A NNALES DE L ’ INSTITUT F OURIER
D ANIEL B ARLET A. M ARDHY
Erratum: Un critère topologique d’existence de pôles pour le prolongement méromorphe de R
Af
λAnnales de l’institut Fourier, tome 44, no2 (1994), p. 629-630
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ERRATUM
UN CRITÈRE TOPOLOGIQUE D^EXISTENCE DE PÔLES POUR LE PROLONGEMENT MÉROMORPHE DE / /
ÀD
JA par D. BARLET et A. MARDHY
Article paru dans le tome 43 (1993), fascicule 3, p. 743-750.
Une malencontreuse erreur de signe s'est glissée dans notre définition
[ k
de / /A^ pour A = ^ a^ élément de H°(U - /-^.C).
JA a=l
Définition rectifiée.
/ f\ = E ^ 1 f^ - e-\ ^ aj |/| V
A Ac.c{/>o} JAa A<,C{/<O} JAa
Précisons la démonstration du théorème en mettant en évidence la prove- nance de ce signe - (le signe - dans l'exponentielle e~i7^x résulte lui de la convention que nous avons choisie pour immerger la "partie négative" de la fibre de Milnor réelle dans la fibre de Milnor complexe, en tournant dans le sens direct).
(
\ m+nNous calculons, en fait, pour 0 : R* —> C donnée par 0(s) = a — ) S Q J /-.«A^^
pour s > 0 et 0(s) = b( — pour s < 0, la partie polaire en À = Y W
/
+00-m - u - 1 du prolongement méromorphe de F(\) = \s\x0(s)p{s)ds
-00
où p e C^°(ït) vaut identiquement 1 près de 0.
(a + b)s~m~u
Cette partie polaire vaut ^———/-0——-, résultat qui sera ensuite dérivé À + m + n + 1
Mois par rapport à A, ce qui ne changera rien sur le problème de fond du calcul de a et & à partir de l'hypothèse topologique. On obtient immédiatement (avec nos notations)
a= ^ ûa ^ Wk-h et b = ^ a,, _ Wk-h'
A.C{/>0} JAQ A.C{/<0} JAa
Pour exploiter la condition iii), nous devons alors expliciter le lien entre /_ Wk-h et / _ Wk-h'
JAc, JO(A^)
630
Pour Aa C {/ > 0} on a trivialement égalité, car 0{A^) = Aa. Considérons le cas Àa C {f < 0}.
Soit (7s) la famille horizontale de cycles (fermés) dans les fibres de la fibration de Milnor de / le long du demi-cercle s = \SQ\e1'11 avec rj G [-TT, 0]
normalisée par ^-so = Aa.
Par définition, on a 7sp = 0(A^). Mais on a
/ Wk-h = Gexp((m + u) \ogs)
^s
(avec par exemple le choix du log valant 0 en 1) où C e C est une constante.
On en déduit la relation
f ^ Wk-h = ^m+n) / Jô{A^ JAo
Wk-h = ^m+n) ^ Wk-h.
On constate alors que le facteur —e~^nx placé devant ^ \f\x{P pour AQ C {/ < 0} multiplie précisément la partie polaire principale en À =^AC.
—m — u — 1 par e^^^ et permet donc d'obtenir une partie polaire égale
(—l}hh^s~m~u /*
à ——————°—, pour le prolongement méromorphe de / fx(p avec
(A + m + u+ l)""1 J ^
(R == /*(^)wfc A df sous l'hypothèse du théorème. D Remarque. — Avec notre convention si / : R —> R est l'identité (f(x) = x)^
on vérifie facilement que pour (p e C^°(ît) et A = l.^*] + l.[R~*] le prolongement méromorphe de / fx^p(x)dx n'a jamais de pôles, alors que
J A
pour B = l.[R4'*] — l.[R~'*] le prolongement méromorphe de / fxip(x)dx n'a pas de pôles si et seulement si y? est plate en 0 (ce qui paraîtJ B raisonnable!).
Je tiens à remercier A. JEDDI qui a attiré mon attention sur cette erreur.
Nancy, février 1994.
D. BARLET, Institut E. Cartan URA CNRS n° 750 Université Nancy 1 BP 239
54506 Vandœuvre-les-Nancy (France).
