) =h(v(t0) +v(t1)) +x(a), x(t3)≈h(v(t0) +v(t1) +v(t2)) +x(a),

...

x(ti+1)≈hv(ti) +x(ti) =h(v(t0) +v(t1) +v(t2) +...+v(ti)) +x(a), ...

x(tN)≈h(v(t0) +v(t1) +v(t2) +...+v(ti) +...+v(tN−1)) +x(a).

Autrement dit

x(b)−x(a)≈h(v(t0) +v(t1) +v(t2) +...+v(ti) +...+v(tN−1)) =h

NX−1 i=0

v(ti). (5.9) Cette formule fait apparaître «l’aire des rectangles», hachurée sur la figure 5.1 page précédente. Quand le nombreN tend vers l’infini, cette aire tend vers l’aire qui est sous la courbeventreaetb. Cette aire est notée Rb

av(s)ds. On a donc montré que

x(b)−x(a) = Z b

a

v(s)ds. (5.10)

L’équation (5.9) pourrait constituer une définition de l’intégrale, en passant à la limite. Elle constitue aussi une approximation de cette aire.

Remarque 5.4 (Méthodes des rectangles à pas variable). Dans la méthode des rectangles, on n’est pas obligé de prendre un pas h constant. On peut découper l’intervalle en sous-intervalle de taille variable et remplacer (5.7) et (5.8) par

x(ti+1)−x(ti)≈Ai, (5.11)

où

Ai= (ti+1−ti)v(ti). (5.12)

(46)

34 5. INTÉGRATION (THÉORIE)

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

11111 11111 11111 11111 11111 11111 11111

00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111

00000000 00000000 00000000 00000000

11111111 11111111 11111111 11111111

00000000 00000000 00000000 00000000 0000

11111111 11111111 11111111 11111111 1111

a=t0 t1 t2 t3 ti ti+1

t v(t)

b=tN

Figure 5.2. L’aire sous la courbe avec des trapèzes Remarque5.5 (Méthodes des trapèzes à pas variable).

On peut aussi utiliser la méthode des trapèzes à pas variable, plus précise que celle des rectangles : (Voir figure 5.2) on remplace, sur chaque intervalle [ti, ti+1], v(t) par une vitesse v linéaire. De sorte que l’aire approchée est remplacée par l’aire des trapèzes. On a donc

x(ti+1)−x(ti)≈Ai, (5.13)

où

Ai=1

2(ti+1−ti)(v(ti) +v(ti+1)). (5.14) On a enfin

x(b)−x(a) = Z b

a

v(s)ds≈

NX−1 i=0

1

2(ti+1−ti)(v(ti) +v(ti+1)). (5.15) Souvent, cette formule est utilisée pourhconstant.

Exemple5.6.

On se donnea= 0,b= 0.05. On suppose connue la vitessev sur[a, b]. On donnex(0) = 0.

indice temps vitesses 0 0.00000 0.00000 1 0.00556 4.80498 2 0.01111 13.98215 3 0.01667 23.39208 4 0.02222 32.11241 5 0.02778 39.96245 6 0.03333 46.96467 7 0.03889 53.19819 8 0.04444 58.75250

Table 5.1. Quelques vitesses

On poseN= 9,hest défini parh= (b−a)/N. Conformément à ce que l’on a vu ci-dessus, on donne les valeurs dev(ti)pouri∈ {0, ...,8}; voir le tableau 5.1.