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Les pressions de radiation et leur aspect tensoriel

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HAL Id: jpa-00235388

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235388

Submitted on 1 Jan 1956

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Les pressions de radiation et leur aspect tensoriel

L. Brillouin

To cite this version:

L. Brillouin. Les pressions de radiation et leur aspect tensoriel. J. Phys. Radium, 1956, 17 (5),

pp.379-383. �10.1051/jphysrad:01956001705037900�. �jpa-00235388�

(2)

LES PRESSIONS DE RADIATION ET LEUR ASPECT TENSORIEL

Par L. BRILLOUIN,

National Academy of Sciences (Washington), Columbia University (New-York).

Sommaire.

2014

Lorsque des ondes élastiques sont émises, absorbées ou réfléchies par des corps, ceux-ci sont soumis à des efforts dus aux tensions de radiation. Dans le cas d’une onde plane non perturbée, l’évaluation du tenseur des efforts moyens permet de connaître les efforts agissant sur

un obstacle.

Le tenseur des efforts moyens est d’abord évalué dans le cas d’un milieu non dispersif (vitesse

de phase indépendante de la fréquence), puis dans le cas d’un milieu dispersif.

Des exemples d’application sont étudiés et en particulier la notion de section efficace d’un obstacle sphérique se trouve précisée.

Abstract.

2014

Emission, absorption and reflection of elastic waves result in forces known as radiation pressure. For an unperturbed plane wave it is possible to compute the average tensor of stresses, from which the force on any obstacle can be obtained.

This fundamental tensor is discussed first for a non-dispersive medium and second for a disper-

sive medium. Some examples and applications are given. The problem of scattering by a sphere is of special interest, and its discussion leads to a correct definition of the scattering cross-

section.

PHYSIQUE 17, 1956,

1. Introduction.

-

Lord Rayleigh découvrit le fait que les ondes élastiques exercent des efforts

sur les surfaces qui émettent, absorbent ou réflé-

chissent ces radiations. Il appela ces efforts les

« pressions de radiation » et ce terme prête à la critique. On doit réserver le mot « pression o pour

le cas où les efforts exercés sur une surface sont normaux et indépendants de la direction de la sur-

face. Dans un liquide au repos s’exerce une pres- sion. Dans un solide déformé nous avons des ten-

sions, obliques sur les surfaces et dépendant de leur

orientation.

Les efforts exercés par une radiation dépendent

de l’orientation de la surface par rapport à l’onde

et ne sont pas nécessairement normaux. Ce sont donc des tensions de radiation et non des pressions.

Ces problèmes furent discutés très en détail par L. Brillouin dans une série d’articles [1] (1925) et

résumés dans un livre sur « Les Tenseurs » (Masson, Paris, 1938 et Dover, New-York, 1946) pp. 284-304.

2. Les différentes étapes du problème.

-

Un problème typique est représenté sur la figure 1 :

FIG. 1.

une onde incidente plane 1 tombe sur un obstacle 0.

Des ondes D sont diffractées en tous sens par

l’objet 0, et une force F s’exerce sur cet objet. On peut aussi observer un couple résultant, mais cet

effet nécessiterait une théorie plus détaillée que celle donnant la « pression de radiation » F.

Dans ce problème, il est commode de distinguer

trois étapes :

I.

-

Problèmes de diffraction, conduisant au

calcul de l’intensité des ondes diffractées D dans toutes les directions.

II.

-

Le calcul des « tensions de radiation » dans une onde plane non perturbée. Ce calcul

fournit tout le tenseur des efforts moyens s’exer- çant au travers du milieu qui progage l’onde plane.

III.

-

Calcul de la force résultante F sur l’obs- tacle. Connaissant les tensions de radiation dans l’onde incidente et dans les ondes diffractées, il

faut faire la somme de tous les efforts transmis par

toutes ces ondes, et l’on obtient la force résul- tante F sur l’objet placé dans l’onde.

Cette manière d’organiser les calculs présente l’avantage de distinguer nettement la partie II, propriété générale des ondes planes, et les pro-

blèmes 1 et III où interviennent les propriétés et la

forme de l’obstacle interposé dans l’onde.

-

Nous porterons spécialement notre ’ attention

sur le problème II et nous indiquerons à la fin de

cet exposé quelques applications pratiques à des

cas concrets.

La subdivision I, II, III n’a pas été toujours observée, et certains auteurs traitent le problème global en une ‘seule opération, ce qui les oblige à

tout reprendre du commencement lorsque le type d’obstacle est changé.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01956001705037900

(3)

380

3. Définition du « tenseur des efiorts o et des tensions.

-

Dans un milieu élastique déformé, traçons une surface plane dont l’aire est S et dont

F1G. 2.

~

la normale est représentée par le vecteur n. Nous

utilisons des coordonnées rectangulaires x1x2x3 et

~

le vecteur unité n a pour composantes nln2n3.

La partie du milieu située à droite (du côté de la

normale positive) exerce, au travers de S, une

~

force Je sur la portion gauche

Cette force est proportionnelle à l’aire S, mais en général elle n’est pas normale à la surface S. Dans

ces conditions T est un tenseur à neuf composantes

et la formule condensée (1) s’explicite ainsi :

Dans un très grand nombre de problèmes [2],

le tenseur T est symétrique

de sorte qu’il ne reste, en réalité, que 6 composantes indépendantes.

Lorsque le système des efforts se réduit à une pression comme c’est le cas pour un fluide isotrope homogène, le tenseur des efforts se simplifie et prend l’aspect :

La force F est alors toujours dans la direction de la normale à la surface S, car les formules (3)

se réduisent à

c’ f’Rt-n -di 1’0

C’est seulement dans un tel cas qu’on a le droit

de parler de pression. Il faut que le tenseur T soit

diagonal et que ses trois composantes Soient égales.

Si ces conditions ne sont pas remplies, on a un exemple de tensions tensorielles et non pas de

pression.

1

4. Le tenseur moyen des efforts dans une onde

plane.

-

Milieu non dispersif.

--

Considérons maintenant le problème II du paragraphe 2. Une

onde plane se propage dans la direction x 1 avec

une vitesse de phase W et une densité moyenne

d’énergie E. Le milieu dans lequel se propage l’onde est supposé isotrope, homogène et non

absorbant. Nous supposons tout d’abord un milieu

non dispersif, de sorte que la vitesse W ne dépende

pas de la fréquence v. Le cas d’un milieu dispersif

sera discuté plus loin.

L’onde en propagation libre crée un système de

tensions moyennes représentées par le tenseur

où v représente le volume spécifique du corps maté- riel au travers duquel se propage l’onde, et

v dW d log W dé end de la variation de

v dW - -d log W W dv d log v dépend de la variation de

vitesse W provoquée par un changement dans le

volume spécifique v. La valeur de cette formule,

c’est qu’elle s’applique à une grande variété de

cas : ondes élastiques dans les solides ou liquides,

ondes électromagnétiques dans les solides ou

liquides, etc... Le sens physique de ces expressions

est le suivant : l’onde provoque un changement

local de pression moyenne

puisque ce terme se retrouve en effet aux trois places du tenseur ci-dessus. La première posi-

tion (11) du tenseur contient un terme supplémen-

taire

-

E que l’on peut expliquer en disant que l’onde transporte une densité de quantité de mou-

E

vement, E/W. Lorsque l’onde est émise, la surface

émettrice subit un recul E et, lorsque l’onde est absorbée, elle exerce une poussée E sur la surface absorbante ; ces efforts liés à l’onde s’ajoutent à l’augmentation Ap de pression moyenne dans toute la région traversée par l’onde.

Des résultats tout à fait semblables ont été

(4)

retrouvés récemment par Borgnis [3] dans une

série de mémoires. Une discussion très méticuleuse de E. J. Post [4] confirme aussi ces formules.

Les méthodes de calcul employées pour trouver

ces résultats sont très variées. Les unes consistent à partir des équations de propagation des ondes, en gardant les termes non linéaires. On fait ensuite les moyennes des composantes du tenseur des efforts.

Pour les ondes électromagnétiques, on peut faire directement les moyennes des tensions de Maxwell.

Un raisonnement général, applicable à tous les types d’onde, peut être basé sur l’emploi de la for-

mule de Boltzmann-Ehrenfest (Les tenseurs, p. 300). La concordance de ces calculs très diffé- rents confirme la généralité des résultats.

5. Milieu dispersif.

-

Discutons maintenant le

problème pour un milieu dispersif. Il faut distin- guer alors entre vitesse de phase W et vitesse du

groupe U

où v est la fréquence et a l’inverse de la longueur

d’onde. Ces deux vitesses W et U sont égales s’il n’y a pas dispersion, mais autrement W dépend de

la fréquence v et U aussi

( 111 1

Comment tenir compte de ces conditions dans le calcul de la tension de radiation ? Le calcul direct serait très compliqué, mais la formule de Boltz- mann-Ehrenfest donne une réponse rapide et très générale, valable pour tous les types d’onde. Le raisonnement donné dans mon livre Les Tenseurs

(p. 300) était valable pour un milieu non dispersif.

Voyons comment le généraliser pour le milieu

dispersif. Le point de départ est la formule de

Boltzmann-Ehrenfest donnant le travail dC obtenu quand on modifie un paramètre 1,, du réser-

voir contenant les ondes :

où V est le volume du réservoir et E la densité moyenne d’énergie pour l’onde considérée. Consi- dérons un réservoir parallélépipédique de côtés ll, l2 et l3

Une onde stationnaire dans ce volume est carac-

térisée par trois entiers mi, m2 et’ m3. La longueur

d’onde À et le nombre d’ondes a sont définis par

qui dépend seulement de 111 l2, l3. ( 1J)

et la fréquence v est donnée par

Nous considérons maintenant une variation du

de la longueur 11 tandis que les côtés l2 et l3 restent

constants.

La quantité a dépend directement de l1 et

où 0 est l’angle d’incidence sur le piston déplacé de d11.

La vitesse de phase W dépend de deux variables,

a et v où v est le volume spécifique (1)

car du v est égal àdl, il Dans la formule (12) nous

*

devons calculer

en utilisant la formule (11). Enfin, avec l’aide de (14)

D’autre part le travail dV est représenté par p d v et la pression p sur le piston vaut

Changeons le signe pour écrire une tension au

lieu d’une pression. Notre tenseur de radiation (8)

est ainsi modifié

La seule modification porte sur le premier terme

où apparaît un facteur U/W qui se réduit à l’unité

pour un milieu non dispersif. Ce premier terme peut, nous l’avons vu, s’interpréter comme résul-

tant d’un transport de quantité de mouvement : la densité d’énergie E se propage avec la vitesse U,

de sorte que l’énergie reçue par seconde sur un

(1) Il résulte de cette formule que la dérivée 2013- est

prise à a constant (x constant v varié).

(5)

382

écran unité est EU. Cette énergie EU transporte

une quantité de mouvement ce qui donne une densité E de quantité de mouvement dans l’onde.

W

Cette dernière expression coïncide avec la valeur

calculée pour un milieu non dispersif. Les milieux

absorbants soulèvent de sérieuses difficultés.

6. Exemples.

-

Des exemples variés se trouvent

dans mon livre des Tenseurs, p. 292 etc. et p. 302

FIG. 3.

et suivantes. Sur la figure 3 est représenté le cas

d’un faisceau 1 émis par une surface B et absorbé par une surface A. Soit S l’aire du faisceau d’ondes, comptée perpendiculairement à la direction de

propagation. L’excès de pression Ap de l’équa-

tion (9) joue le rôle d’un excès de pression interne

dans la région vibratoire et se transmet dans tout le liquide.’ Il en résulte une petite diminution de densité dans la zone parcourue par le faisceau. Les surfaces immergées B, A sont soumises des deux côtés à la pression Ap dont la résultante est nulle.

Les forces Fb, Fa agissant sur l’émetteur et

l’absorbeur sont uniquement dues au terme en

E U S dirigé soit en sens inverse soit dans le sens

W g

de propagation. Ces forces Fb, à peuvent être obliques sur les surfaces B, A comme indiqué sur

la figure 4.

-

FIG. 4.

Si un faisceau 1 est réfléchi sur une surface iinmergée M et réfléchi en R, les forces *Fi et Fr se composent en une résultante F. Soit S la surface du

miroir M, on a

FTG,

Reprenons un exemple similaire à celui de la

figure 3. Dans une cuve, un faisceau I est maintenu entre A et B (voir fig. 5). La pression interne à

provoque une diminution de densité du liquide

dans la région I, mais la pression extérieure est maintenue constante dans la région II il n’y a

pas de vibration ; une petite quantité de liquide Av

sera rejetée hors de la région 1 et pénétrera dans II.

La même quantité Av s’observera par un dépla-

cement du ménisque de a en b dans un tube hori-

zontal. Il est évident que Av ne dépend que de Ap

et du volume VI de la région I, mais est indépen-

dant du volume VII de la région II. Cet exemple

résulte d’une discussion détaillée avec R. Lucas durant le congrès de Marseille.

Ajoutons encore un exemple qui permettra de

contrôler les formules pour un milieu dispersif

non absorbant. Considérons un guide d’ondes

constitué par deux plans réfléchissants paral-

lèles P 1P 2 entre lesquels se trouve un milieu non dispersif. Les ondes guidées peuvent être consi- dérées comme produites par les interférences entre deux faisceaux plans faisant des angles + 0 avec

l’axe du système [5] guidant.

FIU. 6.

L’onde guidée se propage suivant l’axe du guide

avec une vitesse de phase W et une vitesse de groupe U

où Wo est la vitesse d’une onde plane libre.

Si chacune des ondes planes constituantes a une

densité d’énergie e, l’onde guidée a une densité

d’énergie

-- , - -.

(6)

Cherchons l’effort produit par ces radiations sur un miroir terminal M perpendiculaire à l’axe du guide.

I.

-

Considérons les deux ondes planes consti- tuantes, à l’inclinaison 6, nous obtenons une pries- sion normale au miroir

II.

-

Considérons l’onde guidée globale, nous

avons une onde dont la vitesse W dépend de la fréquence. Le système est dispersif. Nous devons utiliser le tenseur (16) qui donne

Les deux expressions sont identiques, si l’on

tient compte des relations (18), (19).

7. Discussion sommaire d’un problème complet.

: Le programme d’une discussion complète a

été esquissé au paragraphe 2 et comporte trois étapes I, II, III. Les paragraphes 3 à 6 se rap-

portent à l’étape II. Voyons sur un cas concret

comment conduire une discussion complète.

Le problème de diffraction par une sphère

réfléchissante a été complètement traité d’une

manière rigoureuse [6].

Les formules se simplifient lorsque le rayon a de

la sphère est très grand devant la longueur d’onde

et l’on obtient alors la situation représentée sur la figure 7. Une onde plane incidente tombe sur la

Fic.7.

sphère. Les approximations successives sont : A onde plane non perturbée,

B perturbation.

La perturbation, dans le cas (22) se divise en

deux termes, assez nettement séparés :

B.R les ondes réfléchies par la sphère dans

toutes les directions,

B.O un champ négatif compensant le champ

positif de l’onde non perturbée dans la région de l’ombre.

Ce dernier champ ne forme pas une onde exac- tement plane, mais se diffuse progressivement. Il apparaît sur les bords de l’ombre, des franges qui

finissent par se rejoindre à une distance

L’énergie comprise dans le terme B.R est égale

à l’énergie tombant sur . la section droite de la sphère, na 2. Les ondes B.R sont également distri-

buées dans toutes les directions. Le système B.O transporte aussi une énergie correspondant à une

section droite na2, mais ces ondes ne sont que très peu déviées et ne peuvent être distinguées de

l’onde plane incidente qu’à des distances supé-

rieures à D.

Au total, la section de diffusion de la sphère est

2na2 mais ne peut s’observer qu’à très grande dis-

tance. Ce résultat curieux était longtemps resté inexplicable. Les expériences le justifient entiè-

rement. Cette description épuise le problème I.

Passons au problème III et évaluons la force exercée, par les radiations sur la sphère. Les

ondes B.R diffusées en tous sens exercent une

force totale nulle. L’onde incidente ainsi dispersée

donne une force correspondant à la section na2.

Les ondes B.O très peu déviées donnent une force

qui compense la force exercée par l’onde incidente

,

correspondante. Leur effet global est nul.

Au total, la force correspond à une section

7ta2 seulement. Ce résultat autrefois calculé direc- tement par P. Debye n’est donc pas en contra- diction avec les 2na 2 de section diffusante.

"

BIBLIOGRAPIIIE [1] BRILLOUIN (L.), Ann. Physique, X, 1926, 4, 528 ;

J. Physique Rad., 1925, 6, 337 ; Physica, nov. 1925 (numéro du Jubilé Lorentz) ; Revue d’Acoustique, 1936, 5, 99.

[2] Pour plus de détails, voir BRILLOUIN (L.), Les Tenseurs, Masson, Paris, 1938, ch. X.

[3] BORGNIS (F. E.), Calif. Inst. of Technology report 25 juillet 1951, 1, révisé le 10 mars 1953 ; Rev. Mod.

Physics, 1953, 25, 653 ; Z. Physik, 1953, 134, 363.

[4] POST (E. J.), J. Acoust. Soc. Amer., 1953, 25, 55.

[5] BRILLOUIN (L.), Revue Gén. Electr., 1936, 40, 227 et

Les Tenseurs, p. 271.

[6] BRILLOUIN (L.), J. Appl. Physics, 1949, 20, 1110.

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