Des matrices de Pauli aux bruits quantiques

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Yan Pautrat

To cite this version:

Yan Pautrat. Des matrices de Pauli aux bruits quantiques. Mathématiques [math]. Université

Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. �tel-00004050�

Cette these est dediee a lamemoire d'Ernest Doudart de Lagree (1823-1868)

Call me morbid, all me pale, I've spent six years on your trail, Six full years of my life on your trail And if you have ve se onds to spare, Then I'll tell you the story of my life

The Smiths, Half a person

J'ai maintenant l'impression que e memoire de these n'est qu'un proje teur, fait de trois ents pages noir ies an de renvoyer le le teur aux quelques-unes qui lespre edent.Ces pages-la,en oreblan hes,sontlas enesur laquelleje her he les parolesempreintes de lagravite qu'impose le pointnal que je mets ames etudes; ommetoute s ene, elles sont avant tout une o asion ex eptionnellede dire mer i etje onstate quej'ai bien des gens aremer ier.

Messieurs Gostiaux et Massias, professeurs antinomiques, sont les deux ensei-gnants qui m'ont le plus marque durant ma arriere preuniversitaire et je ressens en ore leur in uen e ala fois ommes ientique et ommeenseignant.

De l'Institut Fourier, je rois pouvoir remer ier tous les membres pour le ri he environnement de travail qu'ils ont onstitue pendant es annees. Je suis parti- ulierement re onnaissant a Agnes Coquio, qui a ontribue a me faire entrer dans le monde des probabilites quantiques, et a Sylvestre Gallot qui m'a surpris par la sin erite qu'il met a jouer son r^ole administratif et a ainsi ontribue a me faire arriver jusqu'i i.

Parmi les thesards je n'en iterai que quelques-uns, faute de pouvoir les iter tous : d'abord mes ollegues de bureau, Stephane et Sophie, grands ar hite tes d'interieur, puis Vidian, Olivier etEri . Ces derniers surtout ont subi la reda tion de mathese et mes repetitions. Ensuite je ne peux pas ne pas remer ier Sebastien Bou ksom, quej'aivu ave plaisirassieger monsalonami-tempspendanttroisans et Guillemette Reviron, que je remer ie pour sa presen e et qui evite ainsi d'^etre remer iee plus bas.

J'ai beau oup voyage durant ette these et ai ainsi eu l'o asion d'apprendre beau oup s ientiquement et humainement. Je remer ie Kalyan Sinha pour son invitation en Inde et toute l'equipe de l'ISI, et plus spe ialement Debashish

Gos-wami et Partha Sarathi Chakraborty, pour leur a ueil. J'ai surtout eu l'o asion de frequenter la \Catoli a" de Santiago du Chili et tiens a remer ier tout par-ti ulierement Carlos Mora et Rely Pelli er pour l'amitie qu'ils m'ont temoignee. RolandoRebolledoa etela-bas legrand animateurde mavies ientique etje suis parti ulierement heureux de le retrouver dans mon jury.

J'aid'ailleursla han e d'^etre jugeparmon juryideal;j'ai eul'o asionde ren- ontrer tous ses membres dans lepasse etpeuxtous lesassurer de mon admiration etde masympathie.

Jen'ai pas en orementionneStephane Attal,qui trouvenaturellementsa pla e en ette n de paragraphe. Depuisqu'il a ommen ea m'enseignerles probabilites quantiques,iln'a essedem'en ourager etjeluidoisenormementpour sonsoutien. Jeneluisuispasmoinsredevabledel'exemplequ'il onstitueettous euxquim'ont frequente es dernieres annees savent que l'in uen e qu'il aeue sur moideborde le adremathematique;bienquesatutelles'arr^etei i,ilrestera\leMa^tre"etadroit 

atoute magratitude.

J'enarrivea euxquionteteplusdire tementexposesamonmauvais ara tere. Jepensetoutd'abordaGaen;j'auraispeut-^etreplustravaillea ettethesesanselle etpourtant,m^emedans es pages,jelaremer iedu fonddu urpoursapresen e. Enn, je tiens a remer ier mes parents, premieres vi times de mon ingratitude quotidienne;puisquel'o asionm'esti ifourniede pesermes motsjeveuxdire que je saistout e queje leur dois etajouter le plus sin ere des mer i.

Mode d'emploi de ette these 8

Bibliographie 10

Introdu tion 14

I Presentation des resultats obtenus 21

1 Cal ulsto hastique quantiquesur l'espa e deFo katempsdis ret 23

1.1 Motivationspour l'etudede T . . . 24

1.1.1 Unemotivation physique . . . 24

1.1.2 Unemotivation probabiliste . . . 25

1.2 Cal uld'It^o abstraitsur l'espa e de Fo k a temps dis ret . . . 26

1.3 Denitiondu al ulsto hastique quantiquea temps dis ret . . . 30

1.3.1 Operateurs fondamentaux . . . 30

1.3.2 Denitionde l'integralesto hastique atemps dis ret . . . . 33

1.4 Espa esde Fo ka temps dis ret de multipli itesuperieurea 1 . . . 38

1.4.1 Espa e de Fo k asso ie a une mar he aleatoire . . . 38

1.4.2 Espa es de Fo k atemps dis ret de multipli itequel onque . 39 2 Representations integrales et nu leaires sur l'espa e de Fo k a temps dis ret 45 2.1 Representations nu leaires . . . 46

2.1.1 Unepremiere appro he . . . 46

2.1.2 Transformations de noyaux. . . 49

2.1.3 Une ondition suÆsantede representabilitenu leaire . . . . 55

2.2 Appli ationauxquestions de representations integrales . . . 57

2.2.1 Representations nu leaires et integrales . . . 58

2.2.2 Une ondition suÆsantede representabiliteintegrale . . . . 59

3 Cal ul sto hastique quantique sur l'espa e de Fo k 63

3.1 Espa es de Fo k . . . 63

3.1.1 Denitionde l'espa e de Fo k simple . . . 63

3.1.2 Cal uld'It^o abstraitsur  . . . 65

3.1.3 Espa esde Fo kde multipli itesuperieure a 1 . . . 70

3.2 Denitionde l'integrationsto hastique quantique . . . 71

3.2.1 Integrationsto hastique quantique sur l'espa e de Fo k simple 71 3.2.2 Le as de lamultipli itesuperieure a1 . . . 80

3.3 Representations en noyaux de Maassen-Meyer . . . 82

4 Approximations dis retes du al ul sto hastique quantique 85 4.1 L'approximationde Attal . . . 86

4.1.1 Approximation de l'espa e de Fo k simple . . . 86

4.1.2 Le as des espa es de Fo k de multipli itesuperieure a 1 . . 88

4.1.3 Tables d'It^oa temps dis retet a temps ontinu . . . 89

4.2 Les proje tions d'integrales etde noyaux . . . 90

4.2.1 Relationsde ommutation . . . 91

4.2.2 Proje tions d'integrales . . . 91

4.2.3 Le as des espa es de Fo k de multipli itesuperieure a 1 . . 95

4.2.4 Proje tions d'operateurs anoyau . . . 96

4.3 Convergen e de latable d'It^o . . . 98

4.3.1 Preuve de laformule d'It^o . . . 98

4.3.2 Consequen es pour lesprobabilites lassiques. . . 103

5 Appli ation a la representation des operateurs 105 5.1 Demar he generale . . . 105

5.2 Representations integrales des operateurs de se onde quanti ation 108 5.2.1 Operateurs de se onde quanti ation . . . 108

5.2.2 Representations integralesdes operateurs de se onde quanti- ationdierentielle . . . 115

5.2.3 Le ontre-exemple de Journeet Meyer . . . 116

5.3 Extensions possibles de es resultats. . . 117

5.3.1 Representabilitesur des sous-ensembles de E . . . 117

5.3.2 Le as des espa es de Fo k de multipli itesuperieure a 1 . . 122

5.3.3 Se ondes quanti ations d'operateurs non bornes . . . 124

6 Approximations d'EDS quantiques et reation de bruits

quan-tiques 127

6.1 Dilatations d'evolutions ompletementpositiveset EDS quantiques 128 6.1.1 Evolutions ompletementpositiveset theoreme de Lindblad 128

6.2 Dilatationsen tempsdis ret et intera tions repetees . . . 133

6.2.1 Intera tions repetees . . . 133

6.2.2 Dilatationsen temps dis ret . . . 134

6.3 Resultatsde onvergen e . . . 135

6.3.1 Convergen e de solutions d'equations dierentielles sto has-tiques quantiques . . . 135

6.3.2 Appli ationaux problemes d'evolution . . . 140

6.3.3 Evolution Hamiltonienne etlimite de ouplage faible . . . . 142

6.4 Convergen e des Lindbladiens etHamiltoniens . . . 143

6.4.1 Evolutions asso iees sur H 0 . . . 143

6.4.2 Hamiltoniensasso ies a ladynamique . . . 145

II Arti les 149

A Representationsintegralesetnu leairesdes operateurssurl'espa e

de Fo k a temps dis ret 151

B Matri es de Pauli et formule d'It^o quantique 169

C Representations integrales des operateurs de se onde

quanti a-tion 211

D Intera tions quantiquesrepetees et ontinues :la produ tion

spon-tanee de bruits quantiques 245

E Cha^nes d'atomes a (N+1)niveaux et bruits quantiquesde

Lagrandemajoritedes resultatsquenousallonsexposeri iontdonnelieuades arti lesdejarediges. Nousen avons protepour adopterunemethodede reda tion malhonn^ete mais dotee de nombreux attraits.

Dans les arti les mathematiques, ou il faut faire ourt, les aspe ts te hniques in ompressibles o upent un volume important au detriment des idees. I i, a l'in-verse, nous avons de ide de ne donner dans le orps du do ument que tres peu de demonstrations; ela permet de ne onserver que e qui est au fond essentiel, de multiplierexemplesetreferen es ulturelles etd'obtenir un textefa ilementlisible. Cela risque en revan he de donner aule teur une idee fausse de la omplexite des resultatsenon esi i;ons'aper evra bienvitequ'en tout as ela attribuea haque hapitreun volumequi n'est proportionnelnia latailledes arti les orrespondant, ni a la longueur des preuves de e qu'il ontient. Si ela signie que tout e que nous exposons peut sembleregalementsimple etnaturel, nous nous en rejouirons.

Puisquenousfaisons desmathematiques,ilfautbienfournirdesdemonstrations 

a nos resultats. Nous avons joint a ette these les arti les rediges; la plupart des preuves se trouve dans es arti les. Cependant, eux- i sont a prendre omme des annexes.Nousentendons par laquele orps possede enpropre ses notations,sa bi-bliographieetsanumerotationmais surtoutnousin itonslele teurasepreo uper avanttoutdutextedelathese.Hormismentionexpli itedu ontrairetoutereferen e renvoie aun elementdu orps lui-m^eme.Lesarti les utilisentparfois des notations dierentes des parties de la these qui lui orrespondent; lorsque nous renvoyons le le teural'undesarti lesnoussignalonslesamenagementsdenotationaprendreen ompte. Labibliographiegeneraleaetepla ee en avantdu texte poureviterqu'elle se onfonde ave la bibliographie des arti les. L'arti le [AP2℄, qui n'a pas de liste de referen es independantes, utilise labibliographie du orps du texte.

Enn,lesdemonstrationslesplusimportantesetlesplusinstru tivessont ebau- hees dans le texte; les demonstrations des resultats qui n'apparaissent pas dans lesarti les sont donnees in extenso dans le orps.

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Pourquoi des probabilites quantiques?

On peut s'interesser aux probabilites quantiques pour des raisons purement mathematiques; elles- isont en eet l'une des extensions non ommutatives pos-sibles de latheorie lassique des probabilites. Ellessont, plus pre isement, l'exten-sion qui suit le formalisme hilbertien de la me anique quantique tel que l'a deni vonNeumann (voir[vNe ℄ ou[Dav℄).

Nous preferons justier l'introdu tiondes probabilitesquantiques par la raison peuelegantedelane essite.Eneet,onsaitquelatheoriephysiquedelame anique quantiqueest intrinsequement aleatoire;onadon essayed'utiliserlesprobabilites lassiques pour modeliser les aleas lies a toute mesure de grandeur physique. Les experien es d'Aspe t (\experien ed'Orsay") etlesinegalitesde Bellont ependant montre quedes situationsm^emeextr^emement simplesfournissent des observations qui ne peuvent ^etre de rites par la theorie probabiliste lassique (voir a e sujet [KM1℄). Il a don etene essaire de reer une nouvelletheorie ad ho .

La me aniquequantique asso iea tout systeme physique un espa e de Hilbert, appele espa e d'etat; les grandeurs mesurables du systeme sont alors representees par les operateurs autoadjoints sur l'espa e d'etat. En a ord ave e formalisme, les probabilites quantiques auront don pour nouvelles \variables aleatoires" des operateurs sur des espa es de Hilbert.

Cal ul sto hastique quantique

Les probabilites lassiques prennent leur veritable ampleur une fois que l'on denit les integrales sto hastiques et que l'on a un vrai al ul sto hastique; la situationestidentiquedansle asquantique.Lesintegralessto hastiquesquantiques ont ete denies initialement par Hudson et Parthasarathy (dans [H-P℄) an de formaliserles\equationsdeLangevinquantiques"desphysi iens,ouapparaissaient des termes de bruitde naturequantique. Une integralesto hastique quantiqueest, dans e adre, une integrale du type

R H s da  s ou les H s

sont des operateurs sur l'espa e de Hilbert onsidere, et les bruits quantiques da



sont des \dierentielles" d'operateurs a



.Le al ulsto hastiquequantique, quiaeteamelioreparlestravaux deAttal,Meyer, BelavkinetLindsayentreautres,estmaintenantunoutilrobuste:

ondispose d'une formule d'It^o, de riteres d'existen es de solutions auxequations dierentiellessto hastiques,et .(onpourra onsulter[At5℄pourunexposegeneral). Il est don parti ulierement interessant de pouvoir e rire un operateur donne sous la forme d'une integrale sto hastique quantique; il se pose alors naturelle-ment la question de savoir si ela est possible. On sait depuis le ontre-exemple de Journe (voir [J-M℄) que ela n'est pas possible en general et que les fa teurs determinantsne selimitentpas ades onsiderationsde domaine;lesresultats posi-tifsa ettequestionsont ependantennombretreslimite(voir[P-S ℄,[At3℄,[Co2℄). Unautre type de representation possede un inter^etequivalent :les representations en operateurs a noyaux de Maassen-Meyer. Les reponses onnues a la question de la representabilite nu leaire ne sont ependant pas plus nombreuses que pour les representations integrales.

Au debut de ette these, letheme de nos travauxetait spe iquement elui- i : apporter des elements de reponse a es questions de representabilite.

Approximations dis retes du al ul sto hastique quantique

Un outil developpe par Attal a ette epoque est ependant venu perturber nos o upations : il s'agit d'une methode expli ite d'approximation du al ul sto has-tiquequantiquepar un analogue \a tempsdis ret", deniedans [At7℄.

Cetteapproximationetait onsidereedepuislongtempsparlesphysi iens;parmi lesmathemati iens elleetait en general onsideree ommeune sour e d'inspiration (voir [Me1 ℄). Leitz-Martini a entierement deni le al ul sto hastique quantique par des te hniques d'analyse non-standard a partir du al ul a temps dis ret(voir [LeM ℄)mais le adre de sa onstru tion semble disjoint de elui quinous interesse en general. Lamethode de Attal, en revan he, fait ohabiter lesdeux theoriesdans un m^eme adre.

De plus, la methode de Attal est ompletement expli ite en termes de al ul d'It^o abstrait. Ce al ul est un outil parti ulierementmaniable etevo ateur et est 

a la base de l'appro he Attal-Meyer de la theorie de l'integration sto hastique. Cettenouvellemethodesemble don biensepr^eteral'approximationdes integrales sto hastiques quantiques.

Il a evidemment fallu ommen er par donnerun sens pre is a l'integration sto- hastique quantique a tempsdis ret puisque ela n'avaitete fait que dans le adre de ladimension nie; ette theorie de l'integrationest presentee dans le hapitre 1 etdans l'arti le [Pt2℄que l'on trouveen annexe B.

Questions de representations en temps dis ret

Cette methode d'approximation montrait que des riteres en temps dis ret de representabiliteen integralessto hastiquesouen operateurs anoyaupouvaient

me-des riteres en temps dis ret semblait plus fa ile. Nous avons don ommen e par her her de tels elements de reponse; notre premiere appro he a ete d'utiliser le fait que, en temps dis ret, les proprietes d'adaptabilite des operateurs permettent essentiellement de se ramener a des situationsde dimension nie.

Il apparut bien vite que les resultats obtenus suivant ette appro he ne sont pas suÆsants. Nous avons don adopte une autre methode : elle- i, utilisant des outils denis par Lindsay et ertaines proprietes spe iques autemps dis ret, nous apermisd'obtenir desreponses satisfaisantes alaquestiondelarepresentabiliteen operateursanoyaudans e adre,et elaave des formules expli itespourlenoyau asso ieaun operateur. Par ailleurs,apartir de es resultatsnous avons pu obtenir des resultats analogues ettout aussi expli ites pour lesrepresentations integrales.

Ces resultats sont presentes dans le hapitre 2 et font l'objet de la publi ation [Pt1℄,jointeen annexe A.

Formules d'It^o a temps dis ret et a temps ontinu

On s'aper oit en denissantl'integrationsto hastiqueatemps dis retque elle- i presente une dieren e majeure ave le al ul sto hastique a temps ontinu : elle- i reside dans les formules d'It^o exprimant la omposition de deux integrales. Ona onsidere ettedieren e, quel'onobserveimmediatementen dimensionnie, omme rendant impossiblel'utilisationeÆ a e du al ul sto hastique atemps dis- ret ommemoyend'appro hersonanalogueatemps ontinu.Puisquenosresultats derepresentationnouspermettaientd'exprimerl'approximationd'uneintegrale sto- hastique R H s da  s

, nous nous sommesproposele but suivant : redemontrer la for-muled'It^oatemps ontinuen n'utilisantriend'autrequenotremethode d'approxi-mation(dans laquelle laformule d'It^o n'intervient pas) etla formule d'It^oa temps dis ret.C'est equenousexposonsdansle hapitre4etdansl'arti le[Pt2℄presente en annexe B,montrantainsi queladieren eentre formules d'It^on'est en rienune obstru tion a e quel'approximationde Attalsoit un outil utile.

Dans e hapitre4nousrappelonspar ailleursentierementlamethodede Attal, ave de rares modi ations quisimplientlegerementson utilisation.

Retour sur la representabilite des operateurs

Nous avons par la suite essaye d'utiliser nos resultats de representabilite en temps dis ret pour obtenir des resultats en temps ontinu. Malheureusement, les onditions analytiques ne essaires pour que nous puissions appliquer nos resultats et que les representations soient onservees dans le passage a la limite sont telles que nous avons pu, suivant ette methode, redemontrer des resultats onnus mais helas rien de nouveau.

for-mite omme des informations a priori sur les integrandes apparaissant dans une representation integrale d'un operateurdonne. On peut alors, apartir de es infor-mations, her herdes onditionspourpouvoirdenirrigoureusement esintegrandes, pour que l'on puisse onsiderer les integrales sto hastiques asso iees et enn pour que les integrales obtenues representent bien l'operateur qui nous interesse. Cette methodepresenteunin onvenient:pourestimerlesformulesaprioridesintegrandes ilfaut que l'operateur onsiderepermette des al uls expli ites.

Nous avons don applique ette methode aux operateurs de se onde quanti- ation et de se onde quanti ation dierentielle, operateurs tres utilises en phy-sique. Nous en avons tire une ara terisation simple de eux de es operateurs qui admettent une representation integrale, ave des formules expli ites pour les integrandes.

Ces resultats,ainsiquenotrepremiere appro he, sontpresentesdansle hapitre 5. Les riteres de representabilite pour les operateurs de se onde quanti ation (dierentielle ou non) sont par ailleurs exposesdans l'arti le[Pt3℄ quel'on trouve en annexe C.

Equationsdierentiellessto hastiquesquantiquesetintera tionsrepetees en me anique quantique

Nous avons ensuite her he a voir si nos resultats etaient assez puissants pour quel'on puisse obtenirla onvergen e de solutionsd'equationsaux dieren es vers les solutions des equations dierentielles obtenues en passant formellement a la limite.Nous avons obtenudes resultats tresgeneraux de onvergen e.

Nousnous sommesaper uspar lasuiteque esresultatsavaientuneporteebien plus grandeen termes physiques :en eet, ilsmontrent quel'operateurd'evolution asso ie en me anique quantique a une intera tion repetee ( e qui ouvre un adre treslarge)estdonne,alalimite, ommelasolutiond'uneequationdierentielle sto- hastique quantiquequel'on peut expli iter.Nouspouvons ainsi de rirele passage d'evolutions dis retes a des evolutions ontinues en un sens plus pre is que dans lesresultatsde onvergen e onnus jusqu'alors :notre passage ala limiteprend en ompte l'evolution des deux entites entrant en intera tion et pas seulement l'une des deux.

Ces resultats sont presentes dans le hapitre 6 et dans l'arti le [AP1℄,e rit en ollaborationave Stephane Attalet presente en annexe D.

Nousn'avonspu,pourdesraisonsdevolumeetd'unitedesujet, rappelerautant quenous l'aurionsvoulu leformalismedes evolutionsdans lessystemes quantiques ouverts nijustier notre inter^etpour lesobjets quenousetudions. Nousrenvoyons

Convergen es de mar hes aleatoires et equations de stru ture

Nous n'avons pas parleen ore des resultats ontenus dans l'arti le[AP2℄,e rit en ollaboration ave Stephane Attal : 'est que nous nous sommes aper us que, parmi les resultats qu'il ontient, eux que l'on ne retrouve pas dans d'autres de nos arti les sontdeja onnus.

Cet arti le garde ependant un inter^et en e qu'iladopte un point de vue nou-veau. Il provient de la question des interpretations probabilistes a donner aux es-pa es de Fo k a temps dis ret de multipli itesuperieure au lassique \bebe Fo k". Nousnous sommes aper us que, lorsque l'on onsidere des mar hes aleatoires dans R

n

,onpeuttoute riredansunestru turealgebriquequiest ompletementind epen-dantedelaloidelamar he;toutle ontenuprobabiliste estalors ontenudansdes equationsdestru tureatempsdis ret.Noste hniquesd'approximationpermettent alors d'observer que, suivant la forme des equations de stru ture asso iees a une mar he aleatoire, une renormalisation de ette mar he onverge vers un pro essus qui s'expli ite omme une somme d'un mouvement brownien et de pro essus de Poisson.

Ces resultats sont evoques tout au long de ette these, dans des exemples; ils sont par ailleurs presentes sous une forme non denitive dans l'arti le [AP2℄ que l'on trouve en annexe E.

Cal ul sto hastique quantique sur

l'espa e de Fo k a temps dis ret

Dans e hapitre,nousdenissonsl'espa e deFo k\atempsdis ret"etle al ul sto hastique quantique quilui est asso ie.

Danslase tion1.1,nousjustionstresrapidementl'apparitionde etespa epar des raisons ompletement independantes de l'idee d'approximation de l'espa e de Fo katemps ontinu.L'unede esjusti ationsprovientde laphysiquequantique, l'autredes probabilites lassiques.

Dans la se tion 1.2, nous denissons le al ul d'It^o abstrait et la theorie de l'integrationsto hastique quantique a temps dis ret. Ces outils sont intuitivement plussimplesamanierqueleursanaloguesatemps ontinu;ilest ependantevident que,pourquenouspuissionsutiliserdemaniereeÆ a elepro eded'approximation, il faut des enon es pre is. C'est e qui justie le developpement de la theorie telle que nous la presentons. Nous n'y de rirons pas les representations en noyaux : le sens a donnera es representations est dis ute dans le hapitresuivant.

Ces deux se tions orrespondent approximativement a la premiere partie de l'arti le[Pt2℄.

Dans la se tion 1.4, nous de rivons les espa es de Fo k a temps dis ret \de multipli ite superieure a 1", que nous appellerons ainsi puisqu'ils sont en fait les espa esquiservirontaappro herlesespa esdeFo katemps ontinudemultipli ite superieurea1.Nousverronsque, tout ommel'espa e de Fo k Testasso ieades mar hesaleatoiressurZ, esespa es sontasso iesadesmartingalesatempsdis ret 

a valeurs ve torielles.

1.1 Motivations pour l'etude de T

Avantd'aborder l'etude te hnique de l'espa e T etdu al ul sto hastique qui lui est asso ie, nous allons justier ette etude et montrer pourquoi et espa e est un objet interessant en soi et pas uniquement omme moyen d'appro her l'espa e de Fo k atemps ontinu.

1.1.1 Une motivation physique

L'un despostulatsde laphysique quantiqueveut qu'a haque systeme physique soit asso ie un espa e de Hilbert qui represente les etats (a prendre i i au sens intuitif du terme) du systeme. Si l'on onsidere par exemple un systeme onstitue d'une seule parti ule qui n'a que deux etats dierents (par exemple deux niveaux d'energie, deux etats de polarisation, et .) alors l'espa e d'etat asso ie est C

2 . Si l'on veut onsiderer un ensemble inni denombrable de telles parti ules et quel'on suppose elles- i distinguables et independantes, alors l'espa e d'etat a onsiderer est le produit tensorieldes espa es asso iesa haque parti ule.

Cet espa e d'etat T est don

T= O N C 2 : Notons f i ;X i

g la base anonique de la i-eme opie de C 2

. Pour simplier les notations on hoisit de ne pas faireappara^tre le ve teur

i

dans les produits ten-soriels :par exempleX

i1 X i2 represente 0 ::: i 1 1 X i 1 i 1 +1 ::: i 2 1 X i 2 i 2 +1 ::::

Ce hoix est motive par l'idee que i

represente l'etat \vide" ou \au repos" du i-emesite.

On a alors une base hilbertienne naturelle, onstituee d'un ve teur

= 1

2 :::

appele ve teur vide, et par tous les ve teurs X fi 1 ;:::;i n g pour i 1 < ::: < i n . Cha- un de es ve teurs X fi1;:::;ing

orrespond a un etat du systeme dans lequel par exemple les parti ules du systeme qui sont ex itees sont exa tement les parti ules indexees i 1 ;:::;i n . Notons P N

l'ensembledes parties niesde N, que l'on munit de lamesure de denombrement. Ce qui pre ede montre que l'espa e

N N

C 2

admet un isomorphismeexpli ite ave l

2 (P

N

) : onidentie simplement haque X fi 1 ;:::;i n g ave l'indi atri edel'elementfi

1 ;:::;i

n gde P

N

.L'objetphysiquequenous onsiderons, etensemble denombrablede parti ulesadeux niveaux,est appele ha^nede spins; nous luiavons asso ie naturellementl'espa e d'etat l

2 (P ).

1.1.2 Une motivation probabiliste

Supposons quel'on veuille onsiderer une suite ( i

) i0

de variables de Bernoulli independantes et de parametre p. Pour onstruire une telle suite, on onsidere une realisationquel onque d'une variable de Bernoulli 

1 sur un espa e E 1 muni d'une mesure ad ho  1

(p). Lasuite de variables independantes de m^eme loi que 1

peut ^etre realisee sur le produit E =

N N E i ou haque E i

est une opie de E 1

, E etant muni de lamesure produit (p)=

N N

 1

(p),

On veut evidemment pouvoir onsiderer des fon tionnelles de notre pro essus; ons'interesse don plut^otal'espa e L

2

(E;(p))asso ieaE,espa eque l'onnotera en ore T. On a naturellementet de maniere expli ite

L 2 (E;(p))' O N L 2 (E 1 ; 1 (p)): (1.1.1)

Par ailleurs, haque L 2

(E i

; 1

(p)) est un espa e omplexede dimension2 dontune baseestdonneeparlavariabledeterministeegalea1,quel'onnote

i

,etlavariable aleatoire de Bernoulli 

i

de parametre p. Cette base peut ^etre orthonormalisee en onsiderant

i

etlavariablealeatoire entree reduiteX i obtenue en normalisant i en X i =( i p)= p

p(1 p). Onobtientainsiune base orthonormalede L 2 (E)faitede ve teurs X fi 1 ;:::;ing

omme pre edemment.

Venons-en a l'inter^et de ette onstru tion : quelle que soit la loi des variables aleatoiresdeBernoulli(

i )

i0

,l'espa eL 2

(E)asso ieestnaturellementisomorphea l

2 (P

N

). On a don perdu les proprietes probabilistesqui leur etaientasso iees. Ces proprietes ependant sont entierement determinees par le parametre p et l'on voit bien que elui- i est determine par la loi produit qui est denie sur L

2

(E) : ette loiest en eet entierement determinee par les formules

X 2 i =1+ p X i ; (1.1.2)

valables pour tout i, ou p

= 1 2p p

p(1 p)

est une fon tion biunivoquede p.

En denissant sur notre espa el 2

(P N

)une famillede loisproduits { un produit pour haquepde ℄0;1[{onadon unestru ture abstraite ommunepermettantde rendre omptedes diferentes stru turesprobabilistes,suivantlaloiproduit quel'on ajoutea ette stru ture hilbertienne. Dans lasuite, nous ne parlerons pas de hoix d'une loiproduit asso iee a une relation (1.1.2) mais de hoix d'une interpretation probabiliste.

Dans le as de la multipli itesuperieure, la question des interpretations proba-bilistes sera plus omplexemais evidemmentplus interessante. Nousy reviendrons

1.2 Cal ul d'It^o abstrait sur l'espa e de Fo k a

temps dis ret

A partir de maintenant, l'espa e de Fo k a temps dis ret est deni omme l'es-pa e L

2 (P

N

), que nous noterons simplement l 2

(P) , la notation l 2

devant suÆre a rappeler que l'espa e P onsidere est dis ret. On notera aussi T l'espa e l

2 (P) pour souligner l'analogie ave l'espa e de Fo k a temps ontinu  (le T vient de l'anglais: l'espa e de Fo k dis ret,ousuivant la terminologieplus sympathique de Meyer, bebe Fo k, est appele en anglais toy Fo k). Remarquons en ore que nous appellerons Tl'espa e de Fo k a temps dis retsimple par oppositionaux espa es de Fo k atemps dis ret de multipli itesuperieureque nous denirons en 1.4.

Fixons une base fX A

; A 2 P N

g de T. Le ve teur X ;

sera en general note etappelele ve teur vide.Les variables dansP serontnotees M, N, ... Fixonstout de suite une notation a propos de es variables : pour tout M de P, tout i de N on notera M

i

l'ensemble M \f0;:::;i 1g et M [i

l'ensemble M \fi;:::g. Nous noteronsparailleursM <i(respe tivementM i)alapla edeM f0;:::;i 1g (respe tivement M f0;:::;ig.

L'espa e deFo kpossede uneproprieteimportantede de ompositiontensorielle expli itequivanouspermettrederetrans rirelanotionprobabilistedeprevisibilite etplus loind'utiliser et espa e pour obtenir des dilatationsde pro essus d'op era-teurs. Detaillons ette propriete : de m^eme que nous avons onsidere dans notre presentation probabiliste un espa e de Fo k T asso ie a une suite de variables de Bernoulli independantes, nous aurionspu onsiderer un espa e T

i asso ie aux variables  1 ;:::; i 1 et un autre, T [i

, asso ie aux variables  i

; i+1

;:::. L'isomor-phisme(1.1.1) montre alors immediatementque l'on a

T'T i

T [i

; (1.2.1)

Cet isomorphisme est en ore expli ite et nous le detaillons i-dessous. De plus, il est lair que nous aurions pu regrouper autrement lesindi es des variables, e qui faitque l'on a de maniere tres generale le resultat suivant :

Proposition 1.2.1 Soit N = [ i

I i

une partition disjointe de N ; on a alors l'iso-morphisme expli ite suivant :

T' O i T I i :

qui est donne pour toute famille (A i

) i

, o u haque A i

est une partie nie de I i , par X [ i A i O i X A i :

Nous utiliserons prin ipalement des de ompositions du type (1.2.1). Faisons deux ommentaires a e sujet : d'abord, on voit qu'un espa e T

i

s'identie a l'espa e L

2

onstruit sur la tribu i-previsible naturellement asso ie a la mar he de Ber-noulli.Ce i justie l'inter^etprobabiliste des operateurs du al ul d'It^o abstraitque nous denissons un peu plus loin. Par ailleurs, nous avons parle du fait que la stru ture produit est entierement denie par les X

2 i

, qui font appara^tre la valeur de p. Nous n'avons pas parle de la nature des produits X

i X

j

, i 6= j; on voit i i que l'independan e au sens probabiliste des variables X

i et X

j

se traduit par une independan e algebrique qui faitdu produit X

i X

j

un produit tensoriel. Danslasuitenousidentieronstoutespa eT

I 

aunsous-espa edeTet omet-trons d'e rire lessignes,etant entenduque nousne onsidererons pas de produit autre que tensoriel. Autrement dit, sauf mention expli ite, nous ne onsidererons pas de produit qui dependrait du hoix d'une interpretation probabiliste. Remar-quonspar ailleursquelepointde vuequenous adoptonsmenenaturellementavoir l'indi e i omme une variable de temps, alors que notre presentation physique en faisait plut^ot une variable d'espa e; voir l'indi e i omme une variable de temps menenaturellemental'inspirationprobabilisteet 'estjustementla oexisten edes points de vue qui faitl'originalitede notre appro he.

Ave e point de vue probabiliste, les denitions suivantes sont naturelles; no-tons que l'on appelle pro essus une suite (que e soit une suite de ve teurs ou d'operateurs) lorsque l'onveut mettrel'a entsur lefait quel'indi eest vu omme une variable de temps.

Denition 1.2.2 Soit i0;

 Un ve teur f de T qui appartient a T i

est dit i-previsible.  Unpro essusdeve teurs(f

i )

i0

estditprevisiblesipourtoutideN, leve teur f

i

est i-previsible.

 On appelle proje tion previsible au temps i l'operateur de proje tion orthogo-nale sur le sous-espa e T

i . Un operateur p

i

s'exprime de lamaniere suivante :

p i f(M)=  f(M) si M f0;:::;i 1g 0 sinon, (1.2.2)

Parailleurssil'on onsidereunelementf deT,onvoitfa ilementquepourtout i,desve teurs (p

i+1 p

i

)f asso iesadesidistin tssontorthogonauxetque ha un s'e rit d i fX i pour un ertain d i f de T i

dont on obtient fa ilement l'expression expli ite. Ce i justie ladenitionsuivante etles proprietes (1.2.4)et (1.2.5): Denition 1.2.3 Pour tout i  0, on denit un operateur d

i sur l

2

(P), appele gradient previsible au temps i, par les formules

d i f(M)=  f(M [i) si M f0;:::;i 1g (1.2.3)

Cela denit bien un operateur d i

sur l 2

(P) qui verie, pour tout f, les egalites

f =f(;)+ X i d i fX i (1.2.4) et kfk 2 =jf(;)j 2 + X i kd i fk 2 : (1.2.5)

A tout ve teur f est ainsi asso ieun pro essus i-previsible (d i

f) i0

. On remarque par ailleurs que pour tout pro essus previsible (g

i ) i0 on a pour tout f dans l 2 (P) X i0 hg i ;d i fi=h X i0 g i X i ;fi (1.2.6)

si l'on peut denir la serie P i g i X i . et que la serie P i0 kg i X i k 2 a un sens si et seulement si X i0 kg i k 2 <1:

Il est don naturel de denir l'operation adjointe de elle qui a un ve teur f de T asso ie le pro essus previsible (d

i f)

i0

. En ore une fois il est fa ile d'obtenir l'expression de P i2N g i X i

omme fon tion sur P :

X i0 g i X i ! (M)=g _M (M n_M) (1.2.7)

ou_M represente le plus grandelement de M.

L'objet que nous avons deni ainsi s'appellel'integraled'It^o : Denition 1.2.4 Soit (g

i )

i0

un pro essus previsible veriant P i0 kg i k 2 < 1. Ce pro essus est alors dit It^o integrable et son integrale d'It^o est denie omme l'element de l 2 (P) egal a P i0 g i X i

; et element verie l'equation (1.2.7) et la relation de dualite (1.2.6).

Il est fa ilede verierque l'on a, pour tout i,

p i X j0 g j X j = i 1 X j=0 g j X j et d i X j0 g j X j =g i :

Pour illustrer es notions nous allons maintenant denir une lasse d'elements de l

2

(P) : la lasse des ve teur exponentiels.A toutefon tion u de l 2

(N) onasso ie unelement e(u) de l

2

(P) de la maniere suivante:

e(u)(M)= Y

et en parti ulier e(u)(;)=1. La fon tion e(u) ainsi denie est bien un element de l

2

(P) d'apresl'inegalite

n! X jAj=n    Y i2A ju(i)j    2  X i0 ju(i)j 2 ! n ;

valable pour tout n et qui entra^ne que ke(u)k 2

 e k uk

2

. Remarquons que l'on n'a pas en revan he de formule simplepour un produit s alaire he(u);e(v)i.

La de omposition tensorielle (1.2.1) de e(u) dans T i

T [i

s'e rit aussi tres simplement: en eet, un ve teur exponentiel e(u)verie pour tout i

e(u)=e(u i

)e(u [i

);

ou, ommepour lesensembles, nous notonsu i

la restri tionde ua f0;:::;i 1get u

[i

sa restri tion a fi;:::g. On a par ailleurs pour tout i

p i e(u)=e(u i ) et d i e(u)=u(i)e(u i );

d'oula representation previsible de e(u) :

e(u)=+ X i0 u(i)e(u i )X i :

On notera E l'ensemble des ve teurs exponentiels.

Remarque

Le le teur familier ave l'espa e de Fo k a temps ontinu  sait que, outre leurfa ilitedemanipulation,lesve teurs exponentiels ontl'avantagede formerune famille totale et libre. On voit fa ilement que les ve teurs exponentiels de T tels quenouslesavonsdenisformentunefamilletotaledans(toutve teurX

A

s'e rit omme ombinaison lineaire de ve teurs exponentiels; voir par exemple4.2.2 dans le hapitre 4). En revan he une famille nie de ve teurs exponentiels n'est plus for ement lineairement independante. Si par exemple on prend u = 0, v egal a la suite donttous lestermes sontnuls sauf lepremier quivaut 1 etwegal a 2v,on a

e(u) 2e(v)+e(w)=0:

On voit fa ilement que 'est l'atomi ite de la mesure onsideree dans l 2

(N) qui ause ette dieren e : i i u, v, w sont distin ts mais ne dierent qu'en un point ( e qui ne pourrait se produire s'ils etaient elements de L

2 (R

+

ve teurs exponentiels qui leur sont asso ies sont lineairement independants. De la m^eme maniere, 'est l'atomi ite de la mesure qui fait qu'on n'a qu'une inegalite ke(u)k

2 e

kuk 2

etpas de formule simple pour he(u);e(v)i : ontrairement a e qui sepasse en temps ontinu, lesdiagonales de N

2

par exemple ne sont pas de mesure nulle.

1.3 Denition du al ul sto hastique quantique a

temps dis ret

Le al ul d'It^o abstrait que nous avons deni est une stru ture pratique pour parlerdes ve teurs de l'espa e de Fo k; nous allonsnous tourner apresent vers les operateurs de et espa e.

1.3.1 Operateurs fondamentaux

Nous ommen ons par denir une famille parti uliere, appelee a jouer un r^ole important:lesoperateursde reation (a

+ i ) i0 ,annihilation (a i ) i0 et onservation (a Æ i ) i0 .

Denition 1.3.1 Pour tout entier naturel i on denit trois operateurs bornes a + i , a i , a Æ i sur T par a + i X A =  X A[fig si i62A; 0 sinon, a i X A =  X Anfig si i2A; 0 sinon, (1.3.1) a Æ i X A =  X A si i2A; 0 sinon.

Les operateurs ainsi denis sont bornes, de norme 1; on lesetend don a T tout entier.Pourdesraisonsd'homogeneitedesnotationsonnoteraparfoisa

 i

l'operateur identite Id .

On remarque immediatement que a Æ i

s'exprime simplement omme le produit a

+ i

a i

et que es operateurs a + i

,a i

verient une relation d'anti ommutation

a + i a i +a i a + i =Id;

equ'ilfautrelieraufaitqueTpeutaussi^etre onstruit ommeunespa ede Fo k antisymetrique. On peut remarquer que les operateurs de reation et annihilation

surunespa edeFo kantisymetrique;ilsn'endierent ependantqueparun signe, et ela de telle maniere que larelation d'anti ommutationreste satisfaite.

L'inter^et de denir es a  i

,  = +;Æ; vient des observations suivantes : dans une de omposition de l'espa e T de la forme

T=T i T fig T [i+1 ;

les operateurs a  i ,  2 f+; ;Æ;g s'e rivent Ida  i Id. De plus, T fig est iso-morphe a C 2

; l'ensemble des operateurs lineaires de la forme Id a  i

Id dans ettede ompositiontensorielle estdon de dimension4et, sionleur adjoint l'iden-tite, les operateurs a

+

, a , a Æ

forment une base de et ensemble. Ils s'identient respe tivement, dans labase ;X de C

2 ,aux matri esde M 2 (C)  0 0 1 0  ;  0 1 0 0  ;  0 0 0 1  :

Pour toute partie nie B de N, tout 2f+; ;Æg ondenit a  B = Q i2B a  i .Ces operateurs verient

a + B X A =  X A[B siB \A =;; 0 sinon, a B X A =  X AnB siB A; 0 sinon, (1.3.2) a Æ B X A =  X A siB A; 0 sinon.

Nous allons simplier l'e riture de es operateurs en faisant une onvention de notationsupplementairequinousserviratout aulongde ettethese.Nousnoterons simplement a + B X A = X A+B a B X A = X A B

en onsiderant que toute quantite dans laquelle intervient A+B (respe tivement A B) est nulle siA\B 6=; (respe tivement B 6A); en pratique ela reviendra simplementa restreindre des ensembles de sommation : par exemple, C etant xe, unesomme

P A+B=C

est l'ensemble dessommessur lesA, B disjointsetdereunion C.

Tout d'abord, du al ul a + A a Æ B a C X M =  X M+A C siB M; zero sinon

pour un triplet A;B;C disjoint,on deduitfa ilementque lafamille  a + A a Æ B a C ; A;B;C disjointsetdans f0;:::;i 1g (1.3.3)

forme une base de l'espa e ve toriel des operateurs bornes sur T i

(nous devrions e rire :de l'ensembledes hId pour h borne sur T

i ). En utilisant le fait que a

+ A a Æ B a C = a + A+B a B+C

pour tous A;B;C on voit par ailleursque  a + A a B ;A;B dans f0;:::;i 1g (1.3.4)

onstitue une autre base du m^eme espa e.

Par ailleurs, on remarque fa ilement diverses relations, d'une part on ernant lesoperateurs a

 i entre eux : (a + i )  =a i et (a Æ i )  =a Æ i ;

et d'autre part entre es operateurs et les operateurs du al ul d'It^o abstrait : on a d i = p i a i

. Nous pourrions don simplier nos notations et reduire le nombre d'objets onsideres; nous onservons ependant tous es objets pour souligner les analogiesave le as du temps ontinu.

En ombinant les deux remarques i-dessus, on remarque en ore que (d i )  = a + i p i

. Comme pour tout f dans T on a a + i p i f =(p i f)X i , on a un e lair issement sur l'identite (1.2.6)et sur d'autres relations de dualiteque nous observerons plus tard.

Exemples

 Un operateur de multipli ation M p X

i

par X i

pour le produit asso ie a une valeurde psede ompose luiaussi en IdM

p X

i

Id . Il est fa ilede verier a partirdes formules (1.3.1) etde (1.1.2)que M

p X i peut s'e rire M p X i =a + i +a i + p a Æ i :

 Uneautre base de C 2

est plus lassique: 'est labase formee des matri es de Pauli  x =  0 1 1 0   y =  0 i i 0   z =  1 0 0 1  (1.3.5)

etde lamatri e identite.Sil'on note a +

, a , a Æ

lesoperateurs a + i ,a i , a Æ i vus ommeagissantsur C

2 ,alors on a a + = 1 ( x i y ) a = 1 ( x +i y ) a Æ = 1 (Id  z ) (1.3.6)

Onvas'interesserdanslasuiteaunanalogue,pourlesoperateurs,delarepr esen-tation previsible (1.2.4).

1.3.2 Denition de l'integrale sto hastique a temps dis ret

Nous allons dis uter un type de representation analogue aux representations previsiblesmais on ernant lesoperateurs. Pour ela nousdevons d'aborddenirla notion de previsibilite d'un operateur.

Considerons le as d'une variable lassique f, ou plut^ot de l'operateur de mul-tipli ationM

f

qui luiest asso ie dans une interpretation probabilistequel onque; on voit fa ilement que, si f est i-previsible, alors l'operateur M

f s'e rit M f Id dans T i T [i

. C'est de ette propriete que nous nous inspirons pour denir la previsibilite au temps i d'un operateur de T; ette denition peut para^tre etonnammentsimple en regardde elle qu'ilfaut onsiderer en temps ontinupour ne pas restreindre son domaine de validite. La dieren e est qu'i i la previsibilite permet de seramener essentiellement ala dimensionnie, etque onsiderer, en di-mensionnie,des operateurs nonbornestientd'unesubtilitequiserait i igratuite. Le Lemme 1.3.3 qui suit la denition fait le lien entre notre denition de la previsibilite et la denition plus algebrique que l'on obtiendrait en retrans rivant me aniquement lesdenitions onsiderees par Attalet Lindsay.

Denition 1.3.2 Un operateur h de T i

est dit i-previsible s'il est de la forme hId dans T

i T

[i .

Onvoitenparti ulierquetoutoperateuri-previsiblepeut^etreetenduenunoperateur borne; 'estpourquoi,danslasuite(al'ex eptiondulemmesuivant),toutoperateur i-previsible sera onsidere ommeborne.

Lemme 1.3.3 Un operateur h sur T qui satisfait aux onditions suivantes :  Son domaine Domh est stable par p

i

et par tous les operateurs d j

, j i.  Les egalites suivantes sont veriees sur Domh :

hp i = p i h et hd j = d j h pour tout j i

peut ^etre etendu en un operateur previsibleau sens de la Denition 1.3.2.

Exemples

 Tout operateur de multipli ation dans une interpretation probabiliste quel- onque par une variablealeatoirei-previsible est un operateur i-previsible.  Toutoperateurquiest ombinaisonlineaired'operateursa

+ A a Æ B a C pourA,B,C ontenusdans f0;:::;i 1gest i-previsible.Onpeut voirgr^a ealaremarque

On voit deja a quel pointla ombinaisondes notionsd'adaptation etdu temps dis retpermetde simplierlesproblemespar rapport au as usuel.

Nousallonsmaintenantdenirdemaniererigoureuselesintegralessto hastiques quantiques atempsdis ret.On veut quede tellesintegrales forment desanalogues, pour lesoperateurs, de larepresentation previsible des ve teurs;onveutdon pou-voire riredesoperateurssouslaformedeseries

P i h i a i ouletermeh i a i represente l'a tion\autempsi".Ilestalorsnatureldevouloirquea

i

soitunoperateuragissant sur T

fig

uniquement, et que les operateurs integres h i

n'agissent que sur T i

; or nous avons deja vu que la famille Id, a

+ i , a i , a Æ i

forme une base de l'ensemble des operateurs quis'e rivent Ida

i Id dans T i T fig T [i+1 .

Nous onsideronsdon lesrepresentationsquinousinteressent ommedes\series" (en un sens a pre iser) d'operateurs h

i a

i ouh

i

est i-previsible eta i est Id , a + i , a i , a Æ i

. Ce i explique l'inter^etde notre onvention de notation a  i

=Id pour tout i. On appellepro essusprevisible un pro essusd'operateurs (h

i )

i0

telque haque h

i

est i-previsible.Rappelonsquenous onsidereronstoujoursun operateuri-pr evi-sible ommeborne.

Denition 1.3.4 Soit  dans f+; ;Æ;g. Pour tout pro essus previsible (h  i )

i0 , on denit l'integralede (h

 i ) i0 par rapport a a  omme la serie P i0 h  i a  i , au sens o u :  Dom P i h  i a  i

est l'ensemble des f 2T tels que ( pour tout M 2P; P i0 jh  i a  i f(M)j<+1 M 7! P i0 h  i a  i

f(M) est alors de arre integrable.

 P i h  i a  i

f est deni par  X i h  i a  i f  (M)= X i0 h i a  i f(M) pour tout M de P.

Remarquons { ela nous sera utile dans lasuite { que la ondition de sommabilite  aM xe P i jh  i a  i

f(M)j<+1 est trivialepour  egal a + ouÆ.

Il sera pratique, pour enon er ertainsdes theoremes a venir, de onsiderer des integralesrestreintes, auxproprietesanalytiques plus maniables.

Denition 1.3.5 Soit  dans f+; ;Æ;g. Pourun pro essus previsible(h  i )

i0 on denit l'integrale restreinte

P i R h  i a  i

omme la restri tion de l'integrale P i h  i a  i  a l'ensemble des ve teurs f de Dom

P i h  i a  i tels que M 7! X i0 jh  i a  i f(M)j

Lien ave une denition Attal-Lindsay des integrales Il est fa ilede voir apartir des formules (1.3.1), que  la quantite a

+ i

f(M) est non nulle seulement si i 2 M et qu'alors a + i

f(M) = f(M i).On adon pour tout M de P,

X i h i a + i f(M)= X i2M h i f(M i);

'est-a-direque P i h + i a + i

f est\l'integralede Skorohod"(voir[Bel℄ou[A-L ℄) de (h + i f) i0 .

 l'operateur de gradient previsible d i

est egal ap i

a i

, don pour tout M de P, X i h i a i f(M)= X i h i f(M +i);  l'egalitea Æ i =a + i a i

etlesdeux remarques impliquentque pour tout M de P, X i h i a Æ i f(M)= X i2M h i f(M)

et dans es trois egalites il est equivalent que l'un ou l'autre des termes forme une serie sommable et denisse un elementde l

2

(P) .Les integrales quenous avons denies sont don exa tement les tradu tions en temps dis ret des integrales au sens de Attalet Lindsay (voir[A-L ℄).De m^eme, lesintegrales restreintes que nous denissons sont lesanalogues des integralesrestreintes de Attalet Lindsay.

En parti ulier, es integrales se manipulent exa tement de la m^eme maniere quelesintegrales atemps ontinu du typeAttal-Lindsay,ave e i de dierentque nous onsiderons nos integrandes h

i

ommebornesetqu'une onditionde domaine estpar onsequentsupprimee. Cette onditionest ependant la onditionla\moins liee"al'integraleelle-m^eme:onpeuttoutautant,entemps ontinu,serestreindrea des integrales de pro essus d'operateurs bornes. Il est don possible de retrans rire me aniquement des preuves on ernant les integrales sto hastiques quantiques a temps ontinuetd'obtenirainsiapeu defraisdesproprietesimportantessatisfaites par nos integrales.

Nous donnerons trois telles proprietes. La premiere est la formule d'Hudson et Parthasarathy de rivant l'a tion d'une integralesto hastique sur ledomaine expo-nentiel; es formules nous seront utiles dans nos pro edures d'approximation. La se onde de es proprietes est une ara terisation des integrales restreintes omme solutions d'espe es d'equations dierentielles, qui montre que nos integrales res-treintessontlestrans riptionsentemps dis retdesintegralessto hastiques ausens deladenitionAttal-Meyer.Cetteformulationaledefautdedonneruneexpression moins expli ite de l'a tion d'une integrale sto hastique mais ondense de maniere

enon erons est la formule d'It^o qui donne une expression de la omposition de deux integrales sto hastiques quantiques etnous interessera parti ulierementdans le hapitre 4.

Il est fa ile, dans notre adre a temps dis ret, d'obtenir a haque fois, les ex-pressions voulues par des al uls formels; la diÆ ulte porte sur des questions de domainequi alourdissent lesdemonstrations de dis ussions peu instru tives. Il n'y avaitdon quepeud'inter^etadonnerlespreuvesi i.Puisqueparailleurs elles- ise deduisent demanieresystematiquedu as atemps ontinu,ellesn'apparaissentpas non plus dans l'arti le [Pt2℄. Le le teur qui voudra des demonstrations ompletes pourra se reporter a [A-L℄; il n'y a presque au un hangement a ee tuer pour obtenirdes preuves dans notre adre atemps dis ret.

Proposition 1.3.6 (Proposition 1.7 de [Pt2℄) Soit  2 f+;Æ; ;g et soit un pro essus previsible (h

 i )

i0

. Supposons qu'un ve teur exponentiel e(u) soit dans le domaine de l'integralerestreinte

P i R h  i a  i

; alors pour tout v de l 2 (N) on a he(u); X i0 h + i a + i e(v)i = X i0 u(i)he(u1l 6=i );h + i e(v)i si =+ he(u); X i0 h i a i e(v)i = X i0 v(i)he(u);h i e(v1l 6=i )i si = he(u); X i0 h Æ i a Æ i e(v)i = X i0 u(i)v(i)he(u1l 6=i );h Æ i e(v1l 6=i )i si =Æ he(u); X i0 h  i a  i e(v)i = X i0 he(u);h  i e(v)i si =

o u, dans haque as, la serie est sommable et o u u1l 6=i

par exemple represente la suiteegale a u, sauf pour le i-eme terme qui vaut zero.

Laproprietesuivanteestla ara terisationdetypeAttal-Meyerdenosintegrales restreintes :

Proposition 1.3.7 (Proposition 1.8 de [Pt2℄) Soit  dans f+;Æ; ;g et soit (h

 i )

i0

un pro essus d'operateurs previsibles sur T. Alors P i R h  i a  i

peut aussi ^etre de rit omme l'unique operateur h veriant

hf = X i0 h i d i fX i + X i0 h + i p i fX i si =+; hf = X i0 h i d i fX i + X i0 h i d i f si = ; hf = X h i d i fX i + X h Æ i d i fX i si =Æ;

hf = X i0 h i d i fX i + X i0 h  i p i f si =; o u h i = P j<i h  j a  j

et o u une egalite i-dessus signie que  un ve teur f est dans le domaine de h siet seulement si

{ (h i d i f) i0

est It^o-integrable et

{ la ondition similaire de sommabilite (It^o integrabilite ou sommabilite sui-vant ) de la se onde somme est veriee

 l'egalite est veriee.

Ave nos denitions de l'integrale sto hastique on obtient la formule fonda-mentale suivante, qui donne la representation integrale de la omposition de deux integrales sto hastiques quantiques. Cette formule, la formule d'It^o, etend la for-mule de omposition de deux variables aleatoires lassiques si on identie elles- i 

a des operateurs de multipli ation.

Theoreme 1.3.8 (Theoreme 1.9 de [Pt2℄) Soient ; 2 f+;Æ; ;g; soient (h  i ) i0 et (k  i ) i0

deux pro essus d'operateurs previsibles sur T. Alors

X i0 R h  i a  i X i0 R k  i a  i X i0 R h  i k i a  i X i0 R h i k  i a  i X i0 R h  i k  i a : i ; (1.3.7)

est une restri tion de l'operateur nul, o u a : est simplement a  a  . Si les deux premieres integrales sont partout denies, alors l'operateur (1.3.7) est l'operateur nul. Dansle as ou= et =+, onaa : =a  a Æ

, etleresultatest vraia fortiori si laderniere integrale est rempla ee par deux integrales.

Un al ul formel sur le produit de series P i h i a  i P j k j a  j permet d'obtenir immediatementlaformules i-dessus.Ilest ependantevidentquel'onnepeuteviter de dis uterlesdomaines devaliditedesdiversesseries;pour ela, la ara terisation sous formeAttal-Meyer(voir(1.3.7)) est ne essaire.

Notons que a :

est donne par letableau suivant:

 Æ +  0 a a  a Æ a Æ 0 a Æ a + a Æ + a Æ 0 0 a +  a a Æ a + a  (1.3.8)

1.4 Espa es de Fo k a temps dis ret de

multipli- ite superieure a 1

Nous denissons dans ette se tionles espa es de Fo k a temps dis retde mul-tipli itesuperieure a 1.

Ilestfa iledemotiverphysiquementl'introdu tiond'unespa edeFo katemps dis retde multipli iteN :si l'onveut onsidererune ha^ne de parti ules quin'ont plusseulementdeuxniveauxd'energiemais,parexemple,N+1niveaux, ilnousfaut onsiderer l'espa e d'etat

O

N C

N+1 ;

que nous appelerons espa e de Fo k a temps dis ret de multipli ite N (et pas de multipli ite N +1). L'inter^et de faire appara^tre es espa es dans un adre pro-babiliste est en revan he moins evident; 'est e que nous allons dis uter dans la partie1.4.1,ounousnous antonnons auxespa esde Fo kde multipli iteniepour rappeler les resultats exposes dans [AP2℄. Dans la partie 1.4.2 en revan he nous donnons en revan he les denitions les plus generales et de rivons l'analogue, sur es espa es, de la theorie que nous avons detaillee en multipli ite1.

1.4.1 Espa e de Fo k asso ie a une mar he aleatoire

Soit X une variable aleatoire sur un espa e (A;A;P), a valeurs dans R N

qui prendN +1valeurs exa tement(au sens ouelleprend ha une de es valeurs ave une probabilitenon nulle), es valeurs engendrant tout l'espa eR

N ;nous noterons X 1 ;:::;X N

lesvariables oordonneesdeXdanslabase anonique.Pour normaliser leproblemeonsupposeque ettevariablealeatoireest entreeetreduite, 'est-a-dire que E(X i )=0 pour tout i=1;:::;N E(X i X j )=Æ i;j :

Consideronsunesuite(X n

) n0

de opiesindependantesdeXrealiseeparexemple sur (A N ;A N ;P N

); on voit alors (Proposition 4 de [AP2℄) que l'on obtient na-turellement une base de l'espa e L

2 (A N ;A N ;P N

) en onsiderant les variables aleatoires X M = Y (n k ;i k )2M X n k i k

ou M de rit l'ensemble des parties nies de N f1;:::;Ng. On a don bien fait appara^tre l'espa e de Fo k a temps dis ret de multipli ite N, analogue a l'espa e

Dans le as simple ependant, l'inter^et de ette onstru tion residait dans le faitqu'elle permettait de faire ohabiter touteslesinterpretationsprobabilistesqui orrespondaientaudierentesvaleursprisesparun parametrep2℄0;1[.Ilest moins lair que l'on va pouvoir onserver une distin tion entre les dierents hoix de la variable X; ela de oule en fait des resultats suivants (exposes omme Theoremes 2 et3 dans [AP2℄mais prouvesinitialementdans [A-E℄):

Theoreme 1.4.1 Soit X une variable aleatoire omme i-dessus. Alors il existe une famille (T

i;j k

)

i;j;k=1;:::;N

de s alaires telle que pour tout i;j dans 1;:::;n,

X i X j =Æ i;j + N X k=1 T i;j k X k (1.4.1) et la famille (T i;j j

) a les deux proprietes de symetrie suivantes :  la fontion (i;j;k)7!T

i;j k

est symetrique,  la fon tion (i;j;l;m)7! P N k=1 T i;j k T l ;m k +Æ i;j Æ l ;m

est symetrique. Inversement toute famille (T

i;j k

) i;j;k

veriant es proprietes denit une unique variable aleatoire X entree reduite omme i-dessus.

C'est don lafamille(T i;j k

) i;j;k

qui vajouer ler^oledu parametrep du as simple (ou plut^ot de

p

: l'equation (1.1.2) est l'analogue dans l'espa e T simple de (1.4.1));enparti ulieratoutetellefamille{nousdironsen oreinterpretation proba-biliste {sera asso iee unproduitdierent.Nousdonnons plusloinlarepresentation integraled'un operateurde multipli ationpar X

i k

dans une interpretation probabi-liste, de m^eme que nous l'avons fait en 1.3.1 pour le as simple.

1.4.2 Espa es de Fo k a temps dis ret de multipli ite quel- onque

Nous denissons de maniere plus generale les espa es de Fo k a temps dis ret de multipli itesuperieure a 1.Un tel espa e est asso ie aun espa e de multipli ite quisera un espa e de Hilbert K ,eventuellement de dimension inniemais toujours separable. Le as de multipli itenie N se retrouvera en hoisissantK=C

N . On xeunebase hilbertienne(e

 )

2

de K;noussupposonspar ommoditeque l'indi ezero 0n'appara^tpasdans .OnpeutidentierKaC



;ilest alorsnaturel de denir T(K ) ommel'ensemble des fon tions sur P

 , ouP



est l'ensemble des parties nies de N  sur lesquelles la proje tion sur la premiere oordonnee est inje tive :autrement dit, un elementde P



est un ensemble ni

f(i 1 ; 1 );:::;(i n ; n )g

Une base naturelle est ainsi donnee par l'ensemble fX A ;A 2 P  g; pour i  0 et  2 , nous noterons X  i plut^ot que X fi;g

, ela a la fois pour des questions de lisibiliteetpour soulignerl'idee que les(X

i; )

i0

devraientpouvoir^etre interpretes ommedes pro essus independants dansune interpretation probabiliste.Pour sim-plier lesnotations dans la suite onnotera parfois X

i;0 ou X

i 0

le ve teur . On a exa tement ommeavantune de ompositiontensorielle

T(K )'T(K ) i T(K ) [i : I i T(K ) i

s'identie a l'ensemble des fon tions de l 2

(P 

) qui ont un support dans f0;:::;i 1g, 'est-a-direqu'unelementf deest dansT(K )

i sietseulement sif verie f(A)=0des queA 6f0;:::;i 1g; l'espa e T(K ) [i

s'identie de m^eme al'ensemble desfon tions de l 2

(P 

)asupport dans fi;:::g.

On denit don omme dans le as pre edent un operateur p i

de proje tion orthogonalesur T(K )

i

etonappellepro essus previsible de ve teurs toutefamille (f i ) i0 ave f i 2 T(K ) i

pour tout i  0. Il doit exister a la pla e du gradient previsible d

i

, toute une familled'operateurs : en eet, si l'on onsidere un ve teur f de T(K ), tout (p

i+1 p

i

)f va s'e rire sous la forme X 2 d  i fX  i :

Il faut don , sil'on veut onserver une representation previsible de lam^eme forme quedansle asde l'espa e deFo ksimple,denirunefamilled'operateurs d

 i

.Pour tout 2, onnotera ainsi d

 i

l'operateur deni par

d  i f(A)=  f(A[fi;g) siA f0;:::;i 1g 0 sinon. L'operateur p i

, que l'on notera parfois d 0 i

pour simplier nos notations, s'exprime par p i f(A)=  f(A) si Af0;:::;i 1g 0 sinon.

On a alors les formules suivantes, qui expriment la propriete de representation previsible dans T(K ) : pour tout f 2T(K ),

f =f(;)+ X 2 X i0 d  i fX  i : et kfk 2 =jf(;)j 2 + XX d  i f 2 :

Nousn'avonspasdetailleladenitiondel'integraled'It^o; elle- inepose ependant pasdeproblemeanalytique:pourf

i 2T(K ) i ,f j 2T(K ) j et;2,lesve teurs f i X  i etf j X  j

sont orthogonaux a moinsque (i;)=(j;).

Il existe aussi plus d'operateurs fondamentaux que dans le adre de l'espa e de Fo k simple : pour tout i on denit des operateurs de reation, annihilation et onservation asso ies a haque  2  ainsi que des operateurs d'e hange. Nous allons utiliser a nouveau des onventions de notation du type A+B, A B pour des elements A, B de P



.Pour toute paire d'elements A, B de P 

, on note A+B l'element A[B si lesproje tions sur N de A et B sont disjointes, la grandeur qui porte A+B en indi eetant nullesinon. C'est-a-dire quesi

A=f(i 1 ; 1 );:::;(i m ; m )g et B =f(j 1 ; 1 );:::;(j n ; n )g alorsA+B est A[B sifi 1 ;:::;i m getfj 1 ;:::;j n

gsontdisjoints.On noteraA B l'elementAnB siB A,la grandeur qui porte A B en indi eetantnullesinon. Ave es notations nous pouvons denir plus simplement les operateurs fonda-mentaux : pour i  0,  2 , on denit a

+ i; , a i; , a Æ i;

omme dans le as simple par a + i; X A =X A+fi;g ; a i; X A =X A fi;g a Æ i; X A =a + i; a i; X A ; e qui donne a Æ i; X A =X A

si(i;)2A etzero sinon.

Ces operateurs sont alors bornes de norme 1 et on peut les etendre a l'ensemble de T. On denit par ailleurs, pour  6= dans , i xe, les operateurs d'e hange de  a  par a

+ i;

a i;

; es operateurs agissent en ore sur T(K ) fig uniquement et transformentX  i en X  i

, annulant tout autre ve teur de T fig

. Il sera utile d'homogeneiser les notations : nous noterons a

0; i

les operateurs de reation, a

;0 i

les operateurs d'annihilation et a ; i = a 0; i a ;0 i

les operateurs de onservation oud'e hange. On souhaitealors denir une integrale par rapport aux pro essus(a

; i

) i0

.I i ependantl'existen ed'uneinnitedetypesd'integralesnous oblige adenir X ;2[f0g X i h ; i a ; i

omme un tout pour prendre en ompte les questions de sommabilite suivant , . Pour une famille

 (h ; i ) i0 

l'integraleasso iee est denie, omme en 1.3.4, ommel' operateur X ;2[f0g i2N h ; i a ; i ;

au sens ou, omme pre edemment, le domaine est l'ensemble des f de T(K ) tels que  pour tout A2P I , X ;2[f0g i0 h ; i   a ; i f(A)    <+1  lagrandeur X ;2[f0g (;)6=(0;0) X i0 h ; i a ; i f(A)

denit une fon tion de arresommable en A. Commepre edemment ondenit l'integralerestreinte

X ;2[f0g X i2N R h ; i a ; i ;

omme la restri tion de l'integrale pre edente au domaine onstitue de l'ensemble des f tels que

A7! X ;2[f0g X i0   h ; i a ; i f(A)   

est de arreintegrable.

Exemple Soit(X

n )

n0

unemar healeatoiredansR N

ommedanslase tion1.4.1.L'op era-teur de multipli ationpar X

i n

dans l'interpretation probabilisteasso iee a (X n ) n0 s'e rit a 0;i n +a i;0 n + X j;k T j;k i a j;l : (1.4.2)

Nous n'allons pas enon er les analogues dans e as de tous les resultats que nous avons mentionnesdans le as de l'espa e de Fo k a tempsdis ret simplemais allons nous ontenter de donner la formule d'It^o dans e adre, formulequi prend une formeagreablement ompa te ave nos onventions de notation.

Theoreme 1.4.2 (Formule d'It^o pour les integrales sur T(K )) Soient

h= X X R h ; i a ; i

et k= X ;2[f0g X i0 R k ; i a ; i

deux integralesrestreintes sur T(K ). Alors l'operateur

hk X ;2[f0g X i0 R h i k ; i a ; i X ;2[f0g X i0 R h ; i k i a ; i X ;2[f0g X 2 X i0 R h ; i k ; i
a ; i a ; i