Numerical investigation of natural convection flows in convergent channel with obstacle

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Numerical investigation of natural convection flows in convergent channel with obstacle

Article in Physical and Chemical News · January 2013

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Phys. Chem. News 67 (2013) 01-06 PCN

1 NUMERICAL INVESTIGATION OF NATURAL CONVECTION FLOWS IN CONVERGENT CHANNEL WITH OBSTACLE

INVESTIGATION NUMERIQUE DES ECOULEMENTS DE CONVECTION NATURELLE DANS UN CANAL CONVERGENT AVEC OBSTACLE

N. Sabour, M. Najam, M. El Alami*

Groupe de Thermique, Laboratoire de Physique des Matériaux, Micro électronique, Automatique et Thermique (LPMMAT), Département de Physique, Faculté des Sciences Ain Chock, Université Hassan II Casablanca,

Km 8, route d’El Jadida, BP. 5366, Maârif, Casablanca, Maroc.

* Corresponding author. E-mail: m.elalami@fsac.ac.ma; elalami_m@hotmail.com Received: 23 December 2012; revised version accepted: 30 January 2013

Abstract

In this paper we present a numerical study of the effect of a rectangular block on natural convection flow in vertical convergent channel. The channel walls are hated symmetrically at a constant flow. The study based on the technique of control volumes is performed for three positions of the block and the following control parameters: Rayleigh number

10⁴ ≤ Ra ≤ 10⁶

, Prandtl number Pr = 0.72, The aspect ratio of the block R = 2, elongation ratio of the channel A = 5 and the angle of inclination of the walls of the channel is

α=2,86^o.

The results of this study are presented in the form of thermal and dynamic fields and in terms of heat exchange between the walls of the canal, on the one hand and the block and fresh air on the other.

Correlations giving the heat transfer function of the main parameters of the study are proposed.

Keywords: Convergent Channel ; Natural Convection ; Obstacle ; Numerical Study.

Résumé

Dans ce papier nous présentons une étude numérique de l’effet d’un bloc rectangulaire sur l’écoulement de la convection naturelle dans un canal vertical convergent. Les parois du canal sont chauffées symétriquement à flux constant. L’étude basée sur la technique des volumes de contrôle est réalisée pour trois positions du bloc et pour les paramètres de contrôle suivants : le nombre de Rayleigh 10

⁴

≤ Ra ≤ 10

⁶

, le nombre de Prandtl Pr=0,72, Le rapport de forme du bloc R=2, le rapport d’allongement du canal A=5 et l’angle d’inclinaison des parois du canal est

α=2,86^o.

Les résultats de cette étude sont présentés sous forme de champs thermique et dynamique ainsi qu’en termes d’échange thermique entre les parois du canal, d’une part et le bloc et l’air frais d’autre part. Des corrélations donnant ce transfert thermique en fonction des paramètres principaux de l’étude sont proposées.

Mots clés: Canal Convergent ; Convection Naturelle ; Obstacle ; Etude Numérique.

1. Introduction

Les écoulements incités par la convection naturelle apparaissent dans beaucoup de problèmes de construction mécanique. Les configurations formées par les plaques chauffées où ces processus se produisent, ont été le thème d'études intenses dans les années passées.

Pourtant, les nouveaux systèmes avec une différente disposition constructive et des applications dans plusieurs champs (bioclimatique l'architecture, le refroidissement électronique, les systèmes de refroidissement d'énergie nucléaire) sont au moment de grand intérêt. Les applications typiques d'écoulements de convection naturelles dans les canaux verticaux, ont un intérêt pratique dans différents domaines de l’ingénierie tels que

ceux relatifs au refroidissement des cartes électroniques, les thermosiphons, les cheminées....

Le recours à ce processus d’évacuation ou

d’apport de la chaleur est justifié par les faibles

coûts qu’il nécessite. Le recours à ce processus

d’évacuation de la chaleur est justifié par son

efficacité. Généralement, les composants sont

disposés sur des cartes horizontales, formant des

canaux [2,3, 4]. Ces cartes sont soumises à une

ventilation extérieure pour évacuer le surplus de

chaleur générée. Les travaux les plus récents

montrent, l’intérêt et le progrès réalisé dans ce

domaine. Dans le cas où les composants sont

répartis sur les parois inférieures ou supérieures

d’un canal à axe horizontal, l’espace entre ceux-ci

(3)

N. Sabour et al, Phys. Chem. News 67 (2013) 01-06

2 reste mal ventilé, même dans le cas où le refroidissement est assuré par un écoulement forcé parallèle aux parois du canal.

Un grand nombre de travaux analytiques, numériques, et expérimentaux ont été effectués sur ce problème depuis Elenbaas, en 1942, [1] qui avait introduit pour la première fois le problème de convection naturelle entre deux plaques verticales parallèles. Sparrow et Azevedo [2] ont réalisé une étude expérimentale et numérique dans un canal vertical dont les parois sont chauffées à températures constantes et de façon dissymétrique.

L’un des principaux paramètres de l’étude était le diamètre du canal qui a servi à déterminer les limites de l’écoulement pleinement développé et celles de l’écoulement du type couche limite au voisinage d’une plaque plane verticale. Bade et al.

[3] ont conduit une étude numérique dans un canal vertical d’allongement L ≥10. Ce travail, réalisé en bidimensionnel et dans le cas des écoulements développés, est basé sur la méthode de collocation de Chebyshev dans la direction transversale et de quatrième ordre dans la direction parallèle à l’écoulement. Bianco et al. [4]

ont réalisé une étude très utile dans un canal convergent. Les parois du canal ont été prises conductrices et soumises à un flux de chaleur constant. Les auteurs ont considéré un domaine étendu en bas du canal dans le but de tenir compte de la diffusion de quantité de mouvement et de chaleur à l’entrée du canal. Leurs résultats numériques, comparés aux résultats expérimentaux montrent un bon accord. Bianco et al. [5] ont réalisé, récemment, une investigation numérique et expérimentale sur les transferts de chaleur par convection naturelle couplés à ceux par rayonnement dans un canal convergent dont les parois sont chauffées de manière symétrique à flux constant. La structure de l’écoulement visualisée expérimentalement est en bon accord avec celle prédite numériquement pour toute la gamme de Rayleigh considérée.

Dans notre travail, nous étudions numériquement l’effet de la position d’un bloc rectangulaire sur la structure de l’écoulement de convection naturelle dans un canal vertical convergent. Les parois du canal sont chauffées symétriquement à flux constant. L’étude basée sur la technique des volumes de contrôle est réalisée pour trois positions du bloc à l’entrée, milieu et la sortie du canal. Les résultats présentés en termes de champ dynamique et thermique et en termes de

nombre de Nusselt moyen serons analysés et discutés systématiquement en fonction des paramètres de contrôle considérés.

2. Configuration étudiée et formulation mathématique

La configuration étudiée est schématisée dans la figure 1. Il s’agit d’un canal convergent chauffé symétriquement à flux constant. Le rapport d’allongement du canal A=H /B

min

=5. Un bloc rectangulaire de rapport de forme R=2 est placé dans le canal. On suppose que l’écoulement et le transfert de chaleur sont bidimensionnels, que les propriétés du fluide sont constantes et l’approximation de Boussinesq est valide. On néglige ici les transferts radiatifs possibles entre les différentes surfaces. Les équations adimensionnelles transitoires en termes de température θ, de pression motrice P et de vitesses U et V sont :

= 0

∂ + ∂

∂

∂ y V x

U

(1)

)

Pr( ₂

2 2 2

y U x

U x

P y V U x U U t U

∂ + ∂

∂

− ∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

(2)

θ

∂ + +∂

∂ + ∂

∂

−∂

∂ = + ∂

∂ + ∂

∂

∂ Pr.( ₂) Pr. .

2 2 2

Ra y

V x

V y P y V V x U V t

V

(3)

2 2 2 2

y y x

x V

t U ∂

θ + ∂

∂ θ

= ∂

∂ θ + ∂

∂ θ

∂

(4)

En se référant à la figure 1, les variables adimensionnelles sont définies ainsi :

= UαH

U '

,

= VαH

V '

,

min 0

. ) (

B q

T

T− λ

= θ

2

) 2

' ' (

ρα ρ

= P+ gy H

P

,

αν

∆

= β TH3

Ra g

avec

= λ

∆ q.B^min

T

et

α

= ν Pr

Les conditions aux limites associées sont définis telles que sur les parois q=1, U=V=0.

au niveau de l’ouverture du bas [6],

Bmin

V = M

,

2 M 2

P = −

, M étant le débit (inconnue du problème). Il est calculé en utilisant la conservation du débit massique dans le canal.

Au niveau de l’ouverture du haut, P=U=0

(condition de jet en atmosphère libre). Par contre,

θ et V sont calculées par extrapolation [7] (leurs

dérivées secondes par rapport à la verticale sont

nulles).

(4)

3

Figure 1:Configuration étudiée.

3. Méthode numérique

Les résultats présentés dans ce travail, sont obtenus à l’aide d’une simulation numérique basée sur la technique des volumes finis. Le schéma Upwind de second ordre a été utilisé pour un maillage de 100x200. Le pas de temps varie entre 10

^-4

à 10

^-5

. Notre code numérique a été validé en plusieurs étapes et tous les résultats obtenus montrent sa validité.

4. Résultats et discutions

4.1 Structure de l’écoulement et champ thermique dans le canal

Dans cette section, nous présentons l’effet de la position du bloc sur la structure de l’écoulement et le champ thermique présentés sous forme de lignes de courant et isothermes pour deux valeurs du nombre de Rayleigh 10

⁴

et 10

⁵

.

Le cas sans bloc a été étudié à titre de référence. Les champs dynamiques et thermiques relatifs à ce cas ne sont pas présentés dans ce papier. De manière générale la structure de l’écoulement est relativement simple composée essentiellement par des lignes de courant ouvertes.

Pour Ra= 10

⁴

, Fig.2, ces lignes sont pratiquement parallèles aux parois du canal, exception faite aux alentours du bloc où elles présentent une distorsion de plus en plus accentuée en déplaçant le bloc vers la sortie du canal. Les isothermes correspondantes, sont à leur tour de plus en plus concentrées autour du bloc lorsque ce dernier est déplacé vers le haut. En effet, pour la position du haut, Fig.2-a, l’air chauffé en contact des parois

échange de la chaleur avec le bloc maintenu froid à la température T

0

. Au fur et à mesure que l’on descend le bloc vers le bas, cet échange thermique diminue vu que l’air n’est encore assez chaud, Figs.2-b et 2-c. Ce qui explique que les isothermes sont moins serrées qu’en haut. En outre, la zone isotherme froide, dans la partie inférieure du canal est absente dans le cas où le bloc est placé à l’entrée de celui-ci. En augmentant Ra à 10

⁵

, on constate le resserrement des lignes de courant et des isothermes au voisinage des parois actives. Ce qui montre le début de l’installation d’un écoulement de couche limite, Fig.3. Notons aussi que la zone isotherme froide localisée en bas du canal augmente avec le dépècement du bloc vers le haut du canal.

a) Ψmax=10.6 b) Ψmax = 11.00 c) Ψmax = 14.98 θmax = 0.88 θmax = 0.71 θmax = 0.76

Figure 2 : Champs dynamique et thermique pour Ra=10⁴

(5)

4

a) Ψmax=31.06 b) Ψmax = 37.59 c) Ψmax = 41.77 θmax = 0.38 θmax = 0.35 θmax = 0.34

Figure 3 : Champs dynamique et thermique pour Ra=10⁵

4.2 Transfert de chaleur et débit de l’écoulement

Le nombre de Nusselt moyen est calculé le long de la paroi chauffée du canal dans les quatre cas, ceux du canal avec bloc et sans bloc. Sa variation en fonction de Ra est présentée dans la figure 4.

Nous constatons que la variation de Nu en fonction de Ra est linéaire en coordonnées logarithmiques pour un canal convergent avec bloc a la sortie au milieux et à l’entrée dans la gamme de Ra : 10

⁴

≤Ra≤10

⁶

. Des corrélations donnant la variation de Nu en fonction du nombre de Rayleigh est proposée dans les relations suivantes :

Cas 1 Nu = 0.11 Ra

^0.29

(5)

Cas 2 Nu = 0.10 Ra

^0.30

(6)

Cas 3 Nu = 0.16 Ra

^0.26

(7)

Cas 4 Nu = 0.13 Ra

^0.28

(8)

D’après la figure 4 et les corrélations correspondantes, que la position du bloc à l’entrée du canal est la plus favorable au transfert de chaleur, puisque la courbe relative à ce cas se trouve en dessus de toutes les autres courbes. En effet, dans ce cas le bloc qui est à la même température que l’air à l’entrée du canal, contraint l’air à se mettre rapidement en contact avec les parois chaudes. Ce qui se traduit par une légère hausse dans le nombre de Nusselt moyen. Remarquons également que la courbe relative à la position du bloc à la sortie est le plus défavorable au transfert thermique. Le bloc, dans cas, joue le rôle d’obstacle et dégrade la vitesse de l’air frais dans le canal. En ce qui concerne le débit d’écoulement, fig.5, nous avons également corrélé la variation de M en fonction du nombre de Rayleigh pour la gamme 10

⁴

≤Ra≤10

⁶

dans les quatre cas. On constate que le bloc a élevé le débit de l’écoulement dans le cas ou celui-ci est positionné à l’entrée. Par contre son emplacement au milieu et à la sortie a baissé le débit de l’écoulement. Ce résultat est en adéquation avec ceux obtenus en transfert de chaleur (Nu). Les relations liant le débit au nombre de Rayleigh sont les suivantes : Cas 1 M = 0.26 Ra

^0.43

(9)

Cas 2 M = 0.18 Ra

0.44

(10)

Cas 3 M = 0.19 Ra

0.45

(11)

Cas 4 M = 0.28 Ra

0.43

(12)

Figure 4 : Nombre Nusselt en fonction de Rayleigh pour

α

= 2.86^o. et A= 5.

(6)

5

Figure 5 : Débit massique en fonction de Rayleigh pour

α

= 2.86^o. et A= 5.

5. Conclusion

Notre étude est accée sur l’effet de la position d’un bloc rectangulaire sur la structure de l’écoulement de la convection naturelle dans un canal vertical convergent chauffée symétriquement à flux constant. La simulation des écoulements instationnaires bidimensionnels montre que :

La structure de l’écoulement est simple avec une légère distorsion des lignes de courant aux alentours du bloc. Cette distorsion est de plus en plus marquée en déplaçant le bloc vers la sortie du canal. Les isothermes, sont à leur tour de plus en plus concentrées autour du bloc lorsque ce dernier est déplacé vers le haut avec l’absence de la zone isotherme froide, dans la partie inférieure du canal dans le cas où le bloc est placé à l’entrée. Cette dernière position du bloc semble la plus favorable au transfert de chaleur dans le canal. Elle a, également, amelioré le débit de l’écoulement par rapport aux autres cas étudiés dans ce papier.

Références

[1] W. Elenbaas, Heat dissipation of parallel plates by free convection. Physica 9 (1) (1942) 1-28.

[2] E.M. Sparrow, F.A. Azevedo ; Vertical- Channel Natural Convection spanning between the fully developed limit and the single-plate boundary-layer limit. Int. J. Heat Mass Transfer, 28 N°10 (1985) 1847-1857.

[3] F. Bade, P. Haldenwang, high order scheme for thermally driver flows in an open channel, computers &fluids, 27, No. 2 (1998) 273-290.

[4] N. Bianco, T.S. Nardini , Numerical analysis of natural convection in air in a vertical convergent channel with uniformly heated conductive walls. Int. Comm. Heat Mass Transfer 32 (2005) 758–769.

[5] Nicola Bianco, Luigi Langellotto, Oronzio Manca and Vincenzo Naso; Numerical analysis of radiative effects on natural convection in vertical convergent and symmetrically heated channels.

Num. Heat Transfer, Part A, 49 (2006) 369–391.

[6] A. M. Dalber, F. Penot, J. L. Peube, convection naturelle laminaire dans un canal vertical chauffé à flux constant, Int. J. Heat Mass Transfer, 24. No. 9 (1981) 1463-1473.

[7] M. El Alami, E. A. Semma, M. Najam, R.

Boutarfa, Convective heat transfer in a horizontal channel with openings and isothermal rectangular blocks. Journal of Fluid Dynamics & Material Processing, 5 N°1 (2008) 1-9.

Nomenclature

A Allongement du canal (A=H/Bmin) H Hauteur du canal (m)

R Le rapport de forme du bloc h’ Hauteur du bloc

d Largeur du bloc

Bmax Largeur de l’ouverture supérieure du

canal (m)

(7)

6 Bmin Largeur de l’ouverture inférieure du canal (m)

M Débit massique adimensionnel Pr Nombre de Prandtl (Pr=ν/α) q Densité de flux

g Accélération gravitationnelle (m/s

²