< . . EXERCICES ET PROBLE3-r'1ES. · . ·

"

(

~,.-·~~--·•::_-_··.

^_-

- - - -

[f\.~:~i··,·· .

^!'··

^{< . .} EXERCICES ET PROBLE3-r'1ES. · . ·

~;;;;;.;·} ... · _D,r(conducteu.;

rectiligne, indefini, de

rayon R,

esl parcouru par_

un

courant ... , · . " . . •.· ·' . . "· · d I

:'d'intensite I,

u~iformement reparti (j

= -

est constante en tout point

du

. . .. · . . dS

ftl).

Determiner le champ magnetique en un point M quekoqque distant de r de l'axe z 'z. Etudier les cas r

>

R et r

<

R.

.

r > R ·: Par raison de symetrie, les iignes de champ sont des cercles d'axe z 'z

: ,

•. "'sittJ~S dans des plans perpendiculaires

a

cet axe. B a

-

rneme module en tout point ' de l';tr-4e ces cercles.

'

^.

L'application..~theoreme d'Ampere conduit

,a

, I I I I

I

,

I

, ^./

? /

. f!f ]": ^dl;;::

^{2'1T r B(r)}

⁼

^µ,01

1\(L)

'

.. - ^.

. (sens de B donne,par la regle du triedre direct).

-

r

<

R : Pour les memes raisons, B est tangent au cerde de rayon r, et son module est l~ meme en tout point d'un tel cercle. \

Dans !'application

du

theoreme d'Ampere n'intervient que le courant enlace par le parcours

$£..

f

^!l

^{i · dl =}

^µoJs

2'71' r B

=

^µ.,0 I R

?-

₂

B;,,,_f-l..oI~

2,r R²

OU

IB="j,1

avec

;, ·' Sous forme vectorielle

2\:h~~)

022.12.i,.• :u:ilfl\

.2o1J /

-

-+ IJ-oi -+

B = - - 1 \ r 2

·2. Dans un conducteur cylindrique indefini, de rayon R_1, d'axe z 'z, est creusee

· · une cavite cylindrique de rayon R_{2 ,} d'axe u 'u par:alleJe

a

^{z 'z}

et

distant de 'cl.

,,

..

!

i

l

Sachant que ce comlucteur est .}llnrcouru par un· courant I, uniformement ~

repa~ti

d~~

la partie pleine, cal~uler fe champ magnetique

en

un point M de Ia cavitc. (On pourra- utiliser la superposition de deux-couranJs fictifs.)

306

-

,,

:j

' ',

...

.,.,~- ....

- - -

^'

-

^...

^___

_,,,,..,-;._

.,,

"

"

_'

✓

,,

/

'

'

_'

I

I I /

,, ... ....-...

'

I I I I I I

: l j I I -1'-i.l.

~-

,.,,,.r:..,-_{l ,} -'-t _{. \} ....

~-L!--·

u'' _{I .}

ix:'

·,

A

!:S

H

+

dL p

"

·. ,.

J .. \

-

On peut considerer que le champ magnetique B en M

resulte

de la

superposi-

-+ -

tion du champ B_{1 ,} cree par un courant de densite

+

j circulant dans un cylinqre

--+ -+ ,.,

plein de rayon Ri, et du champ B₂ cree par un courant de densit~ -j circulant dans un cylindre plein de ;rayon R_{2 •}

La superposition donne bien le conducteur propose traverse· par un courant de

~l~:.i ,

densitt\ j j

=

¹

~ t ,,IS. .:::: ~ ^"1 t' ^{~ ~}

'TT (RI -

Rn

^~JI

+ B

(voir exercice precedent)

--+

--+ µ.o j --+ --+

B

= 2 /\

(01M - 0₂M)

-

-+ ·µ.oi ....,.

B

= - - /\

⁰¹⁰²

2

..

Ce champ mag,aetique est done constant et a pour module B

= __

µ,_o_I_d _ _

2 -rr (RI - R~)

3. Calculer Je champ magnetique cree par un segment conducteur A₁A₂ recti- ligne, parcourn par un courant d'intensite I, en un point M distant duseg- menl de d.

H etant la projection de M sur le segment, on designera par 81 el 8₂ les angles

--+ -+ --+ -

(MH,MA₁₎ et (MH,MA_2).

En deduire les caracteristiques du champ cree en M par un fil rectiligne inde•

fini.

.

-

^.

-

Le champ magnetique elementaire dB cree par un element de longueur dl en

M

est

--+ · µ.01 - f -+ -

dB = - · d i I\ - avec r

=

^PM

47T _r²

-

=

^µ.ol

d! /\

^!_

4'TT ,-3

-

^.

-

^·.·•

Les vecteurs dB crees par les differents elements d I du fil sont perpendiculaires. ·;

•. ,... .. , ,;-.,, ':'.°:..

--

^{.,;. ·, .}

au plan (dl, r) et orientes dans le meme sens (donne par la regle du triedre;· .·

direct).

f.Lol d / sin o:

dB.

= -

4^-'TT --,-2-

'

.,~ ^{·, i,,.,..:.}

307 ,.

-., .

,',, : .. ^~ .. ^_;.::· '·

J¼I . dB

= -

4 -

cos

6 de 'll'd

J

^{µ.ol ,}

B

=

dB

= - -

^cos

e

^d

e

A1Az 4,rd ·

B

= ~

^{(sin 8}2 - sin 0₁₎ Pour un fil rectiligne indefmi

'IT

01

= - -

' . 2

(Resultat qui, dans ce cas p~ticulier, s'obtient directement

~ a

partir du theoreme d'Ampere.)

. ~ 4. Champ mag,ietique

cree

par une spire circulaire :

} f ·

Une spire cir. culaire .de rayon R est p~rcourue par un courant d'intensite

I.

~ I. Calculer le champ magnetique cree en un point M de l'axe de la spire

a

une .:":distance x de son centre 0.

~ 2 . Calculer le champ magnetique en un point N tres proclte de l'axe de la spire et distant de p de cet axe.

3. Calculer le champ magnetique cree en un point M du plan de la spire, dis- · tant de p du centre•O. On resoudra l'integrale obtenue en faisant Jes appro- ximations justifiees dans

ies

deux cas :

a) p

<< R

b) p

>> ^R.

1. Champ magnetique sur l'axe de la spire.

. - ^.

Un element de longueur di centre sur P cree en M un champ elemi:lltaire :

- µ,₀1 - f 1,Loldl

dB

=

4,r dl

/\?.

de module dB

=-;- 7

- - -

car r = PM est toujours perpendiculaire

a

^{d/. x'}

. ...::+

Il y"

a symetrie

de revolution

a1:1tour

de !'axe x :t, le champ B resultant est done

- - -

porte par

x'x.

Ce champ B est done la somme des projections dB_. de dB sur l'axe.

dB..,= dB cos q,

=

dB sin 8 , 308

,I

I I I

1,,\

..• , I ; •

; '

~

dB

X

Integrons sur toute la spire :

B · . ·. $ire.,

= f · .

dB sin ·•

e :::::; · ·

· ... ^{J.Lo I} 47fr2 . lpire

^{sin a} ·. . ^J d

I B

=

^{µ.0 IR}

^sin e

2r²

.:ft. µ,ol . 3 0

n = - s m 2R B

=

^{µ,0 I R2}

. 2 (x2

+ R2)3rz

Remarques:

avec

• Au centre O de la spire

EK]

. R R

sm

8

= - =

^-r====

r

Yx

²

⁺

^R~

• Pour une

bobine comportant

N spires de

meme rayon, situees

dans_ le

meme plan, le champ produit est N fois le champ ci-dessus.

2. Champ en un point tres voisin de I'axe.

.

-

^{" '}

En un point N,

voisin

de M, le champ B n'e,st plus axial. On peut le

decomposer

en une composante parallele

a

^Ox et egale au champ en M:

-. -. J.Lol R²

Bx (N)

=

^{B (M)}

= 2 ^{(x2 +}

^R2)312

et une composante radiale

BP.

'

^\

\

I

...

Bp

..

Bi

N.,_ _ _ _ _ _,_

I \ I '.

_ _ _ _ _ .• __i_._. ... _ ·~--. . - - - -...

M I Bx hi Bx{udx x

I

.f . I

r /

I

I ^dx

! ' : , ...

-

Pour determiner

la composante radiale

BP,

exprimons que le flux de B , sortant d'un cylindre d'axe x'x, de hauteur·dx, de rayon p. est nul:

' '

¢> =

B .. 2

,r p dx - ^1r p²

B,:r(x) +

^{,r p2}

B.r

(x

+

dx) =

0

. ' p . . .

BP dx,_= -

2 ^{[B.r (x}

⁺

dx) - B.r (x)]

p dB..,

= - - - d x

2

dx

.,,,

p

dBx

p (

3) J.LoI R

²

2x , ..

BP - . 2 dx - 2 2 2

(x

²

+

R²

)5

¹²

µ.₀1 3p x R²

. BP=

4R (x2

+,R2)512.

..

~i , 3:

(::hamp magnetique en un point

du

plan de la spire

·•4!t;,' .. - •

Appliquons la loi de Biot et Savart ,pour calculer !e dr:nnp

cree

^en

M.

par

l'ele-

. ' . . ... .

m.cnt ce. ntr"'-"''r, _.

~...,;.~•~,-.,.,.-.,

1?,. . ,..,.,,..•~1u,,,:.. •··

..

^,,

,,__,,

- µ,0I - f µ,0! - r

dB= - dl / \ -

= -

^{di 1', -}

41r

r2

4 'IT

,>

- -!;· - - - - -

EvaluO$lS les composantes des vecteurs OP, OM, MP

= r ,

di et di /\

r

dans un repere Oxyz (Ox eta~t I'axe de la spire et Oy passant par M).

- ^- -

6P = ( i ^{cos a)}

(

0 . )

r =

^{OM - 0 P}

=

^{p - R cos}

e

. Rsine · - R sine

di = (-

^;;__.sin

e de)·

R cos 8 d0

_ -+ ( (R²sin²0 - p Rease

+

R²cos²e) dB)

di I\

r =

^{0 ·}

. . 0

· done

· _ -. ( (R² --p R case)

d0)

· di I\ r

= 0

-

0

Le champ rnagnetique B est done suivant Ox., parallele

a

!'axe de la spire, et sa valeur algebrique sur cet axe est

f-Lo I

f2"

^R

3 -

^{p R}

2

_cos8

B = - - · ^dB

41TR o (R²

+

p² - 2p Rcos6)3¹²

- -

^.

car

ll

r

I!

=

IIMP!l =

(OM²

+

^OP2

-,_2OM · OPcqs0)

¹¹²

C~tte integrale n'est pas calculable

a

l'aide des fonctions usuelles, par contre dans les cas oil p

< <

R et p

> >

R,

il

est possible de faire un developpement

iimite .

de l'ex:~ression ci•dessus par·rapport

a

^E

= £.

dans le premier cas, puis par rap-

. R

por~

a

^E1•

=

R dans le deuxieme cas.

p

31Q

,.

r:r

^cas: p

<<

R p

=

eR

(R³ - pR² cos8) . f(e)

=

(R²

+

p^{2• -}

}-PR

cos0)³n

= (

^{1 - E COS} 0) (1 - 2 e COS 6

+

t?)- ^{J/2 .}

· 15 3 ^El

=

(1 - e cose)(l

+

3e cos8 + -

e:

² cos²

e - - )

2 2

9

cos

²B - 3

=

1

+

2 E cos

e + - - - -

2 en se limitant aux termes du 2eme ordre.

n(n-1) ,, (Rappelons que (1

+

a)" 1

+

na

+

2 ^a·

+ ... )

done

2eme cas:

-

J:" ^f(e)

^d

^{a =}

^2'lT

⁺ (\-rr -

^{3 ;)}

p>>

R

R

- =

e'

<<

1 p

Ecrivons B sous la forme

R 2 R - - - cose

I-Lo I

f

^{2 " ~ P2 P .}

B = -

2 • d8

4 ,r p o ( R 2 R .

)31:!

1

+ -

_p2

- -cos

_p

e -

Developpons, en se limitant au deuxieme ordre, !'expression :

3

g(B)

=

(e' ^{2 - E'} cos8) (1 - 2 e' cos8

+

e'²

f?

··-· . · 15 3

=

(e:'²- e' cos8)(1

+

3e' cose

+-

e'² coi- 8 - - e:'²)

2 2 , •

= -

^e'

case+

e:'² (1- 3

co:t8)

i

^{2... g(e) d8}

⁼

^{e' 2} (2ir - 3'11")

= -

^-rr₂

^R2

0 p

[ B

~

^{- l'o} ₄ ^{I R'} _p3

I

5. Un solenoLde (bobine allongee), de longueur L, comportant N spires, repar;.~F _, , , I • " · . 1

N . . . : ·.".: ..

ties

a

raison de n

= -

_L spires par unite de longueur, est parcouru par un _.

cou-

rant

I.

Calculer le champ magnetique

cree

en un point M de l'axe du

·sole-·

noide en fonction des angles 0₁ et 0₂ sous Jesqueis on voit les faces du solenoide ·

a

partir du point considere.

Que devient cette expression pour un solenoid_~ « infiniment long ,. ?

311

..

^{' ,}

..

~'.';;;.,-:jf;f,:6~~:? · '• ·: ,:_· .

r

Toutes)es

spires creent en M des champs rnagnetiques r. ,;eaires ttx'x, de meme :;$~f;~tq~'module

1

.da1~µle

a

l'exercice n° 4.

:,~[{So.i(O:

le.centre d.u solepoide. Designons par x la dist.¹11<.e OM. Une tranche du

~,,:.;,:; '~I"'~~;·,:•·,,,,;: ¥.• '! •':••""''-'r-,,.~,,,. ··•··.. . . . : ,·_. '_- ' . •

, .. · · :soleno"ide, de ·centre Q.¹• ( distant de y

=

O'M du point l'vf), d'epaisseur d y, done

/ii-'~-' . · ... · ·::~... . ;. ... . . . -, ,"

; conten~nt ndy spires, cree en Mun champ elementaire.

:'i:'.-.;..: ^{j. '} ·-:f~:· ·.:, : ,. .

.. ,. . .~.. · ·JJ.oR2 n I dy

· -~· dB

= - - --,,-.-~..,,...,,

R etant le rayon de chaque spire .

. ·' · . 2 (y2 +

R2):,12

done

.

^'

_y R .

R

=

cotg e,

^(R2

+

y2)l/2

= ^sm e,

· JJ.onl

dB

= - - -

sin e d 0

2

J-Lo n

r

= - -

d(cos 0) 2

dy == - - -R sin2e

Pour un

soleno1de

« infiniment long », 8₁ tend vers

zero

et 6₂ tend vers 'Ir done

jcose

_{2 -}

cos8

₁

I= 2

B=1-1-onI

-

^.

6 •. En exprimant le champ dB cree en M (x,y,z) par un element de circuit de longueur

- dl,

parcouru par ^{. .} l'intensite

I,

centre sur P(X,Y,Z), montrer que div B

=

0.

- - --- ---

On rappelle

que div (Kt /\ ~) = - K

₁ rot

K

₂

+ K

₂ rot

K

_1•

- - -

L'elcment dl entourant P cree en M tel que OM.= r un champ

Pour un circuit

ferme

^~

-

B = _,...o ., d/ /\ -

-+ II.

_,.f

^{-+ r}

. 4'1T

~

r3

-

_. JJ.o I

f ^(-+

^{r )}

div B

= - <e

div dl /\

'"'3"

. 4w . r.

- -

- __,. r r - -

= -

dl

rot-;s +-;srnt

d/·

31:!

\ .,

Les deriv_ations

etant

effectuees par

rapport

aux

coordonnees

de M, nous aurons

---- _rot

_{d l}

₌

₀

_car

_{d l}

ne depend pas.de x,

y,

z:

Montrons ^.

que rot -~ ^_,_ - = . 0 ,_les coor•

. (x-X)

donnees de

7

^{etant y - Y .}

' z. z

-

^{r (x-X).i}

⁺

^(y!-Y)ji

^{+ (z-Z)i}

?

⁼ [(.x-X)2 +·(y-Y)2

+ (z-?=)2JJn

or ;;;t ^{K =} (a ^{Ki -} a ^{Ky) X +} (oK.r - a Kr)

^:i

⁺ (aK, - ^ilKx)

ⁱ

ay az az ax ax

iJy

-

La composante de ^-+ r

rot suivant

Ox

est done

(- -;) <1 [ z -

z . ]

rot r

^r

=

ay

[(x-X)2 +

(y-Y)²

+ ^(z-Zf}

³¹²

a [ .

y-Y ]

- az

[(x-XY'

+

(y-Y)²

+ ^(z-Z

²

f

^312·

( 3)

(-2)(y-Y)(z-Z) ..

= -

2

^l(x-X)2

⁺

^(y-Y)2

⁺

^(z-Z)2]512

( 3 (-2)(y-Y)(z-Z)

- 2 [(x,...X)2 + (y-Y)2 + (z-Z)2]51l = O

On montre de

meme

que

- -+

(- r) · ^{rot -;J}

^{Y =}

^{(-+ ro! 7 r)}

^r

^{= -+}

⁰

-

soit

^{-+ r -+}

rot

? =

0

-

done div B = -- '1,olf,-+ d l A 1 r = 0 4"1T

•c

r

Le theoreme d'Ostrogradski s'ecrit pour un volume ,r limite par une s~rfa~e S ·

Le flux du vecteur champ magnetique sortant d¹une

surface

fermee-esti1ul . . ·

. .' :' ' .. •'•·· ':!t};:-: '

':.:,313

,.

: {fi)(\': '.'"' . --;

}., J;:.¥on!rer ,que ,Ia divergence ~u potentiel vecteur A

cree

par un circuit fili-

.·.,.. -_c:1~':,~ -•~1:·;,·:·1 · "'-. •·· . . ' ' ·-"'

· · i?·{'}lf?.~{~t

nulle.On

rappelle

que ledrcuit

<€, dont 011 designe par P(X,Y ,Z}

;• ,,)::i.l~un .. qu.elconque de ses points~ cree en

^{M(x,y, z) Un}

jlQtentiet

vecteur .

-: ·.·;/;.-,,,.,', ••. ;:.,: -,:; ' -.,,1•• : . . ,

•":-;;--~ ·,' ~ '

·, \\-:1.

^{·= .1-1-o· I}

1

di. En deduire que ~t

13 ^{= -,} AA

. .·. , .. 4-'tt Y

^r

.

- ·- - - - --

(On rappelle que div >-. K

= }.,

div K

+

K · grad A et que rot (rot K)

=

--+ ' - i i ' --:;

grad di"Y K - AK.) 1. Pour un circuit filiforme ~

Calculoas

-

- µ.⁰

If

^dl

div A= - div-

4-rr

'{i r

.

^'

-

. dl .

div- .au pomt M

-

r

"" · d/ 1 - -. --; 1 div -

= -

^{div dJ}

+

d l · grad -

· r

r

r

- -

div di = 0 car les coordonnees de d/ ne dependent pas du point M done

-+ 1J.o

I f.

-+ ( --.

1)

div A

= -

di grad - 411' '&

r

M

or 1·

- ==

[(x-X)2 +

(y-Y)²

+ (z-Z)2J-

¹¹²

r

.

Ce qui represente done la circulation de g;;:d I'

(!)

sur le circuit ferme ^<(g, cir-

,r ,

culation qui est nulle, done / div

A=

⁰

l

-- - - - - -

rot B

=

rot (rot 'A)

=

grad (div A) - A A

=

^{-A A}

ionc

l ^;tB=-AAI

,14 '

.

{C)

.. , - M(x,)

dL ______ _

P(X,Y,Z)

..

0 0

---ffl+t+t---_._ _ _ X

M

8(x)

8. On appelle bobines de Helmholtz, 2 bobines plates de meme axe, de meme rayon R, parcourues par un courant dememe intensitel,:di:mt lei centres: 0₁ et 0₂ sont distants de R. 0 est le c~ntre de symetrie du systeme.

-

^.

1. Calculer le champ magnetique B en un point M(x) de l'axe du systeme.

2. Voyez-vous· une maniere geometrique d'obtenir ce champ

a

partir de c:elui d'une des bobines ?

. dB( )

3. B(x) ne.change pas si on change

x

en -

x,

montrer qu'alors - .

_x_

et

· dx

d³B(r) , .. .

- -3- sont nuls en x = 0.

dx

4. Effectuer un developpement Iimite de B (x) au second ordre en x et mon-

( d2B) .

trer que - -₂ est nul. En deduire que B(0) est constant au voisinage dx x•O

de 0.

R .

Cakuler B (

2 ),

le comparer

a

B(0) et constater que les bobines de Helmholtz donnent un champ uniforme dans u.n voisinage important du centre 0.

1. Une des spires cree sur son axe le champ : JJ.o I . R2

B(x) = 2

(x2

+

R2)312

de graphe B (x) symetrique par rapport au centre O ₁ ou 0₂ de la .bobine.

. ^'

Si

on

calcule le champ

resultant

en un

point

M de l'axe 0

1

0

₂ et

tel que

- R R

O₁M

= :r +

2

^{et O2M}

^{= -} 2 ⁺

^x on-obtient ::

2 [

I]

B( )

= I-Lo

I R 1 + 1

X 2 R R

[(x _ -)

+

R2]312 [(x

+ -)2 +

R2}312

2 2

2. Ce champ resultant peut etre obtenu geometriquement en superposant le graphe du 1. et celui obtenu par translation de R =· 0 ₁0₂ le long de 0 ₁X.

3. B(x) est un~ fonction paire de x ; son developpement en serie

de

Taylor montre que B(x) ne changera passion change x en --:x,

a

condition que ses derivees d'ordre impair soient nulles en 0. Par consequent :

ft

dB (O) = ^d

^{3B(O) =}

^O

dx dx³

· .

. .1 I

x- xP ·

Rappel f(x) = f(O)

+

x

f~ (0) +

2

^f;

^{(0\ + ...}

p ! f~>

(0)

. ',.'

· 315

..

.' . (x - ^{R)2 + R2 = 5} R2 [1 - ~.::.. + ~ x2]

· 2 4 5 R 5 R²

(5R²)-3/2 [ 6 X 1

= 4

1 +

5

^R

⁺

^{E (x3)}

j

(x ⁺ ~r ⁺

^R2

^{= (5 :}

²

r

^{312 [ 1 - : ;}

⁺

^e(x3)]

(on change Ren - R)

!J.,o

I (5)-'.!!2

^µ,0

I

B(O)

= R 4 ==

0,71

R

On constate qu'au voisinage de 0

B(x) = ^{B(O) (1 +}

^Ox

^{+ Ox}

²

⁺

^Kx3] done · ^d

2B (0) _d_x.,,_2_ =

0

· C'est-a-clire que B(x) est constant dans un large voisinage de 0.

Pour x

= -

R on trouve

2

Done

( R)

µ.⁰

I

R ² [

1 1 ]

B

2 =

2 R³

+

(2 R²

f~

¹²

= µ.J !

⁽¹

+ -

¹ ) = 0 68 1-l-o I R 2 · 2³¹² ' R B (-) - B(O) R

2 B(O)

0,71 - 0,68 . ·

= 0,71 ::::. 0,04

=

^4%

On constate que B est constant avec une precision de 4 % dans un domai_ne

R R

compris entre x = - - et x

= + -

ce qui confirme le resultat precedent.

2 2

316

!---··---

"'

9. Une balance de Cotton est constituee par deux bras OQ et OR lies rigidement l'un

a

l'autre et tournant autour de !'axe horizo_ntal passant par 0. L'un des bras porte un fil conducteur OMNPQO qui presente des parties rectilignes

OM,

PN et QO et deux parties MN et PQ formees de deux arcs de cercle cen- tres en 0. L'autre bras supporte un plateau susceptible de recevoir des mas- ses marquees. Le brin PN est dispose perpendiculairement au .champ ma- gnetique

a

mesurer. En !'absence de champ ·magnetique, la balance est

' '

-

equilihree. En presence d'un champ magnetique B, l'equilibre est realise si l'on place des masses de valeur m sur le plateau. Donner Ja valeur de B., en fonction de l'intensite I circulant dans le c:onducteur, des distances OR= D₁ et OT

=

^D2 (T milieu de PN) et de la longueur d du brin PN.

L'equilibre peut-il toujours etre realise ?

Q

,....- -

I

I

,, ^,.

r

p

. I ,..

\Q98

", I ,.

' ... -i--- .,,,..,,,

---!---;

Faisons le bilan des forces s'exercant sur le systeme :

r·

- le poids ,des masses place.es sur le plateau de moment (par rapport

a

^{l'a'xe de}

rotation) - mg D_1•

- les forces de L-aplace agissant sur les brins PM, NN', PP¹•

Sur PN s'exerce une force

- ^f

⁼

^{I NP/\ B} - -

de, module f =BI d et dirigee vers le bas si le courant circule de N vers P:

a

,'

.

Les brins circulaires NN' et PP' sont soumis

a

des forces de Laplace dont le sup•·

port passe par !'axe O et dont le moment par rapport~ 0 est nul.

..

J.-~ .

;,.f ·. :.

^{d ·.} " • .

- Le;momen;.,desforces de Laplace par rapport

a

!'axe est done/ D₂ done

J;r.:;;,~;~j;~'";· • .. .. . .. -.. _,,,,. -·· -. -•~

•.'.i.fi~Jtqw1ibre.

< · ·_-, . . ,-

·:,f}?'.:;·:':·

^·-4;: :HidD

2 = mg D

1 ·.

, .

. '

>;i ;. -~:•~

~!~l-

Bien entendu, l'equilibre n'est possible que si !'on fait circuler le courant dans un sens tel que la force de Laplace soit dirigee vers le bas.

10. La roue de Barlow : Un disque conducteur de rayon R, tourne autour d'un axe horizontal. Le bord inferieur du disque est en contact avec du mercure.

Un courant I arrivant par Paxe horizontal

Ox

repart par la goutticre de mer- cure.

Ce

disque est place dans un champ rnagnetique horizontal uniforme

-

^{B parallele}

^a

^l'axe du disque.

1. En' admettant que, en regime permanent, la repartition du courant dans le disque .est caracterisee par une densite surfacique de courant j en chaque point

M,

:calculer· le moment par rapport

a Ox,

de la force de Laplace agis-

.. ·sant.s:ur

un element de surface dS.

2 .. Calculer le moment par rapport

a

O, des forces magnetiques s'exer~ant sur _ce disque.

1. Soit-dS la surface d'un element centre sur le point M. nest so.umis

a

la force

de Laplace , 1Y

- - · -+

dF=j

1

dS/\B s0

Le moment par rapport

a

O de cette force elementaire est

- ^{- -}

d.M.o =

OM

A dF

- - - ^. -

· d.M.o =OMA

Us

^{dS AB)}

Rappelons que

- -- --- -"-+--

A/\ (B /\ C)

=

(A · C) B - (A · B) C

- - -- ^{- - -}

·d.M.o =(OM· B) J~ dS - (OM·

is

^{dS) B}

- -

or B. est toujours perpendic1;1laire

a

OM ;

- - - -

d.M0

= -

(OM · J~ dS) B 2. Le moment des forces ,est done

- -JI - -

.Mo = - B s OM ·

is

^{d S}

318

!---=·· '-'---'·---.;.._.---""---'--"---••-

I

A

d

0 0

M ⁺

F

0' .

0'

X

- -

Le point i'vfi.etant repere par_ les coordonnees r

=

OM et.

e =

(Oy, OM) la surface dS s'ecrit dS

=

^{r dr d6.}

- -Jf - -

. .M.o "":. - B. • . s

011 ·: is,.r.-0

rd

e _,,. Rf. Jo

^R

2,,. :.... _

. = - B

O

r dr

OM ·

js

de

& - 0

J

^{2,,-is · OM d 6 - .} est le flux de ^-js sortant du cercle de centre O et de

a .

rayon OM, c'est done l'intensite sortant de ce cercle, done I

M

0

= - BI J

0

R r dr

done:

I~= - ^{B ~ R'} I

--+ _,,. R

meme resultat que celui

du a

^une force IR A B agissant

a -

^{de O.}

2

. .

11. Determiner la somme· des forces exercees par un fil A, vertical, indefini, par- couru par un courant d'intensitc I = 50A dirige vers le haut, sur le fil rigide 00', de longueur 2/

=

0,20 m, de masse 1 g. Le point Oest fixe et situe

a

5cm de !::.. 00' est parcouru vers le bas par. un courant d'intensite

I' =

2A ; on negligera le role des autres parties du circuit auquel appartient 00^1•

1. On fera un premier calcul approche, pourlequeLOO' reste·approximati- vement parallele

a 6..

Application numerique : Papproximation est-elle justi- fiee ?

2. On sypposera l'inclinaison n de 00,' petite

-

n

=

(D..,' 00')

=

^{tg o:}

= sin

^O'., ' '

-

mais on tiendra compte que BA varie entre

O

et O'. Application numeriquc.

-

1. Le champ B cree en un point M de 00' (OM

=

x) est tangent en O au cercle d'axe 6. passant par 0.

Son sens @ est donne par la regle de l'observateur d' Ampere. Son module est donne par le theoreme d'Ampere :

2ird B '·

=

^µ.0 I

-

La force de Laplace exercee sur le fil 00' soumis au champ B. a pour module :

F

=

I' 2! B

Sa direction est normale aux fils A et 00 '.

...

₃₁₉

· . .,.

1:· .. ·:,

,.

,. _{:;_$'on}

^.;.;

^..

sens est donne par ia regle du triedre direct (I' ^{' .}

-

l,

^-

B, F ). Elle est done ^'

-

:,_}~6pu.lsive;· · ·

: ' • - , '

. . · I I' l

F=_f.l.o _ _

'tr d avec I.Lo= 4-rr • 10-⁷

. A.N. : Le poids de 00' est mg et vaut 9 ,8. 10-³ N soit environ 10-² N. Done mg>> F et l'hypothese o.

=

0 est justifiee :

tg ex. :::: -

F

:::: 8.10-³ radian (environ 28') mg

2. Soit dF

la

force appliquee sur l'element de longueur dx du fil au voisinage de M tel que OM

=

^{x ;} elle est repulsive et de module (voir 1.) :

dF =

^!-Lo

I

I' dx

=

^ll-o

^{I I'}

^dx

21r (d

+

^x

sina)

2"11' (d

+

ax)

si sina = ^a

..

'done

F =

^µo

I I' f2

^{1 dx}

=

^!,Lo

I I' (2

^I

d(d +

a.x)

· 21T · Jo

d

+ cu

21r

a Jo

d

+ cu

. . fJ-olI' .

··: F

= - - fin

^(d

⁺

2cxl) - la

o:]

__ , 2'1Ta.

• 1.1.o

I ^I' (d ⁺ 2a0

F = - - l n - - - .

· 2 'Tl' a. d

Si a est suffisamment petit pour ecrire l'expression du 1.

( 2 la) 2la

ln 1

+

-d-

= don

retrouve

1,2

Pour a petit, mais non negligeable

on

peut ecrire ln (1

+

E) _'

= ^{e - -}

₂

done:

F - f.l.o I I'

(2/a. -·

²

^{t2 '1.2) -}

Fo (1 - cd)

2,r ct d d² d

en appelant F0 le resultat du l. D'autre part avec a= tga

=

^ex

⁼ ~

. mg

F = F

0

(1 - - )

2F ou mg puisque F voisin de F 0

( 2F⁰⁾ F

=

^{F0 1 - mg}

. A.N. F

=

8.10-⁵ (1 - 16.10-3)' = 0,67.10-⁵ N

Nous constatons que !'approximation n

=

^{tg a} reste encore justifiee puisque tg a

=

0,67. 10-^3• Il faudrait augmenter considerablement I' et I ou reduire d pour qu'elle n~ soit plus valable.

'320

________

__,_.,.__...,,_

______

..,.._.,.._,, .

..,..,--~-

0

mg

- - - - e tl

- - - E l

12. Effet Hall: On considere un conducteur metallique homogenc de

~otcs

^a,b,c,

traverse par un courant d 'intensite I de direction Oy et soumis

a

^{un champ}

magnetique exterieur constant -+ B

=

^BJ.

1. Montrer qu'il apparatt sur 2 ·des faces opposees (que Pon designera) des charges elec.triques opposees ;

2. Montrer que ces charges creent, en regime permanent, un champ ·e1ectri-

- ^- - -

que E

= -

v I\ B ( v vitesse des charges mobiles suivant O y). QueUe est alors la densite surfadque cr ou -er des charges etudiees en 1.

3. Quelle est la d.d.p. V existant entre les faces chargees supposees'·distantes de b ? (Exprimer V en fonction de I, B, de l'epaisseur a, du nombre· n de charges par unite de volume, et de la charge elementaire).

z

...

B

y

X

1. Les charges mobiles d'un conduct_eur 'sont ses electrons libres. Sur ces elec-

- - -

trans agit la force de Laplace F

=

^{q v I\ B avec q}

= - le!

^dont

.

-

^.

la direction et le sens sent -

.x

puisque v est parallele et de sens contraire

a

O y. (Attention les electrons se deplacent en sens inverse de l'intensite I).

La face parallele au plan yOz, situee vers r'arriere, se charge done negati- vement. Celle qui est situee vers l'avant se charge done positivement.

2. Ces charges

+

et - localisees sur ces faces creent done un champ electro-

-

^,

statique, E dirige suivant ._ i., done s'opposant au mouvement•lateral des electrons. En regime permanent, les electrons se deplacent en moyenne sui- vant -

y

(courant I), c'est-a-dire qu'on a:

- -

^E

⁺

^{v I\}

-

^B

⁼ ·-

⁰

done

l ^E

= - -; /\

B \

E

est le ch'amp Hall auquel correspond l'accumulation des charges avec_une densite ± c; telle que :

done : \

!~1 =

^Eo

II-;

I\

B ll =

to v B

. 32:

:,:ii,,::~:il~{tf{ ·. · · ,: .. · · ·

j_V,r2:tchi'ii;p:E

etant uniforme, sa circulation entre les faces ~hargees a pour

.;·,:_._.:,:;, -~1,,a,; ,.-··-~-.<'\ ,, •. ..·, : •

?r-:cvaleur .:-:-tV; ^{(V, .d.d.}

^p.

entre les faces)

. ,;:,;/t;::/ .•,!~I=

b

!=,

= v Q .. B .or

I=

In

S

v

el=•

ln ab V el

:[EE··.·l··: _{.v ..}

· = - B . ,: ·: . nae · •¹

. .

. 1 .

.. . .. -· . , :l .

:I.

On voit que la mesure de cette d.d.p. peut permfttre c.elle de B, d'ou l'uti- . lisation de « sondes

~

^{de Hall » pour} mesurer '!es champs magnetiques

(l'epaisseur a devra etre minimale pour obtenir I'efficacite maximale).

13. Calculer le potentiel-vecteur cree par un ^distance _. ^{r. On} utilisera la relation B

-

= rot A

-

fil rectiligne indefini en un point qui ne cfeter-minera

^-

A

qu'a

une

.

^.

a

consiante'pres.

-

On sait que l'induction B crcee .par un fil indefini est . ' . JJ.o

I ;

- de module B

= --. (

. ·· 21!

r ·

.:. _de direction

orthogonale

en M au plan (M,

fil).

- de

sens

determine par la« regle de l'observateur d'Ampere. ».

l.

-

Ce champ est le meme pqurtout plan meridien, sir est fixe. De meme A ne doit dependre que de r : 1

' • C ' - -

.:.. it

ne

depend pas

de O (angle

de OM avec

une

direction fixe Ox) car le fil est

un

^{axe de} revolution pour l'espac:e.;

- il ne depend pas de z (Oz axe du fi!) 'car toute translation du systeme le long de cet axe, laisse l'espace inchange.

'

- -

Done A comrne B ne depend que de ,r.

-

Choisissons OM pour axe Ox et ecrivons que :

-

B =By= rot A.

- --

--

^.

La composante de rot A sur Oy est :·

- - a

Ax fJAZ

(rot A)y=

h -

^fJx

=

^aAz

_ax

^car

- ^A

ne depend pas de z.

o~t

^{d~nc iJAz = -}_ax ^{·µ.o I}

_2,r

_x ^{OU Az}

^{= - -}

^µ.o

_2n ^I

^{Ln (x)}

⁺

^Cte.

; - - - · · .. , .... _ .. _ ,, _ _ _ _ ...;...;..;.___;,;.;_~;.,.;;...:;..;;_,.;.:..:,;="'-'-"-'---"-'-

I

-+---®N

0

y

-

9n sait d'autre part que A est parallele

a

Oz (fest du moins vrai pour unfit

- !1,1,o

J. -

tres long appffi.enanta un circl!it car ~. =, 4_>:tr

Tdici.tii

Id!_ ; le~ autres par- ties du circuit qu·e nous pouvons'imaginer syrnetriques creent des potentiel-.vec- teurs dont la somme est portee par Oz).

Done ^-A

=

^{Az ._}

= -

i -^µ,ol Ln (x) + Cte. ^- 2"1T'

- --+

14. Calculer le champ B et le potentiel-vecteur A d'un cylindre conducte1;1r homogene indefini de rayon R

- a

Pinterieur ; - sur sa surface ;

- a

Pextericur ;

On appellera I l'intensite I

= ,,.

^R2j du courant circulant dans le cylindre.

Soient Mi, M_{2 ,} M₃ des points d'abscisse x₁

<

^R,

x

₂ .=. R, x₃

>

R ; R rayon du conducteur,

Celui-ci etant homogene et ind~fini avec son axe pour axe de.revolution, on peut

- - ^.

affirmer que B et A ne dependront qu~ la distance x

a

l'axe du point de l'es- pace

ou

on les cakule.

Le theoreme d' Ampere s'ecrit pour B_{3 :} done

-

_B ^{·- .}

^.

^.

3 est, d'autre part, tangent en M₃ au cercle de centre O ·et de rayon x_{3 ;} son sens depend de celui de

I.

Si I circule suivant la direction Oz, alors t •

- ·µ.oI,

B3-=

- - y

2'TTXJ

- - ^·-

comme B₃

=

rot A₃ = (rot A₃)y et compte. tenu de ce que A₃ ne depend

-

que de x, on trouvera (voir chapitre 1, Mecanique, definition de rot.). A₃ porte par Oz

B3 ~ B3

=

~

= o

A3.r _

o

A3:z: == _ ii A3: ·

y 2'1T X3

oz

^{OX iJX}

ll-o

I .

A3:

= -

2^1T ln x3

+

Cte

On peut choisir la constante de fa9on que A₃

=

0 . pour x₃

=

^{R alors :}

IJ-o f

A3

= - -

In R

+

Cte

' 2'TT' ^⇒

r µ,o I Cte

=

^{- I n R}

2'1T

323

' . 't.,

.

. .. ^'

l I

l1 lj

ii

I:

I

j

1.

~.

\r•·

. :,..t. . ·- ^{j ·,. ,,,} ~ .• ,., ... , .

. ··~t~f .· .i; '.~ .. =

^{2 ~o}

l\n fR)

, . . . L ,;.

1T · \;3

'.,ft~1(fi.~ R\

'Le theoreme d' Ampere appliqu6 au cercle de rayon x₁ traverse par l'intensite :

~ .

2 . ,r?i

^I

(X1)2

I1 = ^{1T X1}

,

J = - - -

,r ^R" = - ^R

I s'ecrit :

done

-

^A1 est pour ies raisons·precedentes porte par

Oz

et fonction uniquement de

x

₁

- - ilA1z ,

B

1

=

^{(rot A1)}

= - - -

^z

Y

ax

d'ou :

Nous determinons la constante de · fa~on

pour ,-.•-x

_{1 ;;;;;}

R.

et

!Lo I Cte

= + -

41r

A-+ _

µ.o

^I

(xf _ i) ^z'

l

=

^{4,r R2}

3. Pour,,M

₂

(x

₂

= ^R)

Les calculs precedents donnent :_

et

par suite du choix arbitraire des constantes.

324

a

avoir encore