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Analyse de sensibilité topologique et applications en optimisation de formes

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(1)

HAL Id: tel-00736647

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Analyse de sensibilité topologique et applications en

optimisation de formes

Samuel Amstutz

To cite this version:

Samuel Amstutz. Analyse de sensibilité topologique et applications en optimisation de formes.

Opti-misation et contrôle [math.OC]. Université d’Avignon, 2011. �tel-00736647�

(2)

présenté en vue de l'obtention de

l'Habilitation à Diriger des Re her hes

de l'Universitéd'Avignon et des Pays de Vau luse

Spé ialité : MathématiquesAppliquées

par

Samuel Amstutz

Analyse de sensibilité topologique

et appli ations en optimisation de

formes

Soutenu le 5dé embre 2011

Jury :

Hédy Attou h Université de Montpellier 2 (Président)

Giuseppe Buttazzo Università di Pisa (Rapporteur)

Dinh The Lu Université d'Avignon (Tuteur)

Olivier Pironneau Université de Paris 6 (Rapporteur)

Mi hael Vogelius RutgersUniversity (Rapporteur)

(3)

Ce do ument présente une synthèse de mesprin ipaux travauxde re her heee tués jusqu'à e

jour. Ils portent essentiellement sur l'analyse de sensibilité topologique et sesappli ations en

opti-misationet re onstru tion deformes. Cette te hniqueré ente onsiste àétudier lasensibilité d'une

fon tionnelledépendant d'undomaine parrapportàune perturbation innitésimale dela topologie

de edernier, ommetypiquementlanu léationd'untrou.Lanotiondedérivéetopologique,ou

gra-dienttopologique,quiendé oulepeutalorsêtreutiliséedediérentesmanièresdansdesalgorithmes

d'optimisationdeformesandegénérerdesmodi ationdetopologie.Sontabordéslesaspe ts

ana-lytiques, algorithmiques, ainsi que divers exemples d'appli ations parmi lesquels l'optimisation de

stru turesélastiques, l'optimisationd'é oulementsin ompressibles ouen oreladéte tionde défauts

(4)

1 Introdu tion 4

1.1 Exemples deproblèmesd'optimisationdeformes . . . 4

1.1.1 Minimisationdela omplian eenoptimisationdestru tures . . . 4

1.1.2 Identi ationdedéfauts . . . 5

1.2 Lesméthodeslesplus onnues. . . 5

1.3 Sensibilité topologique:dénitionetpremiersalgorithmes . . . 6

2 Analyse de sensibilitétopologiquede quelques problèmes 7 2.1 Problèmeselliptiquesd'ordre2ave in lusion,trououssuredetypeNeumann[3,14,12℄ 7 2.1.1 Une méthodeadjointe généralisée. . . 7

2.1.2 Sensibilité topologiqueparrapportàunein lusion . . . 8

2.1.3 Extension:trouet ssuredetypeNeumann . . . 11

2.2 Problèmeselliptiquesd'ordre2ave troudetypeDiri hlet[21,2,4℄ . . . 11

2.2.1 Sensibilité topologiqueendimension3 . . . 11

2.2.2 Sensibilité topologiqueendimension2 . . . 12

2.2.3 Généralisationàd'autresopérateursdiérentiels . . . 13

2.2.4 Trousphérique(3D) . . . 14

2.2.5 Exemples defon tions oût . . . 15

2.3 Problèmesparaboliqueset hyperboliques[18℄ . . . 15

2.3.1 Problèmesparaboliques . . . 16

2.3.2 Problèmeshyperboliques . . . 17

2.4 Un problèmeelliptiqued'ordre4[17℄ . . . 18

3 Méthodes de type gradientpour l'optimisationtopologique 21 3.1 Algorithmesélémentaires . . . 21

3.1.1 Déte tiondedéfautsparvisualitiondeladérivéetopologique[14,12℄ . . . 21

3.1.2 Insertionitératived'obsta les[2℄ . . . 21

3.2 Lien entreméthodesd'interpolationetdérivéetopologique[9℄ . . . 22

3.3 Une méthodesdelignesdeniveauxpourl'optimisationtopologique[10,7℄ . . . 24

3.4 Appli ationàl'optimisationdemi rostru tures[13,20℄ . . . 25

4 Optimisation topologiquesous ontraintes 28 4.1 Conditionsd'optimalité[11℄ . . . 28

4.1.1 Cadregénéral . . . 28

4.1.2 Un exemple . . . 30

4.2 Méthodesdelagrangienetdelagrangienaugmenté[8℄ . . . 31

4.2.1 Lagrangienetpointsselles. . . 31

4.2.2 Lagrangienaugmenté . . . 31

4.2.3 Liens entredomainesoptimauxetpointsselles . . . 32

4.2.4 Quelquesrésultatsnumériques . . . 33

4.3 Une méthodedepénalisationpourles ontraintes pon tuelles[5,16℄ . . . 33

4.3.1 Des riptiondelaméthode . . . 33

4.3.2 Résultatsnumériquespourla ondu tivité . . . 36

(5)

4.4.1 Périmètrerégularisé . . . 38

4.4.2 Méthodederésolution . . . 39

4.4.3 Exemples numériques . . . 39

4.4.4 Remarque etprolongements . . . 40

5 Méthodes de type Newtonpour l'optimisationtopologique 42 5.1 Un problèmede ontrlelinéairedetypebang-bang sans ontrainte[6℄ . . . 42

5.1.1 Introdu tion . . . 42

5.1.2 Des riptionetanalysedelaméthode. . . 42

5.1.3 Un exemplenumérique. . . 44

5.2 Cas d'unproblèmesemi-linéaireave ontrainte[15℄ . . . 44

Publi ationsde l'auteur 47

(6)

Introdu tion

1.1 Exemples de problèmes d'optimisation de formes

L'optimisationdeformes onsisteàre her herundomaineduplanoudel'espa e,voiredépendant

dutemps,quisoitoptimalselonun ertain ritèreetéventuellementsous ertaines ontraintes.

L'op-timisationtopologiquese ara tériseparl'absen ed'informationapriorisurlatopologiedudomaine

à obtenir, 'est à dire, en dimension 2, sur le nombre de trous qu'il peut ontenir. La formulation

mathématiquelaplusgénérales'é rit don

inf

{J (Ω) | Ω ∈ E} ,

(1.1)

dans le sens où l'on her he non seulement la valeur de ette borne mais aussi à onstruire des

minimiseursappro hés.Dans etteexpression,

J

estle ritèreàminimiser,égalementappeléfon tion

oûtouobje tif,et

E

estl'ensembledesdomainesadmissibles.Engénéral,l'évaluationdu ritère(et

parfoisaussides ontraintes)faitintervenirlarésolutiond'équationsauxdérivéespartiellesprovenant

delaphysiquesous-ja ente.Soulignonsquenousavonsé rit

inf

,etnon

min

, ardanslaplupartdes

aslaborne inférieure n'estpasatteinte.Ce ara tèremal posé est l'unedesdi ultés majeuresde

l'optimisation de formes, notamment topologique, qui a d'importantes réper ussions sur le plan du

traitementnumérique.

Pour xer les idées et quelques notations, nous présentons i-après deux problèmes lassiques

d'optimisationdeformes.Nousrenvoyonsà[23,32,36,48℄pourd'autresexemples.

1.1.1 Minimisation de la omplian e en optimisation de stru tures

Le problèmed'optimisationdestru tures leplustypique etle plusétudiéest eluidela

minimi-sationdela omplian eenélasti itélinéaire.Lastru tureenquestionestreprésentéeparledomaine

⊂ R

N

,

N

∈ {2, 3}

.Leséquationsdel'élasti itélinéairepourledépla ement

u

∈ H

1

(Ω)

N

s'é rivent

dansleurformulationforte

− div σ(u) = 0

dans

Ω,

u = 0

sur

Γ

D

,

σ(u)n = g

sur

Γ

N

,

σ(u)n = 0

sur

∂Ω

\ Γ

D

\ Γ

N

.

Letenseurdes ontraintes

σ(u)

estdéniparlaloideHooke

σ(u) = λ tr e(u)I + 2µe(u)

ave

e(u) =

s

u = (

∇u + ∇u

T

)/2

le tenseurdesdéformations et

(λ, µ)

les oe ientsde Lamédu

matériau. Les onditions aux limites sont onstituées d'un hargement

g

∈ H

−1/2

N

)

, d'un bord

en astré

Γ

D

et d'unbordlibresur lerestedelafrontière. La omplian ede

sousle hargement

g

estletravaildesfor esextérieures,àsavoir

C(Ω) =

Z

Γ

N

(7)

miser. Onimpose lassiquementdes ontraintes devolumeet d'en ombrement.Le problème

d'opti-misationdeformerésultants'é rit

inf

{C(Ω) | Ω ⊂ D, Γ

D

∪ Γ

N

⊂ ∂Ω, |Ω| ≤ V } ,

D

est un domaine xé,

|Ω|

est la mesure de Lebesgue de

et

V > 0

est donné. Le ara tère

génériquementmal posé de e problèmeest bien onnu : les suites minimisantes ont des formes de

plusenplus omplexeset ne onvergentversundomainepourau unetopologieappropriée

( 'est-à-direquirendele ritèresemi- ontinu inférieurement).Un ontre-exemple analytiqueestexposédans

[23℄. D'un point de vuepratique, il faudra don se ontenter de minimiseurs appro hésou, pire, de

minimiseurslo aux.

1.1.2 Identi ation de défauts

Il est ourant de formuler les problèmes inverses pardes problèmes d'optimisation. Dans le as

del'identi ationd'objets(oudedéfauts), eladonnelieuàdesproblèmesd'optimisationdeformes.

Donnons unexemple dansle as dulapla ien. Etant donnésdeux domaines

⊂⊂ D ⊂ R

N

et une

ex itation

g

,nousnotons

u

lasolutionde

−∆u

= 0

dans

D

\ Ω,

n

u

= g

sur

∂D,

n

u

= 0

sur

∂Ω.

Notons

ledomainere her hé,pourlequelnousdisposons delamesureaubord

f = (u

)

|∂D

. Le

ritèreàminimiserleplussouventutilisépourre onstruire

est eluidemoindres arrés

J (Ω) = ku

− fk

2

L

2

(∂D)

.

(1.2)

Silamesure

f

estexa te,alorsilexistebienunminimiseurde(1.2)donnépar

,mais 'estl'uni ité

quin'estpasgarantie.Deplus,enadmettantl'uni ité (quipeutêtrea quisesilenombredemesures

est susant), e minimiseur sera souvent très sensible à l'addition de bruit sur

f

. Là en ore, il est

généralementindiquédeselimiteràunesolutionsous-optimale,qu'ilfaudrasavoirséle tionner.

1.2 Les méthodes les plus onnues

Il existede nombreusesméthodesd'optimisation de formes. Cetteri hesse provientévidemment

dela diversitédes astraîtés,mais souligneégalementla omplexité duproblème. Dupointde vue

mathématique,deuxdi ultés apparaissentd'embléeet ontunrledéterminantsurla onstru tion

d'algorithmes : d'une part, le ara tère mal posé dé rit plus haut, et, d'autre part, l'absen e de

stru ture ve torielle naturelle sur un ensemble de domaines. Les méthodes (ouplus exa tement les

famillesdeméthodes)lesplusrépanduessontlistées i-dessous.

 Les méthodessto hastiques, ommeles algorithmesévolutionnaires [23, 65℄, ont l'avantagede

nepasné essiterde al uldegradientetsontpeusensiblesauxminimalo aux.Cependant,leur

oûtest élevé.

 Un moyenrépandu visantà mettre en oeuvres desalgorithmes standardsd'optimisation

non-linéaireestd'appliquer es-derniersàunereprésentationdudomaineàl'aidedeparamètresréels

(pointsde ontrle,noeudsd'unmaillage...).Onparled'optimisationparamétrique[60,56℄.

 L'optimisation de formes dite lassique [68, 48℄ onsiste à ee tuer, de manière itérative, des

déformations régulière de frontière. La notion de dérivée de forme fournit une dire tion de

des ente pourledépla ementdespointsdubord. Dans e adre,lesdomainesobtenusrestent

homéomorphesaudomaineinitial :il n'y apasde hangementdetopologie.C'est le prin ipal

défautde esméthodes.

 Unevariantedelaméthode lassiqueestdereprésenterledomaineentantqu'ensembledeniveau

d'une ertainefon tion[25, 69,59℄, equel'on é ritgénéralementsouslaforme

Ω =

{ψ < 0}

.

L'évolutiondelafun tion

ψ

estgouvernéeparladérivéedeformeviauneéquationde

(8)

unmaillagexe.

 Partantdu onstatque lesproblèmes d'optimisation topologique sontmal posés, ertains

au-teursontintroduitdesméthodesderelaxation.Laplus onnuereposesurlathéoriede

l'homo-généisation[30, 22, 40℄ pour in lure dansl'ensemble admissible toute une lassede matériaux

omposites. Le problème resultantest bien posé par onstru tion,et deplus diérentiable, e

qui autorise l'utilisationd'algorithmes de résolution performants.Cependant, les distributions

dematériauobtenues ontiennentdesdensitésintermédiairesqu'ilfautensuiteéliminerpardes

te hniquesdepénalisationplusoumoinsheuristiques.Une variantesimpliéeet trèsrépandue

delaméthoded'homogénéisationestlaméthodeSIMP [32,31,66℄.

 Finalement,nousenvenonsàl'analysedesensibilitétopologiquequifaitl'objetde edo ument.

Leprin ipeest d'évaluerl'eetsurlafon tion oûtd'une perturbationde topologie, ommela

réationd'untrou.Cetteidéeaétéintroduited'abordformellementdans[64,42℄ puisdansun

adre mathématique rigoureux dans [44, 67, 54℄. Des méthodes utilisant e on ept, de façon

ex lusiveou ombinée,serontdé ritesplusloin.

1.3 Sensibilité topologique : dénition et premiers algorithmes

Soit

undomaine(ouvert onnexe)de

R

N

,

N

∈ {2, 3}

,etunpoint

z

∈ Ω

.Supposonsque,lorsque

ρ

tend vers

0

,ledéveloppementasymptotiquesuivantpuisseêtre obtenu:

J (Ω \ B(z, ρ)) − J (Ω) = f(ρ)g

(z) + o(f (ρ)),

(1.3)

ave

f : R

+

→ R

+

vériant

lim

ρ→0

f (ρ) = 0

.Onditalorsque

J

admet

g

(z)

pourdérivéetopologique

(aussiappelésensibilitétopologiqueougradienttopologique)aupoint

z

.Signalonsquele hoixd'un

trou ir ulaireestpurementarbitraire.D'autresperturbationsserontenvisagéesparlasuite.

La dérivée topologiquerenseigne sur lavariation aupremier ordre dela fon tion

J

parrapport

àune petite perturbation de topologie. Ainsi, omme detout gradient,son utilisation peut sefaire

àdeux niveaux.D'une part, elle fournit une dire tion de des ente. Par exemple, on peut aisément

on evoirunalgorithmeitératif qui rée despetitstrous en despoints

z

g

(z) < 0

. Lerayonou

lenombre de trous réésà haqueitération sontalors une sorte depas àdéterminer. D'autrepart,

lapositivitéde

g

(z)

entoutpointde

estuneévidente onditionné essaired'optimalité.Onpeut

her heràlarésoudreparunalgorithmedepointxetelque eluiproposédans[44,37℄:

n+1

=

{x ∈ Ω

n

, g

n

(x)

≥ t

n

} ,

(t

n

)

est une suite roissante de nombresnégatifs qui tend vers

0

. Le prin ipal défaut de et

al-gorithme, en dehors de l'absen e de résultats de onvergen e,est qu'ilne permet à au un moment

d'étendreledomaine.Unefaçond'yremédierestd'asso ierauxperturbationsdetopologiedes

varia-tionsdefrontière,parexempleparuneméthodedelignesdeniveaux [24,49℄.Nousverronsplusloin

(9)

Analyse de sensibilité topologique de

quelques problèmes

Ce hapitreest onsa réàl'analysedesensibilitédequelquesproblèmesd'équationsauxdérivées

partielles.L'appro hemiseenoeuvres'arti uleautourd'unelignedire tri e ommune,quiestesquissée

sur le problème leplus simple onsidéré, àsavoir elui d'une in lusion pourun problème elliptique

d'ordre2.Nousnous ontentonsensuitedementionnerlesspé i itésdesautre as.

Danstoutle hapitre,

est undomainebornéde

R

N

et

ω

ρ

estunsous-domainede

delaforme

ω

ρ

= z + ρω

,où

z

∈ Ω

et

ω

⊂ R

N

estundomainebornéetrégulier(

C

).L'ensemble

\ ω

ρ

seranoté

ρ

. Pouréviter ertains onitsdenotations,

ρ

seraparfoisrempla épar

ε

.

2.1 Problèmes elliptiques d'ordre 2 ave in lusion, trou ou

s-sure de type Neumann [3, 14, 12℄

2.1.1 Une méthode adjointe généralisée

Nous ommençons parétablir unrésultatquiserviradebase pourl'analysede sensibilité

topolo-giqueprésentéedans ettese tion,maisquiseraégalementutilisé,moyennantquelquesadaptations,

pourtraiterlesautresproblèmesde e hapitre.Lapreuve,qui onsisteendesimplesréarrangements,

estfournie i-après.

Proposition 2.1 Soit

V

unespa eve toriel.Pourtoutparamètre

ρ

∈ [0, ρ

0

[

,

ρ

0

> 0

,nous onsidérons

unve teur

u

ρ

∈ V

solution de

a

ρ

(u

ρ

, v) = ℓ

ρ

(v)

∀v ∈ V,

(2.1)

a

ρ

et

ρ

sontrespe tivementune forme bilinéaireet une forme linéaire sur

V

.Considérons

main-tenantune fon tion oûtde la forme

j(ρ) = J

ρ

(u

ρ

)

∈ R.

(2.2)

Nousfaisons les hypothèses suivantes :il existe desréels

δa, δℓ, δJ

1

, δJ

2

, une fon tion

f : [0, ρ

0

[

→ R

ainsiqu'une formelinéaire

L

ρ

sur

V

telsque, lorsque

ρ

→ 0

,

J

ρ

(u

ρ

)

− J

ρ

(u

0

)

= L

ρ

(u

ρ

− u

0

) + f (ρ)δJ

1

+ o(f (ρ)),

(2.3)

J

ρ

(u

0

)

− J

0

(u

0

)

= f (ρ)δJ

2

+ o(f (ρ)),

(2.4)

(a

ρ

− a

0

)(u

0

, v

ρ

)

= f (ρ)δa + o(f (ρ)),

(2.5)

(ℓ

ρ

− ℓ

0

)(v

ρ

)

= f (ρ)δℓ + o(f (ρ)),

(2.6)

v

ρ

∈ V

estunétat adjoint solutionde

(10)

Alorsnousavonsledéveloppement asymptotiquelorsque

ρ

→ 0

:

j(ρ)

− j(0) = f(ρ)(δa − δℓ + δJ

1

+ δJ

2

) + o(f (ρ)).

Preuve. Nousavonsauvude(2.1)

j(ρ)

− j(0) = [J

ρ

(u

ρ

)

− J

0

(u

0

)] + [a

ρ

(u

ρ

, v

ρ

)

− a

0

(u

0

, v

ρ

)]

− [ℓ

ρ

(v

ρ

)

− ℓ

0

(v

ρ

)].

Enutilisantleséquations(2.5)et (2.6)ilvient

j(ρ)

− j(0) = J

ρ

(u

ρ

)

− J

0

(u

0

) + a

ρ

(u

ρ

− u

0

, v

ρ

) + f (ρ)(δa

− δℓ) + o(f(ρ)).

De(2.3)et (2.4)ils'ensuit

j(ρ)

− j(0) = L

ρ

(u

ρ

− u

0

) + a

ρ

(u

ρ

− u

0

, v

ρ

) + f (ρ)(δJ

1

+ δJ

2

+ δa

− δℓ) + o(f(ρ)).

L'équationadjointe (2.7) onduitaurésultatannon é.



2.1.2 Sensibilité topologique par rapport à une in lusion

Soit

A

une matri e symétriquedénie positiveet

α

0

,

α

1

,

β

0

,

β

1

des réels telsque

α

0

> 0, α

1

>

0, β

0

β

1

≥ 0

. Pour tout paramètre

ρ

≥ 0

assezpetit (i.e.

ρ

est inférieurà un ertain

ρ

0

> 0

), nous

onsidéronsles oe ients onstantsparmor eaux

α

ρ

(x) =



α

0

si

x

∈ Ω

ρ

,

α

1

si

x

∈ ω

ρ

,

β

ρ

(x) =



β

0

si

x

∈ Ω

ρ

,

β

1

si

x

∈ ω

ρ

,

(2.8)

et,étantdonnées

F

0

, F

1

∈ H

2

(Ω)

,lafon tion

F

ρ

=



F

0

dans

ρ

,

F

1

dans

ω

ρ

.

Noussupposonsdeplusque,pourtout

ρ

∈ [0, ρ

0

[

,leproblèmeauxlimites



div

ρ

A

∇u

ρ

) + β

ρ

u

ρ

= F

ρ

dans

Ω,

u

ρ

= 0

sur

∂Ω,

(2.9)

admetuneuniquesolution

u

ρ

∈ H

1

(Ω)

.Notonsquela onditiondeDiri hletsur

∂Ω

aété hoisiepour

xerlesidéesmaisnejoue au unrle parti ulier.

An d'utiliser la Proposition 2.1, nous ommençons par é rire (2.9)sous laforme variationnelle

(2.1)ave

V = H

1

0

(Ω),

a

ρ

(u, v) =

Z

α

ρ

A

∇u.∇v dx +

Z

β

ρ

uv dx,

(2.10)

ρ

(v) =

Z

F

ρ

vdx.

(2.11)

Noussupposonsdansunpremiertempsquelafon tion oûtvérieleshypothèses(2.2),(2.3)et(2.4),

etnousnous on entronssur l'étudedu omportementasymptotiquedesquantitésdéniespar(2.5)

et (2.6).Le point essentielest dedéterminer une approximationappropriée del'adjoint

v

ρ

. Pardes

te hniquespro hesde[43,38℄(oùle omportementdelasolutionàdistan edel'in lusionestétudié,

voir aussi notamment [29, 58℄ pour des développements plus ré ents sur e sujet), nous montrons

que e i est réaliséen onsidérantunpotentieldesimple ou he dedensité supportéesur

∂ω

. Nous

aboutissonsaurésultatsuivant[3℄.

Théorème 2.2 Soit

j

une fon tion oût de la forme (2.2)vériant (2.3) et(2.4) pourune ertaine

forme linéaire

L

ρ

∈ H

−1

(Ω)

et

f (ρ) = ρ

N

.Noussupposonsde plusque

(11)

j(ρ)

− j(0) = ρ

N



α

0

∇u

0

(z)

T

P

ω,r

∇v

0

(z) + (β

1

− β

0

)

|ω|u

0

(z)v

0

(z)

−|ω|(F

1

− F

0

)(z)v

0

(z) + δJ



+ o(ρ

N

).

(2.13)

Nousavonsutilisélesnotations

δJ = δJ

1

+ δJ

2

,

r =

α

1

α

0

≥ 0.

Lorsque

r = 1

,lamatri e(ditedepolarisation)

P

ω,r

estnulle.Sinonelleest onstituéedes omposantes

(

P

ω,r

)

ij

=

Z

∂ω

p

i

x

j

ds

(2.14)

x

j

estla

j

-ème oordonnéedupoint

x

etla densité

p

i

asso iéeau

i

-èmeve teur de base

e

i

de

R

N

estl'unique solutionde l'équation intégrale

r + 1

r

− 1

p

i

(x)

2

+

Z

∂ω

p

i

(y)A

∇E(x − y).n(x)ds(y) = Ae

i

.n(x)

∀x ∈ ∂ω.

(2.15)

I i,

E

désigne la solutionélémentairede l'opérateur

u

7→ −

div

(A

∇u)

.

La notion de matri e de polarisation aété introduite par Polya,S hier et Szegö[61, 63℄ et a été

largementétudiéedepuis(voirparexemple[26,28℄).Enparti ulier,ilestétablique

P

ω,r

estsymétrique

déniepositivesi

r > 1

,etsymétriquedénienégativesi

r < 1

.Rappelonsquelquesformulesobtenues

pourdesellipsesetellipsoïdesdansle asdulapla ian

A = I

[53℄.

1. Ellipse.Lorsque

ω

estl'ellipsedontlesaxesdedemi-longueurs

a

et

b = ea

sontdirigésselonles

ve teursdebase(le asgénérals'obtientparrotation), lamatri edepolarisations'é rit

P

ω,r

=

|ω|(r − 1)

1 + e

1 + re

0

0

1 + e

e + r

 .

(2.16)

Nousavonsenparti ulierpourledisqueunité

P

ω,r

= 2

r

− 1

r + 1

|ω|I.

(2.17)

2. Ellipsoïde.Lamatri edepolarisationdel'ellipsoïdededemi-axes

(a

i

)

i∈{1,2,3}

orientésselonles

ve teursdebases'é rit

P

ω,r

=

|ω|

r

− 1

1

− (r − 1)s

1

0

0

0

r

− 1

1

− (r − 1)s

2

0

0

0

r

− 1

1

− (r − 1)s

3

(2.18) ave

s

k

=

a

1

a

2

a

3

2

Z

0

1

(a

2

k

+ s)

p

(a

2

1

+ s)(a

2

2

+ s)(a

2

3

+ s)

ds.

Al'aidedulogi ielde al ulsymboliqueMaple,nousobtenonspourunellipsoïdederévolution

derayon

a

1

= a

2

et dehauteur

a

3

= ea

1

,

e < 1

s

1

= s

2

= e

2e

1

− e

2

+ 2 arctan(

e

1

− e

2

)

− π

(12)

s

3

=

−e

2

1

− e

2

+ 2 arctan(

e

1

− e

2

)

− π

2(1

− e

2

)

3/2

,

(2.20)

etpourlabouleunité(quise al uleévidemmentbeau oupplussimplementdire tement)

P

ω,r

= 3

r

− 1

r + 2

|ω|I.

(2.21)

Notonsquelethéorème2.2segénéraliseaisémentau asoù

α

0

et

β

0

sont onstantsparmor eaux,à

onditionqu'ilssoient onstantsauvoisinagede

z

.

Donnonsmaintenantquelquesexemplesdefon tions oûttypiques.

Théorème 2.3 Ledéveloppement asymptotique(2.13) est valable pourles fon tions oût suivantes,

ave lesvaleursindiquéesde

δJ

.

1. Exemple 1.Considéronsune fon tion oûtde la forme

J

ρ

(u) = J(u

|Ω\B(z,R)

),

(2.22)

R > 0

est xéet

J

est de lasse

C

2

sur

H

1

(Ω

\ B(z, R))

.Alors

δJ = 0.

2. Exemple 2.Pour la fon tionnelle

J

ρ

(u) =

Z

α

ρ

|u − u

d

|

2

dx,

(2.23) ave

u

d

∈ H

2

(Ω)

,nous avons

δJ = (α

1

− α

0

)

|ω||u

0

(z)

− u

d

(z)

|

2

.

3. Exemple 3.Pour la fon tionnelle

J

ρ

(u) =

Z

α

ρ

A

∇(u − u

d

).

∇(u − u

d

) dx,

(2.24) ave

u

d

∈ (H

1

0

∩ H

3

)(Ω)

,nousavons

δJ = α

0

∇u

0

(z)

T

P

ω,r

(

∇u

0

(z)

− ∇u

d

(z))

− (α

1

− α

0

)

|ω|A∇u

d

(z).(

∇u

0

(z)

− ∇u

d

(z)).

Lesthéorèmes2.2et2.3segénéralisentsansdi ultéau asd'unétatve toriel

u

ρ

∈ R

m

.Lesseuls

hangementssontlessuivants.

 Dans haqueformule, deux ve teurs sontmultipliés au sense duproduit s alaire anonique de

R

m

.

 Lepolarisation

P

ω,r

estdonnéeparuntenseurd'ordre4.Sionnote

P

ij

pq

ses omposantes,nous

avonspardénition

∇u

T

P

ω,r

∇v =

X

i,j,p,q

P

ij

pq

i

u

j

p

v

q

.

Dansle asdusystèmedel'élasti itélinéaire,letenseurdepolarisationestappelétenseurdesmoments

élastiques (EMT), voir [26, 28℄. Nous avonspour un disque par exemple, en utilisant les notations

standardsdel'élasti ité,

∇u

T

P

ω,r

∇v =

r

− 1

κr + 1

κ + 1

2

|ω|



2σ(u) : e(v) +

(r

− 1)(κ − 2)

κ + 2r

− 1

tr

σ(u)

tr

e(v)



,

u

et

v

sontdes hampsdedépla ementquel onques,

σ(u)

and

e(v)

sontlestenseursdes ontraintes

(pourunmoduled'Youngunitaire)etdesdéformationsasso iés,

κ =

λ + 3µ

λ + µ

,

(13)

Le as où

ω

ρ

est un trouave onditionde Neumann au bord s'obtient formellement en faisant

tendre

α

1

et

β

1

vers

0

dans les formules pré édentes. En fait, e i peut se justierrigoureusement

en prenant exa tement

α

1

= β

1

= 0

et en adoptantune formulation appropriée pour éviter que le

problèmenedevienne malposé[3℄.Ainsi, ilsut deprendre

α

1

= β

1

= 0

dans lesthéorèmes2.2et

2.3pourobtenirlesformules orrespondantautroudeNeumann.Lamatri edepolarisationasso iée

s'obtientenprenantpour ontraste

r = 0

.Onretrouvealors ertainsrésultats onnus[67,44℄.

Le as d'unessuredroite(en2D)ou ir ulaireplane (en3D)sedéduit dutrouelliptique(resp.

ellipsoïdal de révolution) en faisanttendre l'un des axes vers

0

. Ce passage àla limite est quant à

lui purement formel. Cependant, il permet de retrouverdes formules obtenues rigoureusement par

ailleurs[14, 12℄, enutilisantune approximationde l'étatadjoint parunpotentiel dedouble ou he.

Ainsinousavons

P

Σ

=

−πn ⊗ n

pourune ssuredroite

Σ

delongueur

2

et denormaleunitaire

n

(2D)

,

P

Σ

=

8

3

n

⊗ n

pourunessure ir ulaireplane

Σ

derayon

1

etdenormaleunitaire

n

(3D)

.

2.2 Problèmes elliptiques d'ordre 2 ave trou de type Diri hlet

[21, 2, 4℄

Nousabordonsmaintenantle asd'untrouave onditiondeDiri hlethomogènesursonbord.An

depouvoirtraitersouslemêmeformalisme leséquationsdeNavier-Stokesenrégime in ompressible

(entreautres),nous onsidéronsunproblèmesemi-linéairedelaforme

−∆u

ρ

+ Φ(u

ρ

) =

σ

dans

ρ

,

u

ρ

=

0

sur

∂Ω,

u

ρ

=

0

sur

∂ω

ρ

,

(2.25)

σ

∈ L

2

(Ω)

et

Φ

estunefon tiondiérentiable,éventuellementnonlinéaire,vériantlespropriétés

suivantes.Parrestri tionàn'importequelouvertborné

O

de

R

N

,

Φ

asso ieàtoutélémentde

H

1

(

O)

unélémentdel'espa edual

H

1

(

O)

.Deplus,si

O = O

1

∪ O

2

∪ (∂O

1

∩ ∂O

2

)

,

O

1

∩ O

2

=

,alorspour

tout

u, v

∈ H

1

(

O)

nousavons

hΦ(u), vi

H

1

(O)

,H

1

(O)

=

hΦ(u

|O

1

), v

|O

1

i

H

1

(O

1

)

,H

1

(O

1

)

+

hΦ(u

|O

2

), v

|O

2

i

H

1

(O

2

)

,H

1

(O

2

)

.

(2.26)

Noussupposonsqueleproblème(2.25)admetunesolution

u

ρ

∈ H

1

0

(Ω

ρ

)

pourtout

ρ

assezpetit.Nous

notons

R

u

(v) = Φ(u + v)

− Φ(u).

(2.27)

L'analyseasymptotique topologiqued'unefon tion oût

j(ρ) = J

ρ

(u

ρ

)

s'appuie sur une variante

de la proposition 2.1, que nous appliquons à un prolongement de

u

ρ

par

0

à l'intérieur du trou.

Dansle as deDiri hlet,nousdevonsdistinguerlesdimensions

2

et

3

.Ce i provientdeladiéren e

de omportementàl'inni dessolutionsélémentairesdulapla ien,toujoursnotées

E

, e qui passait

inaperçudanslase tionpré édentevuqu'ellesintervenaientparleursgradients.Lesrésultatssuivants

sont issus de [4℄. Comme auparavant, nous énonçons des résultats généraux avant de spé ier des

exemples.

2.2.1 Sensibilité topologique en dimension 3

L'hypothèsete hniquesuivanteportesurlanonlinéarité,etseraautomatiquementvériéelorsque

Φ

est linéaire.

Hypothèse2.1 1. Il existe

λ > 0

et une onstante

c > 0

tels que pour tout

f

∈ H

−1

(Ω

ρ

)

,

ϕ

∈ H

1/2

(Γ)

et

u

∈ H

1

(Ω

ρ

)

ave

kuk

1,Ω

ρ

< λ

et

kfk

−1,Ω

ρ

,

kϕk

1/2,Γ

susamment petit, le problème

−∆v + R

u

(v)

= f

in

ρ

,

v

= ϕ

on

Γ,

v

= 0

on

∂ω

ρ

,

(2.28)

(14)

kvk

1,Ω

ρ

≤ c(kfk

−1,Ω

ρ

+

kϕk

1/2,Γ

).

2. Ilexiste une onstante

c

> 0

tellequepourtout

v

∈ H

1

(Ω)

ave

kvk

1,Ω

susammentpetit,

kR

u

0

(v)

k

−1,Ω

≤ c

(

kvk

0,Ω

+

kvk

2

1,Ω

).

3. Si

u

est de lasse

C

2

,alors

Φ(u)

estde lasse

C

0

.

4. Lorsque

kvk

1,Ω

tendverszero,

v

∈ H

1

0

(Ω)

,

v

0

∈ H

1

0

(Ω)

,nous avons

hR

u

0

(v)

− DR

u

0

(0)v, v

0

i = o(kvk

0,Ω

+

kvk

2

1,Ω

).

Lerésultatgénéralesténon é i-dessous.

Théorème 2.4 Supposonsque

 la fon tion

Φ

vériel'hypothèse2.1 et

ku

0

k

1,Ω

< λ

,

 la fon tion oûtvérie

J

ρ

(u

ρ

)

− J

0

(u

ρ

) =

ρδJ

1

+ o(ρ),

(2.29)

J

0

(u

ρ

)

− J

0

(u

0

)

− hL, u

ρ

− u

0

i = ρδJ

2

+ o(ρ),

(2.30) ave

L

∈ H

−1

(Ω)

,

δJ

1

, δJ

2

∈ R

,  leproblème adjoint :



−∆v

0

+ DΦ(u

0

)

v

0

=

−L

in

Ω,

v

0

=

0

on

Γ,

(2.31)

aaumoins unesolution

v

0

∈ H

1

0

(Ω)

,

 lesétatsdire ts etadjoints

u

0

et

v

0

sontde lasse

C

2

au voisinagede

z

,

 le oe ient

Q

ω

estdénipar

Q

ω

=

Z

∂ω

ηds,

(2.32) où

η

∈ H

−1/2

(∂ω)

estl'unique solutionde l'équation intégrale

Z

∂ω

E(x

− y)η(y)ds(y) = 1

∀x ∈ ∂ω.

(2.33)

Alorsnousavons

j(ρ)

− j(0) = ρ [Q

ω

u

0

(z)v

0

(z) + δJ

1

+ δJ

2

] + o(ρ).

(2.34)

Notonsquelafon tion

Φ

n'estpasprésenteexpli itementdanslaformule(2.34),nidansladénition

de

Q

ω

.

2.2.2 Sensibilité topologique en dimension 2

En dimension2,nousallonsvoirqueles hoses sontassezdiérentes,à ommen erparles

hypo-thèses.

Hypothèse2.2 1. Il existe

p

∈]1, 2[

et

q

∈]1, +∞[

tels que

Φ

envoie

W

1,p

(

O)

dans

L

q

(

O)

pour

toutouvertborné

O

de

R

2

.

2. Il existe

λ > 0

et une onstante

c > 0

tels que, pour tout

f

∈ H

−1

(Ω

ρ

)

,

ϕ

∈ H

1/2

(Γ)

et

u

∈ W

1,p

(Ω

ρ

)

ave

kuk

W

1,p

(Ω

ρ

)

< λ

et

kfk

−1,Ω

ρ

,

kϕk

1/2,Γ

assezpetit, leproblème

−∆v + R

u

(v)

= f

in

ρ

,

v

= ϕ

on

Γ,

v

= 0

on

∂ω

ρ

,

(2.35)

aune uniquesolutionvériant

(15)

3. Il existe une onstante

c

> 0

telle que pour tout ouvert

O ⊂ Ω

et tout

u, v

∈ W

1,p

(

O)

ave

kuk

W

1,p

(O)

≤ λ

et

kvk

W

1,p

(O)

assezpetit,

kR

u

(v)

k

L

q

(O)

≤ c

kvk

W

1,p

(O)

.

4. Lorsque

kvk

1,Ω

tendverszero,

v

∈ H

1

0

(Ω)

,

v

0

∈ H

1

0

(Ω)

,nous avons

hR

u

0

(v)

− DR

u

0

(0)v, v

0

i = o(kvk

W

1,p

(Ω)

).

Nousavonslerésultatsuivant.

Théorème 2.5 Supposonsque

 lefon tion

Φ

vériel'hypothèse 2.2et

ku

0

k

W

1,p

(Ω)

< λ

,

 la fon tion oûtvérie

J

ρ

(u

ρ

)

− J

0

(u

ρ

) =

−1

log ρ

δJ

1

+ o(

−1

log ρ

),

(2.36)

J

0

(u

ρ

)

− J

0

(u

0

)

− hL, u

ρ

− u

0

i =

−1

log ρ

δJ

2

+ o(

−1

log ρ

),

(2.37) ave

L

∈ H

−1

(Ω)

,

δJ

1

, δJ

2

∈ R

,

 leproblème adjoint (2.31) aaumoinsune solution

v

0

∈ H

1

0

(Ω)

,

 lesétatsdire ts etadjoints

u

0

et

v

0

sontde lasse

C

2

au voisinagede

z

.

Alors

j(ρ)

− j(0) =

log ρ

−1

[2πu

0

(0)v

0

(0) + δJ

1

+ δJ

2

] + o(

−1

log ρ

).

(2.38)

I i en ore la non linéarité n'est pas présente expli itement. Observons un autre fait remarquable,

propreàladimension2:laformedutroun'intervientpas,dumoins danslepremierterme.

2.2.3 Généralisation à d'autres opérateurs diérentiels

Lesrésultats pré édentssegénéralisentsansau unedi ulté au asoùlelapla ien est rempla é

parunopérateurdiérentiel

˜

onvenable, 'estàdiresatisfaisantlespropriétéssuivantes.

Hypothèse2.3 Pourtoutouvertborné

O ⊂ R

N

,

˜

estdéni(ausensfaible) par

V(O) → V

0

(

O)

˜

∆ :

u

7→

div

(A

∇u),



V(O)

estunsous-espa eferméde

H

1

(

O)

n

,

n

≥ 1

, 

V

0

(

O) = V(O) ∩ H

1

0

(

O)

n

,



A

estuntenseurd'ordre4 telque

AX : X

≥ cX : X,

∀X ∈ M

N,n

(R),

 la solution élémentaire de

˜

vérie

E(x) = O



1

|x|



,

(

|x| → ∞)

en 3D

,

E(x)

∼ −m

2

log

|x|

I,

(

|x| → 0)

en 2D

,

m

2

∈ R

(16)

Pouruntelopérateuragissantsurun hampve toriel,les alaire

Q

ω

doitêtrerempla éparlamatri e

n

× n

del'appli ationlinéaire

X

∈ R

n

7→ Q

ω

X =

Z

∂ω

ηds,

ladensité

η

étantl'uniquesolutiondel'équationintégrale

Z

∂ω

E(x

− y)η(y)ds(y) = X

∀x ∈ ∂ω.

(2.39)

Cettematri eest appeléematri e apa ité.

Alors,sousleshypothèsesdesthéorèmes2.4et2.5satisfaitesenremplaçant

par

˜

,

H

1

(

O)

par

V(O)

et

H

1

0

(

O)

par

V

0

(

O)

,nousavonslesformulesasymptotiques:

j(ρ)

− j(0) ∼ ρ [Q

ω

u

0

(z).v

0

(z) + δ

J 1

+ δ

J 2

]

en3D

,

(2.40)

j(ρ)

− j(0) ∼

log ρ

−1



m

2

u

0

(z).v

0

(z) + δ

J 1

+ δ

J 2



en2D

.

(2.41)

Si l'état

u

ρ

estàvaleurs omplexes, e quisigniequel'espa edeHilbert

V(O)

est omplexe,les

résultatspré édentssegénéralisentenidentiant

C

à

R

2

.Cela onduitàlamodi ationsuivante(voir

[21℄):leproduit s alaire

a.b

dans lesformules(2.40)and(2.41) estrempla é par

ℜ(a.b)

, oùlepoint

désignemaintenantleproduits alairehermitiende

C

n

.

Nousdonnonsdanslestableaux2.1desexemplesd'opérateursdiérentiels

˜

satisfaisantles

hypo-thèses2.3etdefon tions

Φ

vériantleshypothèses2.1endimension3and2.2 endimension2.Pour

lesfon tionslinéaires,la véri ation est immédiate. Pour leséquations deNavier-Stokes(en régime

in ompressible),voir[2℄.Nousindiquonsdansletableau2.2le oe ient

m

2

orrespondant.

Système

∆u

˜

V(O)

Φ(u)

Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)

∆u

H

1

(

O)

n

−k

2

(1 + ǫ

|u|

2s

)u

élasti ité linéaire/élastodynamique div

σ(u)

H

1

(

O)

N

−k

2

u

Stokes/quasi-Stokes,Navier-Stokes

ν∆u

{u ∈ H

1

(

O)

N

,

div

u = 0

}

αu

,

∇u.u

Table2.1Exemplesd'opérateurs.

Système

E(x)

m

2

Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)

−1

ln r I

1

élasti itélinéaire/élastodynamique

−(λ + 3µ) log rI + (λ + µ)e

r

e

r

T

4πµ(λ + 2µ)

λ + 3µ

2µ(λ + 2µ)

Stokes/quasi-Stokes,Navier-Stokes

− log rI + e

r

e

r

T

4πν

1

Table2.2Solutionélémentaireet oe ient

m

2

(2D).

2.2.4 Trou sphérique (3D)

Le asdutrousphérique

ω = B(0, 1)

aévidemmentunintérêtparti ulier,d'autantquele al ul

desamatri e apa ité est quasi-immédiat. Noussupposons pour ela quelasolutionélémentairede

˜

estdelaforme

E(x) =

αI + βe

r

e

T

r

4πr

,

α, β

∈ R.

Unsimple al uldonne

Z

∂ω

(17)

ave

m

3

= α +

β

3

.

Dans e as, pourvu que

m

3

6= 0

, la solution de (2.39) est la onstante

η = m

−1

3

X

et la matri e apa ités'é rit

Q

B(0,1)

=

m

3

I.

Letableau2.3rassemblelesvaleursde

m

3

orrespondantauxopérateursdutableau2.1.Dansles as

linéaires,onretrouvedefaçonsystématiquedesrésultats onnus[44,45,46,47, 54, 62℄.

PDEsystem

E(x)

m

3

Lapla e/Helmholtz(nonlinéaire)

1

4πr

I

1

élasti itélinéaire/élastodynamique

(λ + 3µ)I + (λ + µ)e

r

e

r

T

8πµ(λ + 2µ)r

2λ + 5µ

3µ(λ + 2µ)

Stokes/quasi-Stokes,Navier-Stokes

I + e

r

e

r

T

8πνr

2

Table2.3Solutionélémentaireet oe ient

m

3

(3D).

2.2.5 Exemples de fon tions oût

Théorème 2.6 Pourlesfon tionnellessuivantesetunopérateur

˜

vériantleshypothèses 2.3,sous

l'hypothèse 2.1en 3D (resp. l'hypothèse 2.2in 2D),les équations (2.29) et(2.30) sont vériéesave

f (ρ) = ρ

(resp.

f (ρ) =

−1/ log ρ

)et lesvaleursde

δJ

1

et

δJ

2

indiquées.

1. Sila fon tion oûtestde la forme

J

ρ

(u) = J(u

|Ω\B(z,R)

),

R > 0,

alors

δJ

1

= δJ

2

= 0.

2. Pourla fon tionnelle

J

ρ

(u) =

Z

ρ

|u − u

d

|

2

dx

u

d

∈ L

2

(Ω)

n

∩ L

p

(B(0, R))

n

, p > N

,

R > 0

,nous avons

δJ

1

= δJ

2

= 0.

3. Pourla fon tionnelle

J

ρ

(u) =

Z

ρ

|A∇(u − u

d

)

|

2

dx

u

d

∈ V(Ω) ∩ W

1,p

(B(0, R))

n

, p > N

,

R > 0

,nous avons

δJ

1

= 0

et

δJ

2

=

Q

ω

u

0

(z).u

0

(z)

en3D

,

m

2

u

0

(z).u

0

(z)

en2D

.

2.3 Problèmes paraboliques et hyperboliques [18℄

Nous revenons à une perturbation de type in lusion ou trou de Neumann mais pour des

pro-blèmesinstationnaires.Pluspré isément,laperturbationenquestionestinnitésimaleenespa emais

onstante entemps. Ainsi,lavariationdulagrangienliéeàlaperturbation delapartieelliptique de

l'opérateurs'obtiendraformellementparsommationde ettevariation orrespondantàdestran hesde

tempsinnitésimales.Poursimplier,laprésentationestfaitepourunein lusion,maisle asdutrou

s'obtientdemanièresimilaire.Etantdonnéquelalettre

ρ

désigneraladensité,latailledel'in lusion

(18)

Soit

A

unematri esymétriquedéniepositiveet

α

0

,

α

1

,

ρ

0

, ρ

1

desréelsstri tementpositifs.Pour tout

ε

∈ [0, ε

0

)

,ave

ε

0

susammentpetit, nous onsidéronsles oe ients onstantsparmor eaux

α

ε

=



α

1

dans

ω

ε

α

0

dans

\ ω

ε

,

ρ

ε

=



ρ

1

dans

ω

ε

ρ

0

dans

\ ω

ε

.

Etantdonnés

F

0

, F

1

∈ L

2

(0, T ; H

−1

(Ω))

,nous denissonslafon tion

F

ε

=



F

1

dans

ω

ε

× (0, T ),

F

0

dans

(Ω

\ ω

ε

)

× (0, T ).

Nousnousintéressonsàl'équation dela haleur:

ρ

ε

∂u

ε

∂t

div

ε

A

∇u

ε

) = F

ε

dans

× (0, T ),

u

ε

= 0

sur

∂Ω

× (0, T ),

u

ε

(

·, 0) = 0

dans

Ω.

(2.42)

Laformulationvariationnelles'é rit

Z

T

0



ρ

ε

∂u

ε

∂t

, v



H

−1

(Ω),H

1

0

(Ω)

dt +

Z

T

0

a

ε

(u

ε

, v) dt =

Z

T

0

ε

(v) dt

∀v ∈ X,

(2.43)

ave lesespa es

X = L

2

(0, T ; H

0

1

(Ω))

∩ H

1

(0, T ; H

−1

(Ω)),

X

0

=

{u ∈ X, u(., 0) = 0} ∋ u

ε

,

etlesformesbilinéaireset linéaires

a

ε

et

ε

dénies sur

H

1

0

(Ω)

par

a

ε

(u, v) =

Z

α

ε

A

∇u · ∇v dx,

(2.44)

ε

(v) =

Z

F

ε

v dx.

(2.45)

Nous onsidéronsunefon tion oût delaforme

j(ε) =

J

ε

(u

ε

) =

Z

T

0

J

ε

(u

ε

) dt

(2.46) où

J

ε

: H

1

0

(Ω)

→ R

et leshypothèsessuivantes sontsupposéesvériées:

J

ε

(u)

∈ L

1

(0, T )

∀u ∈ X, ∀ε ∈ [0, ε

0

),

(2.47)

J

ε

(u

ε

) =

J

ε

(u

0

) +

Z

T

0

hL

ε

, u

ε

− u

0

i

H

−1

(Ω),H

1

0

(Ω)

dt + ε

N

δ

J

1

+ o(ε

N

),

(2.48)

J

ε

(u

0

) =

J

0

(u

0

) + ε

N

δ

J

2

+ o(ε

N

),

(2.49)

kL

ε

− L

0

k

L

2

(0,T ;H

−1

(Ω))

= o(ε

N/2

),

(2.50) ave

L

ε

, L

0

∈ L

2

(0, T ; H

−1

(Ω))

et

J

1

,

J

2

∈ R

.Nousintroduisons l'étatadjoint

v

ε

∈ X

solutionde

Z

T

0



ρ

ε

∂ϕ

∂t

, v

ε



H

−1

(Ω),H

1

0

(Ω)

dt +

Z

T

0

a

ε

(ϕ, v

ε

) dt =

Z

T

0

L

ε

ϕ dt

∀ϕ ∈ X

0

,

(2.51)

'estàdirevériantl'équationdela haleurrétrograde

−ρ

ε

∂v

ε

∂t

div

ε

A

∇v

ε

) =

−L

ε

dans

× (0, T ),

v

ε

= 0

sur

∂Ω

× (0, T ),

v

ε

(

·, T ) = 0

dans

Ω.

(2.52)

(19)

Théorème 2.7 Supposonsquela fon tion oûtvérie(2.46)-(2.50). Supposonsde plusque

u

0

et

v

0

vérient respe tivement (2.42) et(2.52) pour

ε = 0

et que

F

0

,

F

1

et

L

0

sont susamment réguliers

auvoisinage de

z

.Alorsnousavonsledéveloppement asymptotique:

j(ε)

− j(0) = ε

N

"

1

− ρ

0

)

|ω|

Z

T

0

∂u

0

∂t

(z, t) v

0

(z, t) dt + α

0

Z

T

0

∇u

0

(z, t)

· P

ω,

α1

α0

∇v

0

(z, t) dt

−|ω|

Z

T

0

(F

1

(z, t)

− F

0

(z, t)) v

0

(z, t) dt + δ

J

1

+ δ

J

2

#

+ o(ε

N

).

(2.53)

Dans etteexpression,

P

ω,

α1

α0

est la matri e depolarisation introduite authéorème2.2.

Lesquestions derégularitésonttraitéesendétaildans[18℄. Nousindiquonsmaintenantquelques

exemplesdefon tions oût,d'autresexemplessontfournisdans[18℄.

Proposition 2.8 Ledéveloppementasymptotique(2.53) estvalablepourlesfon tions oûtsuivantes

ave lesvaleursde

δ

J

1

et

δ

J

2

indiquées.

1. Pourla fon tionnelle

J

ε

(u) =

Z

|u − u

d

|

2

dx

(2.54) ave

u

d

∈ L

2

(Ω)

∩ H

4

(B(z, R))

,

R > 0

,nousavons

δ

J

1

= δ

J

2

= 0

. 2. Pourla fon tionnelle

J

ε

(u) =

Z

η(x)A

∇(u − u

d

).

∇(u − u

d

) dx

(2.55)

ave

u

d

∈ L

2

(0, T ; H

1

(Ω))

et

η

une fon tion régulière dont le support ne ontient pas

z

, nous

avons

δ

J

1

= δ

J

2

= 0

.

2.3.2 Problèmes hyperboliques

Ave lesmêmesnotationsquepré édemment,nous onsidéronsmaintenantl'équationdesondes:

ρ

ε

2

u

ε

∂t

2

div

ε

A

∇u

ε

) = F

ε

dans

× (0, T ),

u

ε

= 0

sur

∂Ω

× (0, T ),

u

ε

(

·, 0) =

∂u

ε

∂t

(

·, 0) = 0

dans

Ω.

(2.56)

Laformulationvariationnelleasso iéepeuts'é riredanslesespa es

X =

C([0, T ]; H

1

0

(Ω))

∩ C

1

([0, T ]; L

2

(Ω))

∩ C

2

([0, T ]; H

−1

(Ω)),

(2.57)

X

0

=



u

∈ X, u(., 0) =

∂u

∂t

ε

(

·, 0) = 0



∋ u

ε

,

souslaforme

Z

T

0



ρ

ε

2

u

ε

∂t

2

, v



H

−1

(Ω),H

1

0

(Ω)

dt +

Z

T

0

a

ε

(u

ε

, v) dt =

Z

T

0

ε

(v) dt

∀v ∈ X,

(2.58)

ave lesformesbilinéaireetlinéaire

a

ε

et

ε

déniespar(2.44)et(2.45).Nous onsidéronsunefon tion

oûtdutype(2.46)vériant(2.47),(2.48), (2.49)ave

L

ε

, L

0

∈ W

1,1

(0, T ; H

−1

(Ω))

et

kL

ε

− L

0

k

W

1,1

(0,T ;H

−1

(Ω))

= o(ε

N/2

).

(2.59)

L'étatadjoint

v

ε

∈ X

estdénientantquesolutionde:

Z

T

0



ρ

ε

2

ϕ

∂t

2

, v

ε



H

−1

(Ω),H

1

0

(Ω)

dt +

Z

T

0

a

ε

(ϕ, v

ε

) dt =

Z

T

0

L

ε

ϕ dt

∀ϕ ∈ X

0

,

(2.60)

(20)

'estàdire,

ρ

ε

2

v

ε

∂t

2

div

ε

A

∇v

ε

) =

−L

ε

dans

× (0, T ),

v

ε

= 0

sur

∂Ω

× (0, T ),

v

ε

(

·, T ) =

∂v

ε

∂t

(

·, T ) = 0

dans

Ω.

(2.61)

Nousobtenonsle omportementasymptotiquesuivant.

Théorème 2.9 Supposons que

J

ε

vérie (2.46)-(2.49) et (2.59). Supposons de plus que

u

0

et

v

0

vérient respe tivement (2.56) et(2.61) pour

ε = 0

,etque

F

0

,

F

1

et

L

0

sont susamment réguliers

auvoisinage de

z

.Alors nousavonsledéveloppement asymptotique:

j(ε)

− j(0) = ε

N

"

− (ρ

1

− ρ

0

)

|ω|

Z

T

0

∂u

0

∂t

(z, t)

∂v

0

∂t

(z, t) dt + α

0

Z

T

0

∇u

0

(z, t)

· P

ω,

α1

α0

∇v

0

(z, t) dt

−|ω|

Z

T

0

(F

1

(z, t)

− F

0

(z, t)) v

0

(z, t) dt + δ

J

1

+ δ

J

2

#

+ o(ε

N

).

(2.62)

Nousrenvoyonsà[18℄pourdesexemplesdefon tions oût.

2.4 Un problème elliptique d'ordre 4 [17℄

Pourterminer e hapitrenousétudions unproblème elliptiqued'ordre4,àsavoirl'équation des

plaquesdeKir hho.Laparti ularitéd'unproblèmed'ordre4estquela apa ité d'unpointest non

nulle. Ainsila solution,don apriori lafon tion oût, peut varier dis ontinûment dès quel'on rée

untroupon tueldeDiri hlet, equirendladérivéetopologiquenondénie.Cependant, ommenous

allonslevoir,lasituationestdiérentepourunein lusion ouuntroudeNeumann.

Laplaqueenquestionestreprésentéparledomaineplan

⊂ D

.L'équationd'étatpourleproblème

nonperturbéest lasuivante: trouver

u

∈ V

h,g

telque

Z

D

γ

M(u

)

· ∇∇ϕ dx =

Z

Γ

Nq

qϕ ds +

Z

Γ

Nm

m∂

n

ϕ ds +

N

X

i=1

Q

i

ϕ(x

v

i

)

∀ϕ ∈ V

0,0

.

(2.63)

Ci-dessus,

V

h,g

est l'ensembledesdépla ements inématiquementadmissibles,et

V

0,0

estl'espa edes

variationsadmissibles,respe tivementdénispar

V

h,g

:=

n

u

∈ H

2

(D) : u

|

Γ

Dh

= h

et

n

u

|

Γ

Dg

= g

o

,

(2.64)

V

0,0

:=

n

ϕ

∈ H

2

(D) : ϕ

|

Γ

Dh

= 0

et

n

ϕ

|

Γ

Dg

= 0

o

.

(2.65)

La fon tion

u

est le dépla ement transversal (ou dée tion) de la plaque. Les bords de Diri hlet

et deNeumann sonrespe tivement lespaires(

Γ

D

h

, Γ

D

g

) et (

Γ

N

m

, Γ

N

q

), telsque

Γ

D

h

∩ Γ

N

q

= ∅

et

Γ

D

g

∩ Γ

N

m

= ∅

ave

Γ

D

h

et

Γ

D

g

demesurenonnulle. Sur

Γ

D

h

et

Γ

D

g

sontrespe tivementpres rits

un dépla ement

h

∈ H

3/2

D

h

)

et une rotation

g

∈ H

1/2

D

g

)

. Le système de for es ompatibles

ave les hypothèses de Kir hho est donné par

q

∈ H

3/2

N

q

)

,

m

∈ H

−1/2

N

m

)

et

Q

i

∈ R

. Les

distributions

q

et

m

représententun isaillementtransverseet unmoment, respe tivementpres rits

sur

Γ

N

q

et

Γ

N

m

.Finalement,

Q

i

estun isaillementtransverse on entréaupoint

x

v

i

∈Γ

N

q

,et

N

est

lenombrede espoints.Lemoduled'Young

γ

est onstantparmor eaux,devaleurs:

γ

=



γ

in

dans

Ω ,

γ

out

dans

D

\ Ω ,

(2.66)

ave

γ

in

> 0

et

γ

out

≥ 0

.Lorsque

γ

out

= 0

, seulesles valeursde

u

dans

doiventêtre onsidérées

danslafon tion oût.Lemomentrésultant

M(u

)

,normaliséàunmoduled'Youngunitaire,estrelié

audépla ementparlaloideHooke:

(21)

C

= 2µI + λ(I

⊗ I)

(2.68)

letenseurd'élasti ité,et

k =

τ

3

12

.

(2.69)

I i,

I

et

I

sontrespe tivementlestenseursidentitésd'ordre2et4,

τ

estl'épaisseurdelaplaqueetles

oe ientsdeLamé

µ

et

λ

sontdonnéspar

µ =

1

2(1 + ν)

and

λ =

ν

1

− ν

2

,

(2.70)

ν

est le oe ientde Poisson. De plus,an de garantirl'existen e et l'uni ité d'unesolution de

(2.63),noussupposonsque:



mes(Γ

D

g

∩ Γ

D

h

)

6= 0

ou

Γ

D

g

n'estpasdroitou

Γ

D

h

n'estpasdroit;

 lorsque

γ

out

= 0

,lesensembles

Γ

D

g

,

Γ

D

h

,

Γ

N

m

et

Γ

N

q

sontdespartiesde

∂Ω

.

Pourfa iliter le al ul du tenseurde polarisation, nousnous restreignonsàdes in lusions

ir u-laires:

ω

ε

= B(z, ε)

,

ε

=



\ ω

ε

si

z

∈ Ω ,

(Ω

∪ ω

ε

)

∩ D

si

z

∈ D \ Ω .

(2.71)

Nousnotonspoursimplier

(u

ε

, γ

ε

)

par

(u

ε

, γ

ε

)

et

(u

, γ

)

par

(u

0

, γ

0

)

.Alors,pourtout

ε

∈ [0, 1]

,

γ

ε

vaut:

γ

ε

=



γ

0

dans

D

\ ω

ε

,

γ

1

dans

ω

ε

,

(2.72)

γ

0

et

γ

1

sont des fon tions onstantes par mor eaux, onstantes au voisinage de

z

. Pour

ε > 0

,

l'état

u

ε

∈ V

h,g

estsolutionde:

Z

D

γ

ε

M(u

ε

)

· ∇∇ϕ dx =

Z

Γ

Nq

qϕ ds +

Z

Γ

Nm

m∂

n

ϕ ds +

N

X

i=1

Q

i

ϕ(x

v

i

)

∀ϕ ∈ V

0,0

.

(2.73)

Nous onsidérons une fon tion oût

J

ε

: H

2

(D)

→ R

vériant les propriétés suivantes : il existe

L

ε

∈ V

0,0

,

δJ

1

, δJ

2

∈ R

telsque

J

ε

(u

ε

)

= J

ε

(u

0

) +

hL

ε

, u

ε

− u

0

i + πε

2

δJ

1

+ o(ε

2

) ,

(2.74)

J

ε

(u

0

)

= J

0

(u

0

) + πε

2

δJ

2

+ o(ε

2

) .

(2.75)

hL

ε

, ϕ

i =

Z

D

γ

ε

(bϕ +

B · ∇∇ϕ) dx + hL, ϕi

∀ϕ ∈ V

0,0

,

(2.76) où

L

∈ V

,

b

∈ L

2

(D)

est un hamps alaireet

B ∈ L

2

(D)

est un hamptensoriel d'ordre2. Nous

supposonsdeplusque

hL, ϕi

nedépendpasdesvaleursde

ϕ

dansunvoisinagede

z

.Nousdénissons

les oe ients

γ = γ

1

(z)/γ

0

(z),

ξ =

1 + ν

1

− ν

,

η =

1

− ν

3 + ν

,

(2.77)

ρ =

γ

− 1

1 + γη

,

T

= ηI +

1

2

ξ

− η

1 + γξ

I

⊗ I .

(2.78)

Nousétablissonslerésultatsuivant.

Théorème 2.10 Soit

J

ε

une fon tion oûtvériant (2.74)-(2.76). Nous supposons que

b

et

B

sont

susammentréguliersauvoisinage de

z

.Alors

J

ε

(u

ε

)

admet ledéveloppement asymptotique

J

ε

(u

ε

)

− J

0

(u

0

) = πε

2

D

T

J

(z) + o(ε

2

) ,

ave

Figure

Table 2.1  Exemples d'opérateurs.
Figure 3.1  Détetion de défauts multiples. (a) Positions des défauts, (b)-(d) Niveaux de la dérivée
Figure 3.2  Optimisation d'une uve. (a) Géométrie du domaine, (b) éoulement ible, () position
Figure 3.4  Maximisation du oeient de Poisson : (a) ellule élémentaire ; (b) mirostruture
+7

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