Développement d'un programme de calcul de l'écoulement avec transfert de chaleur dans une cavité avec des parois mobiles

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITÉ MENTOURI - CONSTANTINE

FACULTÉ DES SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE

Mémoire :

Présenté en vue d’obtention du Diplôme de Magister en Génie Mécanique

Option : Thermo-fluide

THÈME :

DEVELOPPEMENT D’UN PROGRAMME DE

CALCUL DE L’ECOULEMENT AVEC

TRANSFERT DE CHALEUR DANS UNE

CAVITE AVEC DES PAROIS MOBILES

Par :

DAHDI Bachir

Soutenu le : 06/07/2009. Devant les membres de jury :

• Président : Mr. BOUDEBOUS Sâadoun Prof. Université Mentouri Constantine

• Rapporteur : Mr. NEMOUCHI Zoubir Prof. Université Mentouri Constantine

• Examinateurs : Mr. AFRID Mohamed Prof. Université Mentouri Constantine

Mr. KHOLAI Omar M.C. Université Mentouri Constantine

Juillet 2009

N° d’ordre : 242/Mag/2009 Série : 010 / GM / 2009

Je remercie tout d’abord Dieu le tout puissant qui nous éclaire le bon chemin.

Je remercie vivement et chaleureusement mes encadreurs Messieurs NEMOUCHI Zoubir et BOUDEBOUS Sâadoun Professeurs à l’université Mentouri – Constantine. Je les remercie pour leurs aides ainsi que leurs conseils qui ont contribués à la réalisation de ce travail.

Je tiens à remercie Monsieur BOUDEBOUS Sâadoun qui m’a fait l’honneur d’accepter la présidence du jury.

J’exprime mes vifs remerciements à Monsieur AFRID Mohamed Professeur à l’université Mentouri – Constantine et Monsieur KHOLAI Omar Maître de conférence à l’université Mentouri – Constantine d’avoir accepté de participer au jury.

R

ESUME

Le transfert de chaleur par convection constitue, jusqu’à présent, un principe de base de nombreuses applications industrielles. La présente étude conduit à l'analyse de la convection mixte dans une cavité à parois latérales ayant un mouvement ascendant et maintenues à une température constante, une source de chaleur, schématisant un composant électronique, est placée au milieu de la paroi inférieure. Un modèle mathématique reposant sur l'approche vorticité-fonction du courant (ω –ψ), est utilisé.

La méthode des différences finies, a été choisie pour la discrétisation des différents termes des équations du modèle mathématique. L’approche numérique est basée sur la méthode implicite des directions alternées (ADI). Les termes convectifs sont discrétisés à

l'aide d'un schéma Upwind du 3ème ordre, alors que les termes diffusifs et les termes sources

sont traités par un schéma de différences centrales du 4ème ordre. Les champs dynamiques et

thermiques ainsi que le coefficient de transfert thermique (nombre de Nusselt) ont été déterminés pour différents nombres de Richardson (0.1 – 100).

Les résultats obtenus montrent l'existence de trois écoulements complètement différents en fonction de la valeur du nombre de Richardson. Dans une première phase, l'écoulement est constitué de deux cellules contrarotatives et parfaitement symétriques lorsque la convection forcée est dominante. Quand on fait augmenter le nombre de Richardson; une nouvelle phase de l'écoulement prend naissance et les deux cellules précédentes deviennent antisymétriques. La dernière phase est caractérisée par la naissance de quatre cellules contrarotatives. Le

passage de la 2ème phase vers la 3ème phase, provoque une diminution brusque et importante du

nombre de Nusselt.

A

BSTRACT

A numerical study is conducted to investigate the transport mechanism of laminar mixed convection in a shear and buoyancy driven cavity having a locally heated lower wall and moving cooled sidewalls. Effort is focused on the interaction of forced convection with natural convection. Discretisation of the governing equations is achieved through a finite difference method. The third order upwind scheme for the convective derivative turns out to be the most accurate scheme. Parametric studies on the effect of mixed convection parameter, Gr/Re² (also referred as Richardson number, Ri) in the range 0.1 – 100.

Three different regimes are observed with increasing Ri. When the forced convection dominates the flow consists of two symmetrical cells. For a precise interval of this number, this symmetry disappears. Starting from a critical value of the Richardson number, we noted an abrupt reduction in the number of average Nusselt as well as the apparition of four cells.



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ABLE DES MATIERES

Résumé...ii Abstract...iii

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...iv Nomenclature...vii Chapitre I INTRODUCTION ET ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE I.1. Généralité...1

I.2. Etude bibliographique...2

I.3. Contenu du mémoire...4

Chapitre II FORMULATION MATHEMATIQUE II.1. Introduction...6

II.2. Description du problème...6

II.3. Hypothèses simplificatrices ...7

II.4. Equations du problème ...7

II.4.1. Équation de continuité...8

II.4.2. Equations de quantité de mouvement...8

II.4.3. Equation de l’énergie ...8

II.5. Adimensionnalisation des équations...8

II.6. Formulation de la fonction de courant-vorticité ...9

II.6.1. Equation de la vorticité ω...9

II.6.2. Equation de l’énergie ...9

II.6.3. Fonction du courant...10

II.7. Conditions aux limites ...10

II.8. Calcul du nombre de Nusselt moyen ...11

II.8.1. Partie chauffante...11

Chapitre III

METHODES NUMERIQUES

III.1. Procédure numérique ...13

III.2. Maillage ...13

III.3. Discrétisation des différentes dérivées...14

III.3.1. Discrétisation temporelle...14

III.3.2. Discrétisation du Terme convectif ...15

III.3.3. Discrétisation du terme diffusif...18

III.3.4. Discrétisation du terme source ...19

III.3.5. Discrétisation des conditions aux limites...19

III.4. Résolution des systèmes d’équations...21

III.5. Champs de vitesse...22

III.6. Algorithme et organigramme...23

III.7. Critère de convergence ...23

Chapitre IV RESULTATS ET DISCUSSIONS IV.1. Introduction...25

IV.2. Choix du maillage...26

IV.3. Validation du code de calcul...27

IV.4. Résultats...29

IV.4.1. Convection forcée ...29

IV.4.2. Convection mixte ...33

IV.4.3. Convection naturelle ...37

CONCLUSION GENERALE ...43

Bibliographie...44

N

OMENCLATURE

Cp Chaleur spécifique à pression constante, J/kg.K. g Accélération de la pesanteur, m/s² .

L Hauteur dimensionnelle de la cavité, m. k Conductivité thermique, W/m.K. Nu Nombre de Nusselt local.

p Pression, Pa.

P Pression adimensionnelle.

T Température, K.

Tf Température des parois latérale, K.

Tc Température de la partie chauffée, K.

u,v Composantes des vitesses, m/s.

U,V Composantes adimensionnelles des vitesses . V0 Vitesse des parois latérale.

x, y Coordonnées d’espace dimensionnelles, m X, Y Coordonnées d’espace adimensionnelles.

Symbole Grecs

ε longueur adimensionnelle de la partie chauffée. α Diffusivité thermique [m²/s].

β Coefficient d’expansion thermique à pression constante

T ∂ ∂ − = ρ ρ β 0 1 _[K-1 ]. θ Température adimensionnelleθ =

(

T−T_f

) (

T_c−T_f

)

.

φ Variable dépendante générale.

ν Viscosité cinématique [m²/s].

ρ Masse volumique [kg/m3_].

ρ0 Masse volumique à T0 [kg/m 3_].

τ Temps adimensionnel t

(

LV0

)

.

ψ Fonction de courant adimensionnelle.

∆τ Incrément du temps adimensionnel.

Nombre sans dimensions

Nu Nombre de Nusselt moyen

∫

∂ ∂ = A dA n Nu θ . Pr Nombre de Prandtl Pr = =0.71 air air α ν . Gr Nombre de Grashof

(

₂

)

3 0 air s T L T g Gr

ν

β

− = . Re Nombre de Reynolds air L V

ν

0 Re = . Ri Nombre de Richardson ₂ Re Gr Ri = .

C

HAPITRE

I

INTRODUCTION

ET ETUDES

BIBLIOGRAPHIQUES

I.1. G

ENERALITE

La présence de gradient de température dans un milieu confiné entraîne l’apparition d’un écoulement avec transport de chaleur. En effet, la différence de température provoque une distribution non uniforme de la densité du milieu, ce qui donne naissance au mouvement du fluide sous l’effet de la gravité (poussée d’Archimède). Ce phénomène est appelé convection naturelle.

Par opposition à la convection naturelle, la convection est dite forcée quant il existe une cause de mouvement autre que les variations de températures du fluide, cette cause étant seule à prendre en compte, en raison de son importance relative.

La convection mixte est les résultats de la superposition d’un écoulement de convection forcée et d’un écoulement de convection naturelle. Lorsque les écoulements de convection forcée et de convection naturelle vont dans le même sens, on est en présence d’un écoulement de convection mixte favorable. Dans le cas contraire, on assiste à un écoulement de convection mixte défavorable Laplante et Bernier [1997].

Le problème de l'écoulement et de transfert de chaleur dans des cavités munies des parois mobiles trouve son application pratique dans le secteur industriel. De nombreux travaux ont été menés afin d’étudier les phénomènes découlant de ce problème en considérant les diverses combinaisons des différences de la température imposés et des configurations géométriques de la cavité.

Ces configurations peuvent être modélisées par une géométrie rectangulaire simple et avec des conditions aux limites fixées. Lorsqu’une différence de température est imposée, les effets de l’écoulement dus à la flottabilité et du déplacement de la paroi peuvent être comparables et l'écoulement résultant se caractérise par un régime de convection mixte ce qui rend l’analyse encore plus complexe. L'interaction de l'écoulement cisaillé dû au mouvement des parois et de l'écoulement de la convection naturelle dû à l'effet de flottabilité constitue jusqu’à présent un domaine de recherche fondamental et nécessite une analyse complète pour comprendre la physique de l’écoulement résultant et du transfert thermique.

La présente étude consiste à analyser la convection mixte dans une cavité à parois latérales mobiles, une source de chaleur est placée au milieu de la paroi inférieure. Plus particulièrement, elle a pour objet de déterminer l’influence relative des deux modes de force (forces d’Archimède et de cisaillement) sur le transfert de chaleur induit lorsque le fluide est en mouvement.

I.2. R

EVUE BIBLIOGRAPHIQUE

Cette partie est consacrée à la revue des principales investigations effectuées par le passé sur la convection dans des cavités à parois mobiles et qui sont en relation directe avec notre étude.

Les premiers travaux considèrent l’étude de la convection mixte se produisant dans des cavités avec une seule paroi mobile, les autres parois étant fixes. Parmi ceux-ci nous pouvons citer ceux de:

Torrance et al [1971] qui ont étudié l’écoulement d’un fluide dans une cavité rectangulaire, dont la paroi supérieure est mobile et maintenue à une température adimensionnelle égale à 1, les trois autres parois sont à température 0. Trois rapports d’aspect

ont été testés. Les résultas ont été obtenus pour des nombres de Grashof variant de 0 à ± 104.

Les résultats montrent que la convection naturelle prédomine aux grands nombres de Grashof (± 104) pour les trois cas étudies.

Iwatsu et Hyum [1995] qui ont obtenus des résultats numériques pour l’écoulement dans une enceinte cubique avec un gradient de température vertical. Le fluide est entraîné par la face supérieure chauffée, tandis que la face inférieure est refroidie et les autres faces sont adiabatiques. L’étude a porté sur l’influence des deux nombres adimensionnelle, l’un est le

de 0.1 à 10. Les résultats indiquent que lorsque le nombre de Richardson est proche de 0 l’influence du gradient de température est mineure.

Prasad et Koseff [1996] qui ont présenté une étude expérimentale de la convection mixte tridimensionnelle de l’air dans une enceinte allongée chauffée différentiellement par les parois verticales, alors que les autres parois sont adiabatiques. La technique TLC (Thermo Liquids Crystals) est utilisée pour visualiser simultanément les champs thermiques et dynamiques. Les résultats montrent que le nombre de Richardson influe sur le coefficient de transfert de chaleur (nombre de Nusselt). Ils ont proposé une corrélation qui tient compte de l’influence du nombre de Richardson sur le nombre de Nusselt moyen.

Cheng et Chen [2005] qui ont analysé l’écoulement périodique induit par les forces de flottabilité dans des cavités à paroi mobile pour neufs configurations géométriques

différentes. Les nombres de Reynolds et Grashof sont fixés respectivement à 100 et 5 × 105.

Les résultats dénotent que pour les neuf configurations étudiées, le régime périodique apparaît dans quatre cas seulement.

Sharif [2006] a considéré la convection mixte laminaire au sein d’une cavité rectangulaire inclinée, dont le rapport d’aspect est égal à 10. La cavité est remplie d’eau dont les conditions aux limites sont celles de la configuration géométrique étudiée par Torrance et al [1971]. Le nombre de Reynolds est fixé à la valeur de 408 et le nombre de Rayleigh varie

de 105 à 107. L’angle d’inclinaison varie de 0 à 30°. Un comportement intéressant de

l’écoulement est observé en augmentant l’angle d’inclinaison.

Abdellah et al [2006] ont étudie le problème de transfert de chaleur et de masse dans une cavité rectangulaire. Un gradient vertical thermique et massique a été pris en considération. Les parois latérales sont adiabatiques. En négligeant l’effet Soret et l’effet Dufour, l’influence du nombre de Richardson et du nombre de Lewis a été observée sur le champ de l’écoulement. Les résultats expriment que l’épaisseur de la couche limite massique augmente avec le nombre de Lewis. Pour des faibles valeurs de Richardson, le nombre de Lewis n’a aucun effet sur les isothermes et les iso courants.

D’autres travaux considèrent l’étude du même phénomène, mais cette fois-ci, les deux parois latérales de la cavité sont mobiles. Parmi ces derniers nous pouvons citer ceux de:

Kuhlmann et al [1996] qui ont rapporté une étude numérique et expérimentale de l’écoulement d’un fluide dans une enceinte rectangulaire. Les deux parois latérales sont en mouvement tangentiel opposé. L’investigation porte sur l’influence du nombre de Reynolds.

Les résultats montrent que lorsque ce dernier est faible, deux cellules contrarotatives ont eu lieu près des parois mobiles. Lorsqu’on augmente ce nombre l’écoulement devient instable et le problème est influencé par la troisième dimension.

Hakan et Ihsan [2003] qui ont examiné numériquement la convection mixte stationnaire dans une cavité rectangulaire. Les parois gauche et droite sont en mouvement et maintenus à des températures différentes, tandis que les autres parois sont adiabatiques. Trois cas ont été considérés selon le sens du mouvement des parois mobiles. L’étude a porté sur une gamme du nombre de Richardson (0.01 – 100). Les résultats obtenus dévoilent que le transfert de chaleur est maximum dans le cas ou le mouvement des parois est ascendant.

Aydin et Yang [2000] et Guo et Sharif [2003] qui ont rapporté des études numériques de la convection mixte laminaire dans une cavité 2D avec une paroi supérieure adiabatique, des parois verticales froides se déplaçant vers le bas à une vitesse constante. Une source chaude est placée au centre de la paroi inférieure. Aydin et Yang ont considéré une température fixe alors que Guo et Sharif ont imposé un flux de chaleur constant. La partie restante de cette paroi est supposée adiabatique. Les effets de la longueur de la source de chaleur ainsi que du nombre de Richardson ont été étudiés. Dans ces deux cas les effets de la convection forcée et de la convection naturelle étant coopérant, aucune bifurcation vers une solution non symétrique n’a été observée.

La plupart de ces travaux se sont intéressés au phénomène de la convection mixte dans des cavités à deux parois mobiles en considérant un mouvement descendant des parois. L’absence d’étude concernant le mouvement ascendant nous a motivé à entreprendre cette investigation. Le présent travail considère le même problème que celui d'Aydin et de Yang, cependant nous avons inversé la direction du déplacement des parois latérales pour ainsi créer une compétition entre la convection forcée et la convection naturelle du type Rayleigh-Bénard. L’originalité de ce travail est illustrée par l'existence inattendue de trois structures d’écoulements complètement différentes en fonction de la valeur du nombre de Richardson.

I.3. C

ONTENU DU MEMOIRE

Nous avons jugé utile, dans le but d’améliorer la clarté de ce travail, de structurer ce mémoire en seulement trois chapitres en plus du présent.

Un deuxième chapitre présentera la configuration géométrique étudiée (modèle physique) ainsi que le modèle mathématique traduisant les équations régissant le phénomène de la convection mixte.

Le troisième sera consacré à la présentation de la méthode des différences finies et sa mise en œuvre pour la discrétisation des équations du problème.

Nous rassemblerons dans le quatrième chapitre les principaux résultats numériques de cette étude. Les commentaires, interprétations et analyse des divers résultats sont présentés à partir des distributions de certaines grandeurs paramétriques.

Enfin nous avons terminé ce travail par une conclusion générale qui résume les principaux résultats obtenus. Quelques recommandations pour les études futures ont été suggérées.

Le détail des calculs relatifs à la méthode d’obtention des équations discrétisées est donné dans une annexe à la fin de ce mémoire.

C

HAPITRE

II

FORMULATION

MATHEMATIQUE

II.1. I

NTRODUCTION

L’objectif de ce problème consiste en la simulation numérique de l’écoulement d’un fluide dans une cavité. Nous considérons le même problème que celui de Aydin et Yang [2000], cependant, dans le cadre de cette étude, nous allons inverser la direction du déplacement des parois latérales pour ainsi créer une compétition entre la convection forcée et la convection naturelle de type Rayleigh-Bénard.

Dans ce chapitre, nous allons établir les différentes équations mathématiques permettant la résolution du problème considéré.

II.2. D

ESCRIPTION DU PROBLEME

Le modèle physique considéré est schématisé sur la figure II-1. Il s’agit d’une cavité carrée dont les parois latérales sont maintenues à une température constante (froide) et qui se

déplacent vers le haut avec une vitesse fixée V0. Une source de chaleur de longueur égale au

cinquième de celle de la cavité L ayant une température constante (chaude) est placée au milieu de la paroi inférieure de la cavité.

Toutes les autres parties de la cavité sont isolées thermiquement. L’écoulement dans cette cavité est induit par la force de cisaillement résultant du mouvement des parois latérales combinée avec la force de flottabilité résultant de la source de chaleur.

Figure II-1 : Schéma de la cavité.

II.3. H

YPOTHESES SIMPLIFICATRICES

De façon à obtenir un modèle mathématique simple, on adopte les hypothèses suivantes :
L’écoulement est bidimensionnel.

Le fluide est newtonien et incompressible.
L’écoulement engendré est laminaire.

le transfert de chaleur par rayonnement est négligeable.

le travail, induit par les forces visqueuses et de pression, est négligeable.

Les propriétés physiques du fluide sont constantes hormis la masse volumique qui obéit à l’approximation de Boussinesq dans le terme de la poussée d’Archimède.

II.4. E

QUATIONS DU PROBLEME

L’application des principes généraux de la physique nous permet d’établir les différentes équations nécessaires à la résolution du problème considéré dans cette étude. Ces principes basés sur la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie se traduisent mathématiquement les équations citées ci-après.

y x L L f T f T c T adiabatique adiabatique V0 V0 ;

II.4.1.

Équation de continuité

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y v x u (II-1a) u et v étant les composantes du champ de vitesse V(u,v) dans la direction x et y respectivement.

II.4.2.

Equations de quantité de mouvement

Suivant x :

(

)

_      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ − ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 0 y u x u ν x p p ρ 1 y u v x u u t u (II-1b) Suivant y :

(

)

2

(

0

)

2 2 2 0 _{gβ T T} y v x v ν y p p ρ 1 y v v x v u t v _{+ −}       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ − ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (II-1c)

II.4.3.

Equation de l’énergie

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 y T x T y T v x T u t T

α

(II-1d)

II.5. A

DIMENSIONNALISATION DES EQUATIONS

L’adimensionnalisation ou normalisation consiste à transformer les variables dépendantes et indépendantes en des variables sans dimensions, c’est-à-dire qu’elles seront normalisées par rapport à certaines dimensions caractéristiques. Cela permet de spécifier les conditions d’écoulement avec un nombre restreint de paramètres de façon à rendre la solution plus générale.

De façon à rendre les équations précédentes adimensionnelles, elles seront transformées par les relations suivantes :

L x X = , L y Y = , 0 V u U = , 0 V v V = , f c f T T T T − − =

θ

, L t V₀ = τ ,

(

₂

)

0 0 V p p P ρ − =

En introduisant les grandeurs sans dimensions dans les équations de conservation de masse (II-1a), de mouvement (II-1b et c) et d’énergie (II-1d), on obtient respectivement :

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ Y V X U (II-2a)

      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Re 1 Y U X U X P Y U V X U U U

τ

(II-2b)

θ

τ

2 2 2 2 2 Re Re 1 Gr Y V X V Y P Y V V X V U V +       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (II-2c)       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Pr Re 1 Y X Y V X U

θ

θ

θ

θ

τ

θ

(II-2d) Les paramètres Re, Gr et Pr dénotent, respectivement, les nombres de Reynolds, de Grashof et de Prandtl et sont définis par les relations suivantes :

ν

L V₀ Re = ,

(

)

2 3 ν β T T L g Gr = C − f _, α ν = Pr

II.6. F

ORMULATION FONCTION DE COURANT

-

VORTICITE

Etant donné que les conditions aux limites pour la pression sont difficiles à poser, nous avons utilisé la formulation fonction de courant - vorticité (ψ – ω) qui permet l’élimination de cette dernière des équations de la conservation de la quantité de mouvement. Les équations adimensionnelles permettant la détermination de la vorticité, de la température et de la fonction du courant s’écrivent pour un écoulement bidimensionnel et incompressible :

II.6.1.

Equation de la vorticité ω

X Ri Y X Y V X U ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

ω

ω

ω

ω

θ

τ

ω

2 2 2 2 Re 1 (II-3a) Le nombre de Richardson, Ri = Gr/Re² représente l’importance relative de la convection naturelle à la convection forcée et joue un rôle primordial pour indiquer les différents régimes de convection.

II.6.2.

Equation de l’énergie

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Pr Re 1 Y X Y V X U

θ

θ

θ

θ

τ

θ

(II-3b)

II.6.3.

Fonction du courant

ω

ψ

ψ

₌₋ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 Y X (II-3c)

Les vitesses de l’écoulement ainsi que la vorticité sont définies par les relations suivantes : Y U X V X V Y U ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ψ ψ ω (II-3d)

Les équations de la vorticité et de l’énergie peuvent être mises sous une forme générale appelée équation de transport :

φ φ

φ

φ

φ

φ

τ

φ

S Y X Y V X U _+      ∂ ∂ + ∂ ∂ Γ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 (II-4) Les coefficients de diffusion Γ et le terme source _φ S_φ sont définis dans le tableau suivant : φ Γ φ Sφ θ Pr Re 1 0

ω

Re 1 X Ri ∂ ∂θ

Tableau II-1 : Coefficients et termes sources des différentes variables.

II.7. C

ONDITIONS AUX LIMITES

La résolution du système d’équations obtenu précédemment nécessite l’incorporation des conditions initiales et aux limites pour chaque variable dépendante. Dans un premier temps, le fluide est au repos et sa température adimensionnelle est nulle dans toute la cavité. Les conditions de températures sont connues sur les parois.

La température adimensionnelle de la paroi gauche et droite est constante et égale à 0. La partie chaude de la paroi inférieure est soumise à une température adimensionnelle égale à

1.0. La condition d’adiabacité est adoptée pour les autres parois (supérieure et inférieure). Les vitesses des parois gauche et droite sont uniformes et égale à 1.0.

Ces différentes conditions peuvent être résumées par les expressions suivantes : 0

=

θ U=0 V=1 pour X=0,1 et 0<Y<1

1 =

θ U=V=0 pour Y=0 et

2 1 2 1 εεεε +εεεε ≤ ≤ − X 0 = ∂ ∂ Y θ

U=V=0 pour Y=0 et

2 1 0< X< −εεεε , 1 2 1 < < + X εεεε 0 = ∂ ∂ Y θ

U=V=0 pour Y=1 et 0<X<1

La valeur de la fonction du courant ψ est égale à 0 sur toutes les parois. La vorticité sur les parois solides ou mobiles est évaluée par un développement de Taylor de premier ordre de la fonction de courant ψ. L’expression mathématique de cette condition sera développée dans le chapitre suivant.

II.8. C

ALCUL DU NOMBRE DE

N

USSELT MOYEN

On s’intéresse au transfert de chaleur au niveau de la partie chauffée ainsi que des parois latérales. Le nombre de Nusselt moyen est défini par :

II.8.1.

Partie chauffante

( )

∫

= 1 0 1 dX X Nu L Nu (II-5a)

Où Nu

( )

X est le nombre de Nusselt local défini par :

( )

0 =     ∂ ∂ − = Y Y X Nu

θ

(II-5b)

II.8.2.

Parois latérales

( )

∫

= 1 0 1 dY Y Nu L Nu (II-6a)

où

( )

1 , 0 =     ∂ ∂ − = X X Y Nu

θ

(II-6b)

Ayant établi les équations qui régissent le modèle mathématique de notre problème, ainsi que leurs conditions aux limites, la prochaine étape consiste à discrétiser ces équations par une méthode numérique basée sur un schéma de différences finies. La résolution des systèmes d’équations algébriques ainsi obtenus se fera par différentes méthodes.

C

HAPITRE

III

METHODES

NUMERIQUES

III.1. P

ROCEDURE NUMERIQUE

Afin de résoudre numériquement les équations aux dérivées partielles établies dans le chapitre précédent, nous allons procéder à leurs discrétisations dans le but d’obtenir un système d’équations algébriques dont la résolution nous permet de déterminer les champs de toutes les variables du problème considéré. La méthode de différences finies a été adoptée pour accomplir cette discrétisation.

La méthode des différences finies est la plus ancienne des méthodes numériques. Elle a

été introduite au 18ème siècle par Euler [Anderson 1984]. Cette méthode a été largement

utilisée pour résoudre les problèmes de convection en régime transitoire pour différentes configurations géométriques. La modélisation par différences finies procède avant tout de la décomposition du domaine physique en éléments de lignes reliées entre elles et mis en continuité en un nombre finis de points. Ces points de continuité, appelés nœuds, sont disposés à l’intérieur et sur le pourtour du domaine physique [Saatdjian 1998]. Dans un repère cartésien, chaque nœud est identifié par le couple d’indices (i, j) désignant les lignes d’intersection du maillage.

III.2. M

AILLAGE

Nous avons opté pour un maillage non uniforme dans les deux directions, horizontal et vertical comme le montre la figure III-1. Dans la direction horizontale, la partie située côté parois mobiles sera maillée d’une manière non uniforme vu les gradients importants des variables indépendantes. La partie chauffante sera maillée d’une manière dense et uniforme. Dans la direction verticale le maillage a été aussi raffiné prés des parois.

Figure III-1 : Maillage de la cavité.

III.3. D

ISCRETISATION DES DIFFERENTES DERIVEES

Pour la discrétisation des dérivées partielles des équations gouvernantes, nous avons utilisé différents schémas d’ordre élevé tel que le schéma Upwind du 3ème ordre pour les termes convectifs et le schéma centré du 4ème ordre pour les termes diffusifs ainsi que pour les dérivées partielles du premier ordre (terme source de l’équation de la conservation de l’énergie, vitesses). La discrétisation du terme temporel utilise la méthode ADI (Alternating Direction Implicite), Anderson [1984], Saatdjian [1998]. Les relations qui suivent, donnent la forme générale discrétisée des dérivées partielles de l’équation de transport d’une

variableφ, pour un nœud quelconque (i, j), selon la direction x. Nous avons choisi une seule

direction dans le but d’alléger la rédaction de ce chapitre.

III.3.1.

Discrétisation temporelle

_

     ∂ ∂ τ φ

Le principe de la méthode ADI est de diviser par deux le pas relatif au temps ∆τ. Au cours de la première période (∆τ/2) la discrétisation des différents termes figurant dans l’équation de transport est implicite suivant une direction spatiale et explicite suivant l’autre direction. Pendant la seconde période de même durée la discrétisation est inversée, c'est-à-dire, implicite suivant la direction qui était explicite dans l’étape précédente et explicite suivant l’autre direction.

Nous obtenons ainsi une précision d’ordre deux par rapport au temps. Par exemple, pour l’équation de transport de la vorticité

ω

(II-3a) :

Première étape :

τ

→

τ

+∆

τ

₂ Implicite suivant la direction X et explicite suivant

la direction Y. n j i n j i n j i j i n n X Ri Y V Y X X U , , 2 2 2 1 , 2 2 , 2 1 Re 1 Re 1 2   ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ =       ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∆ − + +

θ

ω

ω

ω

ω

τ

ω

ω

Les valeurs de la variable 1/2

, + n

j i

ω

sont déterminées au temps τ + ∆τ/2 en fonctions des

valeurs initiales (temps τ) n

j i,

ω

.

Deuxième étape :

τ

+∆

τ

₂→

τ

+∆

τ

Implicite suivant la direction Y et explicite

suivant la direction X. 2 1 , 2 1 , 2 2 1 , 2 2 , 2 1 1 Re 1 Re 1 2 + + + + +   ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ =       ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∆ − n j i n j i n j i j i n n X Ri X U X Y Y V

ω

ω

ω

ω

θ

τ

ω

ω

Les valeurs de la variable 1

, + n

j i

ω

sont déterminées au temps τ + ∆τ en fonctions des

valeurs 1/2 , + n j i

ω

calculées au temps τ+ ∆τ/2.

III.3.2.

Discrétisation du Terme convectif

_

     ∂ ∂ X U φ

Les termes convectifs, qui ont un caractère de non linéarité posent de grands problèmes pour leurs discrétisations surtout lorsque l’écoulement du fluide présente des zones de recirculation. Ils existent plusieurs schémas de discrétisation de ces termes. L’un des plus efficaces et des plus utilisés est le schéma « upwind ». Dans ce schéma la dérivée première

d’une entité physique quelconque φ est une combinaison de la dérivée première centrée et de

dérivée première décentrée avant, quand la vitesse de l’écoulement est positive, et de la dérivée première décentrée arrière, quand la vitesse de l’écoulement est négative. Dans ce

travail nous avons opté pour le schéma Upwind du 3ème ordre. Il faut noter que pour les nœuds

situés prés des parois ce schéma doit être nécessairement du premier ordre. Ce dernier introduit une dissipation numérique assez importante et c’est justement l’une des raisons pour procéder à un raffinage du maillage prés de ces parois. Nous allons, dans ce qui suit, exposer

Selon le sens d’écoulement, le schéma Upwind du 3ème ordre est représenté comme suit :
Pour U > 0 (voir figure ci-dessous)

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ arrière centrale U X X X upwind

φ

φ

φ

2 3 1 0 > (III-1)

Figure III-2 : Maillage décentré amont.

Pour U < 0 : (voir figure ci-dessous)

      ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ avant centrale U X X X upwind

φ

φ

φ

2 3 1 0 < (III-2)

Figure III-3 : Maillage décentré aval.

En se basant sur les figures précédentes et en considérons le développement en séries de

Taylor d’une variable dépendante φ en négligeant les termes d’ordre supérieur à deux nous

pouvons écrire : j i i j i i j i j i x smx x smx , 2 2 2 , , , 2 ! 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ − = −

φ

φ

φ

φ

(a) j i i j i i j i j i x x x x , 2 2 2 1 , 1 , , 1 ! 2 ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − = − − −

φ

φ

φ

φ

(b) j i i j i i j i j i x x x x , 2 2 2 , , , 1 ! 2 ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + = +

φ

φ

φ

φ

(c) ΔX i ΔX i-2 ΔX i-1 i, j i+1, j i-1, j i-2, j U X ΔX i-2 ΔX i-1 ΔX i i+1, j i+2, i, j i-1, j U X

j i i j i i j i j i x spx x spx , 2 2 2 , , , 2 ! 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + = +

φ

φ

φ

φ

(d) Avec : sx_i =∆x_i−1+∆x_i 1 2 − − +∆ ∆ = _{i i} i x x smx 1 + ∆ + ∆ = _{i i} i x x spx La sommation de [(c) X

(

2

)

1 −

∆x_i ] et [(b) X

(

−∆x_i2

)

] donne la différence centrale (central difference) :

(

)

j i i i i j i i i i i j i i i i centrale sx x x x x x x x sx x X 1, 1 , 1 1 , 1 1 + − − − − − ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ − ∆ + ∆ ∆ − = ∂ ∂

φ

φ

φ

φ

(III-3a)

De façon analogue que la différence centrale, [(b) X

(

smx ] et [(a) X2i

)

(

)

2 1 −

∆

− x_{i ] donne}

la différence arrière (backward difference) :

(

)

j i i i i i j i i i i j i i i i arriere smx x x smx x x smx x smx x X ₁ , 1 , 1 2 1 , 2 2 1

_φ

_φ

_φ

φ

− − − − − − − − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∂ ∂ (III-3b) Et enfin [(c) X

( )

2 i

spx ] et [(a) X

(

−∆x_i2

)

] donne la différence avant (forward difference) :

(

)

j i i i j i i i j i i i avant spx x x x x spx x spx x spx X , ₊₁ +1, ∆ ₊₁ +2, ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − = ∂ ∂

φ

φ

φ

φ

(III-3c) La substituant de (III-3a), (III-3b) et (III-3c) dans (III-1) et (III-2) donne :

j i i i i i i i j i i i i U upwind sx x x x x smx x smx x X ₂ 2, _{1 2 1} 1, 1 0 , 3 2 3 3 ₋ − _{− − −} − − >      ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∂ ∂

φ

φ

φ

(

)

(

)

j i i i i j i i i i i i i i i x sx x x x x x x smx x smx , 1 1 , 1 2 1 2 1 1 3 2 3 2 3 + − − − − − ∆ ∆ +       ∆ ∆ ∆ − ∆ + ∆ ∆ + +

φ

φ

(III-4)

(

) (

)

j i i i i i i i i i j i i i i U upwind spx x x spx x x x x x sx x X ₁ , 1 , 1 1 0 , 3 3 2 3 2

φ

φ

φ

      ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ − ∆ + ∆ ∆ − = ∂ ∂ − − − − < j i i i i j i i i i i i i x spx x x sx x x x spx , 2 1 , 1 1 1 3 3 2 3 + + + − + ∆ ∆ −       ∆ ∆ + ∆ ∆ +

φ

φ

(III-5)

Posant :

( )

( )

2 , 2 , , , , , j i j i n j i j i p U U j i U U U j i U − = + =
Si U > 0

( )

( )

    = = = 0 . 0 , 2 2 , , , j i U U U j i U n j i j i p
Si U < 0

( )

( )

     = = = j i j i n p U U j i U j i U , , 2 2 , 0 . 0 ,

( )

( )

0 , 0 , , , < > ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ U upwind n U upwind p upwind X j i U X j i U X U

φ

φ

φ

(III-6a)

Le développement de cette dernière relation permet d’exprimer la discrétisation du terme convectif suivant la direction horizontale(X).

(

p n

)

i j

(

p n

)

i j j i p upwind j i U i i c U i i c U i i b U i i b U i ai X U _{2, 1, ,} , ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) (

φ

φ

φ

θ

+ + + + = ∂ ∂ − −

(

d1i(i)Up+d2i(i)Un

)

i+1,j+ei(i)Un i+2,j + φ φ (III-6b)

Les valeurs des différents coefficients de l’entité physique φ figurent dans l’annexe.

III.3.3.

Discrétisation du terme diffusif

_      ∂ ∂ 2 2 x

φ

Considérons le développement en séries de Taylor d’une variable dépendante φ en

négligeant les termes d’ordre supérieur à quatre :

j i i j i i j i i j i i j i j i x smx x smx x smx x smx , 4 4 4 , 3 3 3 , 2 2 2 , , , 2 ! 4 ! 3 ! 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = − φ φ φ φ φ φ (e) j i i j i i j i i j i i j i j i x x x x x x x x , 4 4 4 1 , 3 3 3 1 , 2 2 2 1 , 1 , , 1 ! 4 ! 3 ! 2 ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ − = − − − − − φ φ φ φ φ φ (f)

j i i j i i j i i j i i j i j i x x x x x x x x , 4 4 4 , 3 3 3 , 2 2 2 , , , 1 ! 4 ! 3 ! 2 ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + = +

φ

φ

φ

φ

φ

φ

(g) j i i j i i j i i j i i j i j i x spx x spx x spx x spx , 4 4 4 , 3 3 3 , 2 2 2 , , , 2 ! 4 ! 3 ! 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + = +

φ

φ

φ

φ

φ

φ

(h)

Pour arriver à l’expression donnant la discrétisation de la dérivée seconde, trois étapes

sont indispensables. L’étape de départ a pour but d’éliminer la dérivée quatrième _

     ∂ ∂ 4 4 x

φ

, la

seconde la dérivée troisième _

     ∂ ∂ 3 3 x

φ

et la dernière la dérivée première 

     ∂ ∂ x φ . Il en découle l’expression suivante pour la dérivée seconde.

j i j i j i j i j i j i i xm d i xm d i x d i xp d i xp d x2 _, 2, 1, , 1, 2, 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 0 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 ₊ + ₊ + + ₋ + ₋ = ∂ ∂φ _{φ φ φ φ φ} (III-7) Les coefficients de la variable φ figurant dans cette expression sont très compliqués pour être reproduits ici et nous avons détaillé leurs calculs dans l’annexe.

III.3.4.

Discrétisation du terme source

_

     ∂ ∂ X θ

Nous procédons de la même manière que précédemment pour discrétiser la dérivée

première. Dans ce cas la dernière étape a pour but d’éliminer la dérivée seconde _

     ∂ ∂ 2 2 x

φ

. Il en découle l’expression suivante pour la dérivée première.

j i j i j i j i j i j i i xm d i xm d i dox i xp d i xp d X , 2, 1, , 1, 2, ) ( 2 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( 2 1 ₊ + ₊ + + ₋ + ₋ = ∂ ∂

θ

_θ

_θ

_θ

_θ

_θ

(III-8)

Dans ce cas aussi les coefficients de la variable

φ

figurent dans l’annexe.

III.3.5.

Discrétisation des conditions aux limites

Les dérivées des conditions aux limites sont discrétisées avec un schéma décentré avant ou arrière, selon la position de la paroi considérée.

Température :

Dans le problème que nous traitons, les températures aux parois latérales sont imposées. Alors que les autres sont adiabatiques. En exprimant la condition d’adiabacité comme suite :

0 , 1 = ∂ ∂ = nyt j Y

θ

Il vient alors : 2 ,3 1 2 1 2 1 2 , 2 1 2 1 2 1 1 , i i i spy y y spy y spy

θ

θ

θ

− ∆ ∆ + − ∆ − = 2 , 2 2 1 2 1 1 , 2 2 1 2 , − − − − ∆ − ∆ + − ∆ − = _inyt nyt nyt nyt i nyt nyt nyt nyt i smy y y smy y smy

θ

θ

θ

Avec : spy₁ =∆y₁+∆y₂ et smy_nyt =∆y_nyt−2+∆y_nyt−1

Vorticité :

L’une des principales difficultés dans l’utilisation de la formulation fonction de courant

- vorticité (ψ -

ω

) apparait lors du traitement des conditions aux limites de la vorticité, qui ne

sont pas données explicitement sur les parois (solides ou mobiles). Plusieurs conditions ont été proposées dans la littérature ; dans notre cas nous allons détailler la discrétisation de ces conditions aux niveaux des parois.

 Paroi fixes (paroi inférieure et supérieure)

La définition de la vorticité est

Y U X V ∂ ∂ − ∂ ∂ =

ω . Au niveau de la paroi inférieure elle

s’exprime par : 1 2 2 1 0 1 1 = = = = = _∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = j j j j _{Y Y} U X V ψ ω 3 2 1

Considérons le développement en série de Taylor pour ψ en négligeant les termes

43 42 1 43 42 1 1 1 2 2 2 1 0 1 1 1 , 2 , 2 = − = = = ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + = j j j i i Y Y Y Y ω

ψ

ψ

ψ

ψ

Donc : ₂

(

,1 ,2

)

1 1 , 2 i i i _Y ψ ψ ω − ∆ =

D’une manière similaire nous obtenons pour la paroi supérieure :

(

, , 1

)

2 1 , 2 − − − ∆ = _{inyt inyt} nyt nyt i _Y

ψ

ψ

ω

 Parois mobiles (paroi gauche et droite) :

Dans ce cas       ∂ ∂ X

ψ

n’est pas nulle mais égale à – V0, de telle façon que pour la paroi

gauche (i = 1) le développement en série de Taylor pour ψ est :

3 2 1 43 42 1 1 1 2 2 2 1 1 1 , 1 , 2 2 0 1 − = = ∆ − = = ∂ ∂ ∆ + ∂ ∂ ∆ + = i i V X i j j X X X X ω ψ ψ ψ ψ

( )

2

(

1, 2, 1 0

)

1 2 , 1 XV X j _j − _j−∆ ∆ = ψ ψ ω

D’une manière analogue Nous obtenons pour la paroi droite :

(

)

2

(

, 1, 0

)

1 2 , X V X j nxt _{nxt j nxt j nxt} nxt ∆ + − ∆ = ₋ −

ψ

ψ

ω

III.4. R

ESOLUTION DES SYSTEMES D

’

EQUATIONS

Les différentes dérivées partielles figurant dans les équations régissant notre modèle mathématique ont été discrétisées. Une fois leurs expressions substituées dans ces équations nous obtenons un système d’équations algébriques qui peut être résolu facilement par des méthodes itératives.

Les équations permettant la détermination de la température et la vorticité étant paraboliques (après ADI) nous avons opté pour une méthode itérative de sur relaxation

N.L.O.R. (Non Linear Over Relaxation), de telle sorte que la valeur de l’entité physique 1

, + k j i

φ

à

l’itération k+1est donnée par la relation suivante :

j i k j i k j i j i j i F F , , 1 , , ,

φ

κ

φ

φ

φ φ ∂ ∂ − = + Dans laquelle : n j i n j i n j i n j i S Y Y V X X U F j i , 2 2 2 / 1 , 2 2 2 / 1 , 2 / 1 , ,       − ∂ ∂ Γ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ Γ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + + φ φ φ φ

φ

φ

φ

φ

τ

φ

et

κ

représente le facteur de sur/sous relaxation, sa valeur est comprise entre 0 et 2.

L’équation, qui calcul la fonction de courant, étant elliptique nous avons choisi une méthode itérative de sur relaxation par point S.O.R. (Successive Over Relaxation). Les valeurs discrètes de la fonction de courant sont données par la relation suivante :

[

]

[

]

                + + + + + + + + + + − = + − + − + + + − + − + + + 1 2 , 1 1 , 1 , 2 , , 1 , 2 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , ) ( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 0 2 ) ( 0 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 0 2 ) ( 0 2 k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i j ym d j ym d j yp d j yp d j y d i x d i xm d i xm d i xp d i xp d j y d i x d

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

κ

ψ

ψ

III.5. C

HAMPS DE VITESSE

Les composantes du champ de vitesse sont obtenues explicitement à partir de la définition de la fonction de courant c'est-à-dire

Y U ∂ ∂ = ψ et X V ∂ ∂ −

= ψ . Une fois les valeurs de

la fonction de courant calculées les vitesses seront déduites par les relations suivantes :

j i j i j i j i j i j i d xm i d xm i dox i d xp i d xp i U_, = 1 2( )ψ _−2, + 1 1( )ψ _−1, + ()ψ _, + 1 1( )ψ _+1, + 1 2( )ψ _+2, 2 , 1 , , 1 , 2 , ,j = 1 2( ) i j− + 1 1() i j− + () i j + 1 1( ) i j+ + 1 2( ) i j+ i d ym i d ym i doy i d yp i d yp i V ψ ψ ψ ψ ψ

III.6. A

LGORITHME ET ORGANIGRAMME

La formulation ψ − exige un traitement simultané des trois équations (fonction du ω

courant, vorticité et l’énergie). Les principales étapes sont résumées par l’algorithme suivant :

1. Définition du domaine et lecture des données.

2. Génération du maillage

3. Introduction des conditions initiales et aux limites. 4. Début de la boucle sur le temps.

 Résolution de l’équation de l’énergie et de la vorticité avec la méthode A.D.I.  Calcul du champ de la fonction de courant à partir de l’équation (II-3c) (par la

méthode S.O.R

 Détermination du champ de vitesse (u, v) à partir de la relation (II-3d).  Détermination de la vorticité aux parois.

 Incrémentation du temps (t + ∆t)

 Répétition des calculs jusqu’à l’obtention du régime établi. Fin de la boucle sur le temps.

5. Impression des résultats.

III.7. C

RITERE DE CONVERGENCE

A chaque pas du temps, la mise à jour des nouvelles variables physiques est faite jusqu'

à ce que le critère de convergence

(

)

1 5

, 1 , 10 − + + ₋

∑

_≤

∑

n i n j i n j i

φ

φ

φ

soit satisfait.

Nous avons élaboré un programme de calcul en langage FORTRAN dont l’organigramme figure à la page suivante.

Début du programme

Définition du domaine, dimensionnement des tableaux,

génération de maillage

Conditions initiales et aux limites

Pour les points intérieurs, calculer utilisant la méthode ADI

θ

et

ω

Calculer la fonction du courant aux points intérieurs

Calcul des vitesses

Calcul de la vorticité aux parois

Régime établi ?

0

τ τ

= + ∆

τ

Non

Oui Ecriture des résultats

Fin du programme

C

HAPITRE

IV

RESULTATS

ET

DISCUSSIONS

IV.1. I

NTRODUCTION

Dans ce chapitre nous allons nous intéresser à l’étude numérique de la convection mixte dans la géométrie considérée. Nous verrons en premier lieu, l’influence du maillage sur les résultats. Puis nous procédons à la validation de notre programme de calcul en comparant les résultats obtenus avec ceux obtenus par d’autres auteurs. Alors pour plus de clarté, nous avons jugé utile de présenter les résultats selon le mode de convection : convection forcée, mixte et enfin convection naturelle.

Nous présentons pour chaque mode de convection les isothermes et les iso-courants, ainsi nous avons affiché les profils de température et de la vitesse au plan medium. Nous terminons par une étude relative au transfert thermique en considérant le nombre du Nusselt local et moyen.

Pour toutes les simulations, nous nous limitons au cas d’un fluide à nombre de Prandtl égale à 0.71 et une valeur de 100 pour le nombre de Reynolds.

Pour toutes les simulations réalisées dans cette étude, nous avons adopté un nombre de Prandtl égal à 0.71 (air) et un nombre de Reynolds égal à 100. La largeur de la partie chauffée de la paroi inférieure est fixée à 0.2 et le nombre de Richardson qui prend la gamme de 0.1 à 100.

IV.2. C

HOIX DU MAILLAGE

L’influence de la taille et du nombre des nœuds sur la solution exprimée par le transfert thermique à la partie active « chauffée » est illustrée par le graphe IV-1 et le profil de température au plan medium par le graphe IV-2. Une répartition irrégulière « suite géométrique » des nœuds est utilisée pour résoudre plus précisément les phénomènes physiques présents notamment en régime de couche limite caractérisée par l’existence de forts gradiants dans les zones pariétales. Le profile de température devient insensible au nombre de nœuds à partir de la grille 141×141.

100 110 120 130 140 150 160 1,58 1,59 1,60 N u m Grid Resolution

Graphe IV-1 : Convergence du nombre de Nusselt moyen.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 V X 161x161 141x141 121x121 101x101

IV.3. V

ALIDATION DU CODE DE CALCUL

De manière à vérifier l’exactitude des résultats numérique obtenus dans le présent travail, une validation du code numérique a été faite en prenant en compte certaines études numériques disponibles dans la littérature. Les résultats d’Aydin [2000], obtenus dans le cas d’une cavité rectangulaire contenant de l’air, ont été utilisés pour tester notre code numérique. La validation du programme a été soigneusement faite pour les cas limites.

La comparaison a été faite en considérant la variation du nombre de Richardson. La comparaison des champs de fonction de courant (figure IV-1), de température (figure IV-2), ainsi que les profils de vitesse V le long du plan médium (graphe IV-3) et la variation du Nusselt moyen en fonction de Ri (graphe IV-4) présente une excellente concordance.

(a) (b)

Figure IV-1 : Comparaison des contours de la fonction de courant a) Présent travail b) Résultat d’Aydin [2000].

(a) (b)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 V X Ri=10 Ri=0.1 Ri=1 ε=1/5 Re=100 lignes:present travail symboles:Aydin[2000]

Graphe IV-3 : Comparaison du profil de vitesse V le long du Y=0.5

0,1 1 10 2 4 6 8 N u m Ri Aydin [2000] present travail ε=1/5 Re=100

IV.4. R

ESULTATS

IV.4.1.

Convection forcée Ri (0.1-3)

Champs thermiques :

Ce champ est représenté dans la figure IV-3 pour un nombre de Reynolds fixé à 100 et un nombre de Richardson compris entre 0.1 et 3. Nous constatons qu’une stratification thermique existe prés de la partie chauffée. Le mouvement ascendant des parois latérales entraîne vers le haut les couches de fluide adjacent aux parois par les forces visqueuses, Nous remarquons aussi que la température froide règne dans toute la partie supérieure de la cavité. En fait les faibles flux de chaleur récupérés, par le fluide, de la source chaude sont directement évacués à travers la partie inférieure des parois verticales. Par conséquent, le champ de température n’est pas affecté par l’augmentation du nombre de Richardson, cela justifie la dominance des forces de cisaillement par rapport aux forces de flottabilité.

Pour plus de justification concernant la distribution de la température dans la cavité, le graphe IV-5 montre les profils de température le long du Y=0.5, où nous constatons des valeurs comprises entre une valeur maximale correspond à la température des parties adjacentes aux parois verticales et une autre faible qui est celle à la moitié de la cavité.

Champs dynamiques :

Ce champ est représenté dans la figure IV-4 pour les mêmes valeurs de Ri. La solution présente un écoulement symétrique caractérisé par une paire de zone de recirculation contrarotative identique car les conditions aux limites sont symétriques. La convection de la chaleur causée par re-circulation du fluide justifie la configuration générale des isothermes.

Nombre de Nusselt :

L’évolution temporelle du nombre de Nusselt moyen est représentée sur le graphe IV-6 pour différents nombres de Richardson. D’une manière générale ce nombre décroît brusquement pendant les tous premiers instants, ensuite il diminue régulièrement pour se stabiliser à une valeur fixe. La variation du nombre de Nusselt local le long de la partie chauffée est représentée dans le graphe IV-7. Il est évident que la valeur minimale du nombre de Nusselt local situé au milieu de la partie chauffée, tandis qu’il prend sa valeur maximale aux bornes de celui-ci. Probablement dû à la symétrie des conditions aux limites, la frontière des deux cellules contrarotatives joue le rôle des isolateurs. Le centre de la partie chauffée devient une zone de stagnation du flux de chaleur et atteint une température maximale, cela

Ri=0.1 Ri=0.3

Ri=0.5 Ri=0.7

Ri=1 Ri=3

Ri=0.1 Ri=0.3

Ri=0.5 Ri=0.7

Ri=1 Ri=3

0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0 0 ,0 0 0 0 ,0 0 5 0 ,0 1 0 0 ,0 1 5 0 ,0 2 0 0 ,0 2 5 0 ,0 3 0 0 ,0 3 5 θ X R i= 0 .1 R i= 0 .3 R i= 0 .3 R i= 0 .7 R i= 1 R i= 3

Graphe IV-5 : Profils de température le long du Y=0.5

0 20 40 60 80 100 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 N u m τ Ri=0.1 Ri=0.3 Ri=0.5 Ri=0.7 Ri=1 Ri=3

Graphe IV-6 : Evolution du nombre de Nusselt moyen.

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 4 8 12 16 20 24 28 32 N u X Ri=0.1 Ri=0.3 Ri=0.5 Ri=0.7 Ri=1 Ri=3

IV.4.2.

Convection mixte Ri (3.5–5.71)

Champs thermiques :

Ce champ est représenté dans la figure IV-5 pour un nombre de Richardson compris entre 3.5 et 5.71, nous constatons que la répartition de la température dans la cavité est caractérisée principalement par la perte de la symétrie. Cette perte de symétrie, à notre connaissance, n’a pas été rapportée précédemment dans la littérature, Les températures élevées qui eux occupant environ les deux tiers de la cavité à droite s’expliquent par un transfert de chaleur par convection. Il est à noter que pratiquement toute la chaleur récupérée de la source chaude est évacuée à travers la paroi droite, le gradient de température normal à la paroi gauche est pratiquement nul.

Pour plus de détail concernant la distribution de température dans l’enceinte, nous considérons quelques profiles de la température le long du Y=0.5 (graphe IV-8). Il apparaît que ces profils présentant les mêmes allures que les contours des températures. Souvent, les effets de flottabilité et de viscosité sont du même ordre de grandeur.

Champ dynamique :

Ce champ est représenté dans la figure IV-6, l’augmentation des forces de flottabilités caractérisées par l’augmentation du nombre du Richardson montre un nouveau type d’écoulement. Deux cellules contrarotatives de différentes formes et intensités sont observées, la première, antihoraire, occupant les deux tiers de la cavité et la deuxième horaire à gauche.

Nombre de Nusselt :

L’évolution temporelle du nombre de Nusselt est représentée sur le graphe IV-9, l’augmentation du nombre de Richardson a pour conséquence d’augmenter le nombre du Nusselt. La variation du nombre de Nusselt local le long de la partie chauffée est représentée dans le graphe IV-10. Le nombre de Nusselt local prend une faible valeur du côté droit de la cavité par rapport au côté gauche.

Ri = 3.5 Ri = 4

Ri = 4.5 Ri = 5

Ri = 5.5 Ri = 5.71

Ri=3.5 Ri=4

Ri=4.5 Ri=5

Ri=5.5 Ri=5.71

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 θ X Ri=3 Ri=3.5 Ri=4 Ri=4.5 Ri=5 Ri=5.5 Ri=5.71

Graphe IV-8 : Profils de température au plan medium.

0 20 40 60 80 100 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 N u τ Ri=3 Ri=3.5 Ri=4 Ri=4.5 Ri=5 Ri=5.5 Ri=5.71

Graphe IV-9 : Evolution du nombre de Nusselt moyen.

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 N u X Ri=3 Ri=3.5 Ri=4 Ri=4.5 Ri=5 Ri=5.5 Ri=5.71

IV.4.3.

Convection naturelle Ri (5.72–100):

Champs dynamiques :

Ce champ est représenté dans la figure IV-7, Une bifurcation vers un régime d’écoulement symétrique caractérisé par deux paires de cellules est mise en évidence. La paire de cellules contrarotatives au centre de la cavité est principalement entretenue par les forces de flottabilité et la paire de cellules pincées près des parois verticales en mouvement entretenues par les forces de viscosité. Si on augmente le nombre de Richardson, les deux cellules près des parois se rétrécissent.

Champ thermique :

Ce champ est représenté dans la figure IV-8. la chaleur récupérée de la source chaude est transportée par convection vers le haut au milieu de l’enceinte par la paire de cellules au centre. C’est ce qui explique les températures relativement élevées dans la partie centrale de la cavité, La chaleur est évacuée de façon équitable à travers les deux parois latérales.

la distribution de la température dans la cavité, Le graphe IV-11 montre les profils de température au plan medium, dont nous constatons des valeurs comprises entre une valeur maximale correspond à la température au milieu de la cavité et une faible valeur correspond l’ extrémité de la cavité.

Nombre de Nusselt :

L’évolution temporelle du nombre de Nusselt est représentée sur le graphe IV-12 pour différents nombres de Richardson. D’une manière générale ce nombre décroît brusquement pendant les tous premiers instants, ensuite il diminue régulièrement pour se stabiliser à une valeur fixe. La variation du nombre de Nusselt local le long de la partie chauffée est représentée dans le graphe IV-13. Il est évident que l’augmentation du nombre de Richardson signifie une augmentation d’apport de chaleur dans la cavité a conséquence d’intensifier le mouvement de fluide caractérisé par l’augmentation du nombre de Nusselt moyen et local.

Ri = 5.72 Ri = 6

Ri = 10 Ri = 20

Ri = _{25 Ri = 50}

Ri = 75 Ri = 100

Ri = _{5.72 Ri = 6}

Ri = 10 Ri = 20

Ri = _{25 Ri = 50}

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,00 0,25 0,50 θ X Ri=5.72 Ri=9 Ri=10 Ri=20 Ri=25 Ri=50 Ri=100

Graphe IV-11 : Profils de température le long du Y=0.5.

0 2 4 6 8 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 N u m τ Ri=5.72 Ri=10 Ri=20 Ri=25 Ri=50 Ri=75 Ri=100

Figure IV-12 : Evolution du nombre de Nusselt moyen.

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 N u X Ri=5.72 Ri=10 Ri=20 Ri=25 Ri=50 Ri=75 Ri=100

CONCLUSION

GENERALE

L’étude présentée dans ce mémoire porte sur la convection mixte dans une cavité ayant des parois latérales mobiles. Une partie chauffée situe au milieu de la base de la cavité, alors que les parois latérales sont maintenues à une température froide. Les autres parties sont considérées adiabatiques.

En se basant sur la méthode des différences finies pour discrétiser les équations écrites en considérant la formulation (ψ,ω) nous avons pu déterminer les lignes de courant, les isothermes ainsi que les variations du nombre de Nusselt en fonction du temps, pour les différents nombres de Richardson.

Les résultats préliminaires obtenus mettent en évidence l’existence de trois structures d’écoulements totalement différents suivant la valeur du nombre de Richardson. Le passage de la première structure vers la deuxième se traduit par une perte de symétrie des champs dynamique et thermique. Tandis que le passage de la deuxième structure vers la troisième se produit d’une manière brusque pour une valeur bien déterminée de ce même nombre et conduit à une bifurcation d’un régime constitué de deux cellules à un autre constitué de quatre cellules. A notre connaissance il semblerait qu’il n’existe aucune étude disponible de ce phénomène.

B

IBLIOGRAPHIE

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