Commande et observation des systèmes à retards variables: Théorie et applications

(1)

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variables: Théorie et applications

Alexandre Seuret

To cite this version:

Alexandre Seuret. Commande et observation des systèmes à retards variables: Théorie et applications.

Automatique / Robotique. Ecole Centrale de Lille; Université des Sciences et Technologie de Lille

-Lille I, 2006. Français. �tel-00132099�

(2)

No d’ordre : 26

´

ECOLE CENTRALE DE LILLE

UNIVERSIT´E DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE

TH `

ESE

pr´esent´ee en vue d’obtenir le grade de

DOCTEUR

Spécialité : Automatique, Génie Informatique et Signal par

Alexandre Seuret

Ing´enieur ´Ecole Centrale de Lille

Commande et observation des syst`

emes `

a retards variables :

th´

eorie et applications

Doctorat délivré conjointement par l’École Centrale de Lille et l’Université de Sciences et Technologies de Lille Soutenue le 4 Octobre 2006 devant le jury constitué de :

M. J.-F. Lafay Professeur Pr´esident

´

Ecole Centrale de Nantes

M. C. Canudas de Wit Directeur de Recherche Rapporteur

Laboratoire d’Automatique de Grenoble

M. S.-I. Niculescu Directeur de Recherche Rapporteur

Laboratoire des Signaux et Syst`emes - CNRS - Sup´elec

M. W. Perruquetti Professeur Examinateur

´

Ecole Centrale de Lille

M. J.-P. Richard Professeur Directeur

´

Ecole Centrale de Lille

M. M. Dambrine Professeur Directeur

Laboratoire d’Automatique, de M´ecanique et d’Informatique Industrielles et Humaines

(3)

(4)

Table des mati`

eres

Remerciements 1

Notations 3

Introduction g´en´erale 5

1 Stabilité des systèmes à retards 9

1.1 Introduction . . . 9

1.2 Modélisation des systèmes à retards . . . 12

1.2.1 Les syst`emes de type retard´e . . . 12

1.2.2 Syst`emes de type neutre . . . 12

1.2.3 Modèles linéaires invariants à retards discrets . . . 13

1.2.4 Mod`eles non lin´eaires, non stationnaires . . . 14

1.2.5 Mod`eles de retards . . . 15

1.3 Stabilité des systèmes à retards par la seconde méthode de Lyapunov . . . 16

1.3.1 Seconde m´ethode de Lyapunov . . . 16

1.3.2 Approche par fonctions de Razumikhin . . . 17

1.3.3 Approche par fonctionnelles de Krasovskii . . . 18

1.3.4 Extensions des th´eor`emes de Lyapunov . . . 19

1.3.5 Deux transformations sur le mod`ele . . . 19

1.3.6 Stabilité asymptotique des systèmes à retards majorés . . . 20

1.3.7 Stabilité asymptotique des systèmes à retards bornés . . . 21

1.4 Conclusion . . . 22

2 Stabilité exponentielle des systèmes linéaires 25 2.1 Préliminaires . . . 25

2.2 Cas des retards constants . . . 26

2.3 Cas des retards variables major´es . . . 28

2.3.1 Stabilit´e exponentielle . . . 28

2.3.2 Exemple de comparaison . . . 34

2.3.3 Application au cas des retards multiples . . . 35

2.3.4 Application `a la stabilisation exponentielle . . . 38

2.3.5 Stabilisation `a coˆut quadratique garanti . . . 42 3

(5)

2.3.6 Optimisation de l’ensemble des conditions initiales admissibles . . . 45

2.4 Cas des retards variables born´es . . . 45

2.4.1 Etude de la stabilit´e . . . 46

2.4.2 Stabilisation des syst`emes lin´eaires . . . 50

2.4.3 Exemple . . . 52

2.5 Cas particulier des syst`emes neutres `a retard constant . . . 53

2.5.2 Exemple . . . 54

3 Stabilité des systèmes non linéaires à retards 57 3.1 Introduction . . . 57

3.2 Syst`emes affines en l’entr´ee . . . 58

3.2.1 Notations et formulation du probl`eme . . . 58

3.2.2 Transformations du syst`eme initial . . . 58

3.2.3 Exemple du pendule et du chariot . . . 59

3.3 Approches par mod`eles polytopiques . . . 61

3.3.1 Pr´esentation du probl`eme . . . 61

3.3.3 Stabilisation exponentielle de syst`emes polytopiques . . . 65

3.3.4 Exemple . . . 67

3.3.5 Conclusion . . . 67

3.4 Stabilisation exponentielle robuste . . . 68

3.4.2 Stabilité exponentielle de systèmes soumis à des incertitudes . . . 68

3.4.3 Application `a la stabilisation exponentielle . . . 74

3.4.4 Exemples . . . 78

3.5 Introduction `a la commande satur´ee . . . 80

3.6 Approche polytopique pour l’étude des systèmes à entrée saturée et retardée . . . 81

3.6.1 Systèmes à entrée saturée et retardée . . . 81

3.6.2 R´esultats pr´eliminaires . . . 82

3.6.3 Stabilisation Locale . . . 83

3.6.4 Exemple . . . 84

3.7 Systèmes à entrée saturée et à état retardé . . . 85

3.7.1 Position du Probl`eme . . . 85

3.7.2 Conditions de stabilit´e . . . 86

3.7.3 Etude du cas retard´e . . . 89

3.7.4 Optimisation des r´esultats . . . 92

3.7.5 Exemples . . . 93

(6)

TABLE DES MATI `ERES 5

4 Systèmes à entrée échantillonnée 97 4.1 Introduction . . . 97

4.2 Une approche fr´equentielle . . . 98

4.2.1 Condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e . . . 98

4.2.2 Cas du double int´egrateur . . . 100

4.2.3 Une premi`ere approche par retard variable . . . 100

4.3 Une approche par retard variable . . . 101

4.3.1 Stabilité d’un système à entrée échantillonnée . . . 102

4.3.2 Etude de la robustesse . . . 104

4.3.3 Stabilité d’un système neutre à entrée échantillonnée retardée . . . 105

4.3.4 Stabilisation exponentielle . . . 106

4.3.5 Stabilisation des systèmes à entrée saturée et échantillonnée . . . 108

5 Observation des syst`emes `a retards 113 5.1 Introduction . . . 113

5.2 Observation de syst`emes `a retards connus . . . 114

5.2.2 Retard connu sur l’´etat et la sortie . . . 114

5.2.3 Conclusion . . . 115

5.3 Observation de syst`emes `a retards inconnus . . . 115

5.3.1 Introduction . . . 115

5.3.2 Observateurs `a modes glissants . . . 116

5.3.3 Retour de sortie sur la partie non-mesurable . . . 121

5.4 α−stabilit´e des observateurs `a modes glissants . . . 125

5.4.1 Observateur α_{−stable . . . 125}

5.4.2 Observateur `a retour de sorties . . . 127

5.5 Exemples . . . 129

5.5.1 Exemple 1 . . . 129

5.5.2 Exemple 2 . . . 130

6 Applications 135 6.1 Etude de la barre de torsion . . . 135

6.2 Application à la télé-opération . . . 137

6.2.1 Introduction . . . 137

6.2.2 Conception de la commande du syst`eme . . . 141

6.2.3 Application au cas d’un robot mobile . . . 149

6.2.4 Conception informatique . . . 150

6.2.5 Conclusion . . . 153

(7)

6.3.1 D´eplacement motoris´e d’un chariot . . . 153

6.3.2 Modèle du système à commander . . . 154

6.3.3 Syst`eme de vision artificielle . . . 154

6.3.4 Utilisation d’un observateur pr´edicteur . . . 155

6.3.5 Validation exp´erimentale . . . 156

6.3.6 Conclusion . . . 158

6.4 Commande retard´ee d’un pendule inverse . . . 159

6.4.1 Position du probl`eme . . . 159

6.4.2 Modélisation sous forme systèmes de paramètres incertains . . . 160

6.4.3 Etude de la stabilisation du pendule inverse . . . 161

6.4.4 R´esultats . . . 162

6.4.5 Conclusion . . . 162

Conclusion 164 A Inégalités matricielles linéaires 165 A.1 Définitions et notations . . . 165

A.2 Programmation semi-d´efinie . . . 165

A.3 Les th´eor`emes classiques . . . 166

B Commande d’un pulv´erisateur [3] 167 B.1 Introduction . . . 167

B.2 Description of the system . . . 168

B.3 Modelling of the system . . . 168

B.4 Control law . . . 170

B.5 Stability analysis . . . 171

B.6 Implementation . . . 177

B.7 Conclusions . . . 178

C Contrˆole d’un moteur par capteur visuel [20] 179

D Observateurs `a modes glissants et observateurs d’Utkin 191

(8)

Remerciements

Le travail que nous présentons dans ce mémoire a été effectué au LAGIS sous la direction de Monsieur Jean-Pierre Richard, Professeur à l’Ecole Centrale de Lille et de Monsieur Michel Dambrine, Professeur au LAMIH.

Je tiens à remercier très vivement Monsieur Jean-Pierre Richard et Monsieur Michel Dambrine de m’avoir accepté dans leur équipe, de leur enthousiasme envers mon travail, de leur disponibilité. Les judicieux conseils qu’ils m’ont prodigués tout au long de ces trois années de thèse m’ont permis de progresser dans mes études et d’achever ce travail dans les meilleures conditions.

Je suis très honoré que Monsieur Carlos Canudas de Witt, Directeur de Recherche CNRS au Laboratoire d’Automatique de Grenoble et Monsieur Silviu-Iulian Niculescu, Directeur de Recherche CNRS à l’Heudiasyc aient accepté de rapporter mon travail.

Je tiens aussi à assurer de ma reconnaissance Monsieur Jean-Fran¸cois Lafay, Professeur à l’IRCYN, qui a accepté de juger mon travail.

Je suis aussi très reconnaissant à Monsieur Wilfrid Perruquetti, Professeur à l’Ecole Centrale de Lille, pour avoir accepté d’examiner mon travail. Je tiens aussi à le remercier, pour tous les conseils et avis qu’il m’a donnés lors de nos nombreuses discussions.

C’est avec sympathie que je souhaite témoigner ma reconnaissance à Monsieur Thierry Floquet, Chargé de Recherche au CNRS et au LAGIS pour la pertinence de ses remarques et ses conseils et à Jan Anthonis, Docteur `

a l’Universit´e de Leuven en Belgique, pour les nombreuses discussions et collaborations que nous avons eu tout au long de mon doctorat.

J’aimerai exprimer aussi toute ma gratitude envers tous les membres du LAGIS pour leur sympathie. Ils ont rendu très agréables ces trois années. Je pense particulièrement à Philippe Vanheeghe, Professeur à l’Ecole Centrale de Lille et Directeur du LAGIS, mais aussi Hilaire, Gilles, Bernard, Jacques, Brigitte, Régine et Patrick. Bien sûr je souhaite aussi remercier les doctorants qui sont devenus plus que des collègues de travail. Un grand merci à Romain, Nima, Fran¸cois, Michaël, Mohammed, Afzal, Emmanuel et tous les autres.

Je souhaite aussi dire un grand merci `a tous mes amis Lillois, Parisiens, Seine-et-Marnais et tous les autres pour leur soutien.

Je terminerai cet avant-propos en remerciant chaleureusement ma famille, Stéphane et Agnès pour leur implication dans mes choix tant au niveau professionnel que personnel, et bien sûr ma mère qui m’a énormément soutenu. Je voulais aussi remercier le petit Eliott et la petite Camille pour leurs nombreux et chaleureux sourires.

(9)

(10)

Notations

Notations relatives aux ensembles : – R : ensemble des nombres r´eels – C : ensemble des nombres complexes – R+ _{: ensemble des nombres r´eels ou nuls}

– Rn _{: espace vectoriel de dimension n construit sur le corps des r´eels.}

– [a, b] : intervalle fermé de R d’extrémités a et b – ]a, b[ : intervalle ouvert de R d’extrémités a et b – [a, b[ : intervalle semi-fermé de R d’extrémités a et b

– Nr={1, ..., r} : ensemble des r premiers nombres entiers positifs

– _{C = C([−τ, 0]; R}n_{) ensemble des fonctions continues de [}

−τ, 0] dans Rn

– xt∈ C est d´efinie par xt(θ) = x(t− θ), ∀θ ∈ [−τ, 0]

– _C1₌

C1_([

−τ, 0]; Rn_{) ou}

C1_(Rn_{) : ensemble des fonctions continˆ}_{ument diff´erentiables de [}

−τ, 0] dans Rn

– D : sous-ensemble de Rn

– _{C(D) : sous-ensemble de C d´efini par C(D) = {φ ∈ C : φ(θ) ∈ D, ∀θ ∈ [−τ, 0]}} – _{|.| : valeur absolue d’un nombre r´eel ou module d’un nombre complexe} – _{k.k : une norme sur R}n

– _k.k_C : norme sur_{C d´efinie par ∀φ ∈ C : kφk}_C = sup_{θ∈[−τ,0]}_{kφ(θk)} – t∈ R+ _{: variable temporelle}

(11)

– x = [x1, ..., xn]∈ Rn : vecteur d’´etat instantan´e

– ˙x(t) = dx

dt : dérivée temporelle de l’état x

– x(i) _{: i}ème _{dérivée de x par rapport au temps}

Notations relatives aux vecteurs : – xT _{: transpos´e du vecteur x}

– _{kxk : norme Euclidienne de x} Notations relatives aux matrices

– [aij] : matrice dont le coefficient de la ieme` ligne et jeme` colonne est aij

– AT _{: transpos´e de la matrice A}

– _{kxk : norme Euclidienne de x}

– A < B (resp. A > B) : signifie que A_{− B est une matrice définie négative ( resp. définie positive)} – kAk : norme Euclidienne de la matrice A

– In : matrice identit´e de Rn×n

– _kAkeo`u A est une matrice carr´ee est le plus grand module des valeurs propres de la matrice A.

– λmin(A), o`u A est une matrice sym´etrique, est la plus petite valeur propre de A.

– λmin(A), où A est une matrice carrée est la plus petite de valeur absolue de la partie réelle des valeurs

(12)

Introduction g´

en´

erale

Ce travail de doctorat a été préparé au sein de l’équipe SyNeR 1 _{(Systèmes Non linéaires et à Retards) du}

Laboratoire d’Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS, UMR CNRS 8146). Mon travail de recherche s’inscrit dans le cadre du projet ROBOCOOP2, soutenu par le Conseil Régional Nord-Pas de Calais et l’Union Européenne. Ce projet concerne le développement de robots autonomes et collaboratifs. Un robot autonome est un système automoteur, disposant à la fois de moyens de traitement de l’information permettant une capacité décisionnelle suffisante et de moyens matériels adaptés, de fa¸con à pouvoir exécuter, sous contrôle humain réduit, un certain nombre de tâches précises, dans un environnement variable non complètement connu à l’avance. Ces robots autonomes devront réaliser une action commune. Cette collaboration suppose un partage de tâches et d’informations, ce qui implique la présence d’un réseau de communication. Les objectifs principaux du projet ROBOCOOP sont de proposer et de mettre en œuvre des outils pour la modélisation, l’analyse et la synthèse de lois de commande spécifiques à la coopération de robots distants.

Dans ce mémoire, l’accent va être porté sur l’analyse des problèmes apparaissant dans les communications entre les différents agents coopérants et le développement de solutions dédiées. La principale difficulté rencontrée pour ce type de problèmes est l’existence de retards induits par la transmission des informations. En outre — difficulté supplémentaire,— pour différentes raisons comme la variation de la distance séparant les robots mo-biles, les valeurs de ces retards sont fonction du temps. Mon travail de recherche est consacré au développement d’outils d’analyse et de synthèse de lois de commande qui s’appliquent aux systèmes à retards variables de lois connues ou non.

Considérons l’exemple d’une flotte de N robots coopérants. Pour représenter son évolution, on peut suivre l’hypothèse classique dans la modélisation mathématique qui suppose que le comportement futur peut être caractérisé uniquement à l’instant présent (noté t) par un vecteur x(t) appartenant à un espace vectoriel de dimension finie Rn_{. On appelle alors x(t) le vecteur d’état de l’ensemble des robots se dépla¸cant dans un}

espace donné. Ce vecteur x(t) rend compte de l’état de chacun des N robots pris individuellement, c’est-à-dire x(t) = [x1(t), ..., xi(t), .., xN(t)]. La composante xi(t) du ièmerobot contient notamment sa position et sa vitesse.

L’évolution de l’état de chacune des entités est alors décrite par le système d’équations :

∀i = 1, .., N, ˙xi(t) = f (x1(t), ..., xi(t), .., xN(t)). (I)

Pour de nombreux systèmes, l’hypothèse d’un modèle à état de dimension finie (I) n’est plus valable. Dans l’exemple précédent, les retards induits par le réseau de communication impliquent que cette représentation est

1

Le site de l’´equipe SyNeR est disponible sur http ://syner.free.fr/

2

Le site du projet ROBOCOOP est disponible sur http ://syner.ec-lille.fr/robocoop/

(13)

peu réaliste. En effet, les informations provenant des autres robots ne parviennent qu’un certain laps de temps après leur émission. Cette situation conduit alors à modifier le système (I) en un système plus complexe :

∀i = 1, .., N, ˙xi(t) = f (x1(t− τ1), ..., xi−1(t− τi−1), xi(t), xi+1(t− τi+1), .., xN(t− τN)). (II)

Les retards de transmission τidépendent souvent du temps t et sont fréquemment la cause d’une dégradation

de performances.

Plus généralement, les systèmes à retards (ou “héréditaires”) sont des systèmes dont la dynamique ne dépend plus uniquement de la valeur du vecteur x exprimée à l’instant présent t, mais aussi des valeurs passées de x(t) prises sur un certain horizon temporel. Les équations différentielles “décrivant” l’évolution du système dépendent de xi(t− τi), avec τi ≥ 0. Dans ce cas, l’état à l’instant t est “décrit” par une fonction, notée xt,

définie sur l’intervalle [−τ, 0]. Cette fonction xt représente ainsi un état distribué et non plus localisé dans le

temps. On retrouve de tels exemples de systèmes dans une multitude de domaines (chimie, biologie, transport, communication, mécanique, mécanique des fluides,...). Remarquons que les systèmes “à états de dimension finie” ne sont finalement en pratique que des modèles simplifiés de systèmes à état fonctionnel.

L’analyse de la stabilité des systèmes à retards peut être menée à l’aide de techniques issues de la seconde méthode de Lyapunov. Dans la littérature, on trouve de nombreux résultats concernant des retards constants ou variables, simples ou multiples. La pertinence des conditions obtenues dépend du type de systèmes considéré, du domaine d’application, mais aussi de leur conservatisme. Bien que focalisé sur l’aspect retard, l’objectif de ce mémoire est multiple. Il s’agit principalement de :

– déterminer des lois de commande stabilisante garantissant certaines caractéristiques (bornes de retards admissibles, performances en stabilité/stabilisation, robustesse) ;

– déduire également des techniques de reconstruction d’état (avec le même type de caractéristiques) ; – trouver des situations concrètes dans lesquelles ces méthodes montrent leur intérêt ;

– contribuer à la réduction du conservatisme des théorèmes et à les utiliser pour résoudre des problèmes expérimentaux.

Le premier chapitre de ce mémoire est consacré à la présentation de bases théoriques sur les systèmes à retards. On y présentera les principaux outils pour l’étude de la stabilité ou de la stabilisation asymptotique basés sur les extensions aux systèmes à retards de la théorie des fonctions de Lyapunov.

Le deuxième chapitre traite du problème théorique de la stabilité et de la stabilisation exponentielles des systèmes linéaires à retards. Nous présenterons diverses méthodes qui assurent non seulement la convergence mais aussi une certaine rapidité de convergence.

Le troisième chapitre porte sur l’extension des résultats proposés au chapitre précédent à deux classes de systèmes non linéaires à retards. En particulier, on considérera les deux problèmes pratiques de l’incertitude provenant de l’identification de paramètres et la saturation de commande.

Dans le quatrième chapitre, on procède à l’étude des systèmes continus à commande échantillonnée. Une approche par retard variable est proposée qui permet d’utiliser les approches classiques des systèmes à re-tards au cas des systèmes échantillonnés. L’objectif pratique de ce chapitre est d’étudier qualitativement et quantitativement l’effet de la période d’échantillonnage sur le comportement asymptotique des solutions.

(14)

Introduction générale 7 Le cinquième chapitre concerne l’observation des systèmes à retards. Nous présentons des résultats concer-nant le cas, fréquent dans la littérature, de retards connus mais aussi le cas, plus délicat, des retards inconnus. Le dernier chapitre présente quelques problèmes expérimentaux pour lesquels les résultats théoriques présentés tout au long de ce mémoire trouvent finalement leur justification. En effet les retards ou les échantillonnages apparaissent fréquemment sur des plates-formes expérimentales. Nous nous pencherons particulièrement sur le problème de la commande d’un robot à distance et à travers un réseau internet , celui de la commande d’un pendule 2D dont les informations de sortie proviennent d’un capteur visuel induisant un retard et un phénomène d’échantillonnage et à la synthèse d’une loi de commande qui stabilise un pendule inversée malgré la présence d’un retard variable en entrée.

(15)

(16)

Chapitre 1

Stabilit´

e des syst`

emes `

a retards

1.1 Introduction

Les phénomènes de retard apparaissent naturellement dans la modélisation de nombreux processus physiques. La biologie, l’écologie, les sciences de l’ingénieur ou les télécommunications sont des domaines où interviennent des équations différentielles dont l’évolution dépend non seulement de la valeur de leurs variables à l’instant présent t, mais aussi d’une partie de leur “histoire”, c’est-à-dire des valeurs à un instant t′ _{< t. Ces équations}

différentielles sont ainsi dites “héréditaires” ou “à arguments (ici temporels) différés” ou plus simplement ”à retard”.

En sciences de l’ingénieur, on constate que la plupart des commandes actuellement implantées le sont sur des calculateurs numériques. Par conséquent, même si un processus à réguler ne contient pas de retard intrinsèque, bien souvent des retards apparaissent dans la boucle de commande par l’intermédiaire des temps de réaction des capteurs ou des actionneurs (1), des temps de transmissions des informations (2) ou des temps de calculs (3). La Figure 1.1 permet de localiser les lieux où apparaissent ces retards. Ces retards peuvent quelquefois être négligés, mais lorsque leur taille devient significative au regard des performances temporelles du système (dynamiques en boucles ouverte et fermée) il n’est plus possible de les ignorer. On retrouve ici la problématique classique de la “dynamique des actionneurs”, mais avec une complexité supplémentaire provenant, nous le verrons, de la nature des équations des systèmes héréditaires.

Fig._{1.1 – Illustration de la provenance des retards dans une boucle de contrˆole.} 9

(17)

Par ailleurs, les commandes implantées ne peuvent être vues comme des fonctions continues du temps du fait que le calculateur travaille avec une fréquence limitée. Le temps d’échantillonnage correspond ainsi au temps nécessaire aux calculateurs et aux convertisseurs analogique-numérique pour passer d’une valeur à la suivante. L’impact des périodes d’échantillonnage sur les performances d’un processus doit également être évalué. De plus la périodicité de l’échantillonnage n’est qu’une première approximation, qui ne peut pas être fondée dans le cas d’un processus à dynamiques rapides commandé par un système temps réel. Dans ce cas, l’ordonnancement des tâches peut aussi créer des variations de cadence non négligeables. Ici encore, une garantie des performances est souhaitable. Nous aborderons ce point au Chapitre 4.

Exemple d’un processus command´e par retour visuel

Considérons un premier exemple de système où le retard apparaˆıt dans la boucle de commande. Le dévelop-pement des technologies dans le domaine de l’imagerie a motivé l’utilisation de caméras comme capteurs ([83], Chapitre 1). La Figure 1.2 est un exemple de plateforme expérimentale disponible au LAGIS [19], [20].

Fig._{1.2 – Syst`eme `a retour visuel}

Il s’agit d’un pendule inversé dont le point bas se déplace sur le plan horizontal. Sur le point haut de la barre du pendule sont disposés des émetteurs reconnus par la caméra. Dans une première phase, les informations échantillonnées issues du capteur caméra doivent être interprétées et modifiées en vue de délivrer des données utilisables par le contrôleur. Cette opération nécessite des temps de calcul non négligeables qui introduisent des retards dans la boucle de commande. La Figure 1.3a présente une modélisation de cette partie. La Figure 1.3b montre la différence entre la sortie réelle mais indisponible y et la sortie retardée et échantillonnée z.

Il est évident que l’utilisation de la sortie z peut poser des problèmes dans le calcul de la commande. On en déduit la nécessité de l’analyse de ces systèmes et de trouver des solutions garantissant un meilleur contrôle. Nous reviendrons sur cet exemple dans le Chapitre 6 où une solution a été développé en collaboration avec A. Chamroo [20].

Exemple d’un système commandé à travers un réseau de communication

Dans un autre registre, le contrôle à distance est un moyen de réaliser sans danger des tâches en envi-ronnement hostile (déminage, dépollution par exemple), d’admettre des utilisateurs délocalisés (enseignement, chirurgie...) ou encore de faire collaborer plusieurs applications d’un système informatique distribué. Bien-sur, le

(18)

1.1. INTRODUCTION 11

+ =

=

Fig._{1.3 – Sortie du pendule 2D [19]}

transfert informatique des données (capteurs ou commande) par le réseau nécessite l’échantillonnage des sorties capteur et des commandes générées. Il faut ajouter à cela l’apparition de retards intervenant dans une ligne de communication [14], [107], [134] et [135]. Dans des communications à travers un réseau internet, ces retards sont généralement variables et constituent un facteur non négligeable de dégradation des performances.

Le nombre croissant d’articles concernant la commande de systèmes en réseau (“Networked Control System-s”) montre l’intérêt porté à ce domaine1_{. Cette problématique pose des problèmes dans l’analyse de la stabilité}

d’un système tel que le système Maˆıtre-Esclave présenté Figure 1.4. C’est pourquoi le problème de la commande `

a distance constitue un enjeu actuel de l’automatique des systèmes à retards. Il sera également l’objet d’une étude au Chapitre 6.

E

s

c

l

a

v

e

R Réésseeaauuiinntteerrnneett Echantillonnage

M

a

i

t

r

e

Echantillonnage

Fig. _{1.4 – Système commandé à distance}

Ce mémoire concerne la stabilité, la commande et l’observation des systèmes à retards ainsi que quelques unes des applications qui en découlent. La suite de ce premier chapitre s’articule en deux parties visant à situer nos travaux fondamentaux dans un cadre relativement général.

La partie 1.2 est consacrée à la modélisation. Nous y présenterons les différentes classes de systèmes et de retards que l’on rencontre dans la littérature.

1

(19)

La partie 1.3 concerne les approches de type Lyapunov et rappelle quelques résultats concernant la stabilité des systèmes à retards. Ces méthodes récentes permettent de réduire le conservatisme inhérent à cette approche (conditions suffisantes et non nécessaires) et de prendre aussi en compte le fait que le retard est une fonction variant dans le temps.

1.2 Mod´

elisation des syst`

emes `

a retards

Dans cette partie, nous allons présenter les différents types de systèmes à retards rencontrés dans la littérature. Nous n’exposerons pas le problème de Cauchy associé aux différents classes de systèmes, initialement étudié par Mishkis [108]. Le lecteur se référera aux ouvrages [10], [85] ou [126] sur les conditions d’existence et d’unicité des solutions.

1.2.1 Les syst`

emes de type retard´

e

Comme nous l’avons dit, les systèmes retardés sont des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles fonctionnelles portant à la fois sur des valeurs présentes et passées du temps. Si nous suppo-sons que la dérivée du vecteur d’état peut être explicitée à chaque instant t, de tels systèmes sont régis par des équations différentielles de la forme :

       ˙x(t) = f (t, xt, ut), xt0 = φ(θ) pour θ∈ [t0− τ, t0], ut0 = ζ(θ) pour θ∈ [t0− τ, t0], (1.2.1)

o`u τ > 0 et les fonctions xtet ut sont d´efinies par (notation de Shimanov, [137]) :

xt : ( [−τ, 0] → Rn_, θ_{7→ x}t(θ) = x(t + θ), (1.2.2) ut : ( [_{−τ, 0] → R}n_, θ7→ ut(θ) = u(t + θ). (1.2.3) Nous noterons par la suite _{C = C}0_([

−τ, 0], Rn_{) l’ensemble des fonctions continues de [}

−τ, 0] dans Rn_.

La fonction xt ∈ C représente l’état du système à l’instant t, utest l’entrée (commande et perturbations2) du

système. Les conditions initiales φ et ζ à l’instant t0 sont des fonctions de [t0− τ, t0] vers Rn et supposées

continues par morceaux.

Les systèmes héréditaires appartiennent donc à la classe des systèmes de dimension infinie ou systèmes fonctionnels.

1.2.2 Syst`

emes de type neutre

Les systèmes neutres sont aussi des systèmes héréditaires. La différence avec le cas des systèmes retardés vient des arguments du champ de vecteur f , qui, cette fois-ci, font aussi intervenir la dérivée de l’état xtet, par

conséquent, des dérivées retardées de x(t). On les représente alors par des équations différentielles de la forme :

2

Les perturbations peuvent aussi être modélisées par la présence du premier argument de la fonction f , sous forme d’un système

(20)

1.2. MOD ÉLISATION DES SYST ÈMES À RETARDS 13        ˙x(t) = f (t, xt, ˙xt, ut), xt0 = φ(θ) pour θ∈ [−τ, 0], ut0 = ζ(θ) pour θ∈ [−τ, 0]. (1.2.4)

La pr´esence de l’argument ˙xtrend l’analyse de ces syst`emes plus complexe. Une autre formulation possible

est celle d´efinie par Hale et Lunel [73] : n

Fxt

dt = f (t, xt, ut), (1.2.5)

où F : C → Rn _{est un opérateur régulier. On peut citer le cas particulier linéaire qui s’écrit :}

Fxt= x(t)− Dx(t − g), (1.2.6)

o`u D est une matrice constante et g > 0 un retard.

La stabilité d’un tel système nécessite que l’opérateurF vérifie des conditions restrictives du fait de l’équation aux différences par rapport à ˙x(t), soit _Fxt = 0 [85][108]). Pour reprendre l’exemple de l’opérateur linéaire

(1.2.6), il est nécessaire que les valeurs propres de la matrice D soient incluses à l’intérieur du cercle unité (critère de Schur-Cohn, critère de Jury [111],[125]) pour obtenir des propriétés de convergence de (1.2.5).

1.2.3 Mod`

eles lin´

eaires invariants `

a retards discrets

Les retards discrets correspondent au cas o`u le support de xt et ut a une mesure nulle et peut se r´eduire

`

a un nombre fini de point. Dans le cas des systèmes linéaires invariants (en anglais “Linear Time-Invariant”, LTI), les équations différentielles à retards discrets sont de la forme :

(

˙x(t) = Pq_i=1Dl˙x(t− ωl) +Prj=0(Ajx(t− τj) + Bju(t− τj)),

y(t) = Pr_j=0Cjx(t− τj),

(1.2.7) où x ∈ Rn_{, u} _{∈ R}m _{et y} _{∈ R}p _{représentent respectivement le “vecteur d’état instantané” [87], le vecteur de}

commande et le vecteur de sortie du syst`eme, τ0= 0 et les matrices d’´etat Ai∈ Rn×n, de commande Bi∈ Rn×m,

des termes neutres Di∈ Rn×net de sortie Ci∈ Rp×nsont des matrices constantes. Les retards τj > 0 et ωi> 0,

bien que pouvant ´eventuellement varier3 _{dans le temps, sont des retards discrets (ou “ponctuels”) en ce sens}

que le système différentiel (1.2.7) ne nécessite, pour le calcul de ˙x(t) à l’instant t, qu’une information discrète sur l’état fonctionnel xt et de sa dérivée, dans le cas neutre.

Remarque 1.2.1 Le retard peut intervenir d’une autre manière dans les équations d’états. On mentionne les retards distribués qui font intervenir dans le système d’équation (1.2.7) des termes de la formeR_t−σt G(θ)x(θ)dθ. Dans ce mémoire, l’analyse de ces retards ne sera pas abordée. On pourra par exemple se référer à [111] pour quelques critères concernant les systèmes à retards distribués et à [153] pour leur application en tant que prédicteurs.

Dans le cas “simplement” retardé, le système (1.2.7) s’écrit : (

˙x(t) = Pri=0(Aix(t− τi) + Biu(t− τi)),

y(t) = Pr_i=0Cix(t− τi).

(1.2.8)

3

Si le retard varie, le système n’est plus à proprement parler “invariant” (LTI) mais nous avons préféré cet abus de langage à

(21)

1.2.4 Mod`

eles non lin´

eaires, non stationnaires

Afin de se rapprocher du comportement des processus réels, il nous parait intéressant de proposer des modèles dont les paramètres peuvent varier au cours du temps et avec l’état. Les modèles non linéaires autorisent un plus grand domaine d’analyse puisque leur validité ne se réduit pas à un voisinage du point d’équilibre ou de la trajectoire de référence. Ils permettent, après transformations, de considérer des fonctionnements plus globaux. La différence avec les systèmes linéaires est que les matrices Ai, Bi et Ci deviennent des fonctions du

temps et/ou de l’état et généralement continues (ou continues par morceaux) en leurs arguments. Les équations définissant ces modèles, dans le cas d’un retard simple (c’est-à-dire r = 1) sur l’état et sur l’entrée, se présentent de la manière suivante [69] :

(

˙x(t) = A(t, xt)x(t) + B(t, xt)u(t)) + Aτ(t, xt)x(t− τ) + Bτ(t, xt)u(t− τ)),

y(t) = C(t, xt)x(t),

(1.2.9) Afin de faciliter l’étude de ces systèmes, nous utiliserons deux modélisations sensiblement différentes. La première est la modélisation polytopique. Elle consiste à exprimer les fonctions matricielles comme une somme pondérée de matrices constantes. La seconde est la modélisation par systèmes à paramètres incertains.

Les mod`eles polytopiques

La modélisation polytopique [140] transforme un système de la forme (1.2.9) en un système multimodèle, c’est-à-dire une somme de modèles linéaires pondérés de fa¸con non constante [140]. Ceci s’exprime de la manière suivante [69] :

(

˙x(t) = Pr_i=0λi(t, xt){Aix(t) + Biu(t)) + Aτ,ix(t− τ) + Bτ,iu(t− τ))} ,

y(t) = Pr_i=0λ(t, xt){Cix(t)} ,

(1.2.10) où les fonctions scalaires λi(t, xt), pour i = 1, .., r, sont des fonctions de pondération vérifiant les conditions de

convexit´e :

Pr

i=0λi(t, xt) = 1 et ∀i = 1, .., r, λi(t, xt)≥ 0. (1.2.11)

Si les fonctions matricielles A(t, xt), Aτ(t, xt), B(t, xt), Bτ(t, xt) sont continues, les fonctions λi(t, xt) le

sont elles aussi. Par la suite, l’objectif sera de faire ressortir des propriétés communes à tous les sous-modèles linéaires4 _{pour en déduire celles du système (1.2.10). Cette modélisation va notamment permettre d’élaborer}

des conditions de stabilité exponentielle pour les systèmes à retards variables. Les modèles à paramètres incertains bornés en norme

La modélisation par paramètres incertains considère que chaque fonction matricielle définissant le système (1.2.9) est la somme d’une matrice constante représentant le comportement nominal et d’une matrice dépendant de t et de xt représentant les perturbations par rapport au système nominal. Il s’exprime alors de la manière

suivante :        ˙x(t) = (A + ∆A(t, xt))x(t) + (Aτ+ ∆Aτ(t, xt))x(t− τ) +(B + ∆B(t, xt))u(t)) + (Bτ+ ∆Bτ(t, xt))u(t− τ)), y(t) = (C + ∆C(t, xt))x(t), (1.2.12) 4

(22)

1.2. MOD ÉLISATION DES SYST ÈMES À RETARDS 15 où les matrices A, Aτ, B, Bτ et C sont des matrices constantes de dimension appropriée. Les matrices

représentant les perturbations sont généralement présentées sous la forme [69] : ∆A(t, xt) = G∆(t, xt)D, ∆Aτ(t, xt) = Gτ∆(t, xt)Dτ,

∆B(t, xt) = H∆(t, xt)E, ∆Bτ(t, xt) = Hτ∆(t, xt)Eτ,

∆B(t, xt) = J∆(t, xt)F,

(1.2.13)

o`u ∆(t, xt) est une matrice qui v´erifie :

∀t, ∆T_{(t, x}

t)∆(t, xt)≤ In. (1.2.14)

Les amplitudes de variation des coefficients de perturbations sont ainsi reportées dans les matrices (G, D), (Gτ, Dτ), (H, E), (Hτ, Eτ), (J, F ). Cette représentation est généralement utilisée dans le problème de la synthèse

de lois de commande [35]. Elle permet en effet de caractériser la robustesse par rapport à des incertitudes paramétriques. De plus, cette modélisation sera elle-aussi utile pour établir d’autres conditions de stabilité exponentielle pour les systèmes à retards variables.

1.2.5 Mod`

eles de retards

Dans cette partie, nous présenterons succinctement les différents modèles de retards discrets que l’on ren-contre dans la littérature.

a) Retards constants : Les premières études sur la stabilité des systèmes à retards concernaient principale-ment des retards constants. On compte de nombreux critères fréquentiel [24], LMI [69], [111] développés pour des retards constants connus ou inconnus (à borne connue ou non). Depuis le milieu des 90, différentes conditions, présentées sous forme LMI, de stabilité robuste de systèmes linéaires à retards constants mais incertains ont été développées [86],[92] et [111]. Dans la plupart des cas réellement rencontrés, seule une partie récente du passé exerce une influence sur le comportement du système. On parle alors d’équations `

a retards majorés ou bornés s’il existe un nombre réel τ > 0 tel que dans les équations (1.2.1) et (1.2.4) les fonctionnelles xtet ˙xt sont définies sur l’intervalle [−τ, 0].

b) Retards variables majorés : Comme la constance du retard est une hypothèse rarement vérifiée dans la réalité (communications internet [99] et modèles de vannes [4] pour ne citer que deux exemples), le cas des retards variables (connus ou inconnus) a fait lui aussi l’objet de nombreuses recherches. On définit les retards majorés pour lesquels il existe un réel connu τ2> 0 tel que [79] :

0_{≤ τ(t) ≤ τ}2. (1.2.15)

Certains auteurs rajoutent des conditions de r´egularit´e sur ces fonctions de retards, comme nous le verrons dans cette description.

c) Retards variables bornés : Une grande partie des résultats existant supposent que les retards varient dans un intervalle [0, τ2]. Or les retards apparaissant dans des processus réels sont le plus souvent dus à

des phénomènes de transfert d’information ou de matière. Le fait d’autoriser le retard à prendre la valeur 0 revient à supposer qu’à un moment ce transfert se fait de manière instantanée. Dans ce contexte et à condition bien sûr que cela conduise à des critères moins restrictifs, il parait intéressant de se donner une borne inférieure du retard pour ensuite se donner les moyens de mesurer son impact sur la stabilité du

(23)

système. On définit alors les retards bornés, les retards τ (t) pour lesquels il existe deux réels τ1 et τ2 tels

que :

0 < τ1≤ τ(t) ≤ τ2. (1.2.16)

Ce n’est que récemment que des chercheurs ont obtenus des solutions à ce problème [49], [54], [80]. La méthode proposée dans ces articles est identique. Elle consiste à transformer le retard τ (t) en une somme de deux retards. Le premier peut être assimilé à un retard nominal et le second comme étant une perturbation bornée par rapport au retard nominal.

d) Retards variables avec contrainte sur la dérivée : De nombreux résultats nécessitent une condition sur la dérivée de la fonction retard. On suppose alors qu’il existe un réel d tel que :

˙τ (t)≤ d < 1. (1.2.17)

Si l’on regarde la fonction f (t) = t− τ(t), la condition précédente implique que f est une fonction strictement croissante. Cela signifie que les informations retardées arrivent dans un ordre chronologique. e) Retards variables continus par morceaux : Ces retards apparaissent notamment lors de

l’échantillo-nnage d’un signal. Ce cas particulier autorise notamment la dérivée du retard à prendre la valeur 1 : (critique au vu de la contrainte précédente).

˙τ (t)≤ 1. (1.2.18)

Ce cas sera trait´e dans le Chapitre 4.

Généralement, les contraintes faites sur les retards sont des combinaison des différents modèles présentés. On trouve dans la littérature des résultats qui allient

Dans ce mémoire, on évitera le plus souvent possible la contrainte d). Généralement notre travail s’adressera aux cas alliant b), c) et e)

1.3 Stabilit´

e des syst`

emes `

a retards par la seconde m´

ethode de

Lya-punov

Dans cette partie, nous allons rappeler quelques résultats concernant la stabilité asymptotique des systèmes à retards en se focalisant sur l’approche temporelle liée à la seconde méthode de Lyapunov.

1.3.1 Seconde m´

ethode de Lyapunov

Consid´erons le syst`eme suivant :

˙x(t) = f (t, x(t), xt),

xt0(θ) = φ(θ), pour θ∈ [−τ, 0],

(1.3.1) dont nous supposerons qu’il admet une solution unique et un état d’équilibre xt = 0 (si le système admet un

autre point d’´equilibre, nous pouvons nous ramener par un changement de variables).

La seconde méthode de Lyapunov repose sur l’existence d’une fonction V définie positive telle que le long des trajectoires de (1.3.1), on ait dV_dt < 0, si x_{6= 0. Cette méthode directe n’est valable que pour une classe}

(24)

1.3. STABILIT É DES SYST ÈMES À RETARDS PAR LA SECONDE M ÉTHODE DE LYAPUNOV 17 restreinte de systèmes héréditaires car dV_dt dépend des valeurs passées xt. Elle est donc très difficile à appliquer

dans le cas général des systèmes à retards. Deux extensions à la seconde méthode de Lyapunov ont alors été développées dans le cadre des équations différentielles à retards. Dans le cas des équations ordinaires (c’est-à-dire sans retard), la fonction V = V (t, x(t)) ne dépend que d’arguments présents. Dans le cas retardé, deux types d’approches sont possibles : V = V (t, x(t)) ou V = V (t, xt). Le premier cas conduit à une difficulté d’analyse

liée au fait que la dérivée dépend des instants passées. Le second cas reporte cette difficulté dans la conception de la fonction V . Ces deux approches, respectivement développées par Razumikhin et Krasovskii, vont être brièvement rappelées dans les deux paragraphes suivants.

1.3.2 Approche par fonctions de Razumikhin

Dans cette approche, nous nous placerons dans Rn _{en consid´erant une fonction de Lyapunov V (t, x(t))}

classiques pour les équations différentielles ordinaires. Toutefois le théorème suivant montre qu’il est inutile de vérifier que ˙V (t, x(t))_{≤ 0 le long de toutes les trajectoires du système. Effectivement, ce test peut se restreindre} aux solutions qui ont tendance à quitter un voisinage de V (t, x(t))≤ c du point d’équilibre.

Th´eor`eme 1.3.1 [85] Soient u, v et w : R+ → R+ des fonctions croissantes, telles que u(θ) et v(θ) soient

strictement positives pour tout θ > 0. Supposons que le champ de vecteur f de (1.3.1) est born´e pour des valeurs born´ees de ses arguments.

S’il existe une fonction continue V : R× Rn_{→ R}

+ telle que :

a) u(_{kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφk),}

b) ˙V (t, φ)_{≤ −w(kφ(0)k) pour toutes les trajectoires de (1.3.1) v´erifiant :}

V (t + θ, φ(t + θ))_{≤ V (t, φ(t)),} _{∀θ ∈ [−τ, 0],} (1.3.2) alors la solution nulle de (1.3.1) est uniform´ement stable.

De plus si w(θ) > 0 pour tout θ > 0 et s’il existe une fonction p : R+ → R+ strictement croissante avec

p(θ) > θ pour tout θ > 0 telle que : i) u(kφ(0)k) ≤ V (t, φ) ≤ v(kφk),

ii) ˙V (t, φ)_{≤ −w(kφ(0)k), pour toutes les trajectoires de (1.3.1) v´erifiant :}

V (t + θ, x(t + θ))≤ p(V (t, x(t))), ∀θ ∈ [−τ, 0], (1.3.3) alors une telle fonction V est appel´ee fonction de Lyapunov-Razumikhin et la solution nulle de (1.3.1) est uniform´ement asymptotiquement stable.

Dans la pratique, les fonctions p les plus souvent utilisées sont celles de la forme p = qθ où q est une constante strictement supérieure à 1. de plus les fonctions de Lyapunov recherchées dans l’approche de Razumikhin sont souvent des fonctions quadratiques de la forme :

V (t) = xTP x(t), (1.3.4)

où P est une matrice symétrique définie positive. L’équation (1.3.3) devient la plupart du temps :

(25)

Ainsi dans l’approche de Lyapunov-Razumikhin, la négativité n’est requise que pour les trajectoires qui, à l’instant t, appartiennent à un certain espace défini par l’évolution du système sur l’intervalle [t_{− τ, t].}

Même si l’approche Lyapunov-Razumikhin conduit généralement à des résultats plus conservatifs que ceux tirés de l’approche de Lyapunov-Krasovskii, présentée au paragraphe suivant, elle permet de prendre en compte des retards variables sans restriction sur la dérivée du retard (1.2.17). Il a par ailleurs été montré que, pour des retards constants, l’existence d’une fonction de Lyapunov-Razumikhin entraˆıne celle d’une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii [34]. Cependant, dans la littérature, la stabilité des systèmes à retards fait plus généralement appel à des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii.

1.3.3 Approche par fonctionnelles de Krasovskii

La méthode de Krasovskii est une extension de la seconde méthode de Lyapunov pour les équations différentielles fonctionnelles. Elle consiste à rechercher des fonctionnelles V(t, xt) qui décroissent le long des

solutions de (1.3.1).

Th´eor`eme 1.3.2 [85] Soient u, v, w : R+ → R+ des fonctions continues croissantes ; u(θ) et v(θ) sont

strictement positives pour θ > 0 et u(0) = v(0) = 0. Supposons que le champ de vecteur f de (1.3.1) soit born´e pour des valeurs born´ees de ses arguments.

S’il existe une fonctionnelle continue_{V : R × C → R}+ telle que :

a) u(kφ(0)k) ≤ V(t, φ) ≤ v(kφk),

b) ˙_{V(t, φ) ≤ −w(kφ(0)k) pour tout t ≥ t}0 le long des trajectoires de (1.3.1),

alors la solution nulle de (1.3.1) est uniform´ement stable. Si de plus w(θ) > 0 pour tout θ > 0, alors la solution nulle de (1.3.1) est uniform´ement asymptotiquement stable.

Si_{V v´erifie plutˆot les conditions :} i) u(_{kφ(0)k) ≤ V(t, φ) ≤ v(kφk),}

ii) ˙V(t, φ) ≤ −w(kφ(0)k), pour tout t ≥ t0 et w(θ) > 0 pour tout θ > 0,

iii)_{V est lipschitzienne par rapport `a son second argument,} alors la solution nulle de (1.3.1) est exponentiellement stable.

˙

V(t, φ) est ici une d´eriv´ee au sens de Dini, ˙V(t, φ) = limǫ→0+supV(t+ǫ,xt+ǫ)−V(t,xt)

ǫ .

Une telle fonctionnelle _{V est appel´ee fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii.}

L’idée principale de ce théorème est donc de déterminer une fonctionnelle_{V définie positive dont la dérivée} le long des trajectoires de (1.3.1) est définie négative. Le principal problème dans l’application de ce théorème est la conception, lorsqu’elle existe, de la fonctionnelle de Lyapunov-KrasovskiiV. Les fonctionnelles recherchée sont généralement de la forme suivante ([88], section 2.2.2) :

V(t, φ) = φT_{(0)P (t)φ(0) + φ}T₍₀₎³R0

−τQ(t, σ)φ(σ)dσ

´

+³R_−τ0 φT(σ)QT(t, σ)dσ´φ(0)

+R_−τ0 R_−τ0 φT(σ)R(t, σ, ρ)φ(ρ)dσdρ +R_−τ0 φT(ζ)S(ζ)φ(ζ)dζ, (1.3.6) où P , Q, R et S sont des matrices carrées de dimension n_{× n. P (t) et S(ζ) sont symétriques définies positives.} R vérifie R(t, σ, ρ) = RT(t, ρ, σ). On suppose que chacun des éléments de ces matrices est borné et admet une dérivée continue par morceaux et bornée.

(26)

1.3. STABILIT É DES SYST ÈMES À RETARDS PAR LA SECONDE M ÉTHODE DE LYAPUNOV 19 Dans la pratique, la recherche de ces fonctions pose des problèmes difficiles à résoudre. On préfère se res-treindre aux fonctionnelles dont les fonctions matricielles P, Q et R sont des matrices constantes. On se propose alors de trouver une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii de la forme :

V(t, φ) = φT_{(0)P φ(0) +}R0 −τφ

T_{(σ)Sφ(σ)dσ + φ}T₍₀₎R0

−τQφ(σ)dσ

+R_−τ0 R_−τ0 φT(σ)Rφ(ρ)dσdρ, (1.3.7)

où les matrices P , Q, R et S sont symétriques définies positives.

Remarque 1.3.3 Des récents travaux [54], [50], [68], [69] ont permis de réduire le conservatisme relatif au choix des matrices P, Q et R constantes. La méthode consiste à définir des fonctions matricielles continues par morceaux .

Tout au long de ce mémoire, les problèmes qui seront résolus feront intervenir une fonctionnelle de la forme (1.3.7) pour des systèmes de la forme (1.2.7), (1.2.10) et (1.2.12).

1.3.4 Extensions des th´

eor`

emes de Lyapunov

Les deux approches temporelles basées sur le second théorème de Lyapunov, combinées avec des méthodes d’optimisation convexe appelées inégalités matricielles linéaires (voir les ouvrages généraux [13],[63] et l’annexe A), permettent d’établir des critères systématiques de stabilité et de stabilisation pour les systèmes à retard. De nombreuses applications et extensions ont été proposées :

– Les problèmes de la stabilité et de la stabilisation robuste vis-à-vis d’incertidudes paramétriques sur le modèles peuvent être traités d’une manière analogue en utilisant des systèmes de la forme (1.2.10) ou (1.2.12).

– Le cas de la commande H∞_{, quelquefois traité en fréquentiel [151], peut être aussi étudié dans un cadre}

temporel. Une loi de commande est construite pour assurer la stabilité robuste avec un certain taux d’atténuation des perturbations exogènes [56], [91], [92].

– La finesse de ces critères est largement dépendante du choix des fonctions, des fonctionnelles de Lyapunov ou des diverses méthodes de majoration conduisant à des LMI.

– La stabilisation à coût garanti. – La stabilisation en temps fini [106]. – La stabilité entrée-état (ISS) [157], [69].

1.3.5 Deux transformations sur le mod`

ele

Il est bien évident que notre objectif n’est pas de présenter une liste exhaustive de critères de stabilité et de stabilisation de systèmes à retards. Cependant, nous présenterons dans la suite de ce chapitre, quelques critères de stabilité asymptotique et quelques techniques qui auront retenu notre attention.

Nous rappellerons des conditions permettant de caractériser la stabilité asymptotique du système suivant : (

˙x(t) = Ax(t) + Aτx(t− τ(t)),

x(θ) = φ(θ), ∀θ ∈ [τ2, 0].

(1.3.8) Dans (1.3.8), le retard τ (t) sera considéré comme constant, puis variant dans le temps majoré et enfin borné. Les critères que nous exposerons utilisent l’outil LMI.

(27)

Mod`ele descripteur

La “modélisation descripteur” (en anglais “descriptor form”) est une technique développée en 2001 par E. Fridman [47], [56], [57]. L’idée consiste à réécrire le système (1.3.8) de la manière suivante :

(

˙x(t) = z(t),

0× ˙z(t) = −z(t) + Ax(t) + Aτ(t, xt)x(t− τ(t)).

(1.3.9) En considérant maintenant la variable élargie ¯x(t) = col_{{x(t), z(t)}, on remarque que cette transformation} augmente la dimension du système étudiées sans rajouter de dynamiques additionnelles. .

Ensuite, en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii adaptée, on montre la stabilité asympto-tique du système décrit par l’équation (1.3.9) qui est équivalente à celle décrite par l’équation (1.3.8). Pour le cas des systèmes à retards constants, la modélisation descripteur conduit aux conditions de stabilité asympto-tique que nous rappellerons dans le lemme 1.3.4. Nous présenterons alors les avantages sur l’intérêt d’une telle transformation dans la section suivante.

Transformation de Leibniz

Cette transformation [66], [67] est très utile dans la construction de critères de stabilité dépendent du retard. Elle permet d’écrire le système (1.3.8) comme un système à retard distribué :

x(t− τ(t)) = x(t) − Z t

t−τ(t)

˙x(s)ds. (1.3.10)

La dérivée ˙x peut ensuite être exprimée selon (1.3.8) et ce genre de transformations peut conduire à des modifications importantes du système. Il est nécessaire de s’assurer de sa bonne utilisation. Par exemple, si l’on remplace ˙x(s) dans (1.3.10) par son expression dans (1.3.8), on introduit des dynamiques additionnelles [70][71] et on transforme le système initial soumis à un retard variant dans [−τ2, 0] à un nouveau système

soumis à un retard variant dans [_−2τ2, 0]. La définition des conditions initiales étant différente, il faut s’assurer

de la justification de cette modification. Pour plus de détails, on se référera à [111]. D’autre part, même si de nombreux efforts ont été menés pour étudier le conservatisme introduit lors des calculs [127], [160], les théorèmes rencontrés peuvent être conservatifs.

1.3.6 Stabilit´

e asymptotique des syst`

emes `

a retards major´

es

Lemme 1.3.4 [57] Le système (1.3.8) est asymptotiquement stable pour tout retard τ constant inférieur à τ2,

s’il existe des matrices de dimension n_{×n, sym´etriques d´efinies positives P}1, S et R, et des matrices de dimension

n_{×n, P}2, P3, Y1, Y2, Z1, Z2 et Z3 telles que les conditions LMI suivantes soient satisfaites :

    Ψ1 PT " 0 A1 # − YT 1 ∗ −S1     < 0, " R Y ∗ Z # ≥ 0, (1.3.11)

o`u les matrices Y , Z et Ψ1 sont donn´ees par :

Ψ1= PT " 0 In A0 −In # + " 0 In A0 −In #T P + τ2Z + " S 0 0 τ2R # + " Y 0 # + " Y 0 #T , Y = [Y1 Y2], Z = " Z1 Z2 ZT 2 Z3 # . (1.3.12)

(28)

1.3. STABILIT É DES SYST ÈMES À RETARDS PAR LA SECONDE M ÉTHODE DE LYAPUNOV 21 Démonstration. La démonstration utilise une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii de la forme :

V (t) = x¯T_{(t)EP ¯}_{x(t) +}Rt t−τ2x T_{(s)Sx(s)ds +}R0 −τ2 Rt t+θzT(s)Rz(s)dsdθ, (1.3.13) o`u E = " In 0 0 0 #

et où le vecteur ¯x(t) est donné par col{x(t), z(t)}. Pour plus de détails, nous invitons le lecteur à se référer à [57].

Dans le cas de systèmes à retards variables, on introduit la condition supplémentaire ˙τ (t) _{≤ d < 1. On} obtient alors le lemme suivant :

Lemme 1.3.5 [57] Le syst`eme (1.3.8) est asymptotiquement stable pour tout retard variable v´erifiant τ (t)_{≤ τ}2

et ˙τ (t) ≤ d < 1, s’il existe des matrices de dimension n × n, sym´etriques d´efinies positives P1, S et R, et

des matrices de dimension n_{×n, P}2, P3, Y1, Y2, Z1, Z2 et Z3 telles que les conditions LMI suivantes soient

satisfaites : _    Ψ1 PT " 0 A1 # − YT 1 ∗ −(1 − d)S1     < 0, " R Y ∗ Z # ≥ 0, (1.3.14)

o`u les matrices Y , Z et Ψ1 sont donn´ees par (1.3.12).

Il est possible de réduire le conservatisme des conditions de stabilité asymptotique et aussi d’éliminer la condition sur la dérivée du retard ˙τ (t)_{≤ d < 1. Ceci sera illustré dans le paragraphe suivant.}

1.3.7 Stabilit´

e asymptotique des syst`

emes `

a retards born´

es

Considérons le système neutre à retard :

˙x(t)− F ˙x(t − g(t)) = A0x(t) + A1x(t− τ1(t)) + BKx(t− τ2(t)),

τi(t)∈ [δi− µi, δi+ µi].

(1.3.15) o`u les retards τi sont de la forme τi(t) = δi+ ηi(t), pour i = 1, 2 avec|ηi(t)| ≤ µi. Les retards constants δi sont

les valeurs nominales des retards τi. Les fonctions ηi(t) repr´esentent des perturbations born´ees autour du retard

nominal. Le retard g(t) du terme neutre satisfait `a la condition ˙g(t)_{≤ d}0< 1.

Lemme 1.3.6 [49] Pour une matrice K donnée et sous reserve que la matrice F ait tous les modules de ses valeurs propres strictement inférieurs à 1, le système (1.3.15) est asymptotiquement stable pour tous retards τi(t)

variant dans l’intervalle [δi− µi, δi+ µi], s’il existe des matrices sym´etriques d´efinies positives, de dimension

n×n, P1, Si, U , Ri et Ria et des matrices de dimension n×n, P2, P3, Yi1, Yi2, Zi1, Zi2 et Zi3, pour i = 1, 2,

telles que les conditions LMI suivantes soient satisfaites :               Ψ2 PT " 0 A1 # − YT 1 PT " 0 BK # − YT 2 PT " 0 F # µ1PT " 0 A1 # µ2PT " 0 BK # ∗ −S1 0 0 0 0 ∗ ∗ −S2 0 0 0 ∗ ∗ ∗ −(1 − d0)U 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −µ1R1a 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −µ2R2a               < 0, (1.3.16)

(29)

"

Ri Yi

∗ Zi

#

≥ 0, i = 1, 2, (1.3.17)

o`u les matrices Yi, Zi et Ψ2 sont donn´ees par :

Ψ2= Ψn+ " 0 0 0 P2_i=12µiRia # , Ψn = PT " 0 In A0 −In # + " 0 In A0 −In #T P +P2_i=1δiZi + " P2 i=1Si 0 0 P2_i=1δiRi+ U # +P2_i=1 " Yi 0 # +P2_i=1 " Yi 0 #T , Yi = [Yi1 Yi2], Zi= " Zi1 Zi2 ∗ Zi3 # (1.3.18)

Démonstration. La preuve de ce lemme utilise la modélisation descripteur et une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii adaptée. Elle peut se diviser en deux parties. La première consiste à tester la stabilité asymptotique du système soumis au retard nominal en utilisant la fonctionnelle suivante provenant du Lemme 1.3.4 :

Vn(t) = x¯T(t)EP ¯x(t) +P2i=1 R0 −δi Rt t+θ ˙xT(s)Ri˙x(s)dsdθ + P2 i=1 Rt t−δix T_(s)S ix(s)ds. (1.3.19)

La seconde étape consiste à tester la robustesse de la précédente par rapport aux perturbations ηi(t) du

retard nominal. On ajoute alors la fonctionnelle suivante : Va(t) = P2i=1 Rµi −µi Rt t+θ−δi ˙x T_(s)R ia˙x(s)dsdθ. (1.3.20)

Les conditions de stabilité asymptotique du système complet sont déterminer à l’aide de la fonctionnelle :

V (t) = Vn(t) + Va(t). (1.3.21)

On remarque que dans ce lemme, les conditions sur les retards sont différentes. Les retards sur l’état sont bornés mais ne sont soumis à aucune contrainte sur leur dérivée. En revanche, le retard du terme neutre n’est pas majoré mais n’est soumis qu’à une contrainte classique sur la dérivée du retard. Ceci montre la diversité des contraintes sur les retards et, par conséquent, des critères que l’on peut rencontrer dans la littérature.

1.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le contexte des systèmes à retards. Leur apparition fréquente dans la modélisation des phénomènes physiques a suscité l’intérêt de nombreux chercheurs. Après avoir présenté les modèles de systèmes à retards liés à notre travail, nous avons rappelé des conditions de stabilité asymptotique qui permettent d’en tester la convergence.

Nous pouvons remarquer que, dans le cas des retards variables, ces résultats concernent la stabilité asympto-tique. Même si, dans le cas des systèmes linéaires à retards sans incertitudes sur les retards et sur les paramètres, les notions de stabilité asymptotique et exponentielle sont équivalentes [87]5_{, dans le cas général (non linéaire,}

5

De plus dans ce cas, il faut remarquer que le taux de convergence exponentielle n’est pas connu a priori, mˆeme si son existence

(30)

1.4. CONCLUSION 23 non stationnaire, retard variable) cette équivalence ne tient plus. Or l’α_{−stabilité (ou stabilité exponentielle à} taux α garanti) est une propriété de performance en rapidité et il convient de pouvoir l’étudier dans des cas réalistes de fonctionnement. C’est cette lacune que nous tenterons de combler dans le chapitre suivant.

(31)

(32)

Chapitre 2

Stabilit´

e exponentielle des syst`

emes

lin´

eaires

2.1 Pr´

eliminaires

La plupart des résultats existants concerne la stabilité asymptotique des systèmes à retards variables ou constants [127]. Mais il peut être plus pertinent pour des problèmes d’observations, de systèmes contrôlés à travers un réseau ou à distance, de garantir une convergence exponentielle car elle permet d’assurer une rapidité de convergence. Récemment, quelques auteurs se sont investis dans l’élaboration de critères garantissant une convergence exponentielle pour les systèmes à retards [82], [98],[104], [110], [113]. Cependant ces résultats sont bien souvent limités au cas des retards constants ou conduisent à des résultats conservatifs. Or dans la majorité des cas, par exemple dans les lignes de communications à travers des réseaux internet, le retard ne peut être réduit au seul cas du retard constant.

La motivation de ce chapitre qui se consacre à l’α-stabilité, la stabilité et à la stabilisation exponentielle à taux garanti de systèmes linéaires à retards est donc claire. Les approches présentées utilisent les techniques des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii et le modèle descripteur qui ont été présentés dans le chapitre précédent mais aussi dans [57], [58] pour la stabilité et la stabilisation asymptotique. L’idée principale de ce chapitre est de réécrire le système en utilisant une nouvelle variable. Ce changement de variables ajoute des incertitudes sur le système provenant des incertitudes sur le retard. Afin de déterminer des conditions de stabilité exponentielle, différentes approches seront proposées. Une modélisation du système sous forme polytopique introduite dans [130] permettra d’élaborer des premières conditions de stabilité et de stabilisation exponentielle. Ensuite une approche par des incertitudes bornées en norme (“Norm-Bounded Uncertainties”) permettra d’obtenir d’autres conditions de stabilité exponentielle. Ce chapitre s’organise de la manière suivante.

Une première partie concernant la stabilité exponentielle à taux de convergence garanti des systèmes linéaires à retards constants. Elle nous permettra de situer les différentes approches existant dans la littérature. Une seconde partie est consacrée au cas des systèmes linéaires à retards variables et majorés avec des extensions au cas des systèmes à retards multiples et au problème de la stabilisation à coût quadratique garanti. Une troisième partie correspond à l’étude des systèmes à retards bornés. Enfin le cas particulier des systèmes neutres à retards constants sera le sujet de la dernière partie.

(33)

Reprenons la définition de [113], pour tout α > 0, un système à retards est dit α_{−stable, ou} “exponentielle-ment stable et de degré de convergence α”, s’il existe un réel β_{≥ 1 tel que les solutions x(t; t}0, φ), pour toute

condition initiale φ, v´erifient :

|x(t, t0, φ)| ≤ β|φ|e−α(t−t0). (2.1.1)

Cela revient à déterminer une enveloppe exponentielle des trajectoires d’un système.

2.2 Cas des retards constants

Cette section est consacrée à la classe des systèmes définis par des équations différentielles aux différences de type retardé à coefficients et à retards constants. Sans perte de généralité, nous considérons le système soumis à un seul retard suivant :

(

˙x(t) = A0x(t) + A1x(t− τ),

x(s) = φ(s), _{∀ s ∈ [−τ, 0],} (2.2.1)

o`u x∈ Rn_{, u}_{∈ R}m_{sont respectivement les vecteurs d’´etat, de commande. φ}_{∈ C}

τ = C0([−τ2, 0], Rn) repr´esente

la fonction des conditions initiales. Les matrices A0 et A1 sont suppos´ees connues, constantes et de dimension

appropriée. Il est connu que, pour un tel système, les propriétés de stabilité asymptotique et exponentielle sont équivalentes. Cependant il est souvent important en pratique de se fixer un cahier des charges. Parmi ces spécifications, on peut se donner un degré de convergence minimal. L’idée directrice de cette partie est de savoir si pour une valeur de α > 0, un système à retard est α_{−stable. Dans ce cadre, il existe différentes techniques} qui permettent de déterminer si un système à retards possède un degré de convergence α fixé a priori. Nous donnerons dans cette section trois exemples de telles techniques.

Première technique : Théorie de Lyapunov et comparaison. L’α_{−stabilité du système (2.2.1 est} prou-vée s’il existe une fonctionnelle de Lyapunov V vérifiant les propriétés suivantes : Il existe des réels positifs r, amet aM tels que :

am|φ(0)|r≤ V (φ) ≤ aMkφkr, (2.2.2)

et

˙

V (φ)_{≤ rαV (φ).}

En effet en appliquant le principe de comparaison, le long des trajectoires de (2.2.1), V est major´ee exponentiellement :

V (xt)≤ V (φ)erα(t−t0).

En utilisant la condition (2.2.2), il vient

am|x(t)|r≤ V (φ)erα(t−t0)≤ aMkφkrerα(t−t0).

On retrouve alors la condition (2.1.1) avec β = (aM/am)1/r.

Cette approche a été exploitée par [82] et [104] pour les systèmes à retards constants et les systèmes neutres.

Deuxième technique : Méthode du changement de variable. L’idée de cette technique est de faire in-tervenir une nouvelle variable xα(t) = x(t)eα(t−t0). L’objectif est alors de montrer que si la solution xα(t)

(34)

2.2. CAS DES RETARDS CONSTANTS 27 Si le système en xα(t) est uniformément stable alors, pour tout ǫ > 0 quelconque, il existe un réel δ > 0

tel que :

kφk < δ → |xα(t, φ)| < ǫ.

Il suffit alors d’utiliser la propriété de linéarité du système : xα(t, φ) =

2_kφk δ xα(t, δ

φ 2_kφk) Comme δ_2kφkφ est de norme inf´erieure `a δ, on a

|xα(t, φ)| <

2kφk δ ǫ, et donc

|x(t, φ)| < 2kφk_δ ǫ e−α(t−t0)_.

On remarque l’importance de l’uniformit´e de la stabilit´e de xα

Troisième technique : Modèle de comparaison & inégalité différentielle. [9], [24], [109] Cette technique utilise des modèles simplifiés auxquels seront comparés les performances du système à étudier. Elle requière les notions de mesures et de normes de matrices.

Dans la suite de ce mémoire nous utiliserons la méthode du changement de variables pour obtenir des propriété d’α−stabilité. Ainsi en utilisant le changement de variable xα(t) = x(t)eαt, le système s’écrit alors :

˙xα(t) = (A0+ αIn)xα(t) + eατA1xα(t− τ). (2.2.3)

On peut directement appliquer les théorèmes de stabilité asymptotique des systèmes à retards constants. Ainsi, le théorème suivant est une application directe de [57] :

Théorème 2.2.1 Le système (2.2.1) est exponentiellement stable avec un taux α de convergence, s’il existe des matrices de dimension n_{× n, P}1, S et R symétriques définies positives et P2, P3, Z1, Z2, Z3, Y1, Y2, telles que

les conditions LMI suivantes soient satisfaites :

Γ1=     Ψ PT " 0 eατ_A 1 # − " YT 1 YT 2 # ∗ −S     < 0, (2.2.4) et _    R Y1 Y2 ∗ Z1 Z2 ∗ ∗ Z3     ≥ 0, (2.2.5) où on définit la matrice P = " P1 0 P2 P3 # et : Ψ = PT " 0 In A0+ αIn −In # + " 0 In A0+ αIn −In #T P + τ Z + " S + Y1+ Y1T Y2 YT 2 τ R # , (2.2.6) Démonstration. La démonstration est basée sur le Théorème 1.3.4 [57] présenté dans le Chapitre 1 appliqué au système à retard et à coefficients constants (2.2.3).