L’essentielducours Chapitre7:Probabilitésconditionnelles

Chapitre 7 :Probabilités conditionnelles

1.Rappels

Revoir en détail le chapitre proba du libre de révision de première S. Se remettre en particulier à l’esprit les notions d’expérience aléatoire, d’événement, de comptage à l’aide d’un arbre et de probabilités. Revoir aussi les notions de variable aléatoire.

2. Probabilités conditionnelles 2.1. Activité

2.2. Définition

Exercices : (chapitre 14)17,18

2.3. Un exemple d’utilisation d’arbre Exercice : démontrer queP_A(B) +P_A(B) = 1

2.4. Evénements indépendants Exercices : (chapitre 14)24,25,29,30

2.5. Formule des probabilités totales

Commencer par les exercices39,40et40,puis30,33,34,36,49 3. Variables aléatoires

3.1. Exemple

3.2. Rappels de première (définition, espérance, variance, écart-type) 3.3. Variables aléatoires indépendantes.

Exercices : (chapitre 14)24,25,29,30,46,49

L’essentiel du cours

1. Définition :

La probabilité de B sachantAestP_A(B) = P(B∩A) P(A)

On peut faire l’arbre suivant :

B

B B B Ā

P(A)

P(Ā)

PA(B) PA(B)

PĀ(B) PĀ(B) A

2. Evénements indépendants :Deux événementsAetBsont indépendants si et seulement si :P(A∩B) =P(A)×P(B).

On a alorsP_A(B) =P(B)

3. Probabilités totales :A_1,A_2,· · ·A_n constituent une partition deΩsi et seulement si ils sont incompatibles deux à deux et leur réunion estΩ.

Donc si et seulement si

½ A_i∩A_j =∅,∀i, j∈[1;n] entiers A₁∪A₂∪· · ·A_n=Ω

On a alors P(B) =P_A1(B)×P(A₁) +P_A2(B)×P(A₂) +· · ·+P_An(B)×P(A_n)

4. Variable aléatoire :

Définition : On appelle variable aléatoire réelle toute foncton de l’ensemble des événements de Ω dans R (A chaque événement on associe une valeur rtéelle). Une variable aléatoire peut être discrète (elle prend un nombre fini de valeurs) ou continue (durée de vie, taille ..)

Loi de proba d’une variable aléatoire dicrète : C’est le tableau qui récapitle les probabilités de chaque valeur possible de la variable aléatoire.

Espérance d’une variable aléatoire discrète : C’est la nombre noté E(X) =P

x_ip_i où les x_i sont toues les valeurs possibles de la variable aléatoire et lesp_ileurs probabilités.

Variance et écart-type : V(x) =P

p_i(x_i−E(X))² etσ(X) =p V(X)

On a aussiV(x) =E(X²)−(E(X))².

Variables aléatoires indépendantes : Soit X et Y deux variables aléatoires prenant les valeurs xi et yi. Elles sont indépendantes si et seulement si tous les événements(X =xi)et(Y =yi)sont indépendants deux à deux.