L1, ISM, Groupe 13
Chapitre 3, corrigé des exercices du 18/11/2015
Exercice 1 – Dénombrer les bijectionsf de[[1,8]] dans [[1,8]] satisfaisant : (i) la condition : Si n est pair, alorsf(n) est pair.
(ii) la condition : Si n est divisible par 3, alors f(n)est divisible par 3.
(iii)les deux conditions ci-dessus à la fois.
Corrigé 1 – Définissons les deux sous-ensembles deE = [[1,8]],P formé des nombres pairs etI formé des nombres impairs :
P ={2,4,6,8}, I ={1,3,5,7}.
(i) La condition (i) se traduit par f(P)⊂ P. Mais puisque f est une bijection, f(P)doit avoir autant d’éléments queP. Donc pour une fonctionf bijective, (i) est équivalent à f(P) = P. De plus dans ce cas, (i) est aussi équivalent à f(I) = I. On a donc
f est une bijection de E dans E vérifiant (i) ⇐⇒
f est une bijection de P dans P ET
f est une bijection de I dans I Le nombre de bijections deE dansE vérifiant (i) est donc le produit du nombre de bijections de P par le nombre de bijections de I, soit 4!·4! = 576.
(ii) La condition (ii) se traduit par f({3,6})⊂ {3,6}, ce qui force l’un des deux choix suivants
f(3) = 3 et
f(6) = 6
ou
f(3) = 6 et f(6) = 3
Une fois que les images de3 et6sont fixées, nous sommes ramenés à dénombrer les bijections de l’ensemble{1,2,4,5,7,8} sur lui-même. Il y en a 6!. Donc
Le nombre de bijections de E dans E vérifiant (ii) est donc2·6! = 1440.
(iii) Si l’on requiert les deux conditions à la fois, puisque f(6) doit être pair et divisible par 3, on a forcément f(6) = 6 et donc f(3) = 3. Parmi les bijections de
P on ne retient que celles telles que f(6) = 6, soit les bijections de {2,4,8} sur lui-même, il y en a 3!. De même parmi les bijections de I on ne retient que celles telles que f(3) = 3, soit les bijections de {1,5,7} sur lui-même, il y en a 3!. On a donc en tout3!·3!= 36.
Exercice 2 – Reprendre l’exercice ci-dessus en remplaçant “bijections” par “appli- cations”.
Corrigé 2 –
(i) La condition (i) se traduit par f(P)⊂P. Mais maintenant f est une simple application, on a donc
f(P)⊂P, f(I)⊂E
Le nombre d’applications deE dansE vérifiant (i) est donc le produit du nombre d’applications de P dans P par le nombre d’applications de I dans E, soit 44·84
= 20736.
(ii) La condition (ii) se traduit par f({3,6})⊂ {3,6}, on a maintenant 4 choix
f(3) = 3 et
f(6) = 6
ou
f(3) = 6 et
f(6) = 3
ou
f(3) = 3 et f(6) = 3
ou
f(3) = 6 et
f(6) = 6 Une fois que les images de3 et6sont fixées, nous sommes ramenés à dénombrer les applications de l’ensemble{1,2,4,5,7,8} dans E. Il y en a 86.
Le nombre d’applications de E dans E vérifiant (ii) est donc 4·86 = 1048576.
(iii) Si l’on requiert les deux conditions à la fois, puisque f(6) doit être pair et divisible par 3, on a forcémentf(6) = 6et doncf(3) = 3ou6. Parmi les applications de P dans P on ne retient que celles telles que f(6) = 6, soit les applications de {2,4,8} dans P, il y en a 43. Maintenant parmi les applications deI dans E on ne retient que celles telles que f(3) = 3 ouf(3) = 6, soit pour chacun les applications de{1,5,7} dans E, il y en a 83. On a donc en tout 43 ·(2·83) = 3456.
Exercice 3 – SoitE un ensemble fini non vide à n éléments etAun sous-ensemble deE à p éléments.
(i) Combien y a-t-il d’applications f de E dans E tel que l’image directe de A par f soit incluse dansA?
2
(ii) Combien y a-t-il d’applicationsf deE dans E tel que tout élément deA soit dans l’image de A par f?
Corrigé 3 –
(i) Dénombrons les applications f de E dans E telles que f(A) ⊂ A. Une telle application s’identifie au couple constitué d’une application de A dans A et d’une application de E\A dans E. Il y en a donc pp·nn−p.
(ii) Considérons maintenant une application f deE dans E telleA⊂f(A). Nous savons que pour tout ensembleAet toute applicationf,card(f(A))≤card(A).
D’autre part si A ⊂ f(A), on a card(A) ≤ card(f(A)), et donc card(A) = card(f(A)). Par suite
A⊂f(A) ⇐⇒ A=f(A)
Doncf est une bijection de AdansA, il y en a p!. Pour ce qui est de f(E\A), le choix est libre, c’est-à-dire que f|E\A est une simple application dans E. Il y en a nn−p. Par suite le nombre cherché est p!·nn−p.
3
