Sur un problème de transport de chaleur par déplacement d'un solide

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Sur un problème de transport de chaleur par

déplacement d’un solide

M. Cotte

To cite this version:

116 A

SUR UN

PROBLÈME

DE TRANSPORT DE CHALEUR PAR

DÉPLACEMENT

D’UN SOLIDE

Par M.

_COTTE,

Faculté des Sciences de Poitiers et Laboratoire de

_Physique

M. P. _C., Paris. Sommaire. 2014 Le refroidissement d’un

cylindre circulaire homogène sortant avec la vitesse 03C5 d’un four à la température T0 pour pénétrer dans un milieu à la température 03B80 est étudié, en

supposant un _{régime permanent spatial} établi. Aux vitesses 03C5 très faibles la convection a _peu

d’importance. Aux vitesses 03C5 _{plus grandes,} c’est la conduction longitudinale qui joue un rôle

négli-geable : la _température dans une section droite du _cylindre à la sortie du four est sensiblement _{T0 ;} la _répartition des températures, à quelque distance de la sortie se déduit très facilement de l’étude du refroidissement en _régime transitoire d’un cylindre pris tout entier à la _{température T0} et

porté dans un bain à la _{température 03B80.}

Dans le cas d’un _cylindre entouré d’un manchon de conductivité et de _{capacité calorifique} différentes, une _{expression approchée} assez _simple de la température surl’axe est _{établie, moyennant}

quelques

hypothèses

simplificatrices.

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _17, NOVEMBRE 1956, PAGE 116 A

Quoique

le mot convection

_suggère

habituel-lement le

_transport

de _{chaleur par le} mouvement d’un

_fluide,

_{il arrive que la} chaleur soit aussi

trans-portée

par te

déplacement

d’un solide. Dans cet

article,

nous étudions

théoriquement

un

problème

où ce _{genre de convection}

_{présente quelque}

intérêt

pratique.

Refroidissement d’un

_cylindre

circulaire

homo-gène

sortant d’un four. - Un

cylindre

circulaire

homogène

sort avec la vitesse v d’un four où il est

maintenu à la

_{température To}

_pour

_pénétrer

dans ’ un bain contenant un

liquide

à la

_température

60.

Nous supposerons le

cylindre

infiniment

_long,

et

un

régime

_permanent

de

_température

établi dans

l’espace. Désignons

par .K la conductivité

ther-mique

du

_cylindre,

_{par y} sa

_capacité

calorifique

_par

unité de

_volume,

_{par a} =

K /y

_sa diffusivité.

Nous

_prendrons

l’axe du

_cylindre

comme axe

des x, et sur cet axe une

origine

0 à la sortie du

four. En coordonnées

_{cylindriques,}

p, x, et en

régime

permanent,

la

_température

6 du

_cylindre

vérifie

_{l’équation}

_que nous établirons dans

l’annexe 1 :

Les conditions aux limites sont

,E étant le coefficient

_d’échange

_superficiel,

_que l’on

_peut

éventuellement considérer comme

fonc-tion de v, et T

_{représentant T o}

_{pour x} 0 et

₆₀

pour x > 0. Ces conditions aux limites sont

idéa-lisées

_{puisqu’elles}

_supposent

mince la

_paroi

du four. Nous discuterons

_plus

loin cette

_{approximation.}

Nous admettons que les valeurs de .E sont en

général

différentes à l’intérieur et à l’extérieur du

four,

et _{cela conduira pour les domaines x} 0 et

x > 0 à des calculs

_séparés,

d’ailleurs

_analogues.

Pour

_simplifier,

nous _supposons .K

_{et y}

indépen-dants de la

_{température.}

Nous devrons ensuite raccorder en x = 0 les solutions.

Si nous _posons

les

_{équations (1)}

et

_{(2) admettent,}

dans chacun des

domaines,

des solutions

_{particulières}

de la forme

Dans

_(4),

Am

est une

_constante,

et

_Jo,

la fonction de Bessel d’ordre

_{zéro ;}

les constantes

Çm

et

_pm

sont définies par

Dans

_(5),

_{J 1(03BEm)}

est la fonction de Bessel

d’ordre 1. La constante

%m

sera ainsi voisine d’un

zéro de

_Jo

si

_{RE /K}

est

_grand,

et d’un zéro de

_J,

si

_{RE / K}

est

_petit.

Comme nous voulons que

_{V m}

reste borné

_quel

_{que soit x,} nous choisirons dans

₍₆₎

la racine

_03B2m

de

_signe

contraire à x.

Les données

_{K, R,}

E étant

_fixées,

il existe une

infinité de valeurs de

1;m

et les fonctions

Jo

03BEm 03C1/R)

,

Î

R

constituent dans le cercle 0 _p R un

_système

complet

de fonctions de _p

_{orthogonales.}

Toute

_{superposition}

de solutions définies par

(4), (5), (6)

vérifie

₍₁₎

et

_(2).

La solution du

_problème

revient alors à déterminer les constantes

Am

de

_part

et d’autre de x = 0 de

sorte _que

₍₇₎

entraîne _{pour x} = 0 la continuité de

la

_température

et du flux de

_chaleur,

c’est-à-dire de

₈

_x

et de

d dx

_6(p,

_{x )}

_puisque

nous

sup-posons K constant.

117 A

Affectons d’un accent les valeurs

_{correspondant}

à x

_négatif,

et de deux accents les valeurs

corres-pondant

à x > 0. On obtient ainsi les relations

On transforme les relations

₍₈₎

en relations

algé-briques

entre les

_A;’

et les

_Am

en utilisant les

relations

_{d’orthogonalité}

des

Jo(03BE’m03C1/R) et

des

B R

Le calcul est facile dans le cas

D’après

(5)

les valeurs

_{de 03BE’m}

et de

_§§i

sont

_{égales ;}

ce

_qui

_permet

de les

_représenter

_{par la même}

lettre

_{Z. ;}

les constantes

_03B2’m

et

_03B2"m

seront la racine

positive

et la racine

_négative

de la même

équa-tion

_(6).

Les relations

₍₈₎

donnent dans ce cas

d’où on tire

(cf.

Annexe

II)

avec

Si J a vitesse v de sortie du

_cylindre

est

_nulle,

on a un

_phénomène

de conduction pure, et

(10)

et

(12)

donnent

_quel

_{que soit m}

Si de

_plus

E est assez

grand

_{pour que la}

trempé-rature de la surface du

_cylindre

soit

_To

dans le

_four,

0.

hors du

_four,

la solution de ce

problème

est la

même _que la solution du

_problème

_{d’électrostatique}

suivant : °

Une surface

_cylindrique

conductrice

_coupée

en 0

par un

_plan

perpendiculaire

à son axe a ses deux

parties

portées

respectivement

aux

_potentiels

_To

et

_60.

_Quel

est le

_potentiel

0 en un

_point

de

_l’espace

intérieur à cette surface ?

Évidemment

le

_potentiel

dans le

_plan

de

_séparation

_{8( P,}

₀₎

est

_{( To}

₊

₀₀₎

_/2.

La solution de ce

problème, qui

est donnée par

(13),

(14)

avec

Jo(çm)

=

0,

peut

encore être

repré-sentée

_{(1) par}

(1) DURAND (E.),

Électrostatique

et

_{magnétostatique,}

_{p. 40li}

à li-12, Masson, édit., Paris, 1953.. A noter _que la validité des formules (179) et ₍₁₈₀₎ de ce livre doit être limitée à z > 0. Le cas de cylindres coaxiaux séparés par un

intervalle étroit traité p. 412, permet de tenir _compte de

l’épaisseur

finie de la

_paroi

du four. 1

Si v n’est _pas p

_nul,

’ mais

Sl-

reste

_petit

devant la

a

première racine 03BE1

de

_{l’équation (5),}

les formules

₍₁₄₎

restent

_{approximativement}

valables et les

résul-tats ne sont _{pas sensiblement modifiés.}

Étudions

maintenant le cas

_Jazz

_grand.

Pour fixer les

_{idées, rappelons}

_que, en unités cm2

_sec7l,

a est de l’ordre de

_grandeur

_{de l’unité pour} un

métal,

du centième ou du millième _pour un isolant

thermique.

Pour R = 1

cm, ce cas

_correspond

à

des vitesses v

_supérieures

à 10

_{cm /sec}

_pour un

métal,

et à

_0,1

ou

0,01

cm /s

_pour un isolant.

Alors

_03B2’m

sera

petit

et

_03B2"m

sera

_grand

tant _que m ne

dépassera

pas

quelques

unités. Par

conséquent

dès que

Ixl

sera assez

_grand

_{pour que}

seuls

les

_premiers

termes du

_{développement}

₍₇₎

aient de

l’impor-tance,

nous _pourrons

_{écrire, quand (9)}

est réalisé

Faire

_{l’approximation (16)}

revient à traiter dans le domaine des x > 0 le

_problème

défini _par

l’équa-tion aux dérivées

_{partielles (1)}

avec les conditions aux limites

tandis que

pour x

0,

on a sensiblement

_partout

Cette

_{simplification duproblème}

_{p P pour P}

Ru

_grand

a

n’est _pas nécessairement liée à

_(9),

et il est assez

intuitif

_qu’elle

subsiste

₍₂₎

dès _que la vitesse du

cylindre

est

_grande

devant

_ait,

sauf

_peut

être dans

le cas E’ E". Nous écarterons cette

_exception

et

nous _{remarquerons que dans les}

premiers

termes du

développement

(4),

03B22m

sera

petit

devant

_03B2m

v

_la.

Cela revient à dire _{que, dès que x n’est pas très}

petit,

0 satisfait aux conditions aux limites

₍₁₇₎

et à

l’équations

aux dérivées

partielles :

si nous _posons

L’approximation

(18)

(20)

(21)

revient à

_négliger

le

_transport

_{de chaleur par conduction}

_{longitudinale}

devant le

_transport

_par

_convection,

et la variable t’

four. Or les

_{équations (17), (18), (20), (21)}

sont les

équations

du refroidissement

_{(en régime variable)}

d’un

_cylindre

indéfini

_pris

tout entier à la

tempé-rature

_To

et

_porté

à l’instant zéro dans un bain à la

température

00.

La solution de ce

_problème

est bien connue. On pourra se

_reporter,

_par

_exemple,

à l’article de Grôber

_(Zs.

d. Ver. d.

_Ing.,

Bd

_69,

1925,

p.

705),

qui

donne des courbes et des dia-grammes

pour la

température

au centre

_du;cylindre,

la

_température

à la

_périphérie

et le flux de chaleur

en fonction de la

_{température initiale,}

de

ER /K

et

de at

_/R2.

Si,

en

_plus

E,R

/ K

est

_grand,

on a

eL il

_résulte

de

_{(13), (18)}

et

₍₂₀₎

le

_{développement :}

Signalons

que les méthodes du calcul

symbolique

appliquées

à

_{(18), (20, (22),}

et

_l’emploi

du

dévelop-pement

asymptotique

de la fonction de

_Bessel,

nous donnent aussi

_{l’expression approchée}

valable _pour p voisin de R et t assez

_petit.

Cette

expression

est

_analogue

à _{celle que} nous avons

obtenue et _{discutée pour} un

problème

de

dif-fusion

_[1].

_L’analogie

des

_problèmes

de diffusion et de

_propagation

de la chaleur est bien _{connue ;} toutefois nous avions traité un

problème

de

dif-fusion dans

_l’espace

extérieur à un

_cylindre,

et il est intéressant de constater le raccordement des solu-tions _{pour p} > R _{et p} R. Les méthodes de

calcul

_{symbolique s’appliqueraient}

aussi dars le cas

_{ER / K}

_{fini ;}

_{malheureusement le fait que}

l’approximation

est limitée à des valeurs de

_{t petites}

enlève un _{peu d’intérêt} aux formules ainsi obtenues

puisque

nous devons

_{supposer t}

=

x /v

grand,

si

nous voulons utiliser

_{l’équation}

(20),

_{pour le}

pro-blème de convection

_qui

nous _occupe.

Notons aussi _{que la solution du}

_problème

n’est

pas liée au

_signe

de la différence

_{T 0}

-

60 ;

si on

avait

_{To 00,}

on obtiendrait l’échauffement d’un

cylindre

pris

à la

_{température T 0}

et

_porté

dans un

four à la

_température

_60.

II. Refroidissement d’un

_cylindre

entouré d’un

manchon. --- Au lieu d’un

cylindre homogène,

considérons un

_{cylindre métallique}

de rayon _r, bon

conducteur de la

_chaleur,

entouré d’un manchon

concentrique,

peu

conducteur,

de rayon intérieur r,

de rayon extérieur R. Le tout sort avec la vitesse a

d’un four à la

_{température To}

_pour

_pénétrer

dans

un bain à la

_température

_{60. Proposons}

nous

d’étudier le refroidissement de

_{l’ensemble,}

et de

trouver,

en

_particulier,

à

_quelle

_{distance x, de la}

sortie du

_four,

un

_point

de l’axe du

cylindre

est à la

température Ti.

Ce

_problème

se traite de la même

_façon

_{que le}

précédent.

Mais nous _{aurons, pour le} métal et _pour le manchon deux

_{équations (1)}

faisant intervenir

respectivement

les conductivités et

_capacités

calo-rifiques,

K1,

Y1, pour le

métal,

K2,

Y2 pour le manchon. En

_plus

de la condition aux limites

_(2),

il faudra écrire la continuité de la

_{température et}

du flux _{de chaleur pour p} = r. Si on fait

_l’approxi-

’

mation d’une

_température

uniforme

_01(x)

dans une

section droite du

_métal,

ces conditions s’écriverlt en

_régime

_{permanent :}

Si nous _posons encore

la solution du

_problème

sera _{donnée par}

OÙ 03B2m

et

_{cpm(P) dépendent}

du

_signe

de x et sont à

déterminer. Par substitution dans

₍₁₎

on _{voit que}

les fonctions

_{cpm( p)}

sont solutions des

_équations

de Bessel

dans

_lesquelles

_Çm

est choisi de

_façon

_{que les} condi-tions aux

_limites,

déduites de

_{(2), (26), (27)}

_puissent

être

simul-tanément satisfaites. Dans

_(34),

la constante

_03B2m.,

de

_signe

contraire

à x,

est liée à

_Çm,

_{par la} relation

analogue

à

₍₆₎

avec

Pour

déterminer 03BEm

et

_pm,

nous

_pourrions

119 A

fonction de Bessel et de la fonction de Neumann d’ordre zéro et

_d’argument

_Z»,p/R.

En éliminant

ces coefficients et

_P.

entre

_(32),

_(33),

_{(34), (35),}

on

obtiendrait une

_équation

transcendante assez

com-pliquée

en

_çm.

,

Si la vitesse v est

_{grande devant a2}

_jR,

les condi-tions aux limites sur x 0 sont

_{remplaçables,}

comme dans le cas du

_cylindre

_homogène,

_par

que nous devons satisfaire avec les

dévelop-pements

(29), (30).

De

_plus,

_{dès que x} est un _peu

grand,

nous _{pourrons réduire} ces

_{développements}

à leur

_premier

terme. A un facteur

_près

de l’ordre de

_grandeur

de l’unité nous aurons

Ainsi la

_température

du

conducteur atteindra la valeur

_Tl,

_{peu différente de}

_80,

à une distance x,

de la sortie du four donnée par

l’erreur relative sur _{x1 devenant}

_négligeable

si

_Tl

est voisin de

_60.

Afin

_{d’obtenir Pl}

sans calculs

excessifs,

nous nous

_placerons

dans le cas où les

approximations

suivantes sont valables :

et

20

_ERIK2

_grand,

ce

_{qui permettra}

de

_remplacer

(32)

par . -. -

.

1 . -.

3°

_§1(R

-

r) 2 Rr,

ce

qui

_permet,

en

inté-grant

(31)

par

approximations

successives,

de se

limiter à la seconde

_{approximation.}

On trouve

ainsi,

avec les conditions initiales

(33), (42)

avec une erreur inférieure à

Il sufl’lt

_{d’égaler (44)}

à

_zéro,

_après

y avoir substi-tué

₍₄₂₎

_{pour obtenir} une

équation

du

premier

degré

en

03BE21.

On en tire

avec

En

_portant

₍₄₆₎

dans

₍₄₁₎

on obtient

_03B21.

Prenons un

exemple :

Soit un conducteur en cuivre

de rayon r =

0,4

_cm, entouré d’un manchon

d’une

matière

_plastique

_{caractérisée par}

’

de rayon extérieur R =

_0,5

cm.

Il vient

et on vérifie _{que les}

approximations

faites sont

légitimes

dès que v

dépasse

1

_{cm /sec.}

Annexe I. - DÉMONSTRATION _DE

L’ÉQUATIO11Z

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DE LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS LE CYLINDRE EN MOUVEMENT.

-Considérons entre les instants t et t

₊

dt un volume

limité aux

cylindres

de _{rayon p} et p +

dp

et à deux

_plans

fixes P et P’ distants de dz

_{(iig. 1).}

- ’

De la matière entre dans ce volume à la

tempé-rature 0 et en sort à la

température

0

+

dO

(avec

dO

_0).

La

_quantité

de chaleur ainsi abandonnée dans

ce volume est

_pendant

le

_temps

dt

Il y a en outre la chaleur

_qui

traverse P et P’

par

conduction,

sans être liée à un mouvement de

matière ;

la

_quantité

_qui

reste

8ans

le volume est

Il _y a .aussi la chaleur

_qui

arrive par conduction

La somme,

d’où

_d’après

_{simplification l’équation}

En

_{régime permanent,}

6 ne

_dépend

_{pas du}

_temps,

ce

qui

donne

l’équation

(1).

, Une autre méthode pour démontrer

(AZ)

consiste

à

écrire

_{l’équation}

_{classique de}

la conduction

rela-tivement

à un

_système

d’axes

0’03BE~03B6

entraînés _par

le

_cylindre

dans son

_mouvement,

puis

à _repasser

par.un

changement

de variables aux axe fixes

Oxyz.

En

_désignant

la

_température

_par

il vient :

avec

Le

_changement

de variable

donne

En substituant

_(A4)

dans

_(A3)

on retrouve immédiatement

_(A1).

Annexe II. - CALCUL

DES COEFFICIENTS DES

TERMES DES SÉRIES REPRÉSENTANT LA

TEMPÉ-RATURE. -

On sait que les fonctions de Bessel

J 0(z)

vérifient les identité

Posons dans

₍₈₎

_{(p IR)}

= _z.

Multiplions

la

seconde

_équation

₍₈₎

par

zJ0(03B6n

z)dz

et

_intégrons

en z de 0 à 1. Il "BTient,

avec des constantes

_Bn

et

_Dm

définies à l’aide de

_(A5)

et

_(A6).

De

_même,

_multiplions

la

_première

’

équation (8)

pour

zJo(1§

z)dz

et

intégrons

en z

de 0 à 1. Cela donne

où les constantes

Fm

et

_Gon

se calculent à

partir

de

_(A5)

et

_(A6)

et

km

à

_partir

de

_(A7).

En substi-tuant dans

_(A9)

_{les valeurs que}

_(A8)

_{donne pour}

_An,

on a un

_système

_{d’équations algébriques}

linéaires

en

Am,

_{que l’on}

_peut

traiter _par

approximations

successives. Ce

_système

étant

_résolu,

il suffit de

porter

les valeurs des

Am

dans

_(A8)

_{pour avoir}

_A;,.

Si on

préfère,

on

_peut

obtenir les

An

_par un calcul

symétrique

de celui

_qui

nous a donné les

A§§.

Dans le cas E’ -

E",

on _a, en raison

de 03BEm

=

ç’;

d’où la relation

_(10).

La relation

₍₁₁₎

se déduit

directement de

_{(8) ; multiplions}

_{la par}

_{zJ 0(03BEn}

_z)

et

intégrons

en z de 0 à 1. En tenant

_compte

de

_(A5),

(A6)

et

_(A7),

on obtient facilement la relation

_(13).

Manuscrit reçu le 1 er juin 1956.

BIBLIOGRAPHIE

[1] COTTE (M.) et SALVINIEN _(J.), Étude _théorique et expé-rimentale d’un _problème de diffusion _cylindrique. C. R. Acad. Sc., 1946, 223, 315-317. COTTE (M.), Sur