Couplage MED-MEF pour la modélisation des interfaces de contact

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Submitted on 18 Jun 2018

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H. Haddad, Mohamed Guessasma, Serge Dumont, Jérôme Fortin

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H. Haddad, Mohamed Guessasma, Serge Dumont, Jérôme Fortin. Couplage MED-MEF pour la

modélisation des interfaces de contact. 20ème Congrès Fraçais de Mécanique, Aug 2011, Besançon,

France. �hal-01817996�

Couplage MED-MEF pour la mod´ elisation des interfaces de contact

H. Haddad

, M. Guessasma

, S. Dumont

, J. Fortin

a. LAMFA-UPJV (CNRS UMR 6140) - 33, rue Saint-Leu 80039 Amiens Cedex 1 b. LTI-UPJV (EA UPRES 3899) - 48, rue d’Ostende 02100 Saint-Quentin

R´ esum´ e :

Ce travail a pour objet de coupler la M´ ethode des Elements Discrets (MED) et la M´ ethode des Elements Finis (MEF) en vue de la mod´ elisation des interfaces de contact. Cette approche est bas´ ee sur la m´ ethode de d´ ecomposition de domaine avec une zone de recouvrement entre les milieux continu et discret afin d’assurer la continuit´ e du champs cin´ ematique entre les deux domaines. La formulation de couplage est mise en œuvre ` a travers quelques simulations num´ eriques en 1D.

Abstract :

The aim of this work is to propose a coupled formulation between Discrete Elements Method (DEM) and Finite Elements Method (FEM). This approach is based on domain decomposition method with an overlapping zone between continuous and discrete media in order to ensure continuity of the kinematic fields between the two areas. The coupled formulation is implemented through numerical simulations in 1D .

Mots clefs : couplage ; ´ el´ ements finis ; ´ el´ ements discrets

1 Introduction

Face au besoin de l’am´ elioration de la s´ ecurit´ e et de la fiabilit´ e des ´ equipements, la maˆıtrise du frot- tement demeure un enjeu incontournable dans divers secteurs de l’industrie tels que les domaines du g´ enie-m´ ecanique, du g´ enie-civil ou encore du g´ enie des proc´ ed´ es. L’objectif final de ce travail consiste

`

a ´ etudier le comportement d’une interface de contact mod´ elis´ ee par un milieu continu d´ eformable et un milieu discret. Pour ce faire, on utilise une formulation qui consiste ` a coupler la MED ` a la MEF. Le choix d’une telle approche se justifie par la coexistence de deux domaines, continu et dis- cret, int´ eragissant m´ ecaniquement entre eux. La MEF pr´ esente l’in´ etrˆ et de d´ ecrire les m´ ecanismes macroscopiques, cependant, la MED offre la possibilit´ e de rendre compte des ph´ enom` enes locaux ap- paraˆıssant au niveau de l’interface de contact. Il existe diff´ erentes approches de couplage entre les milieux continu et discret en vue d’optimiser le passage du domaine discret au domaine continu et vice versa [1, 2, 3]. La plupart de ces travaux ont trait´ e le couplage MED-MEF par une approche discr` ete de type Dynamique Mol´ eculaire. Dans le cadre de notre ´ etude, nous avons fait le choix d’utiliser une approche discr` ete de type Dynamique des Contacts pour les solides parfaitement rigides [4, 5]. Ce travail a n´ ecessit´ e d’abord l’impl´ ementation d’une r´ esolution ´ el´ ements finis dans le code de calcul par

´

el´ ements discrets existant MULTICOR. Ce dernier utilise un algorithme de r´ esolution bas´ ee sur la formulation du bi-potentiel pour la gestion du contact [6].

Dans un premier temps, nous pr´ esentons bri` evement les m´ ethodes discr` ete et continue utilis´ ees. Dans

un second temps, nous abordons la formulation de couplage bas´ ee sur la technique de d´ ecomposition de

domaine avec pond´ eration de l’´ energie du syst` eme [7]. Enfin, ` a travers quelques simulations num´ eriques,

la formulation de couplage est mise en œuvre sur des exemples unidimensionnels.

La mod´ elisation discr` ete est assur´ ee par la MED type Dynamique des Contacts. Les particules sont mod´ elis´ ees par des sph` eres parfaitement rigides et non-p´ en´ etrables (figure 1). L’´ equation dynamique

`

a r´ esoudre (1) pour le syst` eme discret s’´ ecrit :

{ m¨ q = F

(q, q, t) + ˙ R

R = P

r (1)

o` u F

repr´ esentent les efforts ext´ erieurs, R

sont les efforts int´ erieurs g´ en´ eralis´ es, q est le param` etre de configuration pour chaque particule, r est la r´ eaction de contact locale, n

est le nombre de contacts et P

est la matrice de passage transpos´ ee.

Figure 1 – Milieu Discret

A chaque paire de contact Ω

et Ω

, on lui associe un rep` ere local dont les axes sont d´ efinis par la normale n et la tangente t. La normale n est orient´ ee de Ω

vers Ω

. Les variables mises en dualit´ e sont la vitesse relative v et la r´ eaction de contact r ( Ω

par rapport ` a Ω

). Ces variables se d´ ecomposent dans le rep` ere local de la mani` ere suivante (2) :

v = v

+ v

.n , r = r

+ (r

+ r

).n (2) o` u v

et v

repr´ esentent respectivement les vitesses de glissement tangentielle et normale, r

et r

sont respectivement la force de frottement et la r´ eaction normale de contact et r

est la force de coh´ esion.

Cette derni` ere d´ epend de la r´ esistance ` a la traction des mat´ eriaux σ

: r

= σ

.a

o` u a

est le rayon moyen des particules en contact [4, 5]. Les interactions entre particules sont obtenues

`

a partir de la formulation du bi-potentiel dans le cas d’un contact frottant de Coulomb. La condition d’unilat´ eralit´ e de Signorini entre 2 particules en pr´ esence de forces de coh´ esion est d´ efinie comme suit : (r

+ r

) ≥ 0 , u

≥ 0 , (r

+ r

).u

= 0 (3) o` u u

est l’interstice.

Enfin, l’algorithme de r´ esolution est bas´ e sur un sch´ ema de pr´ ediction-correction [6].

3 Approche Continue

Le milieu continu est suppos´ e lin´ eaire ´ elastique v´ erifiant l’hypoth` ese des petites perturbations et est mod´ elis´ e par des ´ el´ ements finis standards. L’´ equation dynamique classique ` a r´ esoudre (4) pour un syst` eme m´ ecanique ´ elastique est donn´ ee par :

M u ¨ + Ku = F (4)

o` u M est la matrice de masse du syst` eme, K est la matrice de rigidit´ e, u et ¨ u repr´ esentent res-

pectivement les vecteurs d´ eplacements et acc´ el´ erations nodaux et F est le chargement ext´ erieur. La

d´ etermination du champ de d´ eplacements dans le milieu continu est obtenue ` a partir du sch´ ema

d’int´ egration de Newmark. Ce dernier est d´ eduit d’un d´ eveloppement de Taylor des d´ eplacements (5)

et vitesses (6) nodaux respectivement u et ˙ u :

u

= u

+ ∆t u ˙

+ 1

2 ∆t

u ¨

+ o(∆t

) (5)

˙

u

= ˙ u

+ ∆t¨ u

+ o(∆t) (6)

o` u ∆t est le pas de temps, n est le pas courant, u

et ˙ u

sont respectivement les pr´ edictions des d´ eplacements et vitesses nodaux. Le sch´ ema d’int´ egration est suivi d’une ´ etape de correction afin d’actualiser les champs cin´ ematiques.

4 Couplage MED-MEF

Le probl` eme que l’on souhaite r´ esoudre est discr´ etis´ e par des ´ el´ ements finis standards dans le domaine Ω

et par des ´ el´ ements discrets dans le domaine Ω

. Le couplage est r´ ealis´ e ` a travers une zone de recouvrement Ω

= Ω

∩ Ω

. La transition entre ces deux milieux est assur´ ee par une pond´ eration spatiale de l’´ energie dans la zone de recouvrement [7, 8]. Cette m´ ethode conduit ` a la r´ esolution d’un probl` eme de minimisation de l’´ energie totale du syst` eme (7) en utilisant les multiplicateurs de Lagrange λ, afin de v´ erifier la continuit´ e des champs de d´ eplacements continu et discret. Plus pr´ ecis´ ement, ce probl` eme de minimisation revient ` a d´ eterminer le point-selle de la fonctionnelle suivante :

L(q, u, λ) = αH

(u) + (1 − α)H

(q) + λ(q − Cu) (7) o` u L est le Lagrangien du syst` eme, H

et H

sont respectivement les ´ energies des domaines continue et discret, C est la matrice de couplage qui relie les d´ eplacements discrets q aux d´ eplacements continus u dans la zone de recouvrement et α est la pond´ eration de l’´ energie dans chaque domaine (Figure 2).

1−α

α

0

1 Ω Ω Ωc r d

Figure 2 – Zone de recouvrement et param` etre de pond´ eration α L’expression de l’Hamiltonien dans le domaine discret est :

H

(q) = E

− E

(8)

o` u E

et E

sont respectivement l’´ energie cin´ etique et l’´ energie potentielle du mod` ele discret dans le domaine Ω

. Par ailleurs, son expression au domaine continu est :

H

(u) = E

− E

(9)

o` u E

et E

d´ esignent respectivement les expressions de l’´ energie cin´ etique et de l’´ energie potentielle dans le domaine Ω

.

Le d´ eveloppement canonique de l’Hamiltonien L(q, u, λ) conduit au syst` eme (10) suivant :

 



 

∂L

∂q

= (1 − α)

+ λ = 0

∂L

∂u

= α

− λ.C = 0

∂L

∂λ

= q − Cu = 0

(10)

{ (1 − α

)m

q ¨

= (1 − α

)F

+ λ

α

M

u ¨

= α

F

− Σ

C

λ

(11) o` u m

et M

d´ esignent respectivement les masses des nœuds ´ el´ ements discrets et ´ el´ ements finis, F

sont les forces appliqu´ ees ` a chaque nœud et n

est le nombre de particules dans la zone de couplage.

La m´ ethode de r´ esolution consiste ` a d´ eterminer les multiplicateurs de Lagrange λ ` a partir des estima- tions des d´ eplacements et vitesses ` a chaque pas du temps de calcul en se ramenant ` a la r´ esolution du syst` eme lin´ eaire (12) suivant :

{ g = Aλ

g = q − Cu (12)

o` u g est le vecteur r´ esidu calcul´ e ` a partir des estimations des d´ eplacements discrets et continu (q et u).

Quant aux multiplicateurs de Lagrange λ, ils jouent le rˆ ole d’efforts d’interface permettant de garantir la condition de continuit´ e cin´ ematique au niveau de la zone de transition entre les domaines discret et continu. Une description d´ etaill´ ee de la mise en œuvre de la formulation de couplage est donn´ ee dans [8]. L’algorithme de la formulation de couplage (figure 3) impl´ ement´ e dans le code de calcul par

´

el´ ements discrets MULTICOR dans lequel on a int´ egr´ e une une routine de calcul par ´ el´ ements finis.



 

 

 

 

 

 

 

 

  t = 0

- Initialisation des degr´ es de libert´ e ED et EF - Calcul de la matrice de couplage

- Pond´ eration de l’´ energie



 

 

 

 

 

t = t + ∆t

- Calcul des d´ eplacements et rotations ED - Calcul des d´ eplacements et rotations EF - Calcul des r´ esidus et multiplicateurs

de Lagrange (couplage MED-MEF) - Correction des d´ eplacements et rotations du syst` eme

Figure 3 – Algorithme de couplage MED-MEF

5 Simulations num´ eriques

La formulation de couplage est mise en œuvre dans le cas d’un exemple 1D avec un domaine continu mod´ elis´ e par des ´ el´ ements de type poutre. Ce dernier est encastr´ e ` a son extr´ emit´ e gauche. La zone de recouvrement est constitu´ ee de 7 particules ayant la mˆ eme masse coupl´ ees aux nœuds ´ el´ ements finis. L’ensemble est soumis ` a une force verticale sur la particule de l’extr´ emit´ e (Figure 4). On supose n´ egligeable le fottement entre les particules.

Zone Continue Zone Couplage Zone Discrete

F

Figure 4 – Couplage MED-MEF en 1D

Les Figures 7 (a) et 7 (b) repr´ esentent respectivement le d´ eplacement et le champs de vitesses du syst` eme ainsi que sa configuration ` a t = 5.10

s. Le comportement du syst` eme est ´ elastique dans la zone continue alors qu’il est rigide dans la zone discr` ete, caract´ eris´ e par la phase lin´ eaire de la courbe (figure 7 (a)). Ceci s’explique par la nature du milieu discret qui d´ ecrit un mouvement du corps rigide.

-3e-07 -2.5e-07 -2e-07 -1.5e-07 -1e-07 -5e-08 0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

DEPLACEMENT [m]

POSITION [m]

FLECHE

(a)

(b)

Figure 5 – Configuration du syst` eme ` a t = 5.10

s

Afin d’´ etudier l’influence de la taille de la zone de recouvrement sur le comportement du syst` eme, on a r´ ealis´ e le mˆ eme test de flexion tout en s’int´ eressant au d´ eplacement d’une particule ` a la mˆ eme abscisse dans les cas 1 et 2. Dans le cas 1 la zone de couplage est fix´ ee ` a 6 couches de recouvrement alors que celle-ci est limit´ ee ` a 3 couches dans le cas 2 (figure 6 (a)).

(a)

-1.2e-07 -1e-07 -8e-08 -6e-08 -4e-08 -2e-08 0

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

DEPLACEMENT [m]

TEMPS [s]

3 couches 6 couches

(b)

Figure 6 – ´ Etude de l’influence de la taille de la zone de recouvrement

Les courbes de la figure 6 (b), d´ ecrivant le d´ eplacement dans les cas 1 et 2, montrent l’influence de la taille de la zone de recouvrement sur le comportement du syst` eme ` a une abscisse donn´ ee. En effet, la r´ eponse du syst` eme dans la zone de couplage d´ epend fortement de la pond´ eration de l’´ energie des domaines continu et discret.

Le test de flexion est maintenant r´ ealis´ e en augmentant le nombre de couches d’´ el´ ements discrets et en

conservant la mˆ eme masse totale du milieu discret et mˆ eme chargement que pr´ ec´ edemment. La zone de

recouvrement est constitu´ ee de 7 particules coupl´ ees aux nœuds ´ el´ ements finis. A travers cet exemple,

on veut ´ etudier le comportement du syst` eme dans le cas d’un empilement. Les Figures 7 (a) et 7 (b)

repr´ esentent respectivement le d´ eplacement et le champs de vitesses du syst` eme ` a t = 5.10

s.

-1.2e-07 -1e-07 -8e-08 -6e-08 -4e-08 -2e-08

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

DEPLACEMENT [m]

POSITION [m]

(a)

(b)

Figure 7 – Essai de flexion avec trois couches ´ el´ ements discrets

Le comportement est similaire ` a celui obtenu pr´ ec´ edemment, cependant le syst` eme est plus rigide en raison du nombre de couches d’´ el´ ements discrets.

6 Conclusion et Perspectives

Au cours de ce travail, nous avons utilis´ e une formulation de couplage entre deux mod` eles physiquement et num´ eriquement distincts. Les tests num´ eriques en flexion ont permis d’´ etudier le comportement d’un syst` eme coupl´ e. Par ailleurs, l’influence de la taille de la zone de recouvrement et de l’´ epaisseur du milieu discret ont ´ et´ e ´ egalement ´ etudi´ ees. A court terme, notre travail portera sur le couplage MEF-MED dans le cas bidimensionnel en vue de mod´ eliser le comportement de l’interface de contact.

Cette mod´ elisation permettra d’´ etudier l’influence des param` etres locaux (coefficient de frottement local, force de coh´ esion, taille des particules,...) et de l’´ etendue de la zone de recouvrement sur le comportement global de l’interface de contact. In fine, l’avanc´ e scientifique majeure de ce travail sera d’introduire des lois de comportement physiquement fond´ ees de l’interface de contact dans les mod` eles macroscopiques.

R´ ef´ erences

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