HAL Id: tel-00736647
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Analyse de sensibilité topologique et applications en
optimisation de formes
Samuel Amstutz
To cite this version:
Samuel Amstutz. Analyse de sensibilité topologique et applications en optimisation de formes.
Opti-misation et contrôle [math.OC]. Université d’Avignon, 2011. �tel-00736647�
présenté en vue de l'obtention de
l'Habilitation à Diriger des Re her hes
de l'Universitéd'Avignon et des Pays de Vau luse
Spé ialité : MathématiquesAppliquées
par
Samuel Amstutz
Analyse de sensibilité topologique
et appli ations en optimisation de
formes
Soutenu le 5dé embre 2011
Jury :
Hédy Attou h Université de Montpellier 2 (Président)
Giuseppe Buttazzo Università di Pisa (Rapporteur)
Dinh The Lu Université d'Avignon (Tuteur)
Olivier Pironneau Université de Paris 6 (Rapporteur)
Mi hael Vogelius RutgersUniversity (Rapporteur)
Ce do ument présente une synthèse de mesprin ipaux travauxde re her heee tués jusqu'à e
jour. Ils portent essentiellement sur l'analyse de sensibilité topologique et sesappli ations en
opti-misationet re onstru tion deformes. Cette te hniqueré ente onsiste àétudier lasensibilité d'une
fon tionnelledépendant d'undomaine parrapportàune perturbation innitésimale dela topologie
de edernier, ommetypiquementlanu léationd'untrou.Lanotiondedérivéetopologique,ou
gra-dienttopologique,quiendé oulepeutalorsêtreutiliséedediérentesmanièresdansdesalgorithmes
d'optimisationdeformesandegénérerdesmodi ationdetopologie.Sontabordéslesaspe ts
ana-lytiques, algorithmiques, ainsi que divers exemples d'appli ations parmi lesquels l'optimisation de
stru turesélastiques, l'optimisationd'é oulementsin ompressibles ouen oreladéte tionde défauts
1 Introdu tion 4
1.1 Exemples deproblèmesd'optimisationdeformes . . . 4
1.1.1 Minimisationdela omplian eenoptimisationdestru tures . . . 4
1.1.2 Identi ationdedéfauts . . . 5
1.2 Lesméthodeslesplus onnues. . . 5
1.3 Sensibilité topologique:dénitionetpremiersalgorithmes . . . 6
2 Analyse de sensibilitétopologiquede quelques problèmes 7 2.1 Problèmeselliptiquesd'ordre2ave in lusion,trououssuredetypeNeumann[3,14,12℄ 7 2.1.1 Une méthodeadjointe généralisée. . . 7
2.1.2 Sensibilité topologiqueparrapportàunein lusion . . . 8
2.1.3 Extension:trouet ssuredetypeNeumann . . . 11
2.2 Problèmeselliptiquesd'ordre2ave troudetypeDiri hlet[21,2,4℄ . . . 11
2.2.1 Sensibilité topologiqueendimension3 . . . 11
2.2.2 Sensibilité topologiqueendimension2 . . . 12
2.2.3 Généralisationàd'autresopérateursdiérentiels . . . 13
2.2.4 Trousphérique(3D) . . . 14
2.2.5 Exemples defon tions oût . . . 15
2.3 Problèmesparaboliqueset hyperboliques[18℄ . . . 15
2.3.1 Problèmesparaboliques . . . 16
2.3.2 Problèmeshyperboliques . . . 17
2.4 Un problèmeelliptiqued'ordre4[17℄ . . . 18
3 Méthodes de type gradientpour l'optimisationtopologique 21 3.1 Algorithmesélémentaires . . . 21
3.1.1 Déte tiondedéfautsparvisualitiondeladérivéetopologique[14,12℄ . . . 21
3.1.2 Insertionitératived'obsta les[2℄ . . . 21
3.2 Lien entreméthodesd'interpolationetdérivéetopologique[9℄ . . . 22
3.3 Une méthodesdelignesdeniveauxpourl'optimisationtopologique[10,7℄ . . . 24
3.4 Appli ationàl'optimisationdemi rostru tures[13,20℄ . . . 25
4 Optimisation topologiquesous ontraintes 28 4.1 Conditionsd'optimalité[11℄ . . . 28
4.1.1 Cadregénéral . . . 28
4.1.2 Un exemple . . . 30
4.2 Méthodesdelagrangienetdelagrangienaugmenté[8℄ . . . 31
4.2.1 Lagrangienetpointsselles. . . 31
4.2.2 Lagrangienaugmenté . . . 31
4.2.3 Liens entredomainesoptimauxetpointsselles . . . 32
4.2.4 Quelquesrésultatsnumériques . . . 33
4.3 Une méthodedepénalisationpourles ontraintes pon tuelles[5,16℄ . . . 33
4.3.1 Des riptiondelaméthode . . . 33
4.3.2 Résultatsnumériquespourla ondu tivité . . . 36
4.4.1 Périmètrerégularisé . . . 38
4.4.2 Méthodederésolution . . . 39
4.4.3 Exemples numériques . . . 39
4.4.4 Remarque etprolongements . . . 40
5 Méthodes de type Newtonpour l'optimisationtopologique 42 5.1 Un problèmede ontrlelinéairedetypebang-bang sans ontrainte[6℄ . . . 42
5.1.1 Introdu tion . . . 42
5.1.2 Des riptionetanalysedelaméthode. . . 42
5.1.3 Un exemplenumérique. . . 44
5.2 Cas d'unproblèmesemi-linéaireave ontrainte[15℄ . . . 44
Publi ationsde l'auteur 47
Introdu tion
1.1 Exemples de problèmes d'optimisation de formes
L'optimisationdeformes onsisteàre her herundomaineduplanoudel'espa e,voiredépendant
dutemps,quisoitoptimalselonun ertain ritèreetéventuellementsous ertaines ontraintes.
L'op-timisationtopologiquese ara tériseparl'absen ed'informationapriorisurlatopologiedudomaine
à obtenir, 'est à dire, en dimension 2, sur le nombre de trous qu'il peut ontenir. La formulation
mathématiquelaplusgénérales'é rit don
inf
{J (Ω) | Ω ∈ E} ,
(1.1)dans le sens où l'on her he non seulement la valeur de ette borne mais aussi à onstruire des
minimiseursappro hés.Dans etteexpression,
J
estle ritèreàminimiser,égalementappeléfon tionoûtouobje tif,et
E
estl'ensembledesdomainesadmissibles.Engénéral,l'évaluationdu ritère(etparfoisaussides ontraintes)faitintervenirlarésolutiond'équationsauxdérivéespartiellesprovenant
delaphysiquesous-ja ente.Soulignonsquenousavonsé rit
inf
,etnonmin
, ardanslaplupartdesaslaborne inférieure n'estpasatteinte.Ce ara tèremal posé est l'unedesdi ultés majeuresde
l'optimisation de formes, notamment topologique, qui a d'importantes réper ussions sur le plan du
traitementnumérique.
Pour xer les idées et quelques notations, nous présentons i-après deux problèmes lassiques
d'optimisationdeformes.Nousrenvoyonsà[23,32,36,48℄pourd'autresexemples.
1.1.1 Minimisation de la omplian e en optimisation de stru tures
Le problèmed'optimisationdestru tures leplustypique etle plusétudiéest eluidela
minimi-sationdela omplian eenélasti itélinéaire.Lastru tureenquestionestreprésentéeparledomaine
Ω
⊂ R
N
,
N
∈ {2, 3}
.Leséquationsdel'élasti itélinéairepourledépla ementu
∈ H
1
(Ω)
N
s'é rivent
dansleurformulationforte
− div σ(u) = 0
dansΩ,
u = 0
surΓ
D
,
σ(u)n = g
surΓ
N
,
σ(u)n = 0
sur∂Ω
\ Γ
D
\ Γ
N
.
Letenseurdes ontraintes
σ(u)
estdéniparlaloideHookeσ(u) = λ tr e(u)I + 2µe(u)
ave
e(u) =
∇
s
u = (
∇u + ∇u
T
)/2
le tenseurdesdéformations et
(λ, µ)
les oe ientsde Lamédumatériau. Les onditions aux limites sont onstituées d'un hargement
g
∈ H
−1/2
(Γ
N
)
, d'un borden astré
Γ
D
et d'unbordlibresur lerestedelafrontière. La omplian edeΩ
sousle hargementg
estletravaildesfor esextérieures,àsavoir
C(Ω) =
Z
Γ
N
miser. Onimpose lassiquementdes ontraintes devolumeet d'en ombrement.Le problème
d'opti-misationdeformerésultants'é rit
inf
{C(Ω) | Ω ⊂ D, Γ
D
∪ Γ
N
⊂ ∂Ω, |Ω| ≤ V } ,
où
D
est un domaine xé,|Ω|
est la mesure de Lebesgue deΩ
etV > 0
est donné. Le ara tèregénériquementmal posé de e problèmeest bien onnu : les suites minimisantes ont des formes de
plusenplus omplexeset ne onvergentversundomainepourau unetopologieappropriée
( 'est-à-direquirendele ritèresemi- ontinu inférieurement).Un ontre-exemple analytiqueestexposédans
[23℄. D'un point de vuepratique, il faudra don se ontenter de minimiseurs appro hésou, pire, de
minimiseurslo aux.
1.1.2 Identi ation de défauts
Il est ourant de formuler les problèmes inverses pardes problèmes d'optimisation. Dans le as
del'identi ationd'objets(oudedéfauts), eladonnelieuàdesproblèmesd'optimisationdeformes.
Donnons unexemple dansle as dulapla ien. Etant donnésdeux domaines
Ω
⊂⊂ D ⊂ R
N
et une
ex itation
g
,nousnotonsu
Ω
lasolutionde
−∆u
Ω
= 0
dansD
\ Ω,
∂
n
u
Ω
= g
sur∂D,
∂
n
u
Ω
= 0
sur∂Ω.
NotonsΩ
⋆
ledomainere her hé,pourlequelnousdisposons delamesureaubord
f = (u
Ω
⋆
)
|∂D
. Leritèreàminimiserleplussouventutilisépourre onstruire
Ω
⋆
est eluidemoindres arrés
J (Ω) = ku
Ω
− fk
2
L
2
(∂D)
.
(1.2)Silamesure
f
estexa te,alorsilexistebienunminimiseurde(1.2)donnéparΩ
⋆
,mais 'estl'uni ité
quin'estpasgarantie.Deplus,enadmettantl'uni ité (quipeutêtrea quisesilenombredemesures
est susant), e minimiseur sera souvent très sensible à l'addition de bruit sur
f
. Là en ore, il estgénéralementindiquédeselimiteràunesolutionsous-optimale,qu'ilfaudrasavoirséle tionner.
1.2 Les méthodes les plus onnues
Il existede nombreusesméthodesd'optimisation de formes. Cetteri hesse provientévidemment
dela diversitédes astraîtés,mais souligneégalementla omplexité duproblème. Dupointde vue
mathématique,deuxdi ultés apparaissentd'embléeet ontunrledéterminantsurla onstru tion
d'algorithmes : d'une part, le ara tère mal posé dé rit plus haut, et, d'autre part, l'absen e de
stru ture ve torielle naturelle sur un ensemble de domaines. Les méthodes (ouplus exa tement les
famillesdeméthodes)lesplusrépanduessontlistées i-dessous.
Les méthodessto hastiques, ommeles algorithmesévolutionnaires [23, 65℄, ont l'avantagede
nepasné essiterde al uldegradientetsontpeusensiblesauxminimalo aux.Cependant,leur
oûtest élevé.
Un moyenrépandu visantà mettre en oeuvres desalgorithmes standardsd'optimisation
non-linéaireestd'appliquer es-derniersàunereprésentationdudomaineàl'aidedeparamètresréels
(pointsde ontrle,noeudsd'unmaillage...).Onparled'optimisationparamétrique[60,56℄.
L'optimisation de formes dite lassique [68, 48℄ onsiste à ee tuer, de manière itérative, des
déformations régulière de frontière. La notion de dérivée de forme fournit une dire tion de
des ente pourledépla ementdespointsdubord. Dans e adre,lesdomainesobtenusrestent
homéomorphesaudomaineinitial :il n'y apasde hangementdetopologie.C'est le prin ipal
défautde esméthodes.
Unevariantedelaméthode lassiqueestdereprésenterledomaineentantqu'ensembledeniveau
d'une ertainefon tion[25, 69,59℄, equel'on é ritgénéralementsouslaforme
Ω =
{ψ < 0}
.L'évolutiondelafun tion
ψ
estgouvernéeparladérivéedeformeviauneéquationdeunmaillagexe.
Partantdu onstatque lesproblèmes d'optimisation topologique sontmal posés, ertains
au-teursontintroduitdesméthodesderelaxation.Laplus onnuereposesurlathéoriede
l'homo-généisation[30, 22, 40℄ pour in lure dansl'ensemble admissible toute une lassede matériaux
omposites. Le problème resultantest bien posé par onstru tion,et deplus diérentiable, e
qui autorise l'utilisationd'algorithmes de résolution performants.Cependant, les distributions
dematériauobtenues ontiennentdesdensitésintermédiairesqu'ilfautensuiteéliminerpardes
te hniquesdepénalisationplusoumoinsheuristiques.Une variantesimpliéeet trèsrépandue
delaméthoded'homogénéisationestlaméthodeSIMP [32,31,66℄.
Finalement,nousenvenonsàl'analysedesensibilitétopologiquequifaitl'objetde edo ument.
Leprin ipeest d'évaluerl'eetsurlafon tion oûtd'une perturbationde topologie, ommela
réationd'untrou.Cetteidéeaétéintroduited'abordformellementdans[64,42℄ puisdansun
adre mathématique rigoureux dans [44, 67, 54℄. Des méthodes utilisant e on ept, de façon
ex lusiveou ombinée,serontdé ritesplusloin.
1.3 Sensibilité topologique : dénition et premiers algorithmes
Soit
Ω
undomaine(ouvert onnexe)deR
N
,
N
∈ {2, 3}
,etunpointz
∈ Ω
.Supposonsque,lorsqueρ
tend vers0
,ledéveloppementasymptotiquesuivantpuisseêtre obtenu:J (Ω \ B(z, ρ)) − J (Ω) = f(ρ)g
Ω
(z) + o(f (ρ)),
(1.3)ave
f : R
+
→ R
+
vériantlim
ρ→0
f (ρ) = 0
.OnditalorsqueJ
admetg
Ω
(z)
pourdérivéetopologique(aussiappelésensibilitétopologiqueougradienttopologique)aupoint
z
.Signalonsquele hoixd'untrou ir ulaireestpurementarbitraire.D'autresperturbationsserontenvisagéesparlasuite.
La dérivée topologiquerenseigne sur lavariation aupremier ordre dela fon tion
J
parrapportàune petite perturbation de topologie. Ainsi, omme detout gradient,son utilisation peut sefaire
àdeux niveaux.D'une part, elle fournit une dire tion de des ente. Par exemple, on peut aisément
on evoirunalgorithmeitératif qui rée despetitstrous en despoints
z
oùg
Ω
(z) < 0
. Lerayonoulenombre de trous réésà haqueitération sontalors une sorte depas àdéterminer. D'autrepart,
lapositivitéde
g
Ω
(z)
entoutpointdeΩ
estuneévidente onditionné essaired'optimalité.Onpeuther heràlarésoudreparunalgorithmedepointxetelque eluiproposédans[44,37℄:
Ω
n+1
=
{x ∈ Ω
n
, g
Ω
n
(x)
≥ t
n
} ,
où
(t
n
)
est une suite roissante de nombresnégatifs qui tend vers0
. Le prin ipal défaut de etal-gorithme, en dehors de l'absen e de résultats de onvergen e,est qu'ilne permet à au un moment
d'étendreledomaine.Unefaçond'yremédierestd'asso ierauxperturbationsdetopologiedes
varia-tionsdefrontière,parexempleparuneméthodedelignesdeniveaux [24,49℄.Nousverronsplusloin
Analyse de sensibilité topologique de
quelques problèmes
Ce hapitreest onsa réàl'analysedesensibilitédequelquesproblèmesd'équationsauxdérivées
partielles.L'appro hemiseenoeuvres'arti uleautourd'unelignedire tri e ommune,quiestesquissée
sur le problème leplus simple onsidéré, àsavoir elui d'une in lusion pourun problème elliptique
d'ordre2.Nousnous ontentonsensuitedementionnerlesspé i itésdesautre as.
Danstoutle hapitre,
Ω
est undomainebornédeR
N
et
ω
ρ
estunsous-domainedeΩ
delaformeω
ρ
= z + ρω
,oùz
∈ Ω
etω
⊂ R
N
estundomainebornéetrégulier(
C
∞
).L'ensemble
Ω
\ ω
ρ
seranotéΩ
ρ
. Pouréviter ertains onitsdenotations,ρ
seraparfoisrempla éparε
.2.1 Problèmes elliptiques d'ordre 2 ave in lusion, trou ou
s-sure de type Neumann [3, 14, 12℄
2.1.1 Une méthode adjointe généralisée
Nous ommençons parétablir unrésultatquiserviradebase pourl'analysede sensibilité
topolo-giqueprésentéedans ettese tion,maisquiseraégalementutilisé,moyennantquelquesadaptations,
pourtraiterlesautresproblèmesde e hapitre.Lapreuve,qui onsisteendesimplesréarrangements,
estfournie i-après.
Proposition 2.1 Soit
V
unespa eve toriel.Pourtoutparamètreρ
∈ [0, ρ
0
[
,ρ
0
> 0
,nous onsidéronsunve teur
u
ρ
∈ V
solution dea
ρ
(u
ρ
, v) = ℓ
ρ
(v)
∀v ∈ V,
(2.1)où
a
ρ
etℓ
ρ
sontrespe tivementune forme bilinéaireet une forme linéaire surV
.Considéronsmain-tenantune fon tion oûtde la forme
j(ρ) = J
ρ
(u
ρ
)
∈ R.
(2.2)Nousfaisons les hypothèses suivantes :il existe desréels
δa, δℓ, δJ
1
, δJ
2
, une fon tionf : [0, ρ
0
[
→ R
ainsiqu'une formelinéaire
L
ρ
surV
telsque, lorsqueρ
→ 0
,J
ρ
(u
ρ
)
− J
ρ
(u
0
)
= L
ρ
(u
ρ
− u
0
) + f (ρ)δJ
1
+ o(f (ρ)),
(2.3)J
ρ
(u
0
)
− J
0
(u
0
)
= f (ρ)δJ
2
+ o(f (ρ)),
(2.4)(a
ρ
− a
0
)(u
0
, v
ρ
)
= f (ρ)δa + o(f (ρ)),
(2.5)(ℓ
ρ
− ℓ
0
)(v
ρ
)
= f (ρ)δℓ + o(f (ρ)),
(2.6)où
v
ρ
∈ V
estunétat adjoint solutiondeAlorsnousavonsledéveloppement asymptotiquelorsque
ρ
→ 0
:j(ρ)
− j(0) = f(ρ)(δa − δℓ + δJ
1
+ δJ
2
) + o(f (ρ)).
Preuve. Nousavonsauvude(2.1)
j(ρ)
− j(0) = [J
ρ
(u
ρ
)
− J
0
(u
0
)] + [a
ρ
(u
ρ
, v
ρ
)
− a
0
(u
0
, v
ρ
)]
− [ℓ
ρ
(v
ρ
)
− ℓ
0
(v
ρ
)].
Enutilisantleséquations(2.5)et (2.6)ilvient
j(ρ)
− j(0) = J
ρ
(u
ρ
)
− J
0
(u
0
) + a
ρ
(u
ρ
− u
0
, v
ρ
) + f (ρ)(δa
− δℓ) + o(f(ρ)).
De(2.3)et (2.4)ils'ensuit
j(ρ)
− j(0) = L
ρ
(u
ρ
− u
0
) + a
ρ
(u
ρ
− u
0
, v
ρ
) + f (ρ)(δJ
1
+ δJ
2
+ δa
− δℓ) + o(f(ρ)).
L'équationadjointe (2.7) onduitaurésultatannon é.
2.1.2 Sensibilité topologique par rapport à une in lusion
Soit
A
une matri e symétriquedénie positiveetα
0
,α
1
,β
0
,β
1
des réels telsqueα
0
> 0, α
1
>
0, β
0
β
1
≥ 0
. Pour tout paramètreρ
≥ 0
assezpetit (i.e.ρ
est inférieurà un ertainρ
0
> 0
), nousonsidéronsles oe ients onstantsparmor eaux
α
ρ
(x) =
α
0
six
∈ Ω
ρ
,
α
1
six
∈ ω
ρ
,
β
ρ
(x) =
β
0
six
∈ Ω
ρ
,
β
1
six
∈ ω
ρ
,
(2.8)et,étantdonnées
F
0
, F
1
∈ H
2
(Ω)
,lafon tionF
ρ
=
F
0
dansΩ
\ω
ρ
,
F
1
dansω
ρ
.
Noussupposonsdeplusque,pourtout
ρ
∈ [0, ρ
0
[
,leproblèmeauxlimites−
div(α
ρ
A
∇u
ρ
) + β
ρ
u
ρ
= F
ρ
dansΩ,
u
ρ
= 0
sur∂Ω,
(2.9)
admetuneuniquesolution
u
ρ
∈ H
1
(Ω)
.Notonsquela onditiondeDiri hletsur
∂Ω
aété hoisiepourxerlesidéesmaisnejoue au unrle parti ulier.
An d'utiliser la Proposition 2.1, nous ommençons par é rire (2.9)sous laforme variationnelle
(2.1)ave
V = H
1
0
(Ω),
a
ρ
(u, v) =
Z
Ω
α
ρ
A
∇u.∇v dx +
Z
Ω
β
ρ
uv dx,
(2.10)ℓ
ρ
(v) =
Z
Ω
F
ρ
vdx.
(2.11)Noussupposonsdansunpremiertempsquelafon tion oûtvérieleshypothèses(2.2),(2.3)et(2.4),
etnousnous on entronssur l'étudedu omportementasymptotiquedesquantitésdéniespar(2.5)
et (2.6).Le point essentielest dedéterminer une approximationappropriée del'adjoint
v
ρ
. Pardeste hniquespro hesde[43,38℄(oùle omportementdelasolutionàdistan edel'in lusionestétudié,
voir aussi notamment [29, 58℄ pour des développements plus ré ents sur e sujet), nous montrons
que e i est réaliséen onsidérantunpotentieldesimple ou he dedensité supportéesur
∂ω
. Nousaboutissonsaurésultatsuivant[3℄.
Théorème 2.2 Soit
j
une fon tion oût de la forme (2.2)vériant (2.3) et(2.4) pourune ertaineforme linéaire
L
ρ
∈ H
−1
(Ω)
et
f (ρ) = ρ
N
.Noussupposonsde plusque
j(ρ)
− j(0) = ρ
N
α
0
∇u
0
(z)
T
P
ω,r
∇v
0
(z) + (β
1
− β
0
)
|ω|u
0
(z)v
0
(z)
−|ω|(F
1
− F
0
)(z)v
0
(z) + δJ
+ o(ρ
N
).
(2.13)Nousavonsutilisélesnotations
δJ = δJ
1
+ δJ
2
,
r =
α
1
α
0
≥ 0.
Lorsque
r = 1
,lamatri e(ditedepolarisation)P
ω,r
estnulle.Sinonelleest onstituéedes omposantes(
P
ω,r
)
ij
=
Z
∂ω
p
i
x
j
ds
(2.14)où
x
j
estlaj
-ème oordonnéedupointx
etla densitép
i
asso iéeaui
-èmeve teur de basee
i
deR
N
estl'unique solutionde l'équation intégrale
r + 1
r
− 1
p
i
(x)
2
+
Z
∂ω
p
i
(y)A
∇E(x − y).n(x)ds(y) = Ae
i
.n(x)
∀x ∈ ∂ω.
(2.15)I i,
E
désigne la solutionélémentairede l'opérateuru
7→ −
div(A
∇u)
.La notion de matri e de polarisation aété introduite par Polya,S hier et Szegö[61, 63℄ et a été
largementétudiéedepuis(voirparexemple[26,28℄).Enparti ulier,ilestétablique
P
ω,r
estsymétriquedéniepositivesi
r > 1
,etsymétriquedénienégativesir < 1
.Rappelonsquelquesformulesobtenuespourdesellipsesetellipsoïdesdansle asdulapla ian
A = I
[53℄.1. Ellipse.Lorsque
ω
estl'ellipsedontlesaxesdedemi-longueursa
etb = ea
sontdirigésselonlesve teursdebase(le asgénérals'obtientparrotation), lamatri edepolarisations'é rit
P
ω,r
=
|ω|(r − 1)
1 + e
1 + re
0
0
1 + e
e + r
.
(2.16)Nousavonsenparti ulierpourledisqueunité
P
ω,r
= 2
r
− 1
r + 1
|ω|I.
(2.17)2. Ellipsoïde.Lamatri edepolarisationdel'ellipsoïdededemi-axes
(a
i
)
i∈{1,2,3}
orientésselonlesve teursdebases'é rit
P
ω,r
=
|ω|
r
− 1
1
− (r − 1)s
1
0
0
0
r
− 1
1
− (r − 1)s
2
0
0
0
r
− 1
1
− (r − 1)s
3
(2.18) aves
k
=
−
a
1
a
2
a
3
2
Z
∞
0
1
(a
2
k
+ s)
p
(a
2
1
+ s)(a
2
2
+ s)(a
2
3
+ s)
ds.
Al'aidedulogi ielde al ulsymboliqueMaple,nousobtenonspourunellipsoïdederévolution
derayon
a
1
= a
2
et dehauteura
3
= ea
1
,e < 1
s
1
= s
2
= e
2e
√
1
− e
2
+ 2 arctan(
√
e
1
− e
2
)
− π
s
3
=
−e
2
√
1
− e
2
+ 2 arctan(
√
e
1
− e
2
)
− π
2(1
− e
2
)
3/2
,
(2.20)etpourlabouleunité(quise al uleévidemmentbeau oupplussimplementdire tement)
P
ω,r
= 3
r
− 1
r + 2
|ω|I.
(2.21)Notonsquelethéorème2.2segénéraliseaisémentau asoù
α
0
etβ
0
sont onstantsparmor eaux,àonditionqu'ilssoient onstantsauvoisinagede
z
.Donnonsmaintenantquelquesexemplesdefon tions oûttypiques.
Théorème 2.3 Ledéveloppement asymptotique(2.13) est valable pourles fon tions oût suivantes,
ave lesvaleursindiquéesde
δJ
.1. Exemple 1.Considéronsune fon tion oûtde la forme
J
ρ
(u) = J(u
|Ω\B(z,R)
),
(2.22)où
R > 0
est xéetJ
est de lasseC
2
sur
H
1
(Ω
\ B(z, R))
.AlorsδJ = 0.
2. Exemple 2.Pour la fon tionnelle
J
ρ
(u) =
Z
Ω
α
ρ
|u − u
d
|
2
dx,
(2.23) aveu
d
∈ H
2
(Ω)
,nous avonsδJ = (α
1
− α
0
)
|ω||u
0
(z)
− u
d
(z)
|
2
.
3. Exemple 3.Pour la fon tionnelle
J
ρ
(u) =
Z
Ω
α
ρ
A
∇(u − u
d
).
∇(u − u
d
) dx,
(2.24) aveu
d
∈ (H
1
0
∩ H
3
)(Ω)
,nousavonsδJ = α
0
∇u
0
(z)
T
P
ω,r
(
∇u
0
(z)
− ∇u
d
(z))
− (α
1
− α
0
)
|ω|A∇u
d
(z).(
∇u
0
(z)
− ∇u
d
(z)).
Lesthéorèmes2.2et2.3segénéralisentsansdi ultéau asd'unétatve toriel
u
ρ
∈ R
m
.Lesseuls
hangementssontlessuivants.
Dans haqueformule, deux ve teurs sontmultipliés au sense duproduit s alaire anonique de
R
m
.Lepolarisation
P
ω,r
estdonnéeparuntenseurd'ordre4.SionnoteP
ij
pq
ses omposantes,nousavonspardénition
∇u
T
P
ω,r
∇v =
X
i,j,p,q
P
ij
pq
∂
i
u
j
∂
p
v
q
.
Dansle asdusystèmedel'élasti itélinéaire,letenseurdepolarisationestappelétenseurdesmoments
élastiques (EMT), voir [26, 28℄. Nous avonspour un disque par exemple, en utilisant les notations
standardsdel'élasti ité,
∇u
T
P
ω,r
∇v =
r
− 1
κr + 1
κ + 1
2
|ω|
2σ(u) : e(v) +
(r
− 1)(κ − 2)
κ + 2r
− 1
trσ(u)
tre(v)
,
où
u
etv
sontdes hampsdedépla ementquel onques,σ(u)
ande(v)
sontlestenseursdes ontraintes(pourunmoduled'Youngunitaire)etdesdéformationsasso iés,
κ =
λ + 3µ
λ + µ
,
Le as où
ω
ρ
est un trouave onditionde Neumann au bord s'obtient formellement en faisanttendre
α
1
etβ
1
vers0
dans les formules pré édentes. En fait, e i peut se justierrigoureusementen prenant exa tement
α
1
= β
1
= 0
et en adoptantune formulation appropriée pour éviter que leproblèmenedevienne malposé[3℄.Ainsi, ilsut deprendre
α
1
= β
1
= 0
dans lesthéorèmes2.2et2.3pourobtenirlesformules orrespondantautroudeNeumann.Lamatri edepolarisationasso iée
s'obtientenprenantpour ontraste
r = 0
.Onretrouvealors ertainsrésultats onnus[67,44℄.Le as d'unessuredroite(en2D)ou ir ulaireplane (en3D)sedéduit dutrouelliptique(resp.
ellipsoïdal de révolution) en faisanttendre l'un des axes vers
0
. Ce passage àla limite est quant àlui purement formel. Cependant, il permet de retrouverdes formules obtenues rigoureusement par
ailleurs[14, 12℄, enutilisantune approximationde l'étatadjoint parunpotentiel dedouble ou he.
Ainsinousavons
P
Σ
=
−πn ⊗ n
pourune ssuredroiteΣ
delongueur2
et denormaleunitairen
(2D),
P
Σ
=
−
8
3
n
⊗ n
pourunessure ir ulaireplaneΣ
derayon1
etdenormaleunitairen
(3D).
2.2 Problèmes elliptiques d'ordre 2 ave trou de type Diri hlet
[21, 2, 4℄
Nousabordonsmaintenantle asd'untrouave onditiondeDiri hlethomogènesursonbord.An
depouvoirtraitersouslemêmeformalisme leséquationsdeNavier-Stokesenrégime in ompressible
(entreautres),nous onsidéronsunproblèmesemi-linéairedelaforme
−∆u
ρ
+ Φ(u
ρ
) =
σ
dansΩ
ρ
,
u
ρ
=
0
sur∂Ω,
u
ρ
=
0
sur∂ω
ρ
,
(2.25)
où
σ
∈ L
2
(Ω)
et
Φ
estunefon tiondiérentiable,éventuellementnonlinéaire,vériantlespropriétéssuivantes.Parrestri tionàn'importequelouvertborné
O
deR
N
,
Φ
asso ieàtoutélémentdeH
1
(
O)
unélémentdel'espa edual
H
1
(
O)
′
.Deplus,si
O = O
1
∪ O
2
∪ (∂O
1
∩ ∂O
2
)
,O
1
∩ O
2
=
∅
,alorspourtout
u, v
∈ H
1
(
O)
nousavonshΦ(u), vi
H
1
(O)
′
,H
1
(O)
=
hΦ(u
|O
1
), v
|O
1
i
H
1
(O
1
)
′
,H
1
(O
1
)
+
hΦ(u
|O
2
), v
|O
2
i
H
1
(O
2
)
′
,H
1
(O
2
)
.
(2.26)Noussupposonsqueleproblème(2.25)admetunesolution
u
ρ
∈ H
1
0
(Ω
ρ
)
pourtoutρ
assezpetit.Nousnotons
R
u
(v) = Φ(u + v)
− Φ(u).
(2.27)L'analyseasymptotique topologiqued'unefon tion oût
j(ρ) = J
ρ
(u
ρ
)
s'appuie sur une variantede la proposition 2.1, que nous appliquons à un prolongement de
u
ρ
par0
à l'intérieur du trou.Dansle as deDiri hlet,nousdevonsdistinguerlesdimensions
2
et3
.Ce i provientdeladiéren ede omportementàl'inni dessolutionsélémentairesdulapla ien,toujoursnotées
E
, e qui passaitinaperçudanslase tionpré édentevuqu'ellesintervenaientparleursgradients.Lesrésultatssuivants
sont issus de [4℄. Comme auparavant, nous énonçons des résultats généraux avant de spé ier des
exemples.
2.2.1 Sensibilité topologique en dimension 3
L'hypothèsete hniquesuivanteportesurlanonlinéarité,etseraautomatiquementvériéelorsque
Φ
est linéaire.Hypothèse2.1 1. Il existe
λ > 0
et une onstantec > 0
tels que pour toutf
∈ H
−1
(Ω
ρ
)
,ϕ
∈ H
1/2
(Γ)
etu
∈ H
1
(Ω
ρ
)
avekuk
1,Ω
ρ
< λ
etkfk
−1,Ω
ρ
,kϕk
1/2,Γ
susamment petit, le problème
−∆v + R
u
(v)
= f
inΩ
ρ
,
v
= ϕ
onΓ,
v
= 0
on∂ω
ρ
,
(2.28)kvk
1,Ω
ρ
≤ c(kfk
−1,Ω
ρ
+
kϕk
1/2,Γ
).
2. Ilexiste une onstante
c
′
> 0
tellequepourtout
v
∈ H
1
(Ω)
ave
kvk
1,Ω
susammentpetit,kR
u
0
(v)
k
−1,Ω
≤ c
′
(
kvk
0,Ω
+
kvk
2
1,Ω
).
3. Si
u
est de lasseC
2
,alors
Φ(u)
estde lasseC
0
.
4. Lorsque
kvk
1,Ω
tendverszero,v
∈ H
1
0
(Ω)
,v
0
∈ H
1
0
(Ω)
,nous avonshR
u
0
(v)
− DR
u
0
(0)v, v
0
i = o(kvk
0,Ω
+
kvk
2
1,Ω
).
Lerésultatgénéralesténon é i-dessous.
Théorème 2.4 Supposonsque
la fon tion
Φ
vériel'hypothèse2.1 etku
0
k
1,Ω
< λ
,la fon tion oûtvérie
J
ρ
(u
ρ
)
− J
0
(u
ρ
) =
ρδJ
1
+ o(ρ),
(2.29)J
0
(u
ρ
)
− J
0
(u
0
)
− hL, u
ρ
− u
0
i = ρδJ
2
+ o(ρ),
(2.30) aveL
∈ H
−1
(Ω)
,δJ
1
, δJ
2
∈ R
, leproblème adjoint :−∆v
0
+ DΦ(u
0
)
∗
v
0
=
−L
inΩ,
v
0
=
0
onΓ,
(2.31)aaumoins unesolution
v
0
∈ H
1
0
(Ω)
,lesétatsdire ts etadjoints
u
0
etv
0
sontde lasseC
2
au voisinagede
z
,le oe ient
Q
ω
estdéniparQ
ω
=
Z
∂ω
ηds,
(2.32) oùη
∈ H
−1/2
(∂ω)
estl'unique solutionde l'équation intégrale
Z
∂ω
E(x
− y)η(y)ds(y) = 1
∀x ∈ ∂ω.
(2.33)Alorsnousavons
j(ρ)
− j(0) = ρ [Q
ω
u
0
(z)v
0
(z) + δJ
1
+ δJ
2
] + o(ρ).
(2.34)Notonsquelafon tion
Φ
n'estpasprésenteexpli itementdanslaformule(2.34),nidansladénitionde
Q
ω
.2.2.2 Sensibilité topologique en dimension 2
En dimension2,nousallonsvoirqueles hoses sontassezdiérentes,à ommen erparles
hypo-thèses.
Hypothèse2.2 1. Il existe
p
∈]1, 2[
etq
∈]1, +∞[
tels queΦ
envoieW
1,p
(
O)
dans
L
q
(
O)
pour
toutouvertborné
O
deR
2
.
2. Il existe
λ > 0
et une onstantec > 0
tels que, pour toutf
∈ H
−1
(Ω
ρ
)
,ϕ
∈ H
1/2
(Γ)
etu
∈ W
1,p
(Ω
ρ
)
avekuk
W
1,p
(Ω
ρ
)
< λ
etkfk
−1,Ω
ρ
,kϕk
1/2,Γ
assezpetit, leproblème
−∆v + R
u
(v)
= f
inΩ
ρ
,
v
= ϕ
onΓ,
v
= 0
on∂ω
ρ
,
(2.35)aune uniquesolutionvériant
3. Il existe une onstante
c
′
> 0
telle que pour tout ouvert
O ⊂ Ω
et toutu, v
∈ W
1,p
(
O)
avekuk
W
1,p
(O)
≤ λ
etkvk
W
1,p
(O)
assezpetit,kR
u
(v)
k
L
q
(O)
≤ c
′
kvk
W
1,p
(O)
.
4. Lorsque
kvk
1,Ω
tendverszero,v
∈ H
1
0
(Ω)
,v
0
∈ H
1
0
(Ω)
,nous avonshR
u
0
(v)
− DR
u
0
(0)v, v
0
i = o(kvk
W
1,p
(Ω)
).
Nousavonslerésultatsuivant.
Théorème 2.5 Supposonsque
lefon tion
Φ
vériel'hypothèse 2.2etku
0
k
W
1,p
(Ω)
< λ
,la fon tion oûtvérie
J
ρ
(u
ρ
)
− J
0
(u
ρ
) =
−1
log ρ
δJ
1
+ o(
−1
log ρ
),
(2.36)J
0
(u
ρ
)
− J
0
(u
0
)
− hL, u
ρ
− u
0
i =
−1
log ρ
δJ
2
+ o(
−1
log ρ
),
(2.37) aveL
∈ H
−1
(Ω)
,δJ
1
, δJ
2
∈ R
,leproblème adjoint (2.31) aaumoinsune solution
v
0
∈ H
1
0
(Ω)
,lesétatsdire ts etadjoints
u
0
etv
0
sontde lasseC
2
au voisinagede
z
.Alors
j(ρ)
− j(0) =
log ρ
−1
[2πu
0
(0)v
0
(0) + δJ
1
+ δJ
2
] + o(
−1
log ρ
).
(2.38)I i en ore la non linéarité n'est pas présente expli itement. Observons un autre fait remarquable,
propreàladimension2:laformedutroun'intervientpas,dumoins danslepremierterme.
2.2.3 Généralisation à d'autres opérateurs diérentiels
Lesrésultats pré édentssegénéralisentsansau unedi ulté au asoùlelapla ien est rempla é
parunopérateurdiérentiel
∆
˜
onvenable, 'estàdiresatisfaisantlespropriétéssuivantes.Hypothèse2.3 Pourtoutouvertborné
O ⊂ R
N
,
∆
˜
estdéni(ausensfaible) parV(O) → V
0
(
O)
′
˜
∆ :
u
7→
div(A
∇u),
où
V(O)
estunsous-espa efermédeH
1
(
O)
n
,n
≥ 1
,V
0
(
O) = V(O) ∩ H
1
0
(
O)
n
,
A
estuntenseurd'ordre4 telqueAX : X
≥ cX : X,
∀X ∈ M
N,n
(R),
la solution élémentaire de
∆
˜
vérieE(x) = O
1
|x|
,
(
|x| → ∞)
en 3D,
E(x)
∼ −m
2
log
|x|
2π
I,
(
|x| → 0)
en 2D,
oùm
2
∈ R
∗
Pouruntelopérateuragissantsurun hampve toriel,les alaire
Q
ω
doitêtrerempla éparlamatri en
× n
del'appli ationlinéaireX
∈ R
n
7→ Q
ω
X =
Z
∂ω
ηds,
ladensité
η
étantl'uniquesolutiondel'équationintégraleZ
∂ω
E(x
− y)η(y)ds(y) = X
∀x ∈ ∂ω.
(2.39)Cettematri eest appeléematri e apa ité.
Alors,sousleshypothèsesdesthéorèmes2.4et2.5satisfaitesenremplaçant
∆
par∆
˜
,H
1
(
O)
par
V(O)
etH
1
0
(
O)
parV
0
(
O)
,nousavonslesformulesasymptotiques:j(ρ)
− j(0) ∼ ρ [Q
ω
u
0
(z).v
0
(z) + δ
J 1
+ δ
J 2
]
en3D,
(2.40)j(ρ)
− j(0) ∼
log ρ
−1
2π
m
2
u
0
(z).v
0
(z) + δ
J 1
+ δ
J 2
en2D.
(2.41)Si l'état
u
ρ
estàvaleurs omplexes, e quisigniequel'espa edeHilbertV(O)
est omplexe,lesrésultatspré édentssegénéralisentenidentiant
C
àR
2
.Cela onduitàlamodi ationsuivante(voir
[21℄):leproduit s alaire
a.b
dans lesformules(2.40)and(2.41) estrempla é parℜ(a.b)
, oùlepointdésignemaintenantleproduits alairehermitiende
C
n
.
Nousdonnonsdanslestableaux2.1desexemplesd'opérateursdiérentiels
∆
˜
satisfaisantleshypo-thèses2.3etdefon tions
Φ
vériantleshypothèses2.1endimension3and2.2 endimension2.Pourlesfon tionslinéaires,la véri ation est immédiate. Pour leséquations deNavier-Stokes(en régime
in ompressible),voir[2℄.Nousindiquonsdansletableau2.2le oe ient
m
2
orrespondant.Système
∆u
˜
V(O)
Φ(u)
Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)
∆u
H
1
(
O)
n
−k
2
(1 + ǫ
|u|
2s
)u
élasti ité linéaire/élastodynamique div
σ(u)
H
1
(
O)
N
−k
2
u
Stokes/quasi-Stokes,Navier-Stokes
ν∆u
{u ∈ H
1
(
O)
N
,
div
u = 0
}
αu
,∇u.u
Table2.1Exemplesd'opérateurs.
Système
E(x)
m
2
Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)
−1
2π
ln r I
1
élasti itélinéaire/élastodynamique
−(λ + 3µ) log rI + (λ + µ)e
r
e
r
T
4πµ(λ + 2µ)
λ + 3µ
2µ(λ + 2µ)
Stokes/quasi-Stokes,Navier-Stokes
− log rI + e
r
e
r
T
4πν
1
2ν
Table2.2Solutionélémentaireet oe ient
m
2
(2D).2.2.4 Trou sphérique (3D)
Le asdutrousphérique
ω = B(0, 1)
aévidemmentunintérêtparti ulier,d'autantquele al uldesamatri e apa ité est quasi-immédiat. Noussupposons pour ela quelasolutionélémentairede
˜
∆
estdelaformeE(x) =
αI + βe
r
e
T
r
4πr
,
α, β
∈ R.
Unsimple al uldonne
Z
∂ω
ave
m
3
= α +
β
3
.
Dans e as, pourvu que
m
3
6= 0
, la solution de (2.39) est la onstanteη = m
−1
3
X
et la matri e apa ités'é ritQ
B(0,1)
=
4π
m
3
I.
Letableau2.3rassemblelesvaleursde
m
3
orrespondantauxopérateursdutableau2.1.Dansles aslinéaires,onretrouvedefaçonsystématiquedesrésultats onnus[44,45,46,47, 54, 62℄.
PDEsystem
E(x)
m
3
Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)
1
4πr
I
1
élasti itélinéaire/élastodynamique
(λ + 3µ)I + (λ + µ)e
r
e
r
T
8πµ(λ + 2µ)r
2λ + 5µ
3µ(λ + 2µ)
Stokes/quasi-Stokes,Navier-StokesI + e
r
e
r
T
8πνr
2
3ν
Table2.3Solutionélémentaireet oe ient
m
3
(3D).2.2.5 Exemples de fon tions oût
Théorème 2.6 Pourlesfon tionnellessuivantesetunopérateur
∆
˜
vériantleshypothèses 2.3,sousl'hypothèse 2.1en 3D (resp. l'hypothèse 2.2in 2D),les équations (2.29) et(2.30) sont vériéesave
f (ρ) = ρ
(resp.f (ρ) =
−1/ log ρ
)et lesvaleursdeδJ
1
etδJ
2
indiquées.1. Sila fon tion oûtestde la forme
J
ρ
(u) = J(u
|Ω\B(z,R)
),
R > 0,
alorsδJ
1
= δJ
2
= 0.
2. Pourla fon tionnelleJ
ρ
(u) =
Z
Ω
ρ
|u − u
d
|
2
dx
oùu
d
∈ L
2
(Ω)
n
∩ L
p
(B(0, R))
n
, p > N
,R > 0
,nous avonsδJ
1
= δJ
2
= 0.
3. Pourla fon tionnelleJ
ρ
(u) =
Z
Ω
ρ
|A∇(u − u
d
)
|
2
dx
oùu
d
∈ V(Ω) ∩ W
1,p
(B(0, R))
n
, p > N
,R > 0
,nous avonsδJ
1
= 0
etδJ
2
=
Q
ω
u
0
(z).u
0
(z)
en3D,
2π
m
2
u
0
(z).u
0
(z)
en2D.
2.3 Problèmes paraboliques et hyperboliques [18℄
Nous revenons à une perturbation de type in lusion ou trou de Neumann mais pour des
pro-blèmesinstationnaires.Pluspré isément,laperturbationenquestionestinnitésimaleenespa emais
onstante entemps. Ainsi,lavariationdulagrangienliéeàlaperturbation delapartieelliptique de
l'opérateurs'obtiendraformellementparsommationde ettevariation orrespondantàdestran hesde
tempsinnitésimales.Poursimplier,laprésentationestfaitepourunein lusion,maisle asdutrou
s'obtientdemanièresimilaire.Etantdonnéquelalettre
ρ
désigneraladensité,latailledel'in lusionSoit
A
unematri esymétriquedéniepositiveetα
0
,α
1
,ρ
0
, ρ
1
desréelsstri tementpositifs.Pour toutε
∈ [0, ε
0
)
,aveε
0
susammentpetit, nous onsidéronsles oe ients onstantsparmor eauxα
ε
=
α
1
dansω
ε
α
0
dansΩ
\ ω
ε
,
ρ
ε
=
ρ
1
dansω
ε
ρ
0
dansΩ
\ ω
ε
.
EtantdonnésF
0
, F
1
∈ L
2
(0, T ; H
−1
(Ω))
,nous denissonslafon tion
F
ε
=
F
1
dansω
ε
× (0, T ),
F
0
dans(Ω
\ ω
ε
)
× (0, T ).
Nousnousintéressonsàl'équation dela haleur:
ρ
ε
∂u
ε
∂t
−
div(α
ε
A
∇u
ε
) = F
ε
dansΩ
× (0, T ),
u
ε
= 0
sur∂Ω
× (0, T ),
u
ε
(
·, 0) = 0
dansΩ.
(2.42)
Laformulationvariationnelles'é rit
Z
T
0
ρ
ε
∂u
ε
∂t
, v
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
dt +
Z
T
0
a
ε
(u
ε
, v) dt =
Z
T
0
ℓ
ε
(v) dt
∀v ∈ X,
(2.43)ave lesespa es
X = L
2
(0, T ; H
0
1
(Ω))
∩ H
1
(0, T ; H
−1
(Ω)),
X
0
=
{u ∈ X, u(., 0) = 0} ∋ u
ε
,
etlesformesbilinéaireset linéaires
a
ε
etℓ
ε
dénies surH
1
0
(Ω)
para
ε
(u, v) =
Z
Ω
α
ε
A
∇u · ∇v dx,
(2.44)ℓ
ε
(v) =
Z
Ω
F
ε
v dx.
(2.45)Nous onsidéronsunefon tion oût delaforme
j(ε) =
J
ε
(u
ε
) =
Z
T
0
J
ε
(u
ε
) dt
(2.46) oùJ
ε
: H
1
0
(Ω)
→ R
et leshypothèsessuivantes sontsupposéesvériées:J
ε
(u)
∈ L
1
(0, T )
∀u ∈ X, ∀ε ∈ [0, ε
0
),
(2.47)J
ε
(u
ε
) =
J
ε
(u
0
) +
Z
T
0
hL
ε
, u
ε
− u
0
i
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
dt + ε
N
δ
J
1
+ o(ε
N
),
(2.48)J
ε
(u
0
) =
J
0
(u
0
) + ε
N
δ
J
2
+ o(ε
N
),
(2.49)kL
ε
− L
0
k
L
2
(0,T ;H
−1
(Ω))
= o(ε
N/2
),
(2.50) aveL
ε
, L
0
∈ L
2
(0, T ; H
−1
(Ω))
et
J
1
,
J
2
∈ R
.Nousintroduisons l'étatadjointv
ε
∈ X
solutiondeZ
T
0
ρ
ε
∂ϕ
∂t
, v
ε
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
dt +
Z
T
0
a
ε
(ϕ, v
ε
) dt =
−
Z
T
0
L
ε
ϕ dt
∀ϕ ∈ X
0
,
(2.51)'estàdirevériantl'équationdela haleurrétrograde
−ρ
ε
∂v
ε
∂t
−
div(α
ε
A
∇v
ε
) =
−L
ε
dansΩ
× (0, T ),
v
ε
= 0
sur∂Ω
× (0, T ),
v
ε
(
·, T ) = 0
dansΩ.
(2.52)Théorème 2.7 Supposonsquela fon tion oûtvérie(2.46)-(2.50). Supposonsde plusque
u
0
etv
0
vérient respe tivement (2.42) et(2.52) pour
ε = 0
et queF
0
,F
1
etL
0
sont susamment réguliersauvoisinage de
z
.Alorsnousavonsledéveloppement asymptotique:j(ε)
− j(0) = ε
N
"
(ρ
1
− ρ
0
)
|ω|
Z
T
0
∂u
0
∂t
(z, t) v
0
(z, t) dt + α
0
Z
T
0
∇u
0
(z, t)
· P
ω,
α1
α0
∇v
0
(z, t) dt
−|ω|
Z
T
0
(F
1
(z, t)
− F
0
(z, t)) v
0
(z, t) dt + δ
J
1
+ δ
J
2
#
+ o(ε
N
).
(2.53)Dans etteexpression,
P
ω,
α1
α0
est la matri e depolarisation introduite authéorème2.2.
Lesquestions derégularitésonttraitéesendétaildans[18℄. Nousindiquonsmaintenantquelques
exemplesdefon tions oût,d'autresexemplessontfournisdans[18℄.
Proposition 2.8 Ledéveloppementasymptotique(2.53) estvalablepourlesfon tions oûtsuivantes
ave lesvaleursde
δ
J
1
etδ
J
2
indiquées.1. Pourla fon tionnelle
J
ε
(u) =
Z
Ω
|u − u
d
|
2
dx
(2.54) aveu
d
∈ L
2
(Ω)
∩ H
4
(B(z, R))
,R > 0
,nousavonsδ
J
1
= δ
J
2
= 0
. 2. Pourla fon tionnelleJ
ε
(u) =
Z
Ω
η(x)A
∇(u − u
d
).
∇(u − u
d
) dx
(2.55)ave
u
d
∈ L
2
(0, T ; H
1
(Ω))
et
η
une fon tion régulière dont le support ne ontient pasz
, nousavons
δ
J
1
= δ
J
2
= 0
.2.3.2 Problèmes hyperboliques
Ave lesmêmesnotationsquepré édemment,nous onsidéronsmaintenantl'équationdesondes:
ρ
ε
∂
2
u
ε
∂t
2
−
div(α
ε
A
∇u
ε
) = F
ε
dansΩ
× (0, T ),
u
ε
= 0
sur∂Ω
× (0, T ),
u
ε
(
·, 0) =
∂u
ε
∂t
(
·, 0) = 0
dansΩ.
(2.56)
Laformulationvariationnelleasso iéepeuts'é riredanslesespa es
X =
C([0, T ]; H
1
0
(Ω))
∩ C
1
([0, T ]; L
2
(Ω))
∩ C
2
([0, T ]; H
−1
(Ω)),
(2.57)X
0
=
u
∈ X, u(., 0) =
∂u
∂t
ε
(
·, 0) = 0
∋ u
ε
,
souslaformeZ
T
0
ρ
ε
∂
2
u
ε
∂t
2
, v
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
dt +
Z
T
0
a
ε
(u
ε
, v) dt =
Z
T
0
ℓ
ε
(v) dt
∀v ∈ X,
(2.58)ave lesformesbilinéaireetlinéaire
a
ε
etℓ
ε
déniespar(2.44)et(2.45).Nous onsidéronsunefon tionoûtdutype(2.46)vériant(2.47),(2.48), (2.49)ave
L
ε
, L
0
∈ W
1,1
(0, T ; H
−1
(Ω))
et
kL
ε
− L
0
k
W
1,1
(0,T ;H
−1
(Ω))
= o(ε
N/2
).
(2.59)L'étatadjoint
v
ε
∈ X
estdénientantquesolutionde:Z
T
0
ρ
ε
∂
2
ϕ
∂t
2
, v
ε
H
−1
(Ω),H
1
0
(Ω)
dt +
Z
T
0
a
ε
(ϕ, v
ε
) dt =
−
Z
T
0
L
ε
ϕ dt
∀ϕ ∈ X
0
,
(2.60)'estàdire,
ρ
ε
∂
2
v
ε
∂t
2
−
div(α
ε
A
∇v
ε
) =
−L
ε
dansΩ
× (0, T ),
v
ε
= 0
sur∂Ω
× (0, T ),
v
ε
(
·, T ) =
∂v
ε
∂t
(
·, T ) = 0
dansΩ.
(2.61)Nousobtenonsle omportementasymptotiquesuivant.
Théorème 2.9 Supposons que
J
ε
vérie (2.46)-(2.49) et (2.59). Supposons de plus queu
0
etv
0
vérient respe tivement (2.56) et(2.61) pour
ε = 0
,etqueF
0
,F
1
etL
0
sont susamment réguliersauvoisinage de
z
.Alors nousavonsledéveloppement asymptotique:j(ε)
− j(0) = ε
N
"
− (ρ
1
− ρ
0
)
|ω|
Z
T
0
∂u
0
∂t
(z, t)
∂v
0
∂t
(z, t) dt + α
0
Z
T
0
∇u
0
(z, t)
· P
ω,
α1
α0
∇v
0
(z, t) dt
−|ω|
Z
T
0
(F
1
(z, t)
− F
0
(z, t)) v
0
(z, t) dt + δ
J
1
+ δ
J
2
#
+ o(ε
N
).
(2.62)Nousrenvoyonsà[18℄pourdesexemplesdefon tions oût.
2.4 Un problème elliptique d'ordre 4 [17℄
Pourterminer e hapitrenousétudions unproblème elliptiqued'ordre4,àsavoirl'équation des
plaquesdeKir hho.Laparti ularitéd'unproblèmed'ordre4estquela apa ité d'unpointest non
nulle. Ainsila solution,don apriori lafon tion oût, peut varier dis ontinûment dès quel'on rée
untroupon tueldeDiri hlet, equirendladérivéetopologiquenondénie.Cependant, ommenous
allonslevoir,lasituationestdiérentepourunein lusion ouuntroudeNeumann.
Laplaqueenquestionestreprésentéparledomaineplan
Ω
⊂ D
.L'équationd'étatpourleproblèmenonperturbéest lasuivante: trouver
u
Ω
∈ V
h,g
telqueZ
D
γ
Ω
M(u
Ω
)
· ∇∇ϕ dx =
Z
Γ
Nq
qϕ ds +
Z
Γ
Nm
m∂
n
ϕ ds +
N
X
i=1
Q
i
ϕ(x
v
i
)
∀ϕ ∈ V
0,0
.
(2.63)Ci-dessus,
V
h,g
est l'ensembledesdépla ements inématiquementadmissibles,etV
0,0
estl'espa edesvariationsadmissibles,respe tivementdénispar
V
h,g
:=
n
u
∈ H
2
(D) : u
|
Γ
Dh
= h
et∂
n
u
|
Γ
Dg
= g
o
,
(2.64)V
0,0
:=
n
ϕ
∈ H
2
(D) : ϕ
|
Γ
Dh
= 0
et∂
n
ϕ
|
Γ
Dg
= 0
o
.
(2.65)La fon tion
u
Ω
est le dépla ement transversal (ou dée tion) de la plaque. Les bords de Diri hletet deNeumann sonrespe tivement lespaires(
Γ
D
h
, Γ
D
g
) et (Γ
N
m
, Γ
N
q
), telsqueΓ
D
h
∩ Γ
N
q
= ∅
etΓ
D
g
∩ Γ
N
m
= ∅
aveΓ
D
h
etΓ
D
g
demesurenonnulle. SurΓ
D
h
etΓ
D
g
sontrespe tivementpres ritsun dépla ement
h
∈ H
3/2
(Γ
D
h
)
et une rotationg
∈ H
1/2
(Γ
D
g
)
. Le système de for es ompatiblesave les hypothèses de Kir hho est donné par
q
∈ H
3/2
(Γ
N
q
)
′
,m
∈ H
−1/2
(Γ
N
m
)
etQ
i
∈ R
. Lesdistributions
q
etm
représententun isaillementtransverseet unmoment, respe tivementpres ritssur
Γ
N
q
etΓ
N
m
.Finalement,Q
i
estun isaillementtransverse on entréaupointx
v
i
∈Γ
N
q
,etN
estlenombrede espoints.Lemoduled'Young
γ
Ω
est onstantparmor eaux,devaleurs:γ
Ω
=
γ
in
dansΩ ,
γ
out
dansD
\ Ω ,
(2.66)
ave
γ
in
> 0
etγ
out
≥ 0
.Lorsqueγ
out
= 0
, seulesles valeursdeu
Ω
dansΩ
doiventêtre onsidéréesdanslafon tion oût.Lemomentrésultant
M(u
Ω
)
,normaliséàunmoduled'Youngunitaire,estreliéaudépla ementparlaloideHooke:
C
= 2µI + λ(I
⊗ I)
(2.68)letenseurd'élasti ité,et
k =
τ
3
12
.
(2.69)I i,
I
etI
sontrespe tivementlestenseursidentitésd'ordre2et4,τ
estl'épaisseurdelaplaqueetlesoe ientsdeLamé
µ
etλ
sontdonnésparµ =
1
2(1 + ν)
andλ =
ν
1
− ν
2
,
(2.70)où
ν
est le oe ientde Poisson. De plus,an de garantirl'existen e et l'uni ité d'unesolution de(2.63),noussupposonsque:
mes(Γ
D
g
∩ Γ
D
h
)
6= 0
ouΓ
D
g
n'estpasdroitouΓ
D
h
n'estpasdroit;lorsque
γ
out
= 0
,lesensemblesΓ
D
g
,Γ
D
h
,Γ
N
m
etΓ
N
q
sontdespartiesde∂Ω
.Pourfa iliter le al ul du tenseurde polarisation, nousnous restreignonsàdes in lusions
ir u-laires:
ω
ε
= B(z, ε)
,Ω
ε
=
Ω
\ ω
ε
siz
∈ Ω ,
(Ω
∪ ω
ε
)
∩ D
siz
∈ D \ Ω .
(2.71)Nousnotonspoursimplier
(u
Ω
ε
, γ
Ω
ε
)
par(u
ε
, γ
ε
)
et(u
Ω
, γ
Ω
)
par(u
0
, γ
0
)
.Alors,pourtoutε
∈ [0, 1]
,γ
ε
vaut:γ
ε
=
γ
0
dansD
\ ω
ε
,
γ
1
dansω
ε
,
(2.72)où
γ
0
etγ
1
sont des fon tions onstantes par mor eaux, onstantes au voisinage dez
. Pourε > 0
,l'état
u
ε
∈ V
h,g
estsolutionde:Z
D
γ
ε
M(u
ε
)
· ∇∇ϕ dx =
Z
Γ
Nq
qϕ ds +
Z
Γ
Nm
m∂
n
ϕ ds +
N
X
i=1
Q
i
ϕ(x
v
i
)
∀ϕ ∈ V
0,0
.
(2.73)Nous onsidérons une fon tion oût
J
ε
: H
2
(D)
→ R
vériant les propriétés suivantes : il existe
L
ε
∈ V
0,0
′
,δJ
1
, δJ
2
∈ R
telsqueJ
ε
(u
ε
)
= J
ε
(u
0
) +
hL
ε
, u
ε
− u
0
i + πε
2
δJ
1
+ o(ε
2
) ,
(2.74)J
ε
(u
0
)
= J
0
(u
0
) + πε
2
δJ
2
+ o(ε
2
) .
(2.75)hL
ε
, ϕ
i =
Z
D
γ
ε
(bϕ +
B · ∇∇ϕ) dx + hL, ϕi
∀ϕ ∈ V
0,0
,
(2.76) oùL
∈ V
′
,b
∈ L
2
(D)
est un hamps alaireet
B ∈ L
2
(D)
est un hamptensoriel d'ordre2. Nous
supposonsdeplusque
hL, ϕi
nedépendpasdesvaleursdeϕ
dansunvoisinagedez
.Nousdénissonsles oe ients
γ = γ
1
(z)/γ
0
(z),
ξ =
1 + ν
1
− ν
,
η =
1
− ν
3 + ν
,
(2.77)ρ =
γ
− 1
1 + γη
,
T
= ηI +
1
2
ξ
− η
1 + γξ
I
⊗ I .
(2.78)Nousétablissonslerésultatsuivant.
Théorème 2.10 Soit
J
ε
une fon tion oûtvériant (2.74)-(2.76). Nous supposons queb
etB
sontsusammentréguliersauvoisinage de
z
.AlorsJ
ε
(u
ε
)
admet ledéveloppement asymptotiqueJ
ε
(u
ε
)
− J
0
(u
0
) = πε
2
D
T
J
Ω
(z) + o(ε
2
) ,
ave