L’INSTITUTFOURIER DE ANNALES

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A L

E S

E D L ’IN IT ST T U

F O U R

ANNALES

DE

L’INSTITUT FOURIER

Marion LE GONIDEC

Sur la complexité de mots infinis engendrés par desq-automates dénombrables

Tome 56, n^o7 (2006), p. 2463-2491.

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SUR LA COMPLEXITÉ DE MOTS INFINIS ENGENDRÉS PAR DES q-AUTOMATES

DÉNOMBRABLES

par Marion LE GONIDEC

Résumé. — On étudie, dans cet article, les propriétés combinatoires de mots engendrés à l’aide de q-automates déterministes dénombrables de degré borné, ou de manière équivalente, engendrés par des substitutions de longueur constante uniformément bornées sur un alphabet dénombrable. En particulier, on montre que la complexité de tels mots est au plus polynomiale et que, sur plusieurs exemples, elle est au plus de l’ordre de grandeur den(logn)^p.

Abstract. — This article deals with combinatorial properties of infinite words generated by countable and deterministic q-automata of bounded degree. Those words can also be viewed as projections of fixed point of some substitutions of constant length on countable alphabet. We show that complexity function of such words is at most polynomial and, on some examples, the order of growth of this function is at mostn(logn)^p.

1. Introduction

De nombreuses études concernent les mots infinis engendrés par des substitutions sur un alphabet fini ou par des automates finis. Les livres [18], [15], [17] et [2] offrent un large panorama des propriétés dynamiques, arith- métiques et combinatoires de ces mots.

Les propriétés combinatoires de ces mots infinis, notamment leur com- plexité, ont été plus particulièrement étudiées les livres [9] et [10] et dans [5], [6], [14] et [13]. Nous nous proposons d’étendre ces travaux à une nouvelle classe de mots infinis engendrés à l’aide d’algorithmes simples : des substitutions de longueur constanteqsur un alphabet dénombrable ou, de

Mots-clés :mots infinis, complexité, substitutions, automates . Classification math. :68R15, 11B85.

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manière équivalente, desq-automates dont l’ensemble des états est dénom- brable. Ces objets ont été définis dans [11].

1.1. Notations concernant les suites symboliques SoitE un ensemble fini ou dénombrable qui est appeléalphabet.

Pour tout entier npositif, on note les éléments deEⁿ sous forme conca- ténée : un élémentm deEⁿ se note m=m0m1· · ·m_n−1. On appelle ces objets desmots de longueurnet la longueur d’un motmdonné est notée

|m|. On note l’ensemble des mots finisE^∗=∪n>0Eⁿ. L’ensembleE^∗muni de l’opération de concaténation est un monoïde.

On note E^ω l’ensemble des suites indexées parNà valeurs dans E. Les suites à valeurs dansEseront notées sous forme concaténée et appelées in- différemmentsuitesou mots infinis:m∈E^ωs’écritm=m₀m₁· · ·m_n· · · avec, pour toutn,mn ∈E.

Un mot fini wde longueur n qui apparaît dans un mot infini m, c’est- à-dire qui vérifie pour un certain entierk, w= mkmk+1· · · mk+n−1, est appeléfacteurou sous-mot demde longueur n. Pour tout entiern >0, on noteF_n(m)l’ensemble des facteurs de longueurndemetL(m)lelangage du mot m, c’est-à-dire l’ensemble des mots que l’on peut «lire» dans le motm:

L(m) ={w∈E^∗|∃(p, s)∈E^∗×E^ω, m=pws}.

Dans la suite de cet article, on désigne parqun nombre entier supérieur à 2 et par n^q = n_l· · ·n₁n₀, la représentation en base q de l’entier n = Pl

i=0niqⁱ oùni∈ {0,1, . . . , q−1} etnl6= 0.

On donnera les définitions précises concernant les substitutions et les q-automates dans le paragraphe 2. Pour plus de détails, voir [17] ou [7].

1.2. Complexité d’un mot infini

Pour un mot m=m0m1· · ·mn· · · fixé à valeurs dans un alphabet fini A, on appelle fonction de complexité du mot m, notée pm, la fonction suivante :

pm: N →N

n 7→Card (Fn(m)).

CommeF_n+n⁰(m) ⊂F_n(m)F_n⁰(m) pour tous entiers n et n⁰, la fonction de complexité vérifiepm(n+n⁰)6pm(n)pm(n⁰)et en particulier, la suite

ANNALES DE L’INSTITUT FOURIER

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_log_p

m(n) nCard(A)

n>1 converge. On peut montrer que l’entropie topologique du système dynamique associé àmpeut être exprimée à l’aide de la complexité par la formule suivante :h(m) = lim_n→∞_n^log_Card(A)^p^m⁽ⁿ⁾. Voir, par exemple [18].

On a toujours 0 6h(m)61, avec l’idée que plus le langage d’un mot est riche, plus il est «compliqué» et son entropie topologique se rapproche de1.

On peut classer les mots infinis sur un alphabet fini A par leur com- plexité. Par exemple, les mots ultimement périodiques sont les mots de complexité bornée. Les mots dits sturmiens sont les mots infinismde com- plexitépm(n) = n+ 1; ce sont les mots non ultimement périodiques de complexité minimale. Voir, par exemple [17].

Cependant, la détermination d’une formule exacte pour la fonction de complexité d’un mot infini donné reste un problème délicat qui a fait l’objet de nombreux travaux. Voir par exemple [1] ou [17] pour un survol.

Pour certaines classes de mots infinis, les ordres de grandeur possibles de la fonction de complexité ont été déterminés. C’est le cas des mots substitutifs à valeurs dans un alphabet finiA, dont les ordres possibles ont été donnés par J.-J. Pansiot [14] :

Théorème 1.1. — Pour tout mot infinimengendré par une substitu- tion sur un alphabet finiA, il existe une fonctionf(n)égale à1,n,nlogn, nlog lognoun² telle que :

∃(c, C)∈ R^∗+

²

, cf(n)6pm(n)6Cf(n).

En particulier, lorsquemestq-automatique et non ultimement périodique, f(n) =n.

Ce résultat affine deux théorèmes plus anciens : le premier est dû à A. Cobham [5] :

Théorème 1.2. — Simest un mot engendré par unq-automate fini à kétats, alors :

∀n >0, pm(n)6qk²n.

Le second, dû à A. Ehrenfeucht, K. P. Lee et G. Rozenberg [6] indique que la complexité d’un motmengendré par une substitution sur un alphabet fini vérifiep_m(n) =O(n²).

L’idée de cet article est d’obtenir un résultat analogue au théorème 1.2 pour une classe de suites proches des suites automatiques, à savoir des suites engendrées à l’aide d’automates dénombrables.

TOME 56 (2006), FASCICULE 7

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2. Substitutions et q-automates

Les substitutions et les automates sont des algorithmes simples qui per- mettent d’engendrer des mots infinis. Même si nous nous limiterons dans la suite à un type de substitutions et d’automates particuliers, les définitions sont données dans un cadre général.

Nous allons exposer notre problématique sous les deux angles. Cepen- dant, le point du vue substitutif sera utilisé de manière privilégiée dans les démonstrations. Le point de vue automatique, beaucoup plus visualisable, permet d’avoir un outil de compréhension supplémentaire.

2.1. Vision substitutive

Définition 2.1. — Unesubstitutionou morphismeσsur un alphabet dénombrableE est une application deE dans E^∗, ce que l’on peut écrire de la manière suivante :

σ: E → E^∗

e 7→ σ0(e)σ1(e)· · ·σ_|σ(e)|−1(e)

où, pour touti∈ {0,1, . . . ,|σ(e)| −1},σ_iest une application deEdansE.

L’applicationσest ensuite étendue au monoïdeE^∗ et àE^ω par concaté- nation. Lorsque|σ(e)|est constant surE, on dit queσest unesubstitution de longueur constante.

Le terme de «substitution» provient du fait que l’action deσsur un mot fini ou infini consiste à substituer chaque lettre par son mot-image parσ.

Par la suite, nous allons nous intéresser aux propriétés des mots infinis à valeurs dansEqui sontpoint fixes de substitutions de longueur constante, c’est-à-dire aux mots infinismqui vérifient σ(m) =m, pour des substitu- tionsσde longueur constante et aux projections lettre-à-lettre sur un autre alphabet de ces points fixes.

Pour cela, il est nécessaire de garantir l’existence de mots infinis points fixes de nos substitutions. On supposera donc qu’il existe au moins un élément e0 de E tel que σ(e0) ∈ e0E^∗. Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu’une substitution de longueur constante q >2 admette au moins un point fixe qui ne soit pas le mot vide.

2.2. Vision automatique

Définition 2.2. — Unq-automate déterministeAest un quintuplet du typeA= (E, e0, φ, A,Π), où :

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– E est un alphabet fini ou dénombrable, appelé ensemble des états, – e0 est un élément deE, appelé état initial,

– φest une application deE× {0,1, . . . , q−1}dansE appeléefonction de transition,

– A est un alphabet fini ou dénombrable,

– Π est une fonction deE versAdonnée, appelée projection de sortie.

L’automate Asera qualifié de finioudénombrableselon que l’ensemble des étatsE est fini ou dénombrable.

On représente en général un automate par un graphe étiqueté, dont l’ensemble des sommets est E et l’ensemble des arcs orientés est donné par (e, e⁰, i)∈E²× {0,1, . . . , q−1}|φ(e, i) =e⁰ , les éléments (e, e⁰, i) étant symbolisés par des flèches deeverse⁰ étiquetées pari.

Pour tout (e, i) de E × {0,1, . . . , q −1}, on pose φ(e, i) = e·i et on prolongeφen une application deE×NdansEde la manière suivante : si n^q=n_l· · ·n₁n₀est la représentation en baseqden∈N, l’action densur un élémentedeE est donnée par l’action successive de ses chiffres :

e·n= (((e·nl)· · ·)·n1)·n0.

On appellemot de sortie de l’automateAle motµ(A), défini parµ(A)n= Π(e0·n)pour tout entiern>0.

2.3. Correspondance entre substitutions et q-automates

Il existe une correspondance entre les q-automates déterministes dont l’ensemble des états estEet les substitutions de longueur constanteq sur l’alphabetE (voir [11]). Cette correspondance est analogue à celle décrite par Cobham [5] dans le cas oùE est un alphabet fini.

En effet, siσ est une substitution sur un alphabetE, définie comme au paragraphe 2.1, il existe un graphe étiquetéG(σ), associé naturellement àσ, dont l’ensemble des sommets estEet l’ensemble des arcs orientés et étique- tés est donné par l’ensemble

(e, e⁰, i)∈E²× {0,1, . . . , q−1}, σi(e) =e⁰ . Les arcs étiquetés sont représentés sur le graphe par des flèches dee vers e⁰ indexée pari.

Lorsque la substitutionσest de longueur constante, le grapheGσassocié àσest exactement le graphe associé à l’automateA_σ = E, e₀, φ_σ, E, Id_E

, où :

– l’ensemble des états estE, – l’état initial est e0,

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– la fonction de transitionφ_σ est donnée par :∀i∈ {0,1. . . , q−1},∀e∈ E,φσ(e, i) =σi(e).

De plus, siσadmet un point fixemcontenu danse₀E^ω,mest exactement le mot de sortie de l’automateAσ :

m=σ(m) =µ(Aσ).

On retrouvera d’ailleurs ce résultat comme corollaire de la proposition 3.1.

L’étude de ces mots peut donc être envisagée sous les deux éclairages diffé- rents : comme point fixe de substitution de longueur constanteqou comme mot de sortie d’unq-automate.

Notation 2.3. — Soient E et A deux alphabets finis ou dénombrables.

Siσ est une substitution donnée sur l’alphabetE et Π est une projection lettre-à-lettre deEversA, on note donc(E, e0, φσ, A,Π)l’automate associé àσ.

2.4. Mots infinis engendrés par un q-automate dénombrable Définition 2.4. — On dit qu’une projection lettre-à-lettreΠ d’un al- phabet dénombrableE vers un alphabet finiAestadmissibles’il existe un sous-ensemble finiF deEtel que la restriction deΠàErF est constante.

Définition 2.5. — Soitσ une substitution de longueur constanteq à valeurs dans un alphabetE qui admet un point fixe mdanse₀E^ω.

On dit qu’un mot infini m à valeurs dans A est engendré par le q- automate dénombrable (E, e₀, φ_σ, A,Π) si A est un alphabet fini, Π est une projection admissible et m est la projection par Π du point fixe m deσ.

L’objet de notre travail est de majorer la fonction de complexité des mots infinismengendrés par desq-automates dénombrables.

2.5. Pourquoi introduire ces objets ?

Les automates, les langages reconnus par un automate, les mots infinis qu’ils engendrent et les langages associés à ces mots sont des objets qui apparaissent en mathématiques et en informatique dans plusieurs domaines : théorie des langages [19] , logique [16], théorie des codes [3], arithmétique et théorie des nombres [2], [17], mais aussi en physique théorique, en bio- logie et neurobiologie, etc... Ce sont notamment des outils utiles pour la

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recherche de motifs dans une séquence, les modélisations de systèmes de communications ou le codage de systèmes dynamiques.

Du point de vue de la théorie des nombres, ces objets sont utiles car on peut associer à un mot infini des ensembles d’entiers de la manière suivante : pour mmot infini à valeurs dans un alphabet fini A et a une lettre fixée deA, on appelle support dea l’ensemble [m]a défini par [m]a ={n∈ N, mn=a}.

La nature du motminduit des propriétés combinatoires et arithmétiques sur les ensembles[m]apoura∈A. Voir [2], [11], [18] et le chapitre 4 de [17].

En particulier, il existe une correspondance entre les mots infinis bi- naires définis par unq-automate fini et certains sous-ensembles deN, dits ensemblesq-reconnaissables (voir par exemple [2]).

Étant donné un q-automate fini fixé, le motm indicateur de l’ensemble Rdes entiers dont la représentation en baseq est reconnaissable par l’automate est un motq-automatique.

La complexité demquantifie alors, en quelque sorte, le caractère aléatoire de la répartition des entiers deR.

Par exemple, l’ensemble des entiers qui ont un nombre pair de 1 dans leur écriture binaire est2-reconnaissable : le mot de sortiemdu2-automate suivant est exactement le mot indicateur de cet ensemble (mn = 1 si na un nombre pair de1 dans son écriture binaire etmn= 0sinon).

PSfrag replacements

a

action de 0 action de 1 b

1

La fonction de sortie est donnée parΠ(a) = 1et Π(b) = 0.

Le mot de sortie mest le mot de Thue-Morse.

Ce mot infini peut aussi être vu projection par Π du point fixe infini commençant parade la substitution sur{a, b}suivante :

σ: a 7→ ab, b 7→ ba.

La complexité du motmest donnée par [4] :pm(1) = 2,pm(2) = 4et pour toutn>3, sin= 2^r+q+ 1 avecr>0 etq∈[1,2^r]alors :

p_m(n) =

(62^r−1+ 4q si16q62^r−1, 82^r−1+ 2q si2^r−1+ 16q62^r.

Lesq-automates finis sont cependant inutilisables pour décrire des sous- ensembles de N définis par des propriétés de leur écriture en base q où interviennent certains processus de comptage.

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Par exemple, si on considère l’ensemble des entiers S qui ont autant de 0 que de 1 dans leur écriture binaire, le mot indicateur de cet ensemble, c’est-à-dire le mot infinimtel quem_n= 1si nappartient à S et m_n = 0 sinon, n’est pasq-automatique.

Cependant, ce mot est le mot de sortie de l’automate (Z∪ {e0}, e0, φ, {0,1},Π), dont le graphe est le suivant :

PSfrag replacements

e0

action de 0 action de 1

−2 −1 0 1 2 3

1

la fonction de sortie étant donnée par :

Π : Z∪ {e0} → {0,1}

0 7→ 1

e6= 0 7→ 0.

On peut aussi voir le mot indicateur de cet ensemble comme la projection parΠdu point fixe de la substitution suivante :

σ: Z∪ {e₀} → Z^∗∪ {e₀1}

e 7→ (e−1)(e+ 1) e0 7→ e01.

S. Ferenzci a étudié les propriétés dynamiques de cette substitution dans [8].

L’applicationσs’étend au monoïde(Z∪ {e0})^∗par concaténation. On a rajouté ici un élémente0 pour que la substitutionσpuisse avoir un point fixem, contenu danse₀Z^ω:

m=e0102(−1)113(−2)0020224(−3)(−1)· · ·

La mot indicateur de S est donné par la projectionm= Φ_{0}(m): m= 0010000001101000· · ·

On montre, au paragraphe 4.1, que la complexité de ce mot infini est au plus de l’ordre denlog²₂n. On trouvera dans [12] et [11] l’étude de certaines propriétés arithmétiques et statistiques de l’ensembleS.

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3. Propriétés d’un point fixe de substitution de longueur constante q sur un alphabet dénombrable

Soient E un alphabet dénombrable et q fonctions σ_i : E → E avec i= 0, . . . , q−1et soitσla substitution définie, comme au paragraphe 2.1, surEparσ(e) =σ₀(e)σ₁(e)· · ·σ_q−1(e).

La substitutionσa un point fixemdanse0E^ωdont on se propose d’étu- dier ici les propriétés.

Proposition 3.1. — Pour un élément e donné deF1(m)et un entier k>1, le motσ^k(e) =u0u1· · ·u_qk−1 vérifie :

∀n∈ {0,1, . . . , q^k−1}, un =σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_l◦σ^k−(l+1)₀ (e), oùn^q =nl· · ·n1n0 est la représentation denen baseq.

Démonstration. — On remarquera avant toute chose que, σ étant une substitution de longueur constante, pour tout eappartenant à E et tout entierk>0, le motσ^k(e)est de longueurq^k.

Cette proposition se démontre par récurrence surk.

L’initialisation au rang k = 1 découle de la définition de σ, carσ(e) = σ0(e)σ1(e)· · ·σ_q−1(e).

Supposons que pour k>1 fixé, quel que soit l’élément e⁰ de E, le mot σ^k(e⁰) =u0u1· · ·u_qk−1 vérifie :∀n∈ {0,1, . . . , q^k−1}, un =σn₀◦σn₁◦

· · · ◦σn_l◦σ^k−(l+1)₀ (e⁰),

Soiteun élément deE. On posew=σ^k+1(e). Commeσest une substitution,w=σ^k(σ(e)), on a donc l’égalitéw=σ^k(σ0(e)σ1(e)· · ·σq−1(e)) = σ^k(σ0(e))σ^k(σ1(e))· · ·σ^k(σ_q−1(e)).

Soit n ∈ {0,1, . . . , q^k+1 −1} et n^q = n_l· · ·n₁n₀ sa représentation en baseq.

Si l < k, c’est-à-dire sin∈[0, q^k−1], w_n est en fait lan-ième lettre de σ^k(σ0(e))et donc, grâce à l’hypothèse de récurrence, on obtient

w_n=σ_n₀◦σ_n₁◦ · · · ◦σ_n_l◦σ^k−(l+1)₀ (σ₀(e))

=σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_l◦σ^k+1−(l+1)₀ (e).

Si l = k, alors wn est la (n−nkq^k)-ième lettre de σ^k(σn_k(e)) et en utilisant une nouvelle fois l’hypothèse de récurrence, on obtient

wn=σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_k−1(σn_k(e)) =σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_k−1◦σn_k(e).

On a donc bien, pour toutn∈ {0,1, . . . , q^k+1−1}, wn =σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_l◦σ^k+1−(l+1)₀ (e).

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L’hypothèse de récurrence passe donc bien au rang k+ 1, ce qui permet de valider le résultat de la proposition pour tout entierk.

Corollaire 3.2. — Soientmle point fixe d’une substitutionσde lon- gueur constanteqcontenu danse0E^ωetµ(A)le mot de sortie de l’automate A= (E, e0, φ_σ, E, IdE), défini au paragraphe 2.3.

On a l’égalitém=µ(A).

Démonstration. — Il suffit de remarquer que, puisque m= σ(m)et m est contenu danse₀E^ω,e₀=σ(e₀)etmest aussi contenu dansσ^k(e₀)E^ω, et cela, pour tout entierk.

Soitnun entier et soitkun entier tel quen6q^k−1. Soitn^q =n_l· · ·n₁n₀ la représentation denen baseq. La lettremn est donc lan-ième lettre de σ^k(e0). D’après la proposition 3.1, on en déduit quemn=σn₀◦σn₁◦ · · · ◦ σn_l◦σ^k−(l+1)₀ (e0). Comme σ0(e0) =e0, on obtientmn =σn₀ ◦σn₁◦ · · · ◦ σ_n_l(e₀).

D’après la définition de la fonction de transition de A, on a doncmn= e₀·n, ce qui permet de conclure quem_n =µ(A)_n pour tout entiern.

Proposition 3.3. — Soit(e1, . . . , eq−1)∈E^q−1tel queσ(e0) =e0e1· · · e_q−1.

Le mot x₁x₂ est dansF₂(m)si et seulement si un des 4 cas suivants se produit :

1. x1x2=e0e1,

2. ∃k>0,∃i∈ {1, . . . , q−2}, x1=σ^k_q−1(ei)et x2=σ^k₀(ei+1), 3. ∃k>0,x1=σ^k_q−1(eq−1)et x2=σ^k+1₀ (e1),

4. ∃k > 0,∃j ∈ {0,1, . . . , q−2}, x1 ∈F1(m), x2 ∈ σ^k₀ ◦σj+1◦σ⁻¹_j ◦ σ^−k_q−1({x1}).

Démonstration. — Cette proposition se montre en utilisant la réécriture dem suivante :

m=e0e1· · ·e_q−1σ(e1)· · ·σ(e_q−1)σ²(e1)· · ·σ²(e_q−1)· · · , cette égalité découlant directement du fait queσ(m) =m.

Si x1x2est un mot dem, différent dee0e1, alors il y a 2 possibilités : (a) le motx1x2apparaît dansmà une charnièreσ^k(ej)σ^k(ej+1)ou à une

charnière du typeσ^k(e_q−1)σ^k+1(e1)pour un certain entier positifk, (b) le motx₁x₂est à l’intérieur d’unσ^k(e_j)pour un certain entier positif

ket un certain entierj∈ {0,1, . . . , q−2}.

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(a) Si on trouve x₁x₂ à une charnièreσ^k(e_j)σ^k(e_j+1), alors il existe un k > 0 tel que x1 = σ^k_q−1(ej) et x2 = σ^k₀(ej+1). C’est une conséquence de la proposition 3.1 et cela correspond au deuxième cas de figure de la proposition.

De même, si on trouve x1x2 à une charnièreσ^k(e_q−1)σ^k+1(e1), alors il existe unk>0tel quex1=σ^k_q−1(eq−1)etx2=σ^k+1₀ (e1). Cela correspond au troisième cas de figure de la proposition.

(b) Six1x2apparaît dansmà l’intérieur d’unσ^k(ej). La proposition 3.1 permet de dire qu’il existe un entier06n < q^k−1tel quex₁x₂ est donné par :

x1=σn₀◦σn₁◦ · · · ◦σn_l◦σ^k−(l+1)₀ (ej) et

x2=σ_(n+1)₀◦σ_(n+1)₁◦ · · · ◦σ_(n+1)_l◦σ^k−(l

0+1) 0 (ej),

avecn^q =n_l· · ·n₁n₀etn+ 1^q = (n+ 1)_l⁰· · ·(n+ 1)₁(n+ 1)₀avecl6ket l⁰ =l oul+ 1selon le cas.

Sin₀=jpour un certainj∈{0,1, . . . , q−2}, on an+ 1^q =n_l· · ·n₁(j+1) et doncx2∈σj+1◦σ⁻¹_j ({x1}).

Si n_k⁰· · ·n₁n₀ = j(q−1)· · ·(q−1) pour un certain k⁰ 6 l−1 et un certainj∈ {0,1, . . . , q−2}, on a alorsn+ 1^q =nl· · ·nk⁰+1(j+ 1)0· · ·0et doncx2∈σ^k₀⁰ ◦σj+1◦σ⁻¹_j ◦σ^−k_q−1⁰({x1}).

Si n^q = (q−1)· · ·(q−1), alors l6k−1 car on se trouve à l’intérieur d’unσ^k(ej)et|n+ 1|2= 10· · ·0avecl⁰=l+ 1, et on ax2∈σ^l₀◦σ1◦σ⁻¹₀ ◦ σ^−l_q−1({x₁}).

Pour tout entiernde{0,1, . . . , q^k−2}, on est dans le quatrième cas de figure de la proposition : pourk fixé, tous les motsx1x2 qui apparaissent dans σ^k(e_j) vérifient x₂ ∈ σ^k₀⁰ ◦σ_j+1◦σ⁻¹_j ◦σ^−k_q−1⁰({x₁}) pour un certain

k⁰∈ {0,1, . . . , k−1}.

4. Exemples de majoration de la complexité de mots engendrés par unq-automate dénombrable

Dans ce paragraphe, nous présentons quatre exemples de majoration de la complexité pour des mots engendrés par desq-automates dénombrables.

Au termelog^p_q(n) près, les majorations obtenues sont optimales pour les trois premiers exemples. Des simulations informatiques tendent à montrer que c’est également le cas pour le quatrième.

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Notation 4.1. — Pour une substitution σ de longueur constante q sur un alphabet dénombrable E telle que σ(e) =σ0(e)σ1(e)· · ·σ_q−1(e), pour toute∈E, on note

Zk(e) = [

(j₁,...,j_k)∈{0,1,...,q−1}^k

σ⁻¹_j

1 ◦ · · · ◦σ⁻¹_j

k ({e}).

D’autre part, pour faciliter la lecture des preuves, on notera, pour une substitutionσsur un alphabet dénombrable etΠune projection admissible, quel que soit l’entierk>1,σ^k= Π◦σ^k.

4.1. Exemple 1

Résultat 4.2. — La substitution de l’ivrogne est définie comme suit : σ: Z∪ {e0} → Z²∪ {e01}

e 7→ (e−1)(e+ 1) e0 7→ e01.

Soitmle mot infini engendré par le2-automate(Z∪ {e0}, e0, φσ,{0,1},Π0) où la projectionΠ₀:Z∪ {e₀} → {0,1}est définie parΠ⁻¹₀ ({1}) ={0}.

On a la majoration de la complexité de msuivante :

∀n>1, pm(n)6n(log₂n+ 9)(log₂n+ 2).

La proposition 3.3 devient, dans ce cas simple :

Lemme 4.3. — Soitmle mot infini point fixe deσcontenu danse0Z^ω. Les facteurs dem de longueur 2 sont donnés par :

F2(m) ={e01} ∪

e1e2, e1∈Z, e2=e1−2p, p>−1

oue2=−e1+ 1 sie1>0 . Quelques remarques préliminaires : une infinité d’itérés σ^k(e) se projettent parΠ₀ sur0²^k. En effet, les lettres de σ^k(e)sont parmi les entiers de l’intervalle[e−k, e+k]. Plus précisément :

1. Si e et k sont de même parité, toutes les valeurs entières paires de [e−k, e+k], et uniquement elles, apparaissent dansσ^k(e).

2. Sieetksont de parités différentes, toutes les valeurs entières impaires de[e−k, e+k], et uniquement elles, apparaissent dansσ^k(e).

(14)

Ce résultat se montre par récurrence sur k et permet d’affirmer : σ^k(e)6= 0²^k ⇔0apparaît dansσ^k(e)⇔ ∃p∈ {0,1, . . . , k}, e=k−2p.

Si west un mot demde longueur2^k, ce mot est inclus dans un certain σ^k(e₁)σ^k(e₂). Cependant, il peut exister une infinité de paires(e⁰₁, e⁰₂)telles queσ^k(e⁰₁)σ^k(e⁰₂)contiennentw, notamment celles dont les projections par Π0des itérés sont les mêmes.

Lemme 4.4. — On note, pourk>1 : Uk={e0,1} ∪n

(k−2q, k−2p), (q, p)∈N²∩[−1, k]

×[0, k+ 1]r{(−1, k+ 1)}, p>q−1o . Soitw un mot de mde longueur 2^k. Alors, il existe un couple (e₁, e₂) de Uk tel que west un sous-mot deσ^k(e1)σ^k(e2).

Démonstration. — Il existe une paire deUkqui convient pour le mot0²^k, par exemple :σ^k(k)σ^k(−k) = 10²^k+1⁻²1.

Soit w un mot de m de longueur 2^k différent de 0²^k. Par définition de m, il existe au moins une paire(e₁, e₂)pour laquellewest un sous-mot de σ^k(e1)σ^k(e2).

Lorsque e1e2 est différent de e01, comme west différent de 0²^k, σ^k(e1) ouσ^k(e₂)contient des occurrences de1 et donc la lettree₁ou la lettree₂ appartient à[−k, k]∩Net peut s’écrirek−2qavecqdans[0, k]∩N.

Supposons que e₁=k−2q avecq dans[0, k]∩N. D’après le lemme 4.3, on a forcémente2=e1−2pavecp>−1oue2=−e1+ 1sie260. Selon le cas, on obtient des paires deU_k différentes :

– si e2 =e1−2pet e2 est dans[−k, k]∩N, la paire (e1, e2)appartient bien àUk.

– si e₂ = −e1+ 1 ou e₂ = e₁ −2p n’est pas dans [−k, k]∩N, alors σ^k(e2) = 0²^k et doncσ^k(e2) =σ^k(−k−2).

Le lemme 4.3 nous assure quee₁(−k−2) est bien un mot deF₂(m)qui vérifie :west inclus dansσ^k(e1)σ^k(−k−2)et(e1,−k−2)appartient àUk. Supposons maintenant quee2=k−2qavecqdans[0, k]∩N. D’après le lemme 4.3, deux cas de figure sont possibles :e1=e2+ 2pavecp>−1ou e1=−e2+ 1, uniquement sie2<0. Selon le cas, on obtient des paires de Uk différentes :

– sie1=e2+ 2pete1est dans[−k, k]∩N, la paire(e1, e2)est dansUk. – si e₁ = −e₂−1 ou e₁ = e₂+ 2p n’est pas dans [−k, k]∩N, on a σ^k(e1) = 0²^k =σ^k(k+ 2). Le lemme 4.3 nous assure que(k+ 2)e2est

(15)

un mot de F₂(m) qui vérifie w est inclus dans σ^k(k+ 2)σ^k(e₂) et le couple (k+ 2, e2)est dansUk,

On a donc trouvé pour chaque motwdem, une paire de l’ensembleU_kqui

convient.

Démonstration du résultat 4.2. — Tout mot de m de longueur2^k est inclus dans un certain motσ^k(e₁)σ^k(e₂) avec(e₁, e₂)dans l’ensemble U_k. On a donc l’inégalité :pm(2^k)62^k·Card(Uk)où2^k représente le nombre de places différentes où on est susceptible de trouver un mot nouveau de longueur2^kdans lesσ^k(e1)σ^k(e2)etCard(Uk)représente le cardinal deUk. Comme

Card(Uk) = 1 + (k+ 1) + (k+ 2) +

k+2

X

i=3

i= k²+ 9k+ 8

2 ,

on obtient :

p_m(2^k)62^kk²+ 9k+ 8

2 et p_m(2^k+1)62^k+1k²+ 11k+ 18

2 .

En utilisant le fait que la fonction de complexité est une fonction croissante et que, pour tout entier n de [2^k,2^k+1[, log₂(n) appartient à l’intervalle [k, k+ 1[, on obtient :

∀n>1, pm(n)6n(log₂n+ 9)(log₂n+ 2),

c’est-à-dire la majoration annoncée pourpm(n).

4.2. Exemple 2

Résultat 4.5. — Soitσla substitution suivante σ: Z∪ {e₀} → Z²∪ {e₀2}

e 7→ (e−1)(e²) e0 7→ e02.

Soitmle mot infini engendré par le2-automate(Z∪ {e0}, e0, φσ,{0,1},Π0) où la projectionΠ₀:Z∪ {e0} → {0,1}est définie parΠ⁻¹₀ ({1}) ={0}.

La complexité demadmet la majoration suivante :

∀n>2, pm(n)62n log₂n+p

log₂n+ 1 + 32

. Pour démontrer ce résultat, on introduit les notations suivantes : – les polynômesP0(X) =X−1et P1(X) =X²,

– l’ensemble de polynômesFk=

Pi₁◦ · · · ◦Pi_k,∀j∈[1, k],ij∈{0,1} , – l’ensemble de nombres entiers Rk =

n∈N,∃P∈Fk, P(n) = 0 .

(16)

Lemme 4.6. — Pour tout k>1, l’ensemble Rk est inclus dans l’inter- valle[−√

k, k].

En particulier,Card(R_k)6k+√ k+ 1.

Démonstration. — On procède par récurrence forte.

Pour k= 1, on a F1=

X−1, X² etR1={0,1}, donc l’ensembleR1

est bien inclus dans l’intervalle[−1,1].

Supposons maintenant, pour k > 2 et tout p 6 k−1, que l’ensemble Rp soit inclus dans[−√

p, p]. SoitP un polynôme deFk. Par définition de l’ensembleF_k, il existe q dans [1, k] et deux q-uplets d’entiers positifs ou nuls(α1, . . . , αq)et(β1, . . . , βq)tels que :

(1) les couples(α₁, β₁)et(α_q, β_q)sont différents de(0,0), (2) pour tout 26i6q−1,α_i etβ_i sont non nuls, (3) Pq

i=1αi+βi=k,

(4) P =P₀^α^q◦P₁^β^q◦ · · · ◦P₀^α¹◦P₁^β¹.

On va discuter, selon les q-uplets (α₁, . . . , α_q) et (β₁, . . . , β_q), de l’empla- cement des racines entières du polynômeP :

– Siα1=k, alorsP(X) =X−kdoncP a une unique racine entièrek.

– Siβ₁=k, alorsP(X) =X²^k doncP n’a qu’une racine entière0.

– Si α1+β1 = k, avec α1 > 1 et β1 > 1 (dans ce cas, q = 1) alors P(X) =X²^β¹ −α₁. Le polynômeP a deux racines réelles±²^β√¹

α₁ qui ne sont pas forcément des valeurs entières, mais qui, dans tous les cas sont contenues dans l’intervalle[−√

k,√ k].

Pour tous les autres q-uplets (α₁, . . . , α_q) et (β₁, . . . , β_q) vérifiant les conditions ci-dessus, on va pouvoir utiliser l’hypothèse de récurrence : dire que l’entiernest racine du polynômeP =P₀^α^q◦P₁^β^q◦· · ·◦P₀^α¹◦P₁^β¹revient à dire queP₀^α¹◦P₁^β¹(n)est racine du polynômeQ=P₀^α^q◦P₁^β^q◦· · ·◦P₀^α²◦P₁^β². OrQest un polynôme de l’ensembleF_k−(α₁_+β₁₎, et donc

−p

k−(α₁+β₁)6n²^β¹ −α₁6k−(α₁+β₁).

Ainsi, pour tous les couples (α1, β1) tels que α1+β1 < k, l’entier n appartient à [−√

k, k]. On a montré que, quel que soit le polynôme P de Fk, ses racines sont dans l’intervalle[−√

k, k], ceci est donc, en particulier, vrai pour les racines entières des éléments deFk, c’est-à-dire les éléments

deRk.

Démonstration du résultat 4.5. — On va majorer, dans un premier temps,p_m(2^k)pour unkfixé, puis étendre cette majoration à toutn >0.

Soitmle mot infini point fixe de σcontenu danse0Z^ω.

(17)

La majoration de la complexité demest basée sur l’étude des motsσ^k(e), pouredansF1(m), c’est-à-dire pouredansZ, qui sont différents de0²^k.

Un mot donnéwdemde longueur2^kprovient, par définition, d’un motw demde longueur2^k. Ce motwest un sous-mot d’un certainσ^k(e1)σ^k(e2).

On va majorer le nombre deσ^k(e)qui se projettent sur des mots différents de0²^k.

En conséquence directe du lemme 3.1, on a l’équivalence : 1 apparaît dansσ^k(e)⇔0apparaît dansσ^k(e)

⇔e∈ [

(j₁,...,j_k)∈{0,1}^k

P_j⁻¹

1 ◦ · · · ◦P_j⁻¹

k {0},

ce que l’on peut traduire par

1apparaît dansσ^k(e) ⇐⇒ e∈ Rk. Ainsi, on obtient l’inégalité :

Card {e∈Z, 1 apparaît dansσ^k(e)}

6Card(Rk).

On a donc au plusk+√

k+ 1mots du typeσ^k(e)dont la projection parΠ0

est différente de0²^k, donck+√

k+ 2possibilités de projections différentes pourσ^k(e₁)etσ^k(e₂).

Comme chaque projection σ^k(e1)σ^k(e2) peut contenir au plus 2^k nou- veaux mots différents de longueur2^k, on a la majoration suivante :

∀k >1, p_m(2^k)62^k(k+√

k+ 2)².

Comme, pour 2^k 6 n < 2^k+1, on a pm(2^k) 6 pm(n) 6 pm(2^k+1), on obtient :

∀n>1,2^k6n <2^k+1, p_m(n)62^k+1(k+√

k+ 1 + 3)²,

et donc, en utilisant le fait que, pour tout entierncontenu dans[2^k,2^k+1[, on ak6log₂n < k+ 1:

∀n>1, pm(n)64n((log₄n+ 1)(log₄n+ 3)(log₄n+ 5) + 4),

ce qui termine la preuve.

(18)

4.3. Exemple 3

Résultat 4.7. — On considère la substitution associée à la «marche aléatoire» surZ² :

σ: Z²∪ {e₀} → Z²∪ {e₀}⁴

e= (a, b)6=e0 7→ (a, b−1)(a−1, b)(a+ 1, b)(a, b+ 1) e0 7→ e0(−1,0)(1,0)(0,1)

Soitmle mot infini engendré par le4-automate Z²∪{e0}, e0, φσ,{0,1},Π0 où la projectionΠ0:Z∪ {e0} → {0,1}est définie parΠ⁻¹₀ ({1}) ={(0,0)}.

La complexité du mot madmet la majoration suivante :

∀n>1, pm(n)62n(log₄n+ 1)

3 4 log²₂n+ 23 log₄n+ 6 . Le graphe de l’automate associé à la substitution σest donné par :

!!

""## $$%% &&''

(()) **++

,,--

..// 0011 2233

4455 6677

8899

::;;

PSfrag replacements

e₀ action de 0

action de 1 action de 2 action de 3

(0,0)

1

Lemme 4.8. —Soitmle mot infini point fixe deσcontenu danse0 Z²^ω . Le mote₁e₂est dansF₂(m)si et seulement si un des 4 cas suivants se pro- duit :

(1) e1e2=e0(−1,0),

(2) ∃k⁰ > 0 tel que e1 = (−1, k⁰) et e2 = (1,−k⁰) ou e1 = (1, k⁰) et e₂= (0,1−k⁰),

(3) ∃k⁰>0,e1= (0, k⁰+ 1)et e2= (−1,−k⁰−1),

(19)

(4) ∃k⁰ > 0, e₁ = (a, b) ∈ F₁(m) et e₂ = (a−1, b−2k⁰ + 1) ou (a+ 2, b−2k⁰).

Ce lemme est essentiellement une réécriture de la proposition 3.3. L’éga- lité du point 4. provient du quatrième cas de la proposition 3.3, avec les simplifications suivantes :

σ1◦σ⁻¹₀ ((a, b)) =σ3◦σ⁻¹₂ ((a, b)) = (a−1, b+ 1)et σ2◦σ⁻¹₁ ((a, b)) = (a+ 2, b).

Démonstration du résultat 4.7. — Soit k > 2 un entier fixé. On va majorer la complexité au rang4^k.

Tout mot demde longueur4^k est inclus dans un mot de longueur4^k+1 du typeσ^k(e1)σ^k(e2), on va donc majorer le nombre de mots de deux lettres e1e2tels queσ^k(e1)σ^k(e2)est différent de0⁴^k+1. Pour cela, on va distinguer deux cas :

(a) un seul des deux motsσ^k(e1)etσ^k(e2)contient des occurrences de1, (b) les deux motsσ^k(e1)et σ^k(e2)contiennent des occurrences de1.

Dans le cas (b), pour majorer le nombre de mots e1e2, on distinguera ensuite six sous-cas, en accord avec le lemme 4.8.

On commence par remarquer que le motσ^k(e), pour un élémente= (a, b) deZ², contient des occurrences de 0si et seulement si |a|+|b|6ket que (a+b)est de même parité que k; d’autre part, σ^k(e0) contient aussi des occurrences de0 uniquement quandkest pair. Cette «perturbation», due à l’état initial e0 nécessite une disjonction des cas selon la parité de k.

Cependant, comme l’élémente0n’intervient que rarement dans la démons- tration, la disjonctionkpair/kimpair sera intégrée aux différents sous-cas uniquement lorsqu’elle sera nécessaire, pour éviter d’alourdir d’avantages la preuve. On retiendra néanmoins que

Zk((0,0)) =

((a, b)∈Z², |a|+|b|6k, a+bimpair sik est impair, (a, b)∈Z², |a|+|b|6k, a+bpair ∪ {e0} sik est pair.

et aussi :

Card (Zk((0,0))) =

((k+ 1)² sikest impair, (k+ 1)²+ 1 sikest pair.

On peut donc maintenant majorer le nombre de motse1e2en distinguant les deux cas annoncés :

(a) Majoration du nombre de motse₁e₂tels que seulement un des mots σ^k(e1)ouσ^k(e2)contient des occurrences de1:

(20)

Lorsque k est impair, comme il existe(k+ 1)² éléments différents dans Zk((0,0)). On peut donc construire de cette manière, au pire, 2(k+ 1)² motsσ^k(e₁)σ^k(e₂)différents entre eux et différents de0⁴^k+1.

Lorsque k est pair, on peut former (k+ 1)²+ 1 mots du type σ^k(e1) contenant des occurrences de1 et seulement(k+ 1)²mots du typeσ^k(e2) contenant des occurrences de1, puisque la lettree₀ apparaît une seule et unique fois au début du motm. On peut donc construire de cette manière, au pire,2(k+ 1)²+ 1motsσ^k(e₁)σ^k(e₂)différents entre eux et différents de0⁴^k+1.

On pose

N₀(k) =

(2(k+ 1)² sikest impair, 2(k+ 1)²+ 1 sikest pair.

(b) Majoration du nombre de motse1e2tels que les deux motsσ^k(e1)et σ^k(e₂)contiennent des occurrences de1:

Le lemme 4.8 permet les de classer les mots de deux lettres e1e2 de m de la manière suivante :

1. e1e2=e0(−1,0),

2. ∃k⁰>0 tel quee1= (−1, k⁰)et e2= (1,−k⁰), 3. ∃k⁰>0 tel quee1= (1, k⁰)ete2= (0,1−k⁰), 4. ∃k⁰>0,e1= (0, k⁰+ 1)et e2= (−1,−k⁰−1),

5. ∃k⁰>0, e1= (a, b)∈F1(m)ete2= (a−1, b−2k⁰+ 1), 6. ∃k⁰>0, e1= (a, b)∈F1(m)et(a+ 2, b−2k⁰).

En explorant ces différents cas de figure, on va majorer le nombre de motse1e2 de F2(m) tels que les deux itérés σ^k(e1)et σ^k(e2)contiennent des occurrences de1dans chacun des six cas ci-dessus.

1. Si e1e2 =e0(−1,0), les deux itérés σ^k(e1) et σ^k(e2) ne peuvent pas contenir simultanément des occurrences de1 pour kfixé. En effet, σ^k(e0) contient des occurrences de1 uniquement lorsquekest pair etσ^k((−1,0)) contient des occurrences de1uniquement lorsquekest impair. Par consé- quent, le mote1e2=e0(−1,0)ne donne pas d’itéréσ^k(e1)σ^k(e2)différent de0⁴^k+1 pour lequelσ^k(e₁)etσ^k(e₂)contiennent des occurrences de1.

2. S’il existe k⁰ >0 tel que e1 = (−1, k⁰)et e2 = (1,−k⁰), alors chaque k⁰ de [0, k]∩N crée un mot e₁e₂ de F₂(m), mais les deux itérés σ^k(e₁) et σ^k(e2) contiennent des occurrences de 1 uniquement lorsque k⁰ est de parité différente de celle quek. On peut donc former de cette manière, au pire,N2(k)motsσ^k(e1)σ^k(e2)différents et différents de0⁴^k+1 pour lesquels

(21)

σ^k(e₁)et σ^k(e₂)contiennent des occurrences de1, avec N2(k) =

((k+ 1)/2 sikest impair, k/2 sikest pair.

3. S’il existe k⁰ >0 tel quee₁ = (1, k⁰) et e₂= (0,1−k⁰), alors chaque k⁰ de [0, k]∩N crée un mot e1e2 de F2(m), mais les deux itérés σ^k(e1) et σ^k(e2) contiennent des occurrences de 1 uniquement lorsque k⁰ est de parité différente de celle quek. On peut donc former de cette manière, au pire,N3(k)motsσ^k(e1)σ^k(e2)différents et différents de0⁴^k+1 pour lesquels σ^k(e₁)et σ^k(e₂)contiennent des occurrences de1, avec

N3(k) =

((k+ 1)/2 sikest impair, k/2 sikest pair.

4. S’il existe k⁰ >0 tel quee1= (0, k⁰+ 1) ete2 = (−1,−k⁰−1), alors, comme(k⁰+ 1)et (−k⁰−2) sont de parité différentes quel que soitk⁰, les itérésσ^k(e1)etσ^k(e2)ne peuvent pas contenir tous les deux des occurrences de1. On ne peut donc former de cette manière, aucun motσ^k(e₁)σ^k(e₂) différent de0⁴^k+1 pour lequelσ^k(e1)et σ^k(e2)contiennent des occurrences de1.

5. Supposons que l’on puisse écrire le mot e1e2 de manière à ce que, pour un certaink⁰ >0,e2= (a−1, b−2k⁰+ 1). Puisquee1et e2 doivent être dansZk((0,0)) (pour que les itérésσ^k(e1) et σ^k(e2) contiennent des occurrences de1), on peut donc majorer le nombre de motse1e2de ce type par le cardinal, notéN₅(k), de l’ensemble :

U5(k) =n

(a, b, k⁰)∈Z²×N, (a, b),(a−1, b−2k⁰+ 1)

∈ Zk((0,0))²o . Pour calculer le cardinal de cet ensemble, on utilise le fait que poure1= (a, b)fixé dansZk((0,0)), les éléments du typee2= (a−1, b−2k⁰+ 1)sont les points entiers de la demi-droite verticale issue du pointe⁰₂= (a−1, b+1): De cette manière, lorsquee₁= (a, b)décrit Z_k((0,0)), en dénombrant à chaque fois les pointse2= (a−1, b−2k⁰+ 1)qui sont aussi dansZk((0,0)), on obtient la formule suivante pourN5(k):

N5(k) =

k

X

i=1

(i+ 1)(k+ 1−i) +

i

X

j=0

j

+

k

X

j=1

j= k(k+ 4)(k−1)

3 .

Ce calcul s’effectue en regroupant les élémentse1 deZk((0,0))qui appar- tiennent à une même diagonale d’équation y =x+ 2i−(k+ 2), pour un certaini∈ {1, . . . , k+ 1}. Lorsquei6ketaest positif ou nul, on a(i+ 1)

(22)

PSfrag replacements

e₁ e⁰₂

lments du type (a−1−k⁰, b+ 1−k⁰)

1

éléments du typee2= (a−1, b−2k⁰+ 1)qui conviennent et lorsque aest négatif,(i+a+ 1)éléments du typee₂= (a−1, b−2k⁰+ 1)conviennent.

Lorsquei=k+ 1, alorsaest négatif ou nul et, pour touta∈ {−(k), . . . ,0}, on ak−aéléments du typee₂= (a−1, b−2k⁰+ 1)qui conviennent.

On peut donc former de cette manière, au pire, k(k+4)(k−1)

3 mots

σ^k(e₁)σ^k(e₂)différents et différents de0⁴^k+1pour lesquelsσ^k(e₁)etσ^k(e₂) contiennent des occurrences de1.

6. Il reste à s’intéresser aux couplese1e2qui sont dansZk((0,0))²et tels quee₁= (a, b)ete₂= (a+ 2, b−2k⁰)pour un certaink⁰>0.

On peut majorer le nombre de motse1e2de ce type par le cardinal, noté N₆(k), de l’ensemble :

U6(k) =

(a, b, k⁰)∈Z²×N, ((a, b),(a+ 2, b−2k⁰))∈ Zk((0,0))² . Pour calculer le cardinal de cet ensemble, on utilise le fait que pour e₁= (a, b)fixé dansZk((0,0)), les éléments du typee₂= (a+2, b−2k⁰)sont les points entiers de la demi-droite verticale issue du pointe⁰₂= (a+ 2, b):

PSfrag replacements

e₁ e⁰

2

1