A NNALES DE L ’ INSTITUT F OURIER
J. G ASQUI
H. G OLDSCHMIDT
Erratum : déformations infinitésimales des espaces riemanniens localement symétriques. II.
La conjecture infinitésimale de Blaschke pour les espaces projectifs complexes
Annales de l’institut Fourier, tome 34, no
2 (1984), p. 1-2 (feuilles volantes)
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université scientifique et médicale de grenobte
annales de l'institut fourier
E R R A T U M
DÉFORMATIONS INFINITÉSIMALES DES ESPACES RIEMANNIENS LOCALEMENT SYMÉTRIQUES.
II. LA CONJECTURE INFINITÉSIMALE DE BLASCHKE
POUR LES ESPACES PROJECTIFS COMPLEXES
par J. GASQUI et H. GOLDSCHMIDT
(Tome 34 ( 1 9 8 4 ) - fascicule 2 - pp. 1 9 1 - 2 2 6 )
Lorsque X = IP (<T) et G = U(m+l) , avec m ^ 3 , et y
est Vêlement q \ + \- - \ - q\ de G , avec qs> 1 , alors la mul- o i m-l m
tiplicité de C^B^) est égale à 1 et celle de C^F) est nulle, pour F = T , T" , B. avec j =1,3,4 (cf. [9, Proposition 4.1) ), ce qui en- traîne des modifications des propositions 4.1, 4.4 et 4.5 . Par consé- quent, la conjecture infinitésimale de Blaschke est vraie pour IP ((T) , avec m s 3 , si et seulement si les conditions données par la proposition 4.4 le sont et si de plus (4.7) V est pour \ ^ q\. + \- \ - - q\ »
u JL m-i m
avec q ^ 1 .
Considérons la forme
a =
V^-i- ^-iV^i - W
de type (1.1) sur Œ"1'^1 . L'espace ^ des formes de type (1.1) sur (T11^1 est un U(m+l)-module. Visiblement a est L (l)-invariante
et de poids ^^\"^ -l" \n ; °" vérme facnement ^w
n ^ a = 0
de sorte que a engendre un sous-F (m +l)-module irréductible de V de
0 il
poids dominant \^\. - À ,- X . Par restriction à S . puis v l m-l m
passage au quotient par r(l) , la forme a induit une section non-nulle
- 2 -
\ de T • .qui engendre donc un 6ous-L-(m+l)-module Irréductible de C^T • ) de poids dominant ^ + ^ - Â^ - X . n n'est pas dif- ficile de voir que a est à trace nulle et d'en déduire que h ç C'fT1'1)
81 f = ^0 ' alors ^^o ^S6"'11'®"" sous-L (m +l)-module irréduc-
Ubie ^ de ^ S C ^1'1) de poids dominant Y - t q + D y ^ - X .(q+l)X . Pour q ^ O . Par conséquent, 'î\ ç C ( B ^ ) et C-(B_) est Iso'morphe m
à Y q . ï Y
Avec les notations et méthodes du § 5 , on peut vérifier que
D ^ )fJL _JL- A. JL} - ^-2^l+^~l.
e o)lôxm• ^-1- ^m • ^ - ,(^-5——————+^ Ceci entraftie Immédiatement que ^\) ^ 0 , pour q ^ 0 . et complète la démonstration du théorème 4 . 1 .
