L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2009-2010 Contrˆole continu
Dur´ee : 1h Documents et calculatrices interdits.
Exercice 1 (Question de cours) Enoncer le th´eor`eme de Kuhn Tucker g´en´eralis´e et sa r´eciproque.
Exercice 2 Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonc- tion suivante soit convexe
f(x, y) =x2+y2+axy.
Exercice 3 R´esoudre le probl`eme d’optimisation
inff(x, y) =x+y, sous la contrainte x2+y2 ≤1.
Exercice 4 On dispose de 3 produits X, Y et Z dont le poids par unit´e est de2 kg pourX,0.5 kg pourY et1 kg pourZ. On suppose que le poids total doit ˆetre de 20 kg. L’indice de satisfactionU de ces produits est donn´e par la fonctionU =x2yz, o`u xest la quantit´e de produit X, et de mˆeme pour y et z.
1. D´eterminer le maximum de U sous la contrainte de poids (On justifiera d’abord l’existence d’un maximum).
2.On suppose de plus que le volume total est limit´e `a40 L et que le volume par unit´e est de4 L pour X, de 2/3 de L pourY et de 3L pour Z. Trouver la combinaison optimale sous ces deux contraintes.
El´ ements de correction
Exercice 1
Voir cours : Th´eor`eme 6.4 et r´eciproque dans le cas convexe.
Exercice 2
On calcule le Hessien et on regarde les mineurs qui doivent ˆetre tous positifs, ce qui donne 4−a2≥0 i.e −2≤a≤2.
Exercice 3
On poseg(x, y) =x2+y2−1. La contrainte est la fonction ´etant convexes, on cherche une solution `a l’´equation de Kuhn Tucker. Si on trouve une solu- tion, on aura obtenu le minimum. On cherche donc λ≥0,x, y satisfaisant
1 + 2λx= 0, 1 + 2λy= 0, λ(x2+y2−1) = 0.
Siλ= 0, on ne trouve pas de solution, donc on peut supposer λ >0. Dans ce cas, on a alorsx2+y2= 1 et x=−2λ1 ,y=−2λ1 , ce qui donne 4λ22 = 1 et donc on obtient λ= √1
2 ≥0, x =y =−√1
2, comme solution. Le minimum est donc atteint pourx=y =−√1
2 et vaut−√ 2.
Exercice 4
1. On pose f(x, y, z) = −x2yz etg(x, y, z) = 2x+y/2 +z. On cherche donc `a minimiser f sous les contraintes g(x, y, z) = 20 et x y, z ≥ 0. Il existe bien un minimum, carU ={(x, y, z), g(x, y, z) = 20, x, y, z≥0} est compact (ferm´e et born´e : il est inclus dans [0,20]3). Les contraintes affines
´etant qualifi´ees, le minimum est alors solution de l’´equation de Kuhn-Tucker.
On a
∇f(x, y, z) = (−2xyz,−x2z,−x2y), et il existeλ∈R,µ1, µ2, µ3 ≥0 tels que
−2xyz+ 2λ+µ1= 0, −x2z+λ/2 +µ2= 0, −x2y+λ+µ3 = 0, 2x+y/2 +z= 20, µ1x=µ2y=µ3z= 0.
Six = 0 ou y = 0 ou z = 0, ce n’est pas un minimum (on peut choisir des valeurs x, y, z telles que f soit strictement n´egatif). On a alors µ1 =µ2 = µ3= 0. On trouve alorsz=y/2 puisx+z= 10, puisλ= 2(10−z)z2, puis (10−z)2z= (10−z)z2, soit 10−z=z, puisqueznon plus ne peut ˆetre nul et doncz= 5, puisx= 5 ety= 10 et c’est donc l’unique point en lequel on a le minimum.
2.On poseg2(x, y, z) = 4x+ (2/3)y+ 3z= 40. On obtient alors de mˆeme
−2xyz+ 2λ+ 4µ= 0, −x2z+λ/2 + (2/3)µ= 0, −x2y+λ+ 3µ= 0, 2x+y/2 +z= 20, 4x+ (2/3)y+ 3z= 40, que l’on r´esoud et o`u l’on trouve une unique solution qui correspond au minimum :
x= 5, y= 12, z= 4, λ= 120, µ= 60.
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