La durée du pacage est donc divisé par 5

A206 - Sur les traces des bœufs de Newton

Solution du problème n°1

Soient N le nombre de bœufs dans le pré, x leur consommation journalière d’herbe, V la quantité d’herbe à l’entrée des bœufs dans le pré, v le taux de croissance journalière de l’herbe et T la durée du pacage.

On a les deux équations : N.T.x = V + T.v

2N.(T/3).x = V + (T/3).v

On en déduit que N.x=2v et V = T.v

En triplant le nombre de bœufs, on a une durée de pacage T’ telle que 3N.T’.x = V +T’.v  6T’.v = T.v + T’.v  T’=T/5. La durée du pacage est donc divisé par 5. D’une manière générale si le nombre de bœufs est multiplié par un coefficient k, la durée du pacage est divisé par 2k-1.

En réduisant la taille du troupeau de 25%, la durée du pacage est multiplié par 1/(2.0,75-1) = 2

Solution du problème n°2

Soient x ,y, z les consommations journalières d’herbe des vaches, veaux et moutons, V la quantité d’herbe à l’entrée des bêtes dans le pré de 30 ha, v le taux de croissance journalière de l’herbe par hectare .

On a un système de quatre équations linéaires : 125.(30x +25y+10z) = V.(10/30) + 125.10v 100.(20x+40z)=V.(6/30) + 100.6v

75.(10x+15y)=V.(3/30) + 75.3v 50.(10y+20z)=V.(2/30) + 50.2v

On pose V=1500V₀ et l’écriture du système d’équations se simplifie et devient : 30x + 25y + 10z = 4V₀ +10v (1)

20x + 40z = 3V₀ + 6v (2) 10x + 15y = 2V₀ + 3v (3) 10y + 20z = V₀ +2v (4)

(2) et (3)  20x – 30y – 20z = 0 (1) et (3)  10x – 5y +10z = 4v (3) et (4)  -10x + 5y + 40z = v

Les deux dernières équations donnent z = 0,1v d’où x=0,4v puis y=0,2v et V₀=2v

Le reste du cheptel est constitué de 20 vaches, 40 veaux et 30 moutons qui sont installés dans un enclos de 9 ha.

Il s’agit de trouver T tel que T.(20x +40y + 30z) = V.(9/30) + T.9v = 450V₀ + T.9v Cet équation peut d’écrire T.(8v + 8v + 3v) = 900v + T.9.v qui donne T = 90 jours.

Le reste du cheptel peut donc rester 90 jours dans le cinquième enclos.

Si tout le cheptel avait été mis dans la prairie de 30 ha sans délimitation d’enclos, la durée du pacage aurait été T telle que :

T.(80.0,4.v + 90.0,2.v + 100.0,1.v) = 3000v + T.30.v D’où T = 100 jours