R´ esum´ e de cours : Fonctions convexes.
MPSI-Maths.
Mr Mamouni: myismail1@menara.ma
Source disponible sur :
http://www.chez.com/myismailc
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Dant tout le chapitre on consid`ere I = [a, b] un segment de R, et f ∈ F(I,R).
D´efinition 1. On dit que f est convexe sur I si et seulement si
∀(x, y)∈I2, ∀λ∈[0,1] on a :
f(λx+ (1−λ)y)≤λf(x) + (1−λ)f(y).
Th´eor´eme 1. f est convexe sur I si et seulement si ∀n ∈ N∗, (xi)1≤i≤n∈In, ∀(λi)1≤i≤n∈[0,1]n on a :
f
n
X
i=1
λixi
!
≤
n
X
i=1
λif(xi)
Th´eor´eme 2. f est convexe sur I si et seulement si les cordes de f, (segments qui joignent deux points de la courbes de f) sont au dessus de cette courbe.
Autrement dit : f(x)≤ f(b)−f(a)
b−a (x−a) +f(a) ∀x∈[a, b].
Th´eor´eme 3. f est convexe sur I si et seulement si les pentes des cordes dont on fixe une extr´emit´e sont croissantes.
Autrement dit : La fonctionϕa :x7→ f(x)−f(a)
x−a est croissante.
Th´eor´eme 4. Si f est de classe C1 sur I, alors : f est convexe si et seulemnt si f0 est croissante.
Dans ce cas les tangentes def sont situ´ees en dessous de sa courbe.
Autrement dit : f0(a)(x−a) +f(a)≤f(x), ∀x∈[a, b].
Th´eor´eme 5. Si f est de classe C2 sur I, alors : f est convexe si et seulemnt si f“≥0.
Fin.
MPSI-Maths Mr Mamouni
R´esum´e de cours: Fonctions convexes.
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