Notions d’´electrocin´etique

Chapitre V

N otions d ’´ electrocin etique ´

a . Densité de courant, intensité

Nous avons jusqu’ici considéré uniquement des charges statiques, lesquelles sont seulement sources du champ électrostatique. L’expression du champ électrique change lorsque les charges sont en mouvement.

Par ailleurs, les courants de charges sources produisent non seulement un champ électrique, mais aussi un champ magnétique, lequel se traduit par une force magnétique exercée sur une charge test en mouvement.

Il est donc nécessaire de quantifier la notion decourant de charges.

Soit S une surface orientée. On appelleintensité électriqueIS la valeur de la charge traversant S par unité de temps, comptée positivement si elle franchitSdans le même sens que l’orientation de la surface, et négativement sinon. Si ¯dQS est la charge traversantSpendant dt,

IS = ¯dQS

dt . (V.1)

Considérons un milieu contenant différents types de porteurs de charges et calculons l’intensité ¯dI tra- versant une surface élémentaire ¯dSorientée selon un vecteur�n. Notonsνkla densité volumique de porteurs de typek,qk leur charge individuelle et�vkleur vitesse par rapport à un référentiel dans lequel ¯dS estfixe.

Projetons ¯dSsur le plan perpendiculaire à�vket notons ¯dS⊥la surface projetée ainsi que l’aire de celle-ci. Les charges de typektraversant ¯dSentret−dtettsont dans l’espace compris entre ¯dSet le translaté par−�vkdt de ¯dS. Le volume ¯d²τ_k^※1 de cet espace est le même que celui entre ¯dS_⊥ et le translaté par −�vkdtde cette surface, donc ¯d²τk=vkdt ¯dS_⊥, oùvk=��vk�. Il contient une charge ¯d²Qk=νkqk ¯d²τk.

Notons α l’angle entre �vk et �n. Supposons α∈[0,π/2] : on a alors ¯dIk= +¯d²Qk/dt car la charge ¯d²Qk

traverse ¯dSdans le sens de+�n; par ailleurs,αest aussi l’angle entre ¯dSet ¯dS_⊥, doncvk ¯dS_⊥= +vk ¯dScosα=

�vk· ¯d�Set ¯dIk=νkqk�vk· ¯dS. Inversement, si� α∈[π/2,π], ¯dIk=−¯d²Qk/dtcar la charge ¯d²Qk traverse ¯dSdans le sens de−�n; mais comme on a alorsvk ¯dS_⊥=−vk ¯dScosα=−�vk· ¯d�S, on retrouve la même expression pour

¯dIk que dans le cas oùα∈[0,π/2].

Dans tous les cas,

¯dIk=�k· ¯dS,� (V.2)

où

�k=ν_kqk�vk (V.3)

est la densité volumique de courant des porteurs de type k. En faisant la somme sur tous les types, on obtient

¯dI=�

k

¯dIk =�· ¯d�S, (V.4)

où

�=�

k

�k. (V.5)

En termes de densité volumique de charge�k=νkqk des porteurs de typek, on obtient

�=�

k

νkqk�vk=�

k

�k�vk. (V.6)

1. La notation ¯d²x(ou d²xpour une différentielle, c.-à-d. pour une variation infinitésimale) désigne une quantité infinitésimale du second ordre, pas le carré d’une quantité (ou variation) infinitésimale du premier ordre (celle-ci serait notée ¯dx² ou dx²). Ainsi,

�

S ¯d²Qkest la charge ¯dQk(portée par les particules de typek) traversant la surfaceSpendant dt.

Remarquer qu’on peut très bien avoir un courant dans un corps neutre. Plus généralement, si les porteurs de typekn’ont pas tous la même vitesse,�=�

k�_k��vk�, où�·�désigne la valeur moyenne.

L’intensité à travers une surface orientéefinieSest IS =

�

S

¯dI. (V.7)

Montrons que, pour un système localement neutre en tout point, la densité volumique de courant est indépendante du référentiel. Rappelons que la vitesse d’un porteur de charge situé en un pointMest donnée par

(�vk)/R=(�vk)/R^�+�ve(M), (V.8) oùRetR^� sont deux référentiels,�ve(M)=�v/R(O^�)+ω�R^�/R×−−−→O^�Mest la vitesse d’entraînement deM,O^� est l’origine d’un repère deR^�etω�R^�/R est la vitesse angulaire deR^�par rapport àR. En un pointM,

�/R=�

k

�k(�vk)/R=�

k

�k(�vk)/R^�+��

k

�k

��ve(M)

=

�

k

�_k(�vk)/R^� (puisque le métal est neutre)

=�/R^�. (V.9)

Calculons�dans un corps métallique neutre (il est donc inutile de préciser le référentiel). Celui-ci contient deux types de porteurs de charges : les électrons de conduction (indice «−») et les ions du réseau cristallin (indice «+») ; ces derniers sontfixes les uns par rapport aux autres. Le corps étant neutre, on peut calculer�

à partir des vitesses des porteurs par rapport au référentielR₊dans lequel les ions de la portion infinitésimale de conducteur sontfixes (par abus de langage, on parlera parfois de vitesses « par rapport au métal », car le réseau constitue l’essentiel de la masse du métal). On a

�=�₋(�v₋)/R++�₊(�v₊)/R+ =�₋(�v₋)_/R+. (V.10) Dans un conducteur métallique, seule compte la vitesse relative des électrons par rapport au réseau. (Noter que dans un conducteur métallique, les électrons se déplacent en sens inverse de la densité de courant.) Dans un électrolyte, en revanche, il faut tenir compte de la vitesse de chaque type d’ion.

Dans un conducteur bidimensionnel (par exemple la surface d’un conducteur tridimensionnel), on peut définir unedensité surfacique de courant �J. Il suffit de remplacer l’élément de surface ¯dSpar un élément de longueur ¯d�. Si�nest un vecteur unitairenormal à l’élément de longueur (attention à ne pas prendre�n tangent), l’intensité ¯dItraversant ¯d�dans le sens de�nest

¯dI=�J· ¯d� �n, (V.11)

où �J=�

k

σk�vk (V.12)

etσk est la densité surfacique de charge.

Dans une portion ¯d��de conducteurfiliforme,�est parallèle à ¯d��dans le référentiel où cette portion est fixe. Si ce conducteur est neutre,�est donc tangent en tout point aufil, quel que soit le référentiel.

b . Conservation de la charge

Considérons une surface Sferméefixe. Pendant une durée dt, une chargeISdtsort deS. La variation de la chargeQint contenue dansSest donc

dQint=−I^Sdt. (V.13)

On a

Qint=

�

V

� ¯dτ, (V.14)

oùVest le volume de l’espace délimité parS. On a donc d

dt

�

V

� ¯dτ=−

�

S

�· ¯d�S. (V.15)

Or d

dt

�

V

� ¯dτ=

�

V

∂�

∂t ¯dτ (V.16)

puisqueVestfixe, et

�

S

�· ¯d�S=

�

V

div�¯dτ, (V.17)

donc �

V

∂�

∂t ¯dτ=−

�

V

div�¯dτ. (V.18)

Ceci étant vrai pour un volume quelconque, on obtient l’équation locale de la conservation de la charge : div�+ ∂�

∂t =0. (V.19)

c . Approximation des régimes quasi stationnaires

1. Validité

Nous allons dorénavant considérer des circuits électriques en régime stationnaire ou, plus généralement, quasi stationnaire, c.-à-d. dont les tensions et intensités sont constantes ou lentement variables. Précisons ce que nous entendons par là : un circuit est dit vérifier l’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS ; on dit aussi « approximation des régimes quasi permanents ») si

L�c T, (V.20)

oùTest le temps caractéristique d’évolution de ses propriétés (par exemple, la période en régime sinusoïdal), L est sa taille maximale etc est la vitesse de la lumière dans le vide. Ceci revient à dire que le circuit est suffisamment petit^※2 pour que le temps de propagation du champ électromagnétique d’un bout à l’autre du circuit soit négligeable devantT.

Nous montrerons au § IX.a que

div�≈0 dans l’ARQS. (V.21)

Une conséquence immédiate de l’ARQS et de l’équation locale de la conservation de la charge est que∂�/∂t≈0 en tout point d’un circuit : un circuit neutre en tout point au repos reste donc localement neutre en régime lentement variable.

Notons que l’ARQS ne s’applique pas aux condensateurs : des charges s’accumulent bien sur les armatures !

2. Intensité à travers une section de conducteur

Considérons un tronçon de conducteur délimité par une sectionS₁, un sectionS₂et par la surface extérieure S₀de la portion de conducteur comprise entreS₁etS₂. La surfaceS=S₀∪S₁∪S₂est fermée. Dans l’ARQS, on a div�=0, donc

�

S

�· ¯dS�=

�

V

div�¯dτ=0, (V.22)

oùVest le volume compris dansS. Par ailleurs,

�

S

�· ¯dS�=

�

S₀

�· ¯d�S+

�

S₁

�· ¯d�S+

�

S₂

�· ¯d�S. (V.23)

L’intégrale �

S0�· ¯d�S est nulle puisque les charges ne franchissent pas la surface extérieure S₀ et qu’il ne peut y avoir d’accumulation de charge dans l’ARQS (là encore, rappelons que celle-ci ne s’applique pas aux condensateurs). Orientons la surfaceS₁ dans le même sens que S₂. Les intensitésI1 etI2, orientées de S1

versS2, à travers ces deux surfaces valent I1=

�

S₁

�·(−¯dS)� et I2 =

�

S₂

�· ¯dS.� (V.24)

On a donc

I1=I2. (V.25)

L’intensité traversant une section du conducteur étant la même en tout point d’un conducteurfiliforme (dans l’ARQS), lorsqu’on parlera, sans préciser, de l’intensité électrique dans un conducteur, il s’agira de l’intensité à travers une section quelconque.

2. Pour de grands circuits, par exemple pour les câbles intercontinentaux sous-marins, il faut tenir compte du temps de propagation (on obtient alors l’équation dite « des télégraphistes »).

3. Loi des nœuds (1

loi de Kirchhoff)

On peut appliquer le même raisonnement en unnœud, c.-à-d. un embranchement où plusieursbranches conductrices se rejoignent. NotonsIkl’intensité dans la branche n^ok. Posonssk=−1 pour les branches dont le courant est orienté vers le nœud (courant entrant dans le nœud) etsk= +1 pour celles dont le courant est à rebours du nœud (courant sortant). On obtient laloi des nœuds, ou1^reloi de Kirchhoff,

�

k

skIk =0, (V.26)

qui peut aussi s’écrire �

courants entrants

Ik= �

courants sortants

Ik. (V.27)

d . Tension, intensité et puissance électrique

1. Tension et intensité ; conventions générateur et récepteur

Undipôle électrocinétique(sans rapport avec les dipôles électriques du chapitre III ou les dipôles magné- tiques du § VI.f) est une portion de conducteur délimitée par deux surfaces équipotentielles. Deux quantités nous intéresseront particulièrement : l’intensité du courant qui le parcourt et la différence de potentiel, ou tension^※3, entre ses bornes.

Nous allons dans ce qui suit donner la relation entre ces quantités pour différents dipôles. NotonsIAB

l’intensité du courant orienté de la borneAdu dipôle vers sa borneBetUAB=VA−VBouUBA=VB−VAla différence de potentiel entre ses bornes. Sur le schéma d’un circuit, l’orientation deIABest marquée par une flèche dirigée de AversB posée sur lefil conducteur relié àAouB. L’orientation deUAB est marquée par uneflèche parallèle au dipôle et dirigée deBversA. Deux conventions sont possibles pour relier la tension et l’intensité si le sens n’est pas explicitement indiqué en indice par les bornes :

• convention récepteur :tensionUet intensitéIen sens opposés, c.-à-d. que l’on prend soitU=UAB

etI=IAB, soitU=UBA etI=IBA;

• convention générateur :tensionUet intensitéIdans le même sens, c.-à-d. que l’on prend soitU=UBA

etI=IAB, soitU=UAB etI=IBA.

Comme leurs noms l’indiquent, la convention récepteur est par défaut adoptée pour un récepteur (résistor, bobine, condensateur...) et la convention générateur est adoptée par défaut pour un générateur, mais rien n’interdit de s’en écarter. Il faut alors juste le préciser sur le schéma ou, dans les équations, en écrivant explicitementUAB plutôt queU.

Remarque.Un dipôle (une batterie rechargeable, par exemple) peut fonctionner comme un récepteur à certains

moments et comme un générateur à d’autres. �

2. Puissance électrique

La force électrique exercée sur un électron vautF�=−eE. La puissance électrique reçue par l’électron vaut�

�F·�v, où�vest la vitesse de l’électron par rapport au conducteur, supposé galiléen. En sommant sur tous les électrons présents dans un volume ¯dτ, on obtient lapuissance électrique reçue par ce volume,

¯dP=−eE�·�vν ¯dτ=�·�E ¯dτ. (V.28) Une ligne de courant est une courbe sur laquelle�est tangent à la courbe en tout point. Untube de courant élémentaireest l’ensemble des lignes de courant traversant une surface infinitésimale de conducteur.

Découpons (on admet que c’est possible) le volumeVd’un dipôle délimité par deux surfaces équipotentielles situées enAetBen tubes de courant élémentaires (dans le sens de la longueur) et en sections équipotentielles Sséparées par une distance infinitésimale (dans le sens de la largeur). Les éléments résultant de cette partition de l’espace ont un volume

¯dτ= ¯d��· ¯d�S, (V.29)

où ¯d��= ¯d� �uest la longueur du tube de courant entre deux sections et ¯d�S= ¯dS�nest la surface de la section de tube de courant. Les sections étant équipotentielles,E�=E�netE�· ¯d��=−dV. Par ailleurs, le courant passant

3. Certains auteurs distinguent « tension » (�_B

A �E·¯d��) et « différence de potentiel » (VA−VB). La valeur de cette dernière dépend d’ailleurs de la jauge utilisée pour définirV(cf. § IX.b). Voir « Tension électrique et/ou différence de potentiel ? », par David Augier (http://

augier.david.free.fr/notes/tension.pdf). Les deux quantités sont identiques en régime stationnaire et nous esquiverons cette question.

dans le tube vaut ¯dI=�· ¯d�Savec�=j�u. On a donc

¯dP=�·E� ¯dτ=(j�u·E�n) ( ¯d� �u· ¯dS�n)=(j�u· ¯dS�n) ( ¯d� �u·E�n)=(�· ¯dS) (� E�· ¯d��)= ¯dI(−dV). (V.30) En intégrant sur une section équipotentielle, puis deAà B, on obtient

P_AB=

� _B

A

�

−dV

��

S

¯dI

��

=

� _B

A −dV IAB=IAB

� _B

A −dV, (V.31)

puisque l’intensité est la même à travers chaque section.

Lapuissance électrique reçue par un dipôleABvaut donc P_AB=U_ABI_AB=





U I en convention récepteur,

−U I en convention générateur. (V.32)

SiUetIsont de même signe en convention récepteur,P>0 et le dipôle reçoit de la puissance électrique : il fonctionne bien en récepteur. SiUetIsont de signes opposés en convention récepteur, ou, ce qui revient au même, de même signe en convention générateur,P<0 : le dipôle reçoit une puissance négative, c.-à-d.

qu’il fournit la puissance électrique−P>0 au circuit : il fonctionne en générateur.

3. 2

loi de Kirchhoff, loi des mailles

La2^eloi de Kirchhoff n’est qu’une relation de Chasles appliquée aux tensions : UAB=VA−VB etUBC= VB−VC, donc, avecUAC=VA−VC,

UAC=UAB+UBC. (V.33)

En particulier, sur unemaille, c.-à-d. une portion de circuit dont les deux extrémitésA1etAnsont identiques,

�n−1 k=1

UAkAk+1 =0 (loi des mailles). (V.34)

Remarque.Cette relation n’est plus valable dans un champ magnétique externe variable : cf. chap. VIII. (En revanche, le champ magnétique produit par le courant circulant dans les bobines est déjà pris en compte dans

les tensions de celles-ci.) �

e . Conducteur ohmique. Résistors

1. Loi d’Ohm

Un électron de masse m et de charge −e soumis à un champ électrique E� subit une force �F =−e�E^※4. Considérons en particulier un électron libre se déplaçant dans un conducteur et prenons pourE� le champ moyenné à une échelle mésoscopique. Supposons en outre que le champ puisse être traité comme uniforme et stationnaire sur la distance et la durée considérées. La deuxième loi de Newton donnemd�v/dt=−e�E, où

�vest la vitesse de l’électron par rapport au conducteur, supposé galiléen, soit, après intégration,

�v(t)=�v(t=0)− eE t�

m . (V.35)

La vitesse de l’électron, et par conséquent la densité de courant, devrait ainsi tendre vers l’infini. Dans un circuit, l’électron n’est en fait pas complètement libre. Il subit des collisions avec le réseau cristallin^※5, ce que l’on modélise dans le modèle de Drude par une force de frottement

F�c=−m�v/τc, (V.36)

où la constante positiveτ_cest un temps caractéristique. La deuxième loi de Newton prend alors la forme d�v

dt + �v

τc =− eE�

m . (V.37)

4. En présence d’un champ magnétique, il y a en outre une force magnétique transverse au mouvement. Cette force est responsable de l’effet Hall.

5. Il n’y a bien sûr pas de contact direct entre les électrons de conduction et les noyaux ou électrons liés à ceux-ci : les collisions sont dues auxfluctuations spatiales, au voisinage des nœuds du réseau, du champ électrique autour de sa valeur moyenne, ici notée

«�E» ; elles sont donc aussi de nature électromagnétique.

On reconnaît une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. La solution de l’équation homogène (c.-à-d. sans second membre) est de la forme

�vh(t)=�λe^−t/τc, (V.38)

où�λest une constante vectorielle. On peut considérerE�comme constant sur une durée de l’ordre deτ_cet sur la distance parcourue pendant celle-ci. Une solution particulière est donc

�vp =− eτc

m E� (V.39)

et la solution générale est

�v(t)=�vh(t)+�vp=�λe^−t/τc− eτ_c

m E,� (V.40)

où�λdépend des conditions initiales pour cet électron. À l’issue d’un régime transitoire durant quelquesτ_c pendant lequel�vh(t) tend vers�0, un régime permanent s’établit dans lequel�vh(t) est négligeable. Le régime transitoire étant très bref, on peut considérer qu’on est toujours en régime permanent et que, en moyenne,

��v� ≈ − eτc

m E.� (V.41)

Cette vitesse moyenne des électrons dans le conducteur, appeléevitesse de dérive, est extrêmement faible^※6: quelques 10⁻²mm/s. En revanche, le signal électrique se propage à une vitesse de l’ordre de celle de la lumière.

De même, en moyenne,

�≈ν(−e)��v�= νe²τc

m E.� (V.42)

On obtiendrait le même résultat en considérant les interactions des électrons avec le réseau comme des collisions remettant à zéro leur vitesse (par rapport au réseau) plutôt que comme une force de frottementfluide : τc

correspondrait alors au temps moyen entre deux collisions, ��v� à la vitesse moyenne et �

�v²�τ_c au libre parcours moyen entre deux collisions.

On a ainsi obtenu laloi d’Ohm locale :

�=γ �E, (V.43)

où la constante positive

γ= νe²τc

m (V.44)

est laconductivité électrique du milieu. La loi d’Ohm peut aussi s’écrire

E�=η �, (V.45)

oùη=1/γest larésistivité du milieu.

Un conducteur dans lequel�=γ �E, avecγ≈c^te, s’appelle unconducteur ohmique ou, plus simplement, unerésistance^※7. À l’équilibre, on a�=�0, doncE�=�0, en accord avec ce qui avait été établi au § IV.b.1.

Intégrons cette relation sur une portionABdefil du circuit, de sectionSconstante et de longueur�grande devant le diamètre dufil. Orientons-la par un vecteur�net notonsIABl’intensité orientée deAversB. On a

�= IAB

S �n, (V.46)

donc, sur une longueur ¯d�,

−−−−→gradV· ¯d��=η IAB

S �n· ¯d� �n= η ¯d�

S IAB. (V.47)

En intégrant deAàB, on obtient

UAB=VA−VB=R IAB, (V.48)

soit laloi d’Ohm globale

U=R I (en convention récepteur), (V.49)

où

R= η �

S (V.50)

est larésistance de la portion AB. L’unité d’une résistance dans le Système International d’unités est l’ohm (symbole «Ω»). On utilise parfois aussi la conductance,G=1/R(ensiemens dans le SI ; symbole « S »).

6. La vitesse quadratique moyenne,�v²�, est en revanche élevée.

7. Rigoureusement, il faudrait distinguer lerésistor, dipôle électrocinétique, de la « résistance », nombre caractérisant la conduction dans ce dipôle. Par un abus de langage similaire, on appelle souvent « capacités » les condensateurs et « inductances » les bobines.

2. Loi de Joule. Effet Joule

La puissance électrique reçue par un volume ¯dτde conducteur ohmique est

¯dPJ=�·E� ¯dτ=γE² ¯dτ=ηj² ¯dτ (loi de Joule locale). (V.51) Comme γ>0, ¯dPJ est toujours positive. Cette puissance est fournie aux électrons de conduction, dont la vitesse de dérive (c.-à-d. la vitesse vectorielle moyenne duflot d’électrons) atteint quasi instantanément la valeur de l’équation (V.41). La puissance électrique reçue ne sert alors plus à accélérer les électrons, mais est dissipée^※8 lors des collisions de ceux-ci avec les ions. Ceci se traduit par une hausse de la température du conducteur (et donc, notamment, de la vitesse quadratique des électrons). Ce phénomène porte le nom d’effet Joule.

En termes thermodynamiques, le travail électrique reçu par le conducteur accroît son énergie interne mais également, en raison du caractère irréversible de la dissipation d’énergie lors des collisions, son entropie. La température ne pouvant augmenter indéfiniment, soit le conducteur fond (comme un fusible), ce qui interrompt le passage du courant, soit il transfère de la chaleur à son environnement (par conduction, convection et rayonnement) : c’est le principe de fonctionnement des radiateurs électriques.

De même, la puissance reçue par un résistor est

P_J=U I en convention récepteur,

= U²

R =R I² (loi de Joule globale),

indépendamment de la convention. (V.52)

f . Autres dipôles usuels

Outre les résistances, étudiées au § V.e, nous nous intéresserons aux condensateurs, aux bobines et aux générateurs.

1. Condensateurs

Les condensateurs ne sont pas des dipôles ohmiques puisque leurs armatures sont séparées par un isolant et que le courant de charges ne traverse pas celui-ci^※9. Nous admettrons que dans l’ARQS^※10, les relations établies au § IV.cpour la capacité, la relation entre charge et différence de potentiel ainsi que l’expression de l’énergie restent valables.

La seule différence est que les charges sur les armatures sont reliées à l’intensité par IAB= dQA

dt , (V.53)

soit

I=C dU

dt en convention récepteur. (V.54)

Le condensateur reçoit une puissance

P=U I en convention récepteur (V.55)

=C dU

dt U= dE

dt (indépendamment de la convention), (V.56) où

E= C U²

2 (V.57)

est l’énergie emmagasinée dans le condensateur (cf. § IV.c.3).

2. Loi d’Ohm généralisée

Appliquons la loi d’Ohm à un circuit AB fermé, c.-à-d. tel que B= A, ne comportant que des dipôles ohmiques (y compris lesfils). On aVA−VB=R Iet comme A=B,VA=VB, donc I=0 : aucun courant ne peut circuler ! L’insertion de condensateurs chargés permet la circulation transitoire de courants, mais un

8. « Dissipée » ne signifie pas que cette puissance est perdue, mais qu’elle est conservée sous une forme dégradée.

9. En revanche, il y a un courant dit « de déplacement » (cf. § IX.a).

10. Il faut en fait distinguer deux ARQS différentes (cf. « Remarques sur l’approximation des régimes quasi stationnaires en électroma- gnétisme », par André Domps (2003),Bulletin de l’union des physiciens97, 159) : l’ARQS électrique, applicable aux condensateurs, et l’ARQS magnétique, applicable aux autres conducteurs. C’est cette dernière qu’on entend généralement par « ARQS » sans précision.

équilibre électrostatique est rapidement atteint et le courant devient alors nul.

Pour avoir un courant permanent dans le circuit, il faut introduire d’autres types de dipôles, ce qui oblige à généraliser la loi d’Ohm. Dans un conducteur purement ohmique,�=γ �E, avec�E=−−−−→gradV. Cette dernière relation n’est plus vraie si les sources du champ ne sont pas statiques. Si le circuit se déplace dans un champ magnétique, il faut rajouter une force magnétique à la force �F exercée sur les électrons. Enfin, les champs ne sont pas les seules causes possibles du déplacement des charges : dans une pile, par exemple, ce sont des réactions chimiques dans l’électrolyte qui provoquent le mouvement des ions entre la cathode et l’anode, et indirectement celui des électrons dans le circuit connecté aux bornes de la pile. On peut rassembler tous ces termes dans unchamp électromoteur �fm. La loi d’Ohm locale prend alors la forme suivante

�=γ(−−−−→gradV+�fm) (loi d’Ohm locale généralisée), (V.58) soit

−−−−→gradV=η �−�fm, (V.59)

ce qui, en intégrant deAà Bdonne

V_A−V_B=R I_AB−�AB (loi d’Ohm globale généralisée), (V.60) où

�AB=

� _B

A

�f_m· ¯d�� (V.61)

est laforce électromotrice (f.é.m.). Contrairement à ce que son nom suggère, il ne s’agit pas d’une force.

Elle a d’ailleurs la dimension d’une tension. Certains auteurs préfèrent l’appeler l’électromotance.

On a donc

U=





R I−� en convention récepteur,

�−R I en convention générateur. (V.62)

a. Générateurs

Ungénérateur de tension idéal (on dit aussi unesource de tension idéale) est un dipôle électrocinétique capable d’imposer entre ses bornes une tension indépendante de l’intensité qui le parcourt. Il doit pour cela avoir une résistance négligeable ; la tension entre ses bornes est donc

U =� en convention générateur. (V.63)

La puissance fourniepar un tel générateur est

P=�I en convention générateur. (V.64)

Un générateur de tension non idéal peut être modélisé comme l’association en série d’un générateur de tension idéal et d’une résistance.

Un générateur de courant idéal est à l’inverse capable d’imposer dans le fil auquel il est branché une intensité indépendante de la tension entre ses bornes. Un générateur de courant non idéal peut être modélisé comme l’association en parallèle d’un générateur de courant idéal et d’une résistance.

Contrairement aux autres dipôles considérés dans ce chapitre, un générateur est polarisé, c.-à-d. que le comportement du circuit dépend dans le sens dans lequel il est branché. Le sens adopté pour orienter la force électromotrice doit être indiqué sur le schéma.

b. Bobine

Dans une bobine (cf. § VIII.d),

�=− dΦ

dt (V.65)

est laforce électromotrice d’induction, où

Φ=L I (V.66)

est leflux à travers la bobine du champ magnétique créé par la bobine elle-même, etLest l’[auto-]inductance, ouinductance propre, de celle-ci. L’unité de l’inductance est lehenry (symbole « H »). Pour une bobine de résistance négligeable, on a donc

U=L dI

dt en convention récepteur. (V.67)

La puissance reçue par la bobine est

P=U I en convention récepteur (V.68)

=L dI

dt I= dE

dt , (V.69)

où

E= L I²

2 (V.70)

est l’énergie emmagasinée dans la bobine.

3. Association de résistances, de bobines

La résistance Rséréquivalente à un ensemble de résistancesRken série est Rsér=�

k

Rk. (V.71)

La résistance Rparéquivalente à un ensemble de résistanceRk en parallèle est donnée par 1

Rpar =�

k

1

Rk . (V.72)

De même, dans les deux cas, pour des bobines en remplaçantRpar l’inductanceL.

g . Régime sinusoïdal

1. Régimes transitoire et permanent

Considérons un circuit ne comportant que des générateurs, des résistors, des condensateurs et des bobines.

Les f.é.m. des générateurs sont imposées et les résistances, capacités et inductances des différents composants sont constantes. Le but est de déterminer l’intensité du courant dans les différentes branches du circuit et la tension aux bornes des dipôles. Ces intensités et tensions sont reliées par un système d’équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants (dépendant des résistances, capacités et inductances) et dont le second membre fait intervenir des combinaisons linéaires des f.é.m. des générateurs.

Considérons le cas d’un régime sinusoïdal, c.-à-d. où ces f.é.m. sont sinusoïdales et ont toutes la même pulsation. On obtient le même genre de comportement que pour un oscillateur forcé sinusoïdalement :

• Lorsqu’on allume le circuit, le circuit est en régime transitoire. Ce régime prend rapidement fin à cause des résistances, car celles-ci sont équivalentes à des forces de frottement ;

• On entre alors dans unrégime permanentdans lequel les tensions aux bornes de tous les composants et les intensités dans ceux-ci sont sinusoïdales et de même pulsation que les générateurs. Seuls l’amplitude et le déphasage de ces quantités sont donc à déterminer.

Nous supposons dans ce qui suit que le régime permanent est atteint.

Si ωest la pulsation des f.é.m., l’intensité (réelle)Itraversant un dipôle prend la forme

I(t)=I0cos(ωt+ϕ0), (V.73)

oùI0est l’amplitude (>0),ϕ(t)=ωt+ϕ0est la phase à l’instanttetϕ0est la phase à l’origine. Il est souvent plus commode de raisonner en nombres complexes : on aI(t)=ReI(t), où

I(t)=I₀e^{i (ωt+ϕ0)} =I

0e^iωt (V.74)

est l’intensité enreprésentation complexe^※11※12 et

I₀=I0e^iϕ0 (V.75)

est l’amplitude complexe.

On obtient ainsi immédiatement que dI(t)

dt =(iωI₀) e^iωt=(I₀ωe^iπ/2) e^iωt. (V.76) Le facteur e^iωtapparaissant dans tous les termes, il peut être simplifié. L’introduction des nombres complexes en régime sinusoïdal permanent permet donc de convertir le système d’équations différentielles en un système linéaire ordinaire indépendant du temps. Les intensités et tensions peuvent alors être obtenues par une simple inversion de matrice.

11. On peut aussi adopter la définitionI(t)=I₀e^−iωt. La « représentation analytique d’un signal » permet de généraliser cette méthode à des fonctions non sinusoïdales (voirhttps://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_signal).

12. L’unité imaginaire est souvent notée « j » plutôt que « i » par les électroniciens pour éviter la confusion avec l’intensité lorsque celle-ci est représentée par «i». Nous préférons ici noter «I» l’intensité et réserver le symbole «j» pour la densité volumique de courant.

2. Impédances complexes

a. Impédances des résistances, bobines et capacités

On appelleimpédance complexe le rapport (constant en régime sinusoïdal permanent) Z=

U I =

U₀

I₀ . (V.77)

Pour une résistance, U=R I, donc

ZR=R. (V.78)

Pour une bobine, U=LdI/dt, soit

U0=L(iωI₀), (V.79)

donc

ZL =iωL. (V.80)

Pour un condensateur,I=CdU/dt, soit

I₀=C(iωU0), (V.81)

donc

Z_C = 1

iωC . (V.82)

b. Association d’impédances

Un ensemble de dipôles d’impédance Zken série est équivalent à un dipôle d’impédance Zsér=�

k

Zk. (V.83)

Le même ensemble de dipôles en parallèle est équivalent à un dipôle d’impédanceZpar donnée par 1

Zpar =�

k

1

Zk . (V.84)

3. Puissances

L’utilisation des nombres complexes ne pose pas de problème tant qu’on considère des combinaisons linéaires à coefficients réels de tensions et d’intensités. En effet, siλ₁etλ₂ sont des réels et que f1=Ref1 et

f2 =Ref2, alors

λ₁ f1+λ₂ f2=λ₁Ref1+λ₂Ref2=Re(λ₁f1+λ₂ f2). (V.85) En revanche, en général,

f1 f2�Re(f1f2). (V.86)

On n’a donc pasP=U I. Pour une tensionU=U0cos(ωt+ϕU) et une intensitéI=I0cos(ωt+ϕI), la puissance instantanée reçue vaut

P(t)=U0I0 cos(2ωt+ϕ_U+ϕ_I)+cos(ϕ_U−ϕ_I)

2 , (V.87)

car cosacosb=(cos[a+b]+cos[a−b])/2. La puissance instantanée est de pulsation 2ω. Sa valeur moyenne sur une période ou sur un temps suffisamment long vaut

�P�= U0I0cos(ϕ_U−ϕI)

2 =Re

�U0I0e^{i (ϕU−ϕI)} 2

�

=Re

�U I^∗ 2

�

, (V.88)

où I^∗ =I0e^{−i (ωt+ϕI)} désigne la quantité conjuguée deI. En notation complexe, la puissance moyenne reçue vaut donc

�P�=Re�P�, où�P�= U I^∗

2 . (V.89)

Pour une bobine ou un condensateur,U I^∗est un nombre imaginaire, doncla puissance (réelle) moyenne

�P� reçue en régime sinusoïdal permanent est nulle. Pour une résistance,

�P�= R I I^∗

2 = R|I|²

2 =�P�>0. (V.90)

4. Filtrage

Unfiltreélectronique est un dispositif qui reçoit un signal électrique temporel en entrée, l’excitation, et four- nit en sortie un signal, laréponse, dont certaines fréquences sont atténuées ou au contraire amplifiées. Lefiltre est caractérisé par safonction de transfertcomplexe,H. Pour un signal d’entréeUe(t)=�_∞

ω=0Ue,0(ω) e^iωtdω et un signal de sortieUs(t)=�_∞

ω=0Us,0(ω) e^iωtdω, tous deux donnés en représentation complexe, la fonction de transfert est définie par

H(ω)=

Us,0(ω)

Ue,0(ω) . (V.91)

(Remarque : on écrit souvent «H(iω) », ou «H(jω) » chez les électroniciens, pour souligner que H est une fonction à valeurs complexes.)

On appellegain la quantité

G(ω)=|H|(ω). (V.92)

On l’exprime souvent endécibels (unité sans dimension notée « dB ») :

G_dB(ω)=20 log₁₀G(ω). (V.93)

La représentation deGdBen fonction de log₁₀ω^※13 s’appelle undiagramme de Bode.

L’autre quantité que l’on peut extraire de H est ledéphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée, donné par l’argument principal deH, c.-à-d. (siH(ω)�0)l’unique nombreϕ0(ω) dans ]−π,π] tel que

H(ω)=G(ω) e^iϕ0(ω). (V.94)

Pour des signaux d’entrée et de sortie de phases respectives ϕe(t) =ωt+ϕe,0 et ϕs(t^�)= ωt^�+ϕs,0, on a ϕ0=ϕs,0−ϕe,0(avec±2πsi nécessaire pour queϕ0soit dans ]−π,π]). Les phases sont égales pourt^�=t−ϕ0/ω.

Siϕ0>0 (resp.<0),t^�<tet le signal de sortie est en avance (resp. en retard) par rapport au signal d’entrée.

Les deux signaux sont ditsen phase quandϕ0=0 ;en opposition de phase quandϕ0=π;en quadrature de phase quandϕ0=±π/2.

Lesfiltres idéaux les plus simples sont les suivants :

• filtre passe-bas (ou coupe-haut): ne laisse passer que les basses fréquences ;

• filtre passe-haut (ou coupe-bas): ne laisse passer que les hautes fréquences ;

• filtre passe-bande: ne laisse passer que les fréquences contenues dans un certain intervalle ;

• filtre coupe-bande: ne laisse passer que les fréquences hors d’un certain intervalle.

Lesfiltres réels se contentent d’atténuer le signal. Nous allons en présenter quelques-uns.

a. Filtres passe-bas et passe-haut

Considérons un circuit électrique, alimenté par un générateur de tensionUe(t) et constitué d’une résistanceR et d’un condensateurCen série. Pour chaque pulsationω, on aUe,0=UR,0+UC,0avecUR,0=R I₀etUC,0= I₀/(iωC), d’où

UR,0=Ue,0 iωR C

1+iωR C et UC,0=Ue,0 1

1+iωR C . (V.95)

Prenons comme sortie la tension au bornes du condensateur. On a H(ω)= 1

1+iωR C , (V.96)

donc

G(ω)= 1

�1+(ωR C)² . (V.97)

La fonctionGvaut 1 enω=0 et décroît en tendant vers 0 quandω→ ∞. Il s’agit donc d’unfiltre passe-bas.

On peut caractériser celui-ci par sapulsation de coupureω_c, définie par G(ω_c)= 1

√2 max

ω�0 G(ω). (V.98)

On obtient iciω_c=1/(R C). En décibels, on a

G_dB(ω_c)=max

ω�0 G_dB(ω)−3 dB. (V.99)

En effet, log₁₀2≈0,3 et GdB(ω_c=20 log₁₀(1/√

2 )=20×(−1/2) log₁₀2.

13. Plus précisément, l’argument d’un logarithme devant être sans dimension,ωdoit être divisé par une pulsation quelconque dans cette expression, par exemple 2πrad/s.

On obtient le déphasage en multipliantHpar la quantité conjuguée : H(ω)= 1

1+iω/ω_c = 1−iω/ωc

1+(ω/ω_c)² =G(ω) 1−iω/ωc

�1+(ω/ω_c)² , (V.100) donc

cosϕ0 = 1

�1+(ω/ω_c)² �0 et sinϕ0=− ω/ωc

�1+(ω/ω_c)² �0, (V.101) c.-à-d.ϕ₀ ∈[−π/2,0] etϕ₀=−arctan(ω/ω_c). Ce déphasage vaut 0 enω=0, tend en décroissant vers −π/2 quandω→ ∞et prend la valeur−π/4 en ω_c.

Si l’on remplace le condensateur par une bobine d’inductanceL, on obtient unfiltre passe-haut. On obtient aussi un filtre passe-haut dans le circuit RC en prenant la tension au bornes de la résistance comme signal de sortie.

b. Filtre passe-bande

On obtient unfiltre passe-bande en prenant en sortie la tension aux bornes de la résistance d’un circuit RLC en série alimenté par une tensionUe(t). Pour chaque pulsationω, on aUe,0=UR,0+UL,0+UC,0avecUR,0 =R I₀, UL,0=iωL I₀ etUC,0=I₀/(iωC), d’où

H(ω)= 1

1+i (ωL/R−1/[ωR C]) . (V.102)

On en déduit que

G(ω)= 1

�1+(ωL/R−1/[ωR C])² . (V.103) Le module vaut 0 enω=0, croît pour atteindre la valeur 1 en

ωr=1/√

L C (V.104)

et décroît ensuite vers 0 quandω→ ∞. Le système ne répond de manière importante à l’excitation à laquelle il est soumis que dans un certain intervalle de fréquences. Un tel phénomène s’appelle unerésonanceet la pulsation pour laquelle le pic est atteint (ici,ωr) est lapulsation de résonance^※14.

Les pulsations de coupure sont obtenues pour (ωL/R−1/[ωR C])²=1, soit ω²± R

L ω−ω²_c=0, (V.105)

donc

ω=± R 2L ±

� R²

4L² +ω²_r, (V.106)

où les deux «±» sont indépendants. La pulsation doit être positive, donc il n’y a que deux pulsations de coupure,

ω₋=− R 2L +

� R²

4L² +ω²_r et ω₊= + R 2L +

� R²

4L² +ω²_r. (V.107) L’intervalle [ω₋,ω₊] constitue labande passante dufiltre etΔω=ω₊−ω₋ est salargeur.

Un filtre passe-bande est caractérisé par sonfacteur de qualité,

Q=ωr/Δω. (V.108)

Plus celui-ci est grand, plus la bande passante est étroite et piquée, donc plus lefiltre est sélectif. Dans le cas où le signal de sortie est la tension aux bornes de la résistance du circuit RLC en série,Q=√

L/C/R.

Intéressons-nous maintenant à la phase deH. On a

H(ω)= 1

1+iQ(ω/ωr−ωr/ω) =G(ω) 1−iQ(ω/ω_r−ω_r/ω)

�1+Q²(ω/ωr−ωr/ω)² , (V.109) donc

cosϕ0 = 1

�1+Q²(ω/ω_r−ω_r/ω)² et sinϕ0 =− Q(ω/ω_r−ωr/ω)

�1+Q²(ω/ω_r−ω_r/ω)² . (V.110) Comme cosϕ₀�0,

ϕ₀=−arctan(Q[ω/ω_r−ω_r/ω]). (V.111)

Le déphasageϕ0 vaut+π/2 quandω→0, croît en tendant vers−π/2 quandω→ ∞et est nul enωr. Si on prend comme signal de sortie la tension aux bornes de l’ensemble LC, on obtient unfiltre coupe-bande.

14. Ce phénomène de résonance pour des fréquences dans ]0,∞[ peut aussi être observé, sous certaines conditions surR,LetC, en prenant comme signal de sortie la tension aux bornes soit de la capacité, soit de la bobine. La pulsation de résonance est alors inférieure àωrpour la capacité cas et supérieure àωrpour la bobine. Dans les deux cas,Gest supérieur à 1 à la résonance : il y a donc amplification du signal.

h . AC / DC. Valeurs e ffi caces et crête à crête

Les oscilloscopes et les multimètres fournissent des caractéristiques différentes d’un signal f(t) selon que l’on est en mode AC ou en DC. En DC, les mesures se font sur f(t) tout entier. En AC, elle ne se font que sur la partie variable de f(t), c.-à-d. sur g(t)= f(t)− �f�, où�f�est la valeur moyenne de f(t) sur une durée suffisamment longue, c.-à-d. enfiltrant les basses fréquences.

Pour un signal sinusoïdal, f(t)= f0cos(ωt+ϕ₀)+�f�, où f0est l’amplitude(standard) du signal. L’oscillo- scope donne plutôt l’amplitude crête à crête,

f_cc =maxf(t)−minf(t), (V.112)

où le maximum et le minimum sont évalués sur une durée suffisamment longue. Cette définition s’applique à tout signal périodique et élimine l’éventuelle composante constante �f�, donc fcc = gcc. Pour un signal sinusoïdal, fcc =2f0.

L’amplitude crête à crête est sensible au bruit et il est souvent préférable d’utiliser lavaleur efficace, f_eff =

�

�f²�, (V.113)

où la moyenne se fait sur une durée suffisamment longue. Si f(t)= f0cos(ωt+ϕ₀)+�f�,

�f²�= 1 T

� _T

t=0 f₀²cos²(ωt+ϕ0) dt+ 1 T

� _T

t=0

2f0cos(ωt+ϕ0)�f�dt+ 1 T

� _T

t=0�f�²dt (V.114)

= 1 T

� _T

t=0

f₀² 2

�1+cos[2 (ωt+ϕ0)]�

dt+0+�f�² (V.115)

(car cos(2x)=2 cos²x−1 et la moyenne de cos(ωt+ϕ0) est nulle sur une période), soit

�f²�= 1 T

� _T

t=0

f₀²T

2 +�f�²= f₀²

2 +�f�², (V.116)

donc, pour un signal sinusoïdal, f_eff=

�f₀²/2+�f�² en mode DC, (V.117)

geff= f0

√2 en mode AC. (V.118)

Chapitre X

G´ en eralit ´ es sur les ondes ´

Ce chapitre est consacré aux ondes en général. Les prochains chapitres porteront sur des types particuliers d’ondes.

a . Phénoménologie

1. Exemples d’ondes

Étymologiquement, le français « onde » vient du latinunda qui signifie « eau mobile », « agitation ». (Le terme d’« onde » est d’ailleurs employé poétiquement pour désigner la mer, toujours en mouvement.)

L’archétype des phénomènes ondulatoires est sans doute justement les vaguelettes à la surface de l’eau.

Celles-ci peuvent être engendrées par le jet d’un caillou dans une mare ; elles sont alors circulaires, de centre le point de chute du caillou, et divergent à partir de ce point. À plus grande échelle spatiale, le vent provoque de même l’apparition de houle à la surface de la mer. Selon que le poids ou la tension superficielle est la force dominante de rappel vers l’équilibre, ces ondes surfaciques sont dites « de gravité » ou « de capillarité ».

À l’échelle des océans, on a enfin des ondes de marée.

Ces ondes requièrent un support, l’eau, pour exister. D’une manière générale, on qualifie d’ondes mé- caniques celles qui nécessitent un milieu matériel. Nous étudierons d’autres ondes mécaniques dans ce cours, d’ailleurs plus simples, notamment celles parcourant une corde vibrante et les ondes sonores (aussi dites « acoustiques ») dans l’air ou, plus généralement, un gaz, un liquide ou un solide.

Il existe aussi des ondes qui se propagent sans qu’il soit besoin d’un milieu matériel. Parmi celles-ci, les ondes électromagnétiques, dont la lumière visible, nous intéresseront au premier chef. Celles-ci peuvent se déplacer dans le vide et on peut considérer que le milieu qui vibre est le champ électromagnétique lui-même^※1.

D’autres ondes sont encore plus abstraites :

• les ondes gravitationnelles^※2, ébranlements de l’espace-temps (et non d’un milieu contenu dans l’espace-temps) modifiant sa courbure. Ces ondes sont produites par des masses accélérées et se propagent à la vitesse de la lumière.

Leur existence fut prédite par Einstein dès 1916 à l’aide de la théorie de la relativité générale, qu’il avait publiée l’année précédente. Elles ont été observées directement pour la première fois en 2015 (expérience LIGO). L’événement détecté était la fusion, à environ 1,3 milliard d’années-lumière et en quelques dixièmes de seconde, de deux trous noirs d’une trentaine de masses solaires chacun ;

• les fonctions d’onde de la mécanique quantique (théorie élaborée dans les années 1920 par Bohr, Schrödinger, Heisenberg, entre autres). Celles-ci permettent de calculer la probabilité de détecter une particule à une certaine position à un instant donné ou, plus généralement, d’observer un système dans tel ou tel état (on parle alors de « vecteur d’état » plutôt que de fonction d’onde).

Ces ondes de probabilité sont immatérielles^※3 et permettent d’expliquer pourquoi, selon les cir- constances, les particules se manifestent soit comme des ondes soit comme des corpuscules (« dualité

1. Après que Thomas Young a montré la nature ondulatoire de la lumière au début du 19^esiècle, on a supposé que celle-ci se déplaçait dans un milieu matériel qu’on a appelé « Éther luminifère » et qui aurait pu servir de référentiel absolu de l’espace. Les propriétés de ce milieu requises par diverses observations (très rigide ; partiellement entraîné par les corps au voisinage de ceux-ci ; ne freinant pas leurs déplacements) étaient cependant contradictoires. L’hypothèse de l’Éther a été abandonnée suite à la publication de la théorie de la relativité restreinte (Einstein, 1905), qui a concilié la mécanique et l’électromagnétisme en renonçant à l’idée que distances et durées sont indépendantes du mouvement de l’observateur.

2. À ne pas confondre avec les ondes de gravité à la surface de l’eau mentionnées plus haut.

3. Elles sont d’ailleurs intrinsèquement à valeur complexe, contrairement aux ondes étudiées par la suite : bien que souventreprésentées par des fonctions à valeurs complexes par commodité, les composantes de ces dernières sont fondamentalement à valeurs réelles.

Dans la mécanique ondulatoire de Louis de Broglie, théorie qui préfigura la mécanique quantique et que celle-ci remplaça, une ondematérielleétait en revanche associée à chaque particule élémentaire.

onde-corpuscule »).

Les ondes sont donc présentes dans toutes les branches de la physique.

Hors du domaine de la physique, l’influx nerveux parcourant un axone ou la ola balayant les tribunes des stades peuvent aussi être traitées comme des ondes. Nous nous en tiendrons dans ce qui suit aux ondes mécaniques et électromagnétiques.

Une caractéristique fondamentale des ondes est qu’elles peuvent transporter, comme les particules maté- rielles, de l’énergie, de la quantité de mouvement (via la pression de radiation pour les ondes lumineuses), du moment cinétique et de l’information, mais ceci, contrairement aux particules, sans déplacement global de matière (sauf,bien sûr, pour les « ondes » quantiques).

2. Notion d’onde progressive

Le concept d’onde est délicat à définir de manière générale. Les ondes les plus fondamentales sont des ondes progressives. Scales & Snieder (1999 ;Nature401, 739) en ont donné une définition qu’on peut traduire comme ceci :

Une onde progressive est une perturbation (d’un milieu) se propageant de manière ordonnée.

Explicitons les points-clés de cette définition :

• « perturbation » :L’état du milieu est modifié par le passage de l’onde, au moins temporairement^※4. Le phénomène présente souvent une certaine périodicité, auquel cas on parlera plutôt de « vibration », mais ce n’est pas le cas le plus général ;

• « qui se propage » :La perturbation se déplace de proche en proche, par interaction entre points voi- sins ;

• « de manière ordonnée » :Les phénomènes ondulatoires doivent être distingués de ceux de diffusion : ces derniers sont stochastiques, dus à des interactions aléatoires non directionnelles entre points voisins ; en outre, pour la diffusion, la distance parcourue par une perturbation est typiquement proportionnelle à la racine carrée du temps écoulé depuis son apparition, alors qu’elle est proportionnelle au temps pour une onde.

« De manière ordonnée » signifie aussi que la perturbation garde pour l’essentiel sa structure.

3. Champ et équation d’onde

L’état du milieu est caractérisé par un champ ψ(�r,t) (ou plusieurs), c.-à-d. une fonction de la position�r et du tempst. Ce champ peut êtrescalaire, c’est-à-dire à une seule composante (tenseur d’ordre 0), telle la surpression pour les ondes sonores. Il peut également êtrevectoriel, à trois composantes, (tenseur d’ordre 1), comme le champ électrique pour les ondes lumineuses. Nous nous en tiendrons à ces deux cas dans ce qui suit, mais le champ peut aussi être un tenseur d’ordre supérieur ; ainsi, la propagation des ondes gravitationnelles est décrite à l’aide d’un champ tensoriel d’ordre 2.

Nous nous limiterons à l’étude de champs scalaires ou vectoriels dont les composantes sontà valeur réelle, ce qui exclut notamment les fonctions d’onde de la mécanique quantique, à valeur complexe.

Des relations entre les différents champs en jeu, on peut déduire uneéquation aux dérivées partielles, c.-à-d. une expression combinant un champ et ses dérivées spatiales et temporelles : l’équation d’onde. Dans le cas des ondes électromagnétiques dans le vide, les équations de Maxwell régissant les champs électrique et magnétique sont linéaires ; l’équation d’onde en résultant est linéaire. Pour les autres phénomènes ondu- latoires étudiés dans ce cours, on supposera quela perturbation est faible, suffisamment pour qu’on puisse linéariser les équations régissant les différents champs, c.-à-d. négliger les termes d’ordre strictement supé- rieur à 1 dans les développements limités des ces champs par rapport à leur valeur au repos. Avec cette approximation, l’équation d’onde est encore linéaire^※5.

Une conséquence fondamentale de cette linéarité est que les solutions de l’équation d’onde obéissent au

« principe » de superposition^※6 :

si les fonctionsψ1etψ2de�rettsont solutions et que les quantités scalairesλ1etλ2sont indépen- dantes de�rett, alors la combinaison linéaireλ1ψ1+λ2ψ2 est aussi une solution de l’équation.

Siψ₁etψ₂sont des ondes progressives solutions d’une équation d’onde linéaire, la fonctionλ₁ψ₁+λ₂ψ₂,

4. Après le passage de l’onde, le milieu retrouve généralement son état antérieur mais ce n’est pas toujours le cas : ainsi, les ondes de densité spirales parcourant les galaxies à disque provoquent l’effondrement de nuages de gaz et la formation d’étoiles en leur sein. Le milieu interstellaire est bien évidemment changé.

5. La non-linéarité est au contraire essentielle pour expliquer le comportement de certaines ondes. C’est notamment le cas des ondes solitaires, appelées aussi « solitons », observées dans le phénomène de mascaret : à l’embouchure de certainsfleuves, la marée montante provoque l’apparition d’une onde qui remonte le cours dufleuve.

6. Il s’agit, rappelons-le, d’un théorème. Le terme « principe » ne doit donc pas être pris au sens de postulat (c.-à-d. indémontrable), mais de point fondamental.