Théorème de Kronecker.

Théorème de Kronecker.

2013 – 2014

Référence : Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas,Oraux X-ENS Algèbre 1, Cassini, 2008, p.213.

Théorème.

On définit

Ωn:={P ∈Z[X]|P unitaire,degP =netz∈Z(P)⇒0<|z| ≤1}

oùZ(P) désigne les racines complexes deP.

SiP ∈Ωn, alors les racines deP sont des racines de l’unité.

Démonstration. Montrons dans un premier temps que Ω_n est fini.

On notez₁, . . . , z_n les racines de P etσ₁, . . . , σ_n les fonctions symétriques élé- mentaires deP évaluées en (z₁, . . . , z_n).

Alors

P =Xⁿ−σ1Xⁿ⁻¹+. . .+ (−1)ⁿσn

etσi∈Z.

Or|zi| ≤1 donc, pour 1≤p≤n,

|σp|=

X

1≤i1<...<ip≤n

zi₁· · ·zi_n

≤ X

1≤i1<...<ip≤n

1 = n

p

.

On en déduit que Ωn est fini.

On considère désormais

Pk:=

n

Y

i=1

(X−z_i^k) et montrons quePk∈Ωn.

Afin de montrer que Pk ∈ Z[X], introduisons le polynôme Qk := X −Y^k ∈ Z[X, Y] et considérons R_k(X) := ResY(P(Y), Q_k(X, Y)). P ∈ Z[X] et Q_k ∈ Z[X, Y] doncR_k ∈Z[X]. Par ailleurs,

R_k(X) =

n

Y

i=1

Q_k(X, z_i) =

n

Y

i=1

(X−z_i^k) =P_k(X)

1

doncPk ∈Z[X]. De plus,Pk est unitaire et ses racines sont lesz_i^k qui vérifient 0<|z_i^k| ≤1. Par conséquent, Pk ∈Ωn.

Or Ωnest fini donc l’ensemble des racines des éléments de Ωn est fini donc, pour i∈ {1, . . . , n}, l’application

N^∗−→C k7−→z_i^k

n’est pas injective. On en déduit qu’il existe k 6=l tels que z^k_i = z_i^l et zi 6= 0 doncz_i^k−l= 1 etzi est une racine de l’unité.

Corollaire.

SoitP∈Z[X] unitaire et irréductible tel que Z(P)⊂D(0,1), oùZ(P)désigne les racines deP.

AlorsP =X ouP est un polynôme cyclotomique.

Démonstration. Supposons P 6=X. Alors P est irréductible donc 0 n’est pas racine deP et, d’après le théorème de Kronecker, ses racines sont des racines de l’unité. De plus, les racines deP sont simples carP est irréductible (sinon il serait divisible parP∧P⁰ non trivial) et doncP |X^N −1 pour un certainN.

Or

X^N −1 =Y

d|N

Φd

avec Φ_d irréductible surZ.

P6= 1 doncP = Φ_k pour un certaink.

Corollaire.

< Tout polynôme deZ[X]unitaire ayant ses racines dansD(0,1)est un produit de puissances deX et de polynômes cyclotomiques.

Détails supplémentaires

Autre rédaction possible pour montrer queP_k∈Z[X] :

Le coefficient deX^n−r dansP_k est (−1)^rσ_r(z^k₁, . . . , z_n^k). Orσ_r(X₁^k, . . . , X_n^k) est un polynôme symétrique à coefficients dansZ, donc par le théorème de structure des polynômes symétriques il existeQ_r∈Z[X₁, . . . , X_n] tel que

σr(X₁^k, . . . , X_n^k) =Qr(σ1(X1, . . . , Xn), . . . , σn(X1, . . . , Xn)).

On en déduit, étant donné queσi(z1, . . . , zn)∈Z,

σr(z₁^k, . . . , z_n^k) =Qr(σ1(z1, . . . , zn), . . . , σn(z1, . . . , zn))∈Z.

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