Exercice 1 - QCM

(1)

JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Fonctions réelles 1 – TD1. Dérivation.

ENONCES

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Exercice 1 - QCM

1) Soit la fonction f telle que f (2) = 5 et f (4) = 10. Le taux de variation de f entre 2 et 4 est :

0,4 2 2,5 5

2) La fonction arcsinus renvoie (donne) des résultats dans l’intervalle :

; 2 2 π π

− 

 

 

[ ]

⁰^;^π

[

^{0 2}^; ^π

] [

⁻^{1 1}^;

]

3) La dérivée de

(

^x²⁻¹

)

²^{est :}

( )

^2x ² ⁴^{x x}

(

²⁻¹

)

²^{x x}

(

²⁻¹

)

⁴^x³

4) La dérivée de tanx est :

1 + tanx 1 + tan²x

tan 1

x tan²

1 x 5) La dérivée de x.lnx - x (le « . » est un produit) est :

0 lnx lnx - 1 1

x- 1 6) La dérivée de cos(x²) est :

-sin(x²) cos(2x) -2xsin(x²) -2xsin(2x)

7) Lorsque a et b parcourent indépendamment l’intervalle [0 ; 2π], sin a – sin b parcourt… :

[-2 ; 2] [-1 ; 1] [0 ; 2] [0 ; 1]

8) La dérivée de arctan x est :

2

1

1−x ²

1

1−x ²

1

1+x ²

1 1+x 9) La dérivée de ³x (racine cubique) est :

3

1

3 x ³

1

2 x ³ ²

1

2 x ³ ²

1 3 x

Exercice 2 -

Démontrer les formules suivantes, à l’aide de la définition de la dérivée.

a.

( )

^uv ^′⁼^{u v}^′ ⁺^uv^′ b. u u v ₂uv

v v

′ ′ − ′

  =

  

Exercice 3 -

Dérivées usuelles à démontrer

a.

( )

^xⁿ ^{′ =}^{n x}^. ⁿ⁻¹ avec n entier naturel b. ^sin^′

( )

^x ⁼^cos

( )

^x c. ^tan^′

( )

^x ^{= +}¹ ^tan²

( )

^x

d. ^arcsin

( )

¹ ₂

1 x

x

′ =

−

(2)

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ENONCES

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Exercice 4 -

Exprimer les dérivées premières des fonctions d’expressions suivantes :

( )

.

2 2

2 3 5

a 4 1

x x

f x x x

+ −

= + − ^b^.^{f x}

( ) (

⁼ ²^x⁻¹

)

⁵^c^.^{f x}

( )

^{= − +}^x ⁵^d^.

( )

⁶^cos ¹⁰⁰

f x  x 3π

=  + 

 

( )

^ln

e. x

f x = x ^f^.^{f x}

( )

⁼^e⁻^x^cos

( )

²^x ^g^.^{f x}

( )

⁼^arctan

(

^x²⁻¹

)

h^.

^{( )}

2

1 4

PH x x

x

= + ⁱ^. ^{f x}

( )

⁼^x^x²

Exercice 5 -

Exprimer les dérivées secondes des fonctions d’expressions suivantes :

( )

. 2

a 4

1 f z z

=z

+ ^b^.

( )

₂

1 4

PH u u

u

= + ^.

( )

2²

3 6 2

c 3 2

x x

f x x x

− +

= − +

Exercice 6 -

Dérivées d’ordre n des fonctions d’expressions suivantes : f(x) = sinx ; g(x) = sin²(x)

Exercice 7 - Fonction

argch

Les fonctions hyperboliques ch et sh sont définies par les relations suivantes :

( )

^e ^e ^;

( )

^e ^e

2 2

x x x x

ch x sh x

− −

+ −

= =

On remarque que ch²x – sh²x = 1, que ch’(x) = sh(x) et que sh’(x) = ch(x).

Les fonctions argch de [1 ; +∞[ vers ℝ₊ et ch de ℝ₊ vers [1 ; +∞[ sont réciproques, c’est à dire :

( ) ( )

y=argch x ⇔ x=ch y Trouver l’expression de la dérivée de la fonction argch.

Exercice 8 -

Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la pente de la tangente est égale à 15 pour la courbe d’équation ^{f x}

( )

^{= +}^x² ¹¹^x⁺⁴

Exercice 9 -

Pente des tangentes à la courbe ^y⁼^{x x}

(

⁻¹

)(

^x⁻²

)

aux points où elle coupe l’axe horizontal.

Exercice 10 -

Points de la courbe d’équation cos

sin x

y= x+ 2

2 où la tangente est parallèle à Ox