Licence Informatique 2 e année Informatique théorique II
Examen - 30/01/2008 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction, de la lisibilité des copies et éventuellement de la précision des références au cours.
1 Arrêt de bus (6 points)
Un arrêt de bus ne permet qu’à deux bus de se garer en même temps. Mais cet arrêt est partagé par 3 lignes de bus. Sur la première de ces lignes, le premier bus de la journée passe à l’arrêt 5 minutes avant 6h00. Sur la deuxième ligne, le premier bus de la journée passe à l’arrêt une minute avant 6h00. Et sur la troisième ligne, le premier bus de la journée passe à l’arrêt une minute après 6h00.
Sachant que sur la première ligne, les bus passent à cet arrêt toutes les 23 minutes, sur la seconde ligne toutes les 7 minutes, et sur la troisième ligne toutes les 11 minutes, utiliser le théorème des restes chinois pour savoir si, dans la journée, trois bus se retrouveront en même temps à l’arrêt, ce qui poserait un problème de circulation.Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.
2 Décomposition en éléments simples (6 points)
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle (x2+12x+1)(x−17x−2)2.Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.
3 Résolution de récurrence (8 points)
Résoudre par la méthode des séries génératrices l’équation de récurrence an+1 = 2an+ 2n pour n ≥ 0 et a0 = 1. Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.
1
Arrêt de bus
Le système de congruence est : – x≡ −5mod23
– x≡ −1mod7 – x≡1mod11
On obtientx= 1651mod1771. 1651 minutes vaut plus de 27 heures donc il n’y aura jamais 3 bus en même temps à cet arrêt dans la journée.
Décomposition en éléments simples
Le résultat est (x1
−2)2 +x1
−2+x−2+xx−+14
Résolution de récurrence
La fraction à décomposer est(1−2x+2
−2x)2. Sa décomposition est(11
−2x)+(1 1
−2x)2.Le terme général est doncai= 2i+Ci
−2(−2)i.
2
