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Modélisation et simulation des interfaces non classiques
dans l’écoulement de Stokes et dans les composites
élastiques fibreux
Anh-Tuan Tran
To cite this version:
Anh-Tuan Tran. Modélisation et simulation des interfaces non classiques dans l’écoulement de Stokes et dans les composites élastiques fibreux. Autre. Université Paris-Est, 2014. Français. �NNT : 2014PEST1071�. �tel-01126858�
UNIVERSITÉ PARIS EST
A
NNÉE2014
THÈSE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ PARIS EST
Discipline: Génie Civil
présentée par
TRAN Anh Tuan
Titre :
Modélisation et simulation des interfaces non classiques dans
l’écoulement de Stokes et dans les composites élastiques fibreux
soutenue le 1
erDécembre 2014 devant le jury composé de
M. RAMTANI Salah
Président
M. MICHELITSCH Thomas
Rapporteur
M. RAKOTOMANANA Lalaonirina
Rapporteur
M. PAGGI Marco
Examinateur
M. LE QUANG Hung
Co-directeur de thèse
Remerciements
En premier lieu, je voudrais adresser mes remerciements à mon directeur de thèse Monsieur Qi-Chang HE pour avoir dirigé cette thèse et m’avoir permis de la réaliser dans les meilleures condi-tions. Je tiens particulièrement à le remercier de sa confiance et de son aide scientifique.
Je remercie également Monsieur Hung LEQUANG, pour son encadrement et sa disponibilité ainsi que sa gentillesse. J’ai particulièrement beaucoup apprécié ses précieux conseils et ses qualités pédagogiques qui m’ont permis d’avancer dans mes recherches
Je souhaite exprimer mes remerciements à Monsieur Lalaonirina RAKOTOMANANA et Monsieur Thomas MICHELITSCH d’avoir accepté de rapporter mon travail. Leurs conseils et suggestions m’ont aidé à améliorer la qualité de ce mémoire.
J’exprime également ma profonde gratitude à Monsieur Salah RAMTANI pour avoir accepté de présider mon jury de thèse.
Je remercie très chaleureusement Monsieur Marco PAGGI qui a accepté de participer au jury et qui a bien voulu juger mon travail.
Mes remerciements vont également à mes amis vietnamiens et tous les membres du laboratoire MSME.
Je conclus par remercier de tout mon cœur mes parents, ma femme et mes filles qui m’ont fortement encouragé.
Résumé : Ce travail de thèse, constitué de deux parties apparemment très différentes, a pour ob-jectif commun de modéliser et simuler certaines interfaces non classiques en mécanique des flu-ides et en mécanique des solflu-ides. Dans la première partie qu’est la partie principale du travail, l’écoulement de Stokes d’un fluide dans un canal encadré par deux parois solides parallèles est étudié. La surface d’une paroi étant supposée lisse, la condition d’adhérence parfaite classique est adoptée pour l’interface fluide-solide homogène correspondante. La surface de l’autre paroi étant supposée rugueuse et capable de piéger de petites poches d’air, l’interface liquide-solide corre-spondante est donc hétérogène. La première partie de ce travail consiste à homogénéiser l’interface liquide-solide hétérogène de façon à remplacer cette dernière par une interface fluide-solide ho-mogène imparfaite caractérisée par une longueur de glissement effective. Le problème essentiel de déterminer la longueur de glissement effective est résolu par le développement : (i) d’une approche semi-analytique dans le cas où la surface rugueuse est périodique; (ii) d’une approche basée sur la méthode de solution fondamentale dans le cas où la surface rugueuse est aléatoire. Les résul-tats obtenus par les approches développées sont systématiquement comparés avec ceux délivrés par la méthode des éléments finis. La deuxième partie du travail est de déterminer les modules élas-tiques effectifs d’un composite fibreux dans lequel les interfaces entre la matrice et les fibres sont imparfaites et décrites par le modèle membranaire. Une méthode numérique efficace basée sur la transformée de Fourier est ainsi développée et implantée pour traiter le cas général où la section d’une fibre peut avoir une forme quelconque.
Mots-clés: Écoulement de Stokes; Surface rugueuse; Surface hydrophile; Surface hydrophobe; Longueur de glissement effective; Méthode de collocation; Méthode de solution fondamentale; Composite fibreux; Modules élastiques effectifs; Interface membranaire; Transformée de Fourier rapide.
Abstract: The present work, consisting of two seemingly very different parties, aims at modeling and simulating some non-classical interfaces in fluid mechanics and solid mechanics. In the first part which is the main part of the work, the Stokes flow of a fluid in a channel bounded by two parallel solid walls is studied. The surface of a solid wall being assumed to be smooth, the classic perfect adherence condition is adopted for the corresponding homogeneous fluid-solid interface. The surface of the other wall being taken to be rough and capable of trapping small pockets of air, the corresponding liquid-solid interface is heterogeneous. The first part of this work is to ho-mogenize the heterogeneous liquid-solid interface so as to replace it by an imperfect homogeneous fluid-solid interface characterized by an effective slip length. The essential underlying problem of determining the effective slip length is achieved by developing: (i) a semi-analytical approach when
the rough surface is periodic; (ii) an approach based on the fundamental solution method when the surface is randomly rough. The results obtained by the developed approaches are systematically compared with those issued from the finite element method. The second part of the work is to de-termine the effective elastic moduli of a fiber composite in which the interfaces between the matrix and fibers are imperfect and described by the membrane model. An efficient numerical method based on the fast Fourier transform is developed and implemented to treat the general case where the section of a fiber can be of any shape.
Key-words:Stokes flow; Rough surface; Hydrophilic surface; Hydrophobic surface; Effective slid-ing length; Collocation method; Basic solution method; Fiber-reinforced composite; Effective elas-tic moduli; Membrane interface; Fast Fourier Transform.
Table des matières
Remerciements 3
Introduction générale 15
Notations 18
1 Éléments de base sur l’écoulement de Stokes et sur l’interface fluide-solide 20
1.1 Écoulement de Stokes . . . 20
1.1.1 Équations de Stokes et conditions aux limites . . . 20
1.1.2 Écoulement de Poiseuille . . . 22
1.1.3 Écoulement plan de Couette . . . 24
1.2 Interface liquide–solide . . . 25
1.2.1 Mouillabilité . . . 25
1.2.2 Rugosité . . . 26
1.2.3 Influences des propriétés de l’interface sur le comportement hydrodynamique 27 1.2.4 Superhydrophobicité . . . 28
1.2.5 Glissement effectif . . . 31
2 Approche semi-analytique pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont la microstructure surfacique est périodique et symétrique 35 2.1 Description du modèle . . . 35
2.2 Formulation du problème . . . 37
2.3 Résolution du problème . . . 40
2.4 Résultats numériques et comparaisons . . . 44
2.4.1 Écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux ou trous de section circulaire . . . 44
2.4.2 Écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux ou trous de
section rectangulaire . . . 45
2.4.3 Écoulement sur une surface comportant des rayures transversales ou longi-tudinales . . . 46
2.4.4 Écoulement sur une surface rugueuse ayant la texture d’un échiquier . . . . 48
2.4.5 Écoulement sur une surface constituée d’un assemblage de cercles composites 50 2.4.6 Étude de convergence . . . 54
2.5 Conclusion . . . 54
3 Approche semi-analytique pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont la microstructure surfacique est périodique mais non symétrique 56 3.1 Description du problème . . . 56
3.2 Formulation du problème . . . 57
3.3 Résolution du problème . . . 60
3.4 Écoulement transversal . . . 63
3.5 Applications numériques et validations . . . 64
3.5.1 Écoulement sur la surface constituée de poteaux ou de trous de section circulaire . . . 65
3.5.2 Écoulement sur les rayures transversales ou longitudinales . . . 67
3.5.3 Écoulement sur les rayures parallèlles inclinées par rapport la direction du gradient de pression . . . 68
3.5.4 Étude de convergence . . . 69
3.6 Conclusion . . . 69
4 Méthode de solution fondamentale pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont la microstructure surfacique est non périodique : cas bidimensionnel 72 4.1 Introduction . . . 72
4.2 Méthode de solution fondamentale classique (MSF) . . . 73
4.2.1 Description du problème . . . 73
4.2.2 Formulation et résolution du problème . . . 74
4.3 Méthode de solution fondamentale dévelopée (MSFD) . . . 77
4.3.1 Formulations et résolutions du problème . . . 77
4.3.2 Écoulement sur la surface avec la longueur de glissement variant selon une fonction trigonométrique . . . 81
4.4 Détermination d’un SER pour un écoulement sur une surface arbitraire . . . 81
4.5 Résultats numériques et comparaisons . . . 82
4.5.1 Écoulement plan sur une surface constituée de deux zones glissante et ad-hérente . . . 82
4.5.2 Écoulement plan sur la surface avec des rayures transversales périodique-ment disposées . . . 83
4.5.3 Écoulement sur une surface avec la longueur de glissement variant en fonc-tion cosinus . . . 83
4.5.4 Écoulement sur une surface avec des rayures disposées aléatoirement . . . 84
4.6 Conclusion . . . 86
5 Méthode de solution fondamentale pour l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une paroi dont la microstructure surfacique est non périodique : cas tridimensionnel 88 5.1 Description du problème considéré . . . 88
5.2 Formulation et résolution du problème . . . 89
5.3 Résultats numériques et comparaisons . . . 94
5.4 Conclusion . . . 95
6 Méthode basée sur la transformée de Fourier rapide pour les composites élastiques fibreux avec interfaces membranaires 96 6.1 Introduction . . . 96
6.2 Description du matériau considéré et modèle de l’interface imparfaite de type mem-brane . . . 97
6.3 Solution du problème local . . . 99
6.3.1 Équations fondamentales dans l’espace réelle . . . 99
6.3.2 Équations fondamentales dans l’espace de Fourier . . . 103
6.3.3 Résolution du problème local . . . 107
6.4 Exemples numériques . . . 109
6.4.1 Matériau poreux avec pores cylindriques circulaires . . . 109
6.4.2 Matériau poreux avec pores de formes non-circulaires . . . 110
Conclusion et perspectives 115
Bibliographie 116
A 127 A.1 Établissement des fonctions à la variable z dans les expressions (3.18) − (3.21) . . 127 A.2 Expressions des coefficients inconus dans les équations (3.26) et (3.27) . . . 134
B 136
B.1 Expressions en détail de la matrice A et du vecteur c . . . 136 B.2 Expressions en détail de la matrice B et du vecteur d . . . 137
C 138
C.1 Expressions en détail de la matrice C et du vecteur a . . . 138
D 140
D.1 Établissement des formules a(i) pkl(x), b
(i)
pklr(x) et y (i)
pskl(x) . . . 140
D.2 Les expressions détaillées dans les équations (6.59), (6.67), (6.68), (6.85), (6.86) et (6.87) . . . 141 D.3 Résolution du système des équations (6.91) . . . 153
Table des figures
1.1 Interprétation géométrique de la longueur de Navier. . . 21 1.2 Schéma présentant le glissement moléculaire. . . 22 1.3 Schéma présentant le glissement apparent. . . 22 1.4 Écoulement de Poiseuille: (a) avec les conditions de glissement nul sur les deux
parois, (b) avec la condition de glissement partiel sur la paroi inférieure. . . 23 1.5 Écoulement de Couette: (a) avec les conditions de glissement nul sur les deux
parois, (b) avec la condition de glissement partiel sur la paroi inférieure. . . 24 1.6 Différentes situations de mouillage définies par l’angle de contact : (a) mouillage
total; (b) mouillage partiel (hydrophile); (c) Mouillage partiel (hydrophobe); (d) séchage total. . . 26 1.7 Modèle de Cassie (a) et celui de Wenzel (b). . . 27 1.8 Exemples de substances naturelles superhydrophobes : (a) feuille d’oreille d’éléphant
(colocasia esculenta); (b) patte du gerris. . . 29 1.9 Exemples de surfaces superhydrophobes synthétiques : (a) poteaux circulaires dans
Bico et al. (1999); (b) trous circulaires dans Steinberger et al. (2008); (c) poteaux carrés dans Yoshimitsu et al. (2002); (d) rayures parallèles dans Yoshimitsu et al. (2002).. . . 30 1.10 Goutte d’eau sur un substrat recouvert par un réseau des piliers : (a) état de
Cassie; (b) état de Wenzel. . . 31 1.11 Profils des vitesse et longueurs de glissement effectives pour une interface
péri-odiquement rugueuse (a) et pour une interface aléatoirement rugueuse (b). . . 32 1.12 Surfaces texturées spéciales: (a) rayures parallèles; (b) assemblage de cercles
composites à double couche de Hashin-Shtrikman; (c) Schulgasser.. . . 32 1.13 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H dans
le travail de Vinogradova et Belyaev (2011). . . 34 2.1 Configuration du canal d’épaisseur H ayant une paroi SH. . . 35
2.2 Volume élémentaire représentatif U. . . 36 2.3 Quelques configurations de la surface SH: (a) Poteaux circulaires; (b) Deux
ré-gions; (c) Trous circulaires; (d) Rayures longitudinales; (e) Quatre réré-gions; (f) Rayures transversales; (g) Poteaux rectangulaires; (h) Echiquier; (i) Trous rectan-gulaires. . . 38 2.4 Distributions des points de collocation : (a) Texture de deux régions; (b) Texture
de quatre régions. . . 43 2.5 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur une surface rugueuse comportant des poteaux de section circulaire. 45 2.6 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur la surface comportant des trous de section circulaire. . . 46 2.7 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H dans
la cas où la surface de la paroi inférieure comporte des poteaux carrés. . . 47 2.8 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H dans
la cas où la surface de la paroi inférieure comporte des trous carrés. . . 47 2.9 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur une surface à rayures longitudinales et transversales dans le cas de λ = 20 et φ = 0.75, et comparaisons avec les résultats de Vinogradova et Balyaev (2011). . . 48 2.10 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur la surface à rayures longitudinales et transversales, et compara-isons avec les résultats fournis par MEF. . . 49 2.11 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur une surface ayant la texture d’un échiquier, et comparaisons avec le résultat analytique de Feuillebois et al. (2009) et et les résultats numériques fournis par MEF. . . 50 2.12 Relation entre la longueur de glissement effective b et la longueur de glissement
locale λ pour l’écoulement sur une surface ayant la texture d’un échiquier et com-paraisons avec les bornes de Weiner et de Hashin-Shtrikman. . . 51 2.13 Modèle de l’inclusion neutre : (a) texture de trois phases; (b) Distribution des
2.14 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H dans le cas où la texture de la surface de la paroi inférieure correspond à un assemblage de cercles composites, et comparaisons avec les borne de Hashin-Shtrikman. . . . 53 2.15 Champs des vitesses sur la surface de la paroi inférieure pour les deux cas : (a)
λ1 = 0 et λ2 = 20; (b) λ1 = 20 and λ2 = 0. . . 54
2.16 Etude de convergence en fonction du nombre N de termes retenus dans les équa-tions (2.37) and (2.38). . . 55 3.1 (a) Configuration du canal d’épaisseur H avec une des deux parois est périodique,
hétérogène et superhydrophobe; (b) Vue en espace de dimension trois d’un volume élémentaire représentatif U; (c) Vue en plan d’une cellule de base ω contenant le mélange des zones glissement et adhérente mélangées. . . 57 3.2 Distribution des points de collocation sur une surface typique ω. . . 63 3.3 Description de l’écoulement transversal. . . 64 3.4 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface des poteaux circulaires et carrément distribués. . . 66 3.5 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface avec trous circulaires et carrément distribués. . . . 66 3.6 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface avec poteaux (ligne solide) et trous circulaires (ligne pointillée). . . 67 3.7 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
l’écoulement sur la surface des poteaux (ligne solide) et des trous circulaires (ligne pointillée) distribuant arbitrairement et comparaison avec les bornes de Wiener et de Hashin-Shtrikman. . . 68 3.8 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface des rayures longitudinales et transversales dans le cas de λ = 20 et φ = 0.75, et comparaison avec les résultats de Vinogradova et Balyaev (2011). . . 69 3.9 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface des rayures longitudinales et transversales, et com-paraison avec les résultats fournis par FEM avec Comsol Multiphysics. . . 70 3.10 Rapport des composantes |Qy/Qx| du debit Q pour l’angle θ égal à 45◦. . . 70
3.11 Variation du rapport des composantes |Qy/Qx| du debit Q correspondant à l’angle
θmaxen fonction de l’épaisseur du canal pour les cas de φ=0.2, 0.5 et 0.9. . . 71
3.12 Influence de la valeur N sur la valeur de b. . . 71 4.1 Discrétisation d’une frontière pour la méthode de solution fondamentale. . . 73 4.2 Description du problème. (a) Écoulement plan confiné dans un canal ayant une
paroi hétérogène. (b) Distribution des points de frontière et des points de source. . 74 4.3 Discrétisation de la frontère inférieure et distribution des points de source. . . 78 4.4 Location du Stokeslet et de son image pour le calcul de la fonction de Green en
espace semi-infini.. . . 79 4.5 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface ayant une rayure transversale.. . . 83 4.6 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H pour
un écoulement sur une surface des rayures transversales périodiquement distribuées. 84 4.7 Relation entre la longueur de glissement effective b et la longueur de glissement
microscopique λb avec λa = 1. . . 85
4.8 Relation entre la longueur de glissement effective b et la longueur de glissement microscopique λa. . . 85
4.9 Relation entre la moyenne de la longueur de glissement effective bK et la taille du
SER. . . 86 4.10 Relation entre le nombre de réalisation et la taille du SER. . . 86 5.1 Schéma du canal ayant la paroi inférieure composé d’un mélange des régions
glis-sante et adhérente. . . 89 5.2 Location du Stokeslet et son image pour le calcul de la fonction de Green dans un
espace semi-infini.. . . 91 5.3 Discrétisation de la frontière inférieure et distribution des points de source. . . 91 5.4 Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H
cor-respondant à la surface ayant un trou carré . . . 95 6.1 Composite avec des fibres distribués sous la forme (a) cubique et (b) hexagonale. . 97 6.2 Variation du rapport k∗/k∗ C en fonction de Ri. . . 110 6.3 Variation du rapport m∗/m∗ C en fonction de Ri. . . 111 6.4 Variation du rapport n∗/n∗ C en fonction de Ri. . . 111 6.5 Variation du rapport l∗/l∗ C en fonction de Ri. . . 112
6.6 Variation du rapport G∗/G∗ C en fonction de Ri. . . 112 6.7 Variation du rapport G′∗/G′∗ C en fonction de Ri. . . 113 6.8 Variation du rapport k∗/κ M en fonction de Ri . . . 113
6.9 Les formes des pores considérées. . . 114 6.10 Variation du rapport k∗/κ
Introduction générale
En mécanique, le concept des interfaces parfaites est traditionnellement ou classiquement adopté. En mécanique des solides, une interface est dite parfaite si et seulement si le vecteur des déplace-ments et le vecteur des contraintes sont tous continus à travers elle. En mécanique des fluides, une interface est dite parfaite si et seulement si le saut du vecteur des vitesses et celui du vecteur des contraintes à travers elle sont simultanément nuls. Quand ces conditions ne sont pas satisfaites par une interface, celle-ci est dite imparfaite ou non classique.
En mécanique des fluides, nous pouvons remonter les études d’interfaces imparfaites aux travaux de Navier (1823) qui a introduit le concept de longueur de glissement pour l’écoulement d’un fluide sur une paroi solide. Nous mentionnons également Maxwell (1879) qui a utilisé un concept simi-laire dans une étude sur les gaz raréfiés. En mécanique des solides, les premières études d’interfaces imparfaites ne sont non plus très récentes. En particulier, nous pouvons citer les travaux de Shut-tleworth (1950) et Povstenko (1993).
Depuis une dizaine d’années, les investigations théoriques, expérimentales et numériques sur les in-terfaces imparfaites ou non classiques se sont considérablement intensifiées et accélérées. Parmi les nombreuses raisons qui sont à l’origine de cet état de fait, la plus importante est probablement due au développement : (i) des nanostructures et nanomatériaux concernant la mécanique des solides; (ii) de la microfluidique et de la nanofluidique en ce qui concerne la mécanique des fluides. En effet, beaucoup de phénomènes de surface ou d’interface qui sont négligeables à l’échelle macro-scopique ne le sont plus à l’échelle micromacro-scopique ou nanométrique. En particulier, une surface ou interface nominalement lisse à l’échelle macroscopique se révèle souvent rugueuse à l’échelle microscopique ou nanométrique. De plus, l’énergie superficielle ou interfaciale qui est souvent négligeable pour une structure de taille macroscopique ou un matériau solide traditionnel peut de-venir très importante pour une structure de taille nanométrique ou un matériau nanostructuré du fait que le rapport entre la surface et le volume de la première ou celui entre l’interface et le volume du second est très grand.
impar-faites ou non classiques en mécanique des fluides et en mécanique des solides. Dans la première partie qui est la partie principale du travail, nous étudions l’écoulement de Stokes d’un fluide dans un canal formé par deux parois solides parallèles. Une des parois est lisse et l’interface fluide-solide correspondante est supposée homogène et parfaite. L’autre des parois est rugueuse et capable de piéger de petites poches d’air et l’interface liquide-solide résultante est donc hétérogène. L’objectif essentiel de la première partie du travail de thèse est d’homogénéiser cette interface liquide-solide hétérogène de sorte à la remplacer par une interface fluide-solide homogène imparfaite équivalente caractérisée par une longueur de glissement effective. Pour atteindre cet objectif, nous développons successivement une approche seanalytique dans le cas où la paroi rugueuse est dotée d’une mi-crostructure surfacique périodique et une approche basée sur la méthode de solution fondamentale dans le cas où la paroi rugueuse possède une microstructure surfacique aléatoire. Ces deux méth-odes sont numériquement implantées et appliquées à des situations d’importance théorique ou/et pratique. Les résultats ainsi obtenus sont systématiquement comparés avec ceux présentés dans la littérature ou ceux issus de la méthode des éléments finis. Par rapport aux travaux, par exemple, des travaux de Teo et Khoo (2009), Ng et Wang (2010), Feuillebois et al. (2009), Balyaev et Vino-gradova (2010), VinoVino-gradova et Balyaev (2011), nos approches et résultats présentent en particulier l’avantage d’être valables indépendamment la distance entre les deux parois du canal.
La deuxième partie de ce travail de thèse est dédiée à la détermination des modules élastiques effec-tifs d’un composite fibreux dans lequel les interfaces entre la matrice et les fibres sont imparfaites et décrites par le modèle d’interface imparfaite membranaire. Une méthode numérique efficace basée sur la transformée de Fourier est proposée et implantée. En comparaison avec les travaux de Sharma et Ganti (2004), Le Quang et He (2007, 2008, 2009) et Le Quang et al. (2011), la méth-ode proposée est capable de traiter le cas général où la section d’une fibre a forme géométrique quelconque.
Ce mémoire de thèse est structuré en 6 chapitres comme suit.
Le premier chapitre est essentiellement de nature bibliographique. Dans ce chapitre, on rappelle les définitions et équations de base sur l’écoulement de Stokes d’un fluide et sur l’interface liquide-solide, qui seront utiles pour les chapitres 2-5.
Le deuxième chapitre présente une méthode semi-analytique pour traiter le problème de l’écoulement de Stokes d’un fluide dans un canal formé par deux parois parallèles de distance arbitraire. Une des parois est lisse et vérifie la condition d’adhérence parfaite classique; l’autre des parois présente une rugosité périodique et symétrique par rapport aux droites parallèle à la direction de l’écoulement et perpendiculaire à cette dernière et elle est caractérisée par une longueur de glissement
micro-scopique qui est une fonction périodique du vecteur de position sur la paroi en question. La résolu-tion de ce problème permet de déterminer les champs des vitesses et de la pression mais également la longueur de glissement effective. Les résultats semi-analytiques obtenus pour des microstruc-tures surfaciques représentatives sont finalement comparés avec les résultats numériques fournis par la méthode des éléments finis et les résultats analytiques donnés dans la littérature.
Dans le chapitre 3, la méthode semi-analytique développée dans le chapitre 2 est étendue au cas où la celle de base de la paroi périodiquement rugueuse ne présente aucun axe de symétrie. Les résul-tats semi-analytiques obtenus sont également comparés avec et validés par les résulrésul-tats numériques issus de la méthode des éléments et les résultats analytiques trouvés dans la littérature.
Le chapitre 4 est dédié à la résolution du problème de l’écoulement de Stokes d’un fluide dans le canal bidimensionnel susmentionné dont la paroi unidimensionnelle rugueuse n’a pas une mi-crostructure périodique mais aléatoire. A cette fin mais aussi pour déterminer la longueur de glissement effective, une approche numérique fondée sur la méthode de solution fondamentale est élaborée. Les résultats obtenus par cette approche sont comparés et validés pour des exemples représentatifs.
Au chapitre 5, l’approche développée en chapitre 4 est étendue au cas plus général où le canal n’est pas bidimensionnel mais tridimensionnel. En particulier, la fonction de Green correspondante pour un espace semi-infini est utilisée et exploitée. Encore une fois, les résultats obtenus sont comparés et validés à travers des exemples.
Dans chapitre 6, la méthode numérique basée sur la transformée de Fourier rapide est construite pour calculer les propriétés élastiques effectives des composites fibreux avec prise en compte des interfaces entre la matrice et les fibres décrites par le modèle d’interface imparfaite membranaire. Quelques applications sont données pour illustrer et valider la méthode proposée.
Dans le dernier chapitre, à savoir chapitre 7, nous en tirons des conclusions et présentons des perspectives.
Notations
• Notations tensorielles
a scalaire, . produit contracté d’ordre un, a vecteur, : produit contracté d’ordre deux,
A tenseurs d’ordre deux, ⊗ produit tensoriel,
A tenseurs d’ordre quatre, ⊗s produit tensoriel symétrisé, I tenseur identité d’ordre deux, δij symbole de Kronecker,
I tenseur identité d’ordre quatre, n vecteur normal. • Calculs tensoriels
a.b = aibi, (Ab)i=Aijbj, (AB)ij=Aikbkj,
A : B = AijBij, (AB)ij=AijklBkl, (AB)ijkl=AijmnBmnkl,
(a ⊗ b)ij = aibj, (A ⊗ B)ijkl=AijBkl, (A⊗B)ijkl=12(AikBjl+ AilBjk).
u champ de vitesse
p champ de pression
b longueur de glissement effective
λ longueur de glissement microscopique
H épaisseur du canal
• Notations propres aux chapitres 6 u champ de déplacement
ε tenseur de déformation microscopique
σ tenseur de contrainte de Cauchy microscopique
Chapitre 1
Éléments de base sur l’écoulement de Stokes
et sur l’interface fluide-solide
1.1 Écoulement de Stokes
Dans ce travail de thèse, nous étudierons essentiellement l’écoulement d’un fluide visqueux incom-pressible en régime laminaire et à faible nombre de Reynolds. Donc, cet écoulement est régi par les équations de Stokes, qui peuvent être considérées comme une forme réduite des équations de Navier-Stokes.
1.1.1 Équations de Stokes et conditions aux limites
Nous considérons l’écoulement d’un fluide visqueux incompressible dans un domaine tridimen-sionnel Ω. Les champs de vitesse bu(bx) et de pression bp(bx) de ce fluide sont gouvernés par les équations de Stokes :
µ∆bu(bx) = ∇bp(bx), (1.1)
∇ · bu(bx) = 0, (1.2)
où bx ∈ Ω . Les expressions (1.1) et (1.2) sont respectivement l’équation du mouvement et l’équation de la conservation de la masse avec µ étant le coefficient de viscosité dynamique
Pour résoudre les équations de Stokes, il faut y ajouter les conditions aux limites. Dans le cas où un fluide s’écoule sur une paroi solide, la condition de non-glissement à l’interface fluide-solide a été accepté durant plusieurs centaines d’années (Bachelor 2000). La validité de cette condition clas-sique est fondée sur l’hypothèse qu’une paroi solide est lisse. Cette hypothèse est souvent validée à l’échelle macroscopique. Cependant, quand on s’intéresse à des phénomènes se produisant à une
petite échelle, par exemple à l’échelle microscopique ou nanométrique, une paroi solide ne peut plus être considérée comme étant lisse mais rugueuse. Cette rugosité fait que la condition de non glissement doit être remplacée par des conditions de glissement partiel et infini.
Le premier concept de glissement liquide-solide a été initié d’abord par Navier (1823) et ensuite proposé par Maxwell (1879). Comme illustré géométriquement sur la figure 1.1, dans le modèle de Navier, la composante de la vitesse parallèle au solide à l’interface fluide-solide est proportionnelle au taux de cisaillement ou au gradient normal de la vitesse :
bu(bxs) = bλ
∂bu
∂bz(bxs), (1.3) où bxs appartient à l’interface fluide-solide, bz est la coordonnée suivant la direction normale à
cette dernière, et bλ est la longueur de glissement locale ou la longueur de Navier, qui correspond géométriquement à la profondeur fictive à l’intérieur du solide au bout de laquelle la vitesse relative fluide-solide deviendrait nulle. Par conséquent, la condition de non-glissement est caractérisée par bλ = 0; 0 < bλ < ∞ correspond au phénomène de glissement partiel; bλ = ∞ signifie le glissement infini qui équivaut à un cisaillement nul à l’interface fluide-solide.
λ=0
ˆ λ=ˆ ∞ 0<λ<ˆ ∞
No slip Perfect slip Partial slip
λˆ
FIGURE 1.1: Interprétation géométrique de la longueur de Navier.
Pour comprendre les raisons physiques de glissement, on s’intéresse à deux situations de glissement d’un liquide sur un solide.
Glissement moléculaire ou intrinsèque
Sur la figure 1.2 est illustré le glissement des molécules d’un fluide sur une surface solide. Comme mentionnée dans les travaux de Vinogradova (1999) et de Bocquet et Barrat (2007), dans cette situation de glissement, une grande longueur de glissement ne peut être atteinte. Selon Huang et al. (2008), la longueur de glissement est souvent inférieure à 20 nm. Donc, il n’est pas nécessaire d’en tenir compte dans les applications où l’échelle caractéristique du phénomène en question est relativement importante.
b
us
Liquid
Solid Fictitious no-slip plane
FIGURE 1.2: Schéma présentant le glissement moléculaire.
Glissement apparent
Vinogradova (1999) a décrit l’existence d’une couche microscopique gazeuse, appelée film lubrifi-ant, qui se trouve à l’interface solide-liquide et facilite le mouvement relatif entre la surface solide et le liquide. Si le film a une épaisseur e et une viscosité µg alors que le liquide a une viscosité µ,
on peut estimer la longueur de glissement correspondante comme suit : bλ = e µ µg − 1 ≃ eµµ g , (1.4)
Cette longueur devient importante devant l’épaisseur du film lubrifiant si le rapport des viscosités, µ/µg, est suffisamment grand. Ce phénomène de glissement est illustré dans la figure 1.3.
b
us
Liquid
Solid Fictitious no-slip plane
μg Lubricating gas film
μ
FIGURE 1.3: Schéma présentant le glissement apparent.
1.1.2 Écoulement de Poiseuille
On considère l’écoulement d’un fluide visqueux incompressible dans un canal encadré par deux parois planes parallèles. Cet écoulement est entraîné par l’action de la différence des pressions aux deux bords d’entrée et de sortie du canal. La figure 1.4 présente la configuration géométrique du domaine en question et la convention adoptée pour le système de coordonnées. En partic-ulier, un gradient de pression ∇bp = (−σ, 0, 0)T dirigé le long de l’axe x est établi pour conduire
x y z O Hˆ x y z O Hˆ us (a) (b)
FIGURE 1.4: Écoulement de Poiseuille: (a) avec les conditions de glissement nul sur les deux
parois, (b) avec la condition de glissement partiel sur la paroi inférieure.
Le champs des vitesses prend la forme bu = (bu, 0, 0)T. Alors, les équations du mouvement et la
condition d’incompressibilité sont données par ∂p(bbx) ∂x = µ ∂2bu(bx) ∂z2 , ∂p(bbx) ∂y = 0, ∂p(bbx) ∂z = 0, (1.5) ∂bu(bx) ∂x = 0. (1.6)
En intégrant l’équation (1.5) nous obtenons bu(bx) = − σ
2µbz
2+ A
bz + B, (1.7)
Conditions de glissement nul sur les deux parois L’imposition des conditions aux limites
bu(bx) bz=0, bH = 0, (1.8) permet de déterminer les champs des vitesses et de la pression :
buP(bx) = buP(bx), 0, 0 avec buP (bx) = −σbz 2 2µ + σ bHbz 2µ , (1.9) b pP(bx) = −σbx + bp0. (1.10)
Le profil de vitesse dans ce cas est illustré sur la figure 1.4a. Condition de glissement partiel sur la paroi inférieure
Dans ce cas, les conditions aux limites peuvent être exprimées par bu(bx) bz=0= bλ∂bu(bx) ∂bz b z=0 et bu(bx) z= bb H = 0, (1.11) où bλ est la longueur de glissement caractérisant l’effet de glissement sur la paroi inférieure.
En introduisant l’équation (1.7) dans les expressions (1.11), nous obtenons la solution pour le champs des vitesses comme suit
buP(bx) = buP(bx), 0, 0 avec buP(bx) = −σbz 2 2µ + σ bH2bz 2µ( bH + bλ) + σ bH2bλ 2µ( bH + bλ). (1.12) Le profil correspondant est présenté sur la figure 1.4b.
1.1.3 Écoulement plan de Couette
L’écoulement plan de Couette a lieu entre deux parois planes situées respectivement à bz = 0 et à bz = bH. Cet écoulement est généré par un mouvement de translation parallèle au plan Oxy de vitesse ( bU, 0, 0) de la paroi plane supérieure. La configuration géométrique de cet écoulement est illustrée sur la figure 1.5.
x y z O Hˆ x y z O Hˆ us (a) (b)
FIGURE 1.5: Écoulement de Couette: (a) avec les conditions de glissement nul sur les deux parois,
(b) avec la condition de glissement partiel sur la paroi inférieure. L’équation du mouvement dans ce cas reste
0 = µ∂
2bu(bx)
∂z2 . (1.13)
En intégrant deux fois l’équation ci-dessus, on obtient
bu(bx) = Abz + B, (1.14) Conditions de glissement nul sur les deux parois
Les conditions aux limites d’adhérence sur les deux parois peuvent s’écrire sous les formes bu(bx) bz=0= 0 et bu(bx)
b
z= bH = bU . (1.15)
En substituant l’expression de la vitesse (1.14) dans (1.15), nous obtenons le champ des vitesses: buC(bx) = buC(bx), 0, 0 avec buC
(bx) = Ubb
On peut conclure que la pression est constante et donnée par b
pP(bx) = bp0. (1.17)
Condition de glissement partiel sur la paroi inférieure
Dans ce cas, on peut écrire les conditions aux limites comme suit : bu(bx) z=0b = bλ∂bu(bx) ∂bz b z=0 et bu(bx) bz= bH = bU. (1.18) On peut déduire facilement la solution pour le champs des vitesses :
buC(bx) = buC(bx), 0, 0 avec buC (bx) = Ubb Hbz + b U b Hbλ. (1.19) Les profils de vitesse correspondant aux deux cas considérés sont illustrés sur la figure 1.5.
1.2 Interface liquide–solide
L’interaction entre un liquide et un solide à leur interface joue un rôle important dans la déter-mination des conditions aux limites pour l’écoulement du liquide sur la paroi solide. L’objectif principal de cette section est de rappeler les propriétés élémentaires de l’interface liquide-solide et leurs influences sur l’écoulement.
1.2.1 Mouillabilité
Soit une gouttelette de liquide déposé sur une surface idéale à savoir une surface lisse homogène. Deux régimes distincts existent selon le coefficient d’étalement S, qui caractérise la mouilla-bilité d’une surface. Ce coefficient dépend des interactions moléculaires entre les trois phases solide/liquide/vapeur et est défini par
S = γSA− γLA− γLS, (1.20)
où γSA, γLAet γLS sont respectivement les tensions de surface des interfaces solide-air, liquide-air
et liquide-solide. Quand le coefficient d’étalement est plus grand que zéro, S > 0, on dit que le liquide mouille complètement le solide (mouillage total). Inversement, si le coefficient d’étalement est inférieur à zéro, S < 0, on dit que le solide est partiellement mouillé par le liquide (mouillage partiel).
Un autre paramètre est défini par Young (1805) pour distinguer les situations de mouillage. Il est appelé "l’angle de contact" et défini par
θ = arccos γSA− γLS γLA . (1.21)
En général, la surface est qualifiée de "hydrophile" ou " hydrophobe" suivant que l’angle de contact est inférieur ou supérieur à 90 degrés. Plus en détail, si l’angle de contact dépasse 140 degrés, la surface est dit "superhydrophobe". La classification des situations de mouillage d’un support solide par un fluide selon l’angle de contact θ est illustrée par la figure 1.6.
θ θ θ=0° θ θ 0°<θ<90° 90°<θ<180° θ=180° (a) (b) (c) (d)
FIGURE 1.6: Différentes situations de mouillage définies par l’angle de contact : (a) mouillage
total; (b) mouillage partiel (hydrophile); (c) Mouillage partiel (hydrophobe); (d) séchage total.
1.2.2 Rugosité
À l’échelle microscopique et nanométrique, la plupart des solides sont rugueuses à cause des leurs structures naturelles ou des méthodes de fabrication. Soit une goutte d’eau se reposant sur un solide rugueux. L’interface liquide-solide correspondante peut avoir un des deux états idéalisés décrits par : (i) le modèle de Wenzel (1936) selon lequel le liquide épouse parfaitement la surface rugueuse du solide; (ii) le modèle de Cassie (1944) d’après lequel le liquide repose sur le sommet des aspérités grâce à l’air emprisonné. Ces deux modèles sont présentés dans la figure 1.7.
Dans l’état de Wenzel, le fluide épouse complètement la surface rugueuse du solide. Donc, l’interface solide-liquide est chimiquement homogène. L’angle de contact apparent θW dans cet état est défini
en fonction de la rugosité r et de l’angle de Young θ par cos θW = r cos θ avec r =
Sr
Sa
. (1.22)
Ci-dessus, Sret Sa sont les surfaces réelle et apparente du substrat rugueux et elles sont illustrées
sur la figure 1.7. Il est intéressant de noter que la rugosité amplifie la mouillabilité : (i) une sur-face hydrophobe rugueuse est plus hydrophobe qu’une sursur-face hydrophobe lisse; (ii) une sursur-face hydrophile rugueuse est plus hydrophile qu’une surface hydrophile lisse.
Selon Cassie, si la rugosité d’un substrat est sévère, le liquide risque de ne pas se conformer au solide à cause de la présence des poches d’air piégées. Le substrat à l’état de Cassie est donc
s
rs
aφ
s1
(a) (b)
FIGURE 1.7: Modèle de Cassie (a) et celui de Wenzel (b).
chimiquement hétérogène. En supposant que le liquide est en contact avec le solide et l’air respec-tivement sur une fraction φs et (1 − φs) de la surface apparente, l’angle de contact correspondant
est déterminé par
cos θC = −1 + φs(1 + cos θ). (1.23)
Dans cet état, la diminution de la fraction surfacique du solide augmente l’angle de contact θC et
rend donc le substrat plus hydrophobe.
1.2.3 Influences des propriétés de l’interface sur le comportement
hydrody-namique
La mouillabilité joue un rôle important dans la détermination des conditions aux limites pour un écoulement sur une surface parfaitement lisse. En se basant sur les travaux théoriques et numériques de Bocquet et Barrat (2007), Sender et al. (2009), Bocquet et Charlaix (2010) et Kunert et al. (2010), on peut constater que l’effet du glissement n’apparaît pas sur la surface lisse hydrophile. Par contre, les investigations de Vinagrodova (1995), Bocquet et Barrat (2007), Andrienko et al. (2003), Harting et al. (2006), Vinogradova et al. (2006, 2009) et Joly et al. (2006) ont montré que cet effet existe sur la surface lisse hydrophobe et est caractérisé par une longueur de glissement d’une centaine de nanomètres. Ainsi, on peut dire qu’un fluide ne glisse pas sur une surface lisse hydrophile mais sur une surface lisse hydrophobe.
qui est lisse à l’échelle macroscopique se révèle souvent rugueuse à l’échelle microscopique ou nanométrique. Pour un écoulement sur une surface solide rugueuse, la mouillabilité et la rugosité de cette surface influencent fortement le comportement hydrodynamique à l’interface liquide-solide. Comme décrite dans le paragraphe §1.2.2, l’interface liquide-solide a deux états idéalisés : l’état de Wenzel et l’état de Cassie. Dans le cas où le fluide s’écoule sur une surface rugueuse hydrophile à l’état de Wenzel, le phénomène de glissement n’est pas clair. Deux conclusions contradictoires existent dans la littérature : d’une part, dans les travaux de Granick et al. (2003) et Zhu et Granick (2002), il est mentionné que la rugosité diminue l’effet du glissement; d’autre part, Bonaccurso et al. (2003) obtiennent une longueur de glissement très grande. Au cas d’une surface rugueuse hydrophobe ayant l’état de Cassie ou de Wenzel, la rugosité peut intensifier le glissement par la production d’une interface liquide-gaz. Donc, l’augmentation de la rugosité peut donner lieu à un état dit de "superhydrophobe" (SH) proposé dans les travaux de Cottin-Bizone et al. (2003, 2004).
1.2.4 Superhydrophobicité
Comme définie dans le sous-paragraphe §1.2.1, une surface est dite hydrophobe si l’angle de con-tact θ est supérieur à 90◦. Dans ce cas, θ est souvent compris entre 100◦ et 120◦. L’état
"super-hydrophobe" apparaît lorsque cet angle dépasse 140◦. Une surface ayant cet état est qualifié de
"superhydrophobe" (SH).
Il est important de remarquer que l’état de superhydrophobicité n’existe pas pour les surfaces par-faitement lisses, car leurs angles de contact ne dépassent jamais 120◦ même avec les matériaux
constituants les plus hydrophobes que l’on connaisse. Cependant, on peut trouver l’existence de cet état sur les surfaces de certaines plantes ou de certains animaux dans la nature. Par exemple, les feuilles de lotus sont très peu mouillables par l’eau. En effet, leurs surfaces possèdent d’une micro-ou nano-texture rugueuse. A ce propos, on peut citer les investigations portant sur les propriétés de superhydrophobie de certaines substances naturelles, par exemple dans les travaux de Barthlott et Neinhuis (1997a), Neinhuis et Barthlott (1997b), Wagner et al. (1996), Lee et al. (2004), Gao et Jiang (2004) et Bush et al. (2008). Sur la figure 1.8 on donne deux exemples de substances naturelles superhydrophobes : (a) feuille d’oreille d’éléphant (colocasia esculenta) dans le travail de Wagner et al. (2004); (b) patte du gerris dans le travail de Gao et Jiang (2004).
En s’inspirant des substances naturelles superhydrophobes, les propriétés hydrophobe de surfaces solides peuvent être améliorées par la création d’une micro-texture rugueuse. Les micro-textures destinées à réaliser une surface solide très hydrophobe peuvent être constituées de poteaux ou trous de section transverse circulaire ou carrée ou composées de rayures parallèles. Les micro-textures
(a) (b)
FIGURE 1.8: Exemples de substances naturelles superhydrophobes : (a) feuille d’oreille
d’éléphant (colocasia esculenta); (b) patte du gerris.
superhydrophobes synthétiques sont fabriquées et présentées dans les travaux de Bico et al. (1999), Öner et McCarthy (2000), Yoshimitsu et al. (2002), Nakajima et al. (2001), Feng et Jiang (2006) et Steinberger et al. (2008). Les surfaces superhydrophobes représentées sur la figure 1.9 sont composées successivement de : (a) poteaux circulaires; (b) trous circulaire; (c) poteaux carrés; (d) rayures parallèles.
Les études de Quéré (2005, 2008), Rothstein (2010) et Vinogradova et Dubov (2012) nous mon-trent que l’effet superhydrophobe peut se produire tant dans l’état de Wenzel que dans celui de Cassie. Dans l’état de Wenzel, l’augmentation de la surface solide par la présence de la rugosité amplifie l’hydrophobie. Ceci permet de dépasser l’angle de contact limite (120◦) des matériaux
chimiquement hydrophobes lisses de façon à rendre ces derniers superhydrophobes. On notera que les interfaces solide-liquide dans ce régime sont homogènes car le liquide peut bien pénétrer dans les pores de la surface solide. Par contre, si la rugosité du substrat hydrophobe est suffisamment grande, les poches d’air peuvent facilement être piégées dans les pores du substrat. Ainsi, le liquide repose alors sur une surface hétérogène constituée d’un mélange de solide et d’air. Ceci peut ren-forcer l’hydrophobie du substrat car l’angle de contact sera une moyenne entre celui sur le solide (120◦) et celui sur l’air (180◦).
Pour obtenir la superhydrophobie, l’état de Cassie est souvent plus souhaitable que celui de Wenzel. On peut énumérer des études récentes concernant la surface superhydrophobe en régime de Cassie. Par exemple, on peut citer les travaux de Sbragaglia et Prosperetti (2007), Ybert et al. (2007), Teo et Khoo (2009), Cheng et al. (2009), Ng et Wang (2009, 2010, 2011), Belyaev et Vinogradova (2010), Ng et al. (2010), Bocquet et Barrat (2007), Vinogradova et Belyaev (2011), Zhou et al. (2012).
(a) (b)
(c) (d)
FIGURE 1.9: Exemples de surfaces superhydrophobes synthétiques : (a) poteaux circulaires dans
Bico et al. (1999); (b) trous circulaires dans Steinberger et al. (2008); (c) poteaux carrés dans Yoshimitsu et al. (2002); (d) rayures parallèles dans Yoshimitsu et al. (2002).
Les modèles de Wenzel et de Cassie décrivent deux états superhydrophobes différents. Parmi eux, l’état de Cassie est souvent qualifié de glissant par opposition avec celui de Wenzel. Pour une goutte d’eau posée sur une surface rugueuse en régime de Cassie, il existe une pression statique maximale dans les poches d’air. La diminution de la rugosité conduit à la augmentation de cette pression, qui donne lieu à la transition de l’état de Cassie à celui de Wenzel. On dit alors que le modèle de Wenzel est plus stable et que celui de Cassie est métastable. Il y a des recherches concernant la transition de l’état de Cassie à celui de Wenzel. A ce propos, on peut citer les travaux de Sbragaglia et al. (2007a), Patankar (2004), Lafuma et Quéré (2003), Ishino et al. (2004), Marmur (2003) et Extrand (2002). La figure 1.10 présente respectivement une goutte d’eau en régime de Cassie et en régime de Wenzel. Cette figure provient du travail de Callies et Quéré (2005).
(a) (b)
FIGURE 1.10: Goutte d’eau sur un substrat recouvert par un réseau des piliers : (a) état de Cassie;
(b) état de Wenzel.
1.2.5 Glissement effectif
Lorsqu’on a un écoulement de fluide sur un solide superhydrophobe en régime de Cassie, comment détermine-t-on les conditions aux limites à l’interface solide-fluide ? Tout dépend de la micro-texture de la surface solide. Comme on l’a vu dans le sous paragraphe §1.2.4, une surface superhy-drophobe dans l’état de Cassie est une surface hétérogène composée d’un mélange de solide et d’air. Donc, à l’échelle de la rugosité, les conditions aux limites comportent la condition de glissement nul à l’interface solide-liquide et la condition de glissement partiel ou infini à l’interface air-liquide. Il est intéressant et utile de déterminer les conditions aux limites effectives pour l’écoulement sur le substrat superhydrophobe. Ces conditions aux limites effectives peuvent être caractérisées par une longueur de glissement effective bb. Lorsque ce problème a été résolu, on peut remplacer la surface solide superhydrophobe hétérogène par la surface homogène équivalente caractérisée par bb.
L’effet de glissement sur les poches d’air du substrat superhydrophobe est caractérisé par une longueur de glissement bλ et donc la longueur de glissement effective bb est inférieure à bλ et déter-minée par bb = hbu|si D∂bu ∂bz s E, (1.24)
où h•|si est l’opérateur de la moyenne sur la surface s. Si la surface est très rugueuse, l’interface
solide-liquide est minimisée, ce qui permet d’augmenter la longueur de glissement effective. La figure 1.11 montre les profils des vitesses et les longueurs de glissement effectives correspondantes pour une surface périodiquement rugueuse et une surface aléatoirement rugueuse.
Les surfaces superhydrophobes ou plus généralement les surfaces composites de solide et d’air ont ouvert un nouveau domaine de la recherche dans. Les chercheurs se concentrent sur la
déter-b us Liquid Solid Gas us b Liquid Solid Gas (a) (b)
FIGURE 1.11: Profils des vitesse et longueurs de glissement effectives pour une interface
péri-odiquement rugueuse (a) et pour une interface aléatoirement rugueuse (b).
mination des conditions aux limites effectives, ou plus précisément les longueurs de glissement effectives pour les surfaces composites. Les problèmes correspondants ont été étudiés par Priezjev et al(2005), Ng et Wang (2009, 2010, 2011), Kamrin et al. (2010), Davis et Lauga (2010), Lund et al. (2012), Sbragaglia et Prosperetti (2007a, b), Teo et Khoo (2008), Cheng et al. (2009), Ng et al.(2010), Belyaeve et Vinogradova (2010b) et Ng et Chu (2011).
En particulier, Feuillebois et al. (2009) ont obtenu les expressions analytiques des longueurs de glissement effectives pour quelques surfaces texturées dans le cas où le canal est mince. Les sur-faces texturées se composent de deux zones, dénommées 1 et 2, où les effets de glissement sont respectivement caractérisées par les longueurs de glissement bλ1et bλ2. La fraction surfacique de la
phase 1 est dénotée φ1 alors que celle de la phase 2 est désignée par φ2 avec φ1+ φ2 = 1. Sur la
figure 1.12, on présente les types de surfaces texturées étudiés par Feuillebois et al..
(a) (b) (c)
FIGURE 1.12: Surfaces texturées spéciales: (a) rayures parallèles; (b) assemblage de cercles
com-posites à double couche de Hashin-Shtrikman; (c) Schulgasser.
les surfaces texturées par des rayures parallèles, ils ont obtenu les bornes de Weiner comme suit : hλi + 4λ1λ2
1 + 4hλi ≤ b ≤
hλi + λ1λ2
1 + hλi cas (i), (1.25) hλi + 6λ1λ2
1 + 6hλi ≤ b ≤ hλi cas (ii) (1.26) où
hλi = φ1λ1+ φ2λ2 et hλi = φ2λ1+ φ1λ2, (1.27)
avec b = bb/ bH, λ1 = bλ1/ bH, λ2 = bλ2/ bH où bH est l’épaisseur du canal.
En considérant une surface texturée et constituée d’un assemblage de cercles composites à double couche, Feuillebois et al. ont dérivé les bornes de Hashin-Shtrikman (HS) pour la longueur de glissement effective adimensionnelle :
hλi + f(λ1)λ1λ2 1 + f (λ1)hλi ≤ b ≤ hλi + f(λ2)λ1λ2 1 + f (λ2)hλi où f (t) = 5 + 8t 2 + 5t cas (i), 8 1 + 3t cas (ii). (1.28) Contrairement au travail de Feuillebois et al., en 2010, Belyaev et Vinogradova se sont placés dans le cas d’un canal épais avec la surface inférieure texturée par des rayures parallèles. Ils ont obtenu les résultats pour la longueur de glissement effective comme suit :
bbk ≃ Lb π lnhsecπφ2 2 i 1 + Lb πbλln h secπφ2 2 + tanπφ2 2 i, (1.29) bb⊥ ≃ 2πLb lnhsecπφ2 2 i 1 + Lb 2πbλln h secπφ2 2 + tanπφ2 2 i, (1.30)
où bbket bb⊥sont les longueurs de glissement effectives, qui correspondent respectivement à l’écoulement
parallèle aux rayures et à l’écoulement perpendiculaire aux rayures, bλ est la longueur de glissement qui caractérise le phénomène glissant sur les rayures, φ2 est la fraction surfacique de l’interface
air-liquide dans les zones de rayure, bL est la distance entre deux rayures successives.
En 2011, Vinogradova et Belyaev ont numériquement déterminé les longueur de glissement ef-fectives quand l’épaisseur du canal varie arbitrairement. La figure 1.13 illustre les variations des longueurs de glissement effectives en fonction de l’épaisseur du canal. Dans cet exemple, Vinogradova et Belyaev prennent bλ/bL = 20 et φ2 = 0.75. Ils montrent que l’augmentation de
l’épaisseur du canal fait augmenter la longueur de glissement effective et que, quand cette épais-seur est suffisamment grande, la longueur de glissement effective devient constante.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 H/L b/L bll b⊥
FIGURE 1.13: Relation entre la longueur de glissement effective b et l’épaisseur du canal H dans
Chapitre 2
Approche semi-analytique pour
l’écoulement de Stokes d’un fluide sur une
paroi dont la microstructure surfacique est
périodique et symétrique
Le travail présenté dans ce chapitre consiste à déterminer la longueur de glissement effective pour l’écoulement d’un fluide conduit par un gradient de pression et confiné dans un canal encadré par deux parois solides parallèles. Une de ces parois a une microstructure rugueuse périodique et symétrique et l’autre est lisse et caractérisée par la condition classique d’adhérence. La distance en-tre les deux parois, qui est définie comme la hauteur du canal, peut prendre une valeur quelconque.
2.1 Description du modèle
pˆ ∆ O Hˆ zˆ yˆ xˆNous nous intéressons à l’écoulement d’un fluide newtonien laminaire régi par les équations de Stokes. Soit (bx, by, bz) un système de coordonnées cartésiennes. L’écoulement en question se produit dans un canal et engendré par un gradient de pression h∇bpi = (−σ, 0, 0)T dirigé suivant la direction
bx avec σ étant une constante non nulle. Plus précisément, le canal est encadré par deux parois parallèles qui sont perpendiculaires à l’axe z et localisées respectivement à bz = 0 et bz = bH (figure 2.1). L’épaisseur bH du canal peut varier de 0 à +∞.
La paroi supérieure localisée à bz = bH est supposée lisse et hydrophile. Donc, la condition d’adhérence ou de glissement nul y est vérifiée. La paroi inférieure située à bz = 0 est consti-tué d’une surface composite où les conditions d’adhérence, de glissement partiel et de glissement total coexistent. Précisément, la paroi inférieure a une microstructure surfacique périodique qui est de plus symétrique par rapport à la direction bx de l’écoulement. Une cellule de base rectangulaire ω existe pour la paroi inférieure et elle est constituée de J (≥ 2) régions dont chacune est car-actérisée par une longueur de glissement microscopique bλj avec j = 1, 2, ..., J. Rappelons que :
(i) bλj = 0 correspond au cas non-glissant; (ii) la condition de glissement partiel apparaît lorsque
0 < bλj < +∞; bλj = ∞ traduit le glissement infini. Cependant, dans ce chapitre, on ne se
con-centre que sur le cas où ω est formée symétriquement d’une région glissante et d’une région non glissantes. Hˆ O zˆ yˆ xˆ L ˆ φLˆ
FIGURE 2.2: Volume élémentaire représentatif U.
En raison de la périodicité du problème étudié, nous considérons un volume élémentaire représen-tatif (VER) parallélépipédique U qui est généré par la cellule de base rectangulaire ω de la paroi inférieure se prolongeant verticalement vers la paroi supérieure (figure 2.2). Soit (0, bx, by, bz) une base orthonormée locale illustrée dans la figure 2.2, dont l’origine coïncide avec le centre de la cellule de base ω de la paroi inférieure. On choisit les axes bx, by et bz de manière que l’axe bx soit parallèle à la direction macroscopique de l’écoulement et que les parois inférieure et supérieure soient perpendiculaire à l’axe bz et parallèles au plan bx − by. Les longueurs de ω suivant bx et by
sont dénotées respectivement par bL et ϕbL. Sur la figure 2.3, nous présentons quelques exemples de texture pour la cellule de base ω, qui seront étudiés en détail dans ce chapitre. En particulier, il s’agit de poteaux ou trous circulaires et carrés, de rayures longitudinales et transversales et d’un échiquier.
2.2 Formulation du problème
En choisissant bL, σ bL2/µ et σ comme les échelles respectivement de la longueur, de la vitesse et du
gradient de pression, on peut récrire les équations de Stokes sous les formes adimensionnelles :
∆u(x) = ∇p(x), (2.1)
∇ · u(x) = 0, (2.2)
où µ est la viscosité dynamique du fluide, u(x) est le champs des vitesses et p(x) dénote le champ de la pression.
La solution générale pour les équations de Stokes dans le cas considéré est composée d’un écoule-ment de Poiseuille avec la condition de glisseécoule-ment sur la paroi inférieure et d’un écouleécoule-ment per-turbé provoqué par la présence de la surface hétérogène sur la paroi inférieure. L’utilisation de l’expression pour la partie perturbé de l’écoulement présentée dans le travail de Ng et Wang (2010) nous permet d’écrire les champs des vitesses u(x) ≡ (u(x), v(x), w(x)) et de la pression p(x) sous les formes suivantes :
u(x, y, z) = −z 2 2 + Hz 2 − Hbz 2(H + b) + H2b 2(H + b) + ∞ X n=1 cos (αnx)Un0(z) + ∞ X m=1 cos (βmy)U0m(z) + ∞ X n=1 ∞ X m=1
cos (αnx) cos (βmy)Unm(z), (2.3)
v(x, y, z) = ∞ X n=1 ∞ X m=1
sin (αnx) sin (βmy)Vnm(z), (2.4)
w(x, y, z) = ∞ X n=1 sin (αnx)Wn0(z) + ∞ X n=1 ∞ X m=1
sin (αnx) cos (βmy)Wnm(z), (2.5)
p(x, y, z) = −x + p0+ ∞ X n=1 sin (αnx)Pn0(z) + ∞ X n=1 ∞ X m=1
sin (αnx) cos (βmy)Pnm(z). (2.6)
Ci-dessus, b est la longueur de glissement macroscopique (ou longueur de glissement effective) et les paramètres αnet βmsont définis par
FIGURE 2.3: Quelques configurations de la surface SH: (a) Poteaux circulaires; (b) Deux régions;
(c) Trous circulaires; (d) Rayures longitudinales; (e) Quatre régions; (f) Rayures transversales; (g) Poteaux rectangulaires; (h) Echiquier; (i) Trous rectangulaires. Il est important de noter que les expressions des champs des vitesses et de la pression données par
(2.3)–(2.6) vérifient automatiquement les conditions sur les quatre surfaces latérales, à savoir ∂u(x, y, z) ∂x = v(x, y, z) = w(x, y, z), ∂p(x, y, z) ∂x = −1 au x = ± 1 2; (2.8) ∂u(x, y, z) ∂y = v(x, y, z) = w(x, y, z) ∂y = ∂p(x, y, z) ∂y = 0 au y = ± ϕ 2. (2.9) Les conditions aux limites de glissement partiel et de glissement nul aux parois sont exprimées par les équations suivantes :
- sur la paroi supérieure
u(x, y, H) = λH ∂u ∂z(x, y, H), (2.10) v(x, y, H) = λH ∂u ∂z(x, y, H), (2.11) w(x, y, H) = 0; (2.12)
- sur la paroi inférieure
u(x, y, 0) = λj ∂u ∂z(x, y, 0), (2.13) v(x, y, 0) = λj ∂u ∂z(x, y, 0), (2.14) w(x, y, 0) = 0. (2.15)
Ci-dessus, H = bH/bL est l’épaisseur normalisée du canal, λH est la longueur de glissement sur la
parois supérieure, qui est donnée par λH = 0 du fait que la parois supérieure est lisse hydrophile.
On note que les équations (2.12) et (2.15) correspondent aux conditions du fluide non injecté dans les parois, tandis que les équations (2.13) et (2.14) caractérisent le phénomène de glissement ré-gional sur la paroi inférieure.
2.3 Résolution du problème
En introduisant les équations (2.3)-(2.6) dans les équations de Stokes (2.1) et (2.2), nous obtenons un système d’équations aux dérivées partielles ci-dessous :
∂2 ∂z2Un0(z) − α 2 nUn0(z) = αnPn0(z), (2.16) ∂2 ∂z2U0m(z) − β 2 mU0m(z) = 0, (2.17) ∂2 ∂z2Unm(z) − γ 2 nmUnm(z) = αnPnm(z), (2.18) ∂2 ∂z2Vnm(z) − γ 2 nmVnm(z) = −βmPnm(z), (2.19) ∂2 ∂z2Wn0(z) − α 2 nWn0(z) = ∂ ∂zPn0(z), (2.20) ∂2 ∂z2Wnm(z) − γ 2 nmWnm(z) = ∂ ∂zPnm(z), (2.21) ∂ ∂zWn0(z) − αnUn0(z) = 0, (2.22) ∂ ∂zWnm(z) − αnUnm(z) + βmVnm = 0, (2.23) où γ2
nm = αn2 + βm2. En résolvant les trois équations aux dérivées partielles (2.16), (2.20) et (2.22),
nous obtenons Pn0(z) = A1ne−αnz + A2neαnz, (2.24) Un0(z) = B1n− A1n 2 z e−αnz+ B2n+ A2n 2 z eαnz, (2.25) Wn0(z) = C1n+ A1n 2 z e−αnz+C 2n+ A2n 2 z eαnz. (2.26)
La combinaison des équations (2.18), (2.19), (2.21) et (2.23) nous délivre
Pnm(z) = D1nme−γnmz+ D2nmeγnmz, (2.27) Unm(z) = E1nm− αnD1nm 2γnm ze−γnmz+ E2nm+ αnD2nm 2γnm zeγnmz, (2.28) Vnm(z) = F1nm+ βmD1nm 2γnm ze−γnmz+F 2nm− βmD2nm 2γnm zeγnmz, (2.29) Wnm(z) = G1nm+ D1nm 2 z e−γnmz+ G2nm+ D2nm 2 z eγnmz. (2.30)
Finalement, l’équation (2.17) donne
U0m(z) = K1me−βmz+ K2meβmz. (2.31)
Dans les expressions ci-dessus, A1n, A2n, B1n, B2n, C1n, C2n, D1nm, D2nm, E1nm, E2nm, F1nm,
les conditions sur les parois du canal. En substituant les solutions (2.25), (2.26), (2.28)–(2.30) dans les expressions du champs des vitesses (2.3)–(2.5) et en tenant compte des conditions aux limites (2.10)–(2.12) et (2.15), nous obtenons les relations entre des constantes inconnues comme suit :
e−βmHK 1m+ eβmHK2m = 0, (2.32) C1n+ C2n= 0, e−αnHC 1n+ eαnHC2n+ He−αnH 2 A1n+ HeαnH 2 A2n = 0, e−αnHB 1n+ eαnHB2n− He−αnH 2 A1n+ HeαnH 2 A2n= 0, αnC1n+ αnB1n− 1 2A1n = 0, αnC2n− αnB2n+ 1 2A2n = 0, (2.33) G1nm+ G2nm = 0, e−γnmHG 1nm− eγnmHG2nm+ He−γnmH 2 D1nm+ HeγnmH 2 D2nm = 0, e−γnmHE 1nm+ eγnmHE2nm− αnHe−γnmH 2γnm D1nm+ αnHeγnmH 2γnm D2nm = 0, e−γnmHF 1nm+ eγnmHF2nm+ βmHe−γnmH 2γnm D1nm− βmHeγnmH 2γnm D2nm = 0, γnmG1nm + αnE1nm− βmF1nm− 1 2D1nm = 0, γnmG2nm − αnE2nm+ βmF2nm+ 1 2D2nm = 0. (2.34)
Après quelques manipulations, les constantes inconnues A2n, B1n, B2n, C1n, C2n, D1nm, D2nm,
F1nm, F2nm, G1nm, G2nmet K2mpeuvent être exprimées en fonction de A1n, K1m, E1nmand E2nm
: A2n = (e−2αnH + 2αnH − 1)ηnA1n, K2m= −e−2βmHK1m, B1n = ηn 2αn (e2αnH − 2αnH − 2α2nH2− 1)A1n, C1n = αnH2ηnA1n, B2n = ηn 2αn (e−2αnH + 2α nH − 2α2nH2− 1)A1n, C2n = −αnH2ηnA1n, (2.35) D1nm = −γnmψnmβmΩnm(e2γnmH − 2γnmH − 1), G1nm = −γnm2 H2ψnmβmΩnm D2nm = −γnmψnmβmΩnm(e−2γnmH + 2γnmH − 1), G2nm = γnm2 H2ψnmβmΩnm F1nm = 1 2γnmψnmΩnm(e 2γnmH − 2γ2 nmH2− 2γnmH − 1) + αnE1nm βm , F2nm = 1 2γnmψnmΩnm(e −2γnmH − 2γnm2 H2+ 2γnmH − 1) + αnE2nm βm , (2.36)
avec ηn = 1 e2αnH − 2α nH − 1 , Ωnm = e−γnmHE1nm+ eγnmHE2nm, ψnm = 1 αnβmH[(γnmH + 1)e−γnmH + (γnmH − 1)eγnmH] .
Ensuite, la substitution des deux composantes du champs des vitesses (2.3) et (2.4) dans les con-ditions aux limites (2.13) et (2.14) et la combinaison avec les expressions (2.35) et (2.36) nous conduisent à b + ∞ X n=1 cos (αnx)(κ(x)1n − λjκ1n(x)) bA1n+ ∞ X m=1 cos (βmy)(θ(x)1m− λjϑ(x)1m) bK1m + ∞ X n=1 ∞ X m=1
cos (αnx) cos (βmy)(1 − λjε(x)1nm) bE1nm
+ ∞ X n=1 ∞ X m=1
cos (αnx) cos (βmy)(1 − λjε(x)2nm) bE2nm = λj, (2.37) ∞ X n=1 ∞ X m=1
sin (αnx) sin (βmy)(ς1nm(y) − λjε(y)1nm) bE1nm
+ ∞ X n=1 ∞ X m=1
sin (αnx) sin (βmy)(ς2nm(y) − λjε(y)2nm) bE2nm = 0. (2.38)
Dans les deux équations précédentes, κ(x) 1n, κ (x) 1n, θ (x) 1m, ϑ (x) 1m, ε (x) 1nm, ε (x) 2nm, ς (y) 1nm, ε (y) 1nm, ς (y) 2nm and ε (y) 2nm
peuvent s’écrire en fonction de l’épaisseur normalisée H du canal : κ(x)1n = ηn 2αn (e−2αnH + e2αnH − 4α2 nH2− 2), θ (x) 1m= 1 − e−2βmH, (2.39) κ1n(x) = ηn 2αn (e−2αnH − e2αnH + 4α nH), ϑ(x)1m = −βm(1 + e−2βmH), (2.40) ε(x)1nm = 1 2τnmαnβmψnme −γnmH − γnm, ε(x)2nm = 1 2τnmαnβmψnme γnmH + γ nm, (2.41) ς1nm(y) = 1 2χnmγnmψnme −γnmH + αn βm , ς2nm(y) = 1 2χnmγnmψnme γnmH + αn βm , (2.42) ε(y)1nm = −1 2τnmαnβmψnme −γnmH γ 2 nm αnβm +βm αn ! − γnmβ αn m , (2.43) ε(y)2nm = −1 2τnmαnβmψnme γnmH γ 2 nm αnβm +βm αn ! +γnmαn βm , (2.44) avec τnm = e2γnmH − e−2γnmH − 4γnmH, χnm = e2γnmH + e−2γnmH − 4γnm2 H2− 2.
De plus, bA1n, bK1m, bE1nmet bE2nmsont déterminés par
{ bA1n, bK1m, bE1nm, bE2nm} =
2(H + b)
Enfin, en tronquant bA1n, bK1m, bE1nm et bE2nm respectivement à N, N, N × N et N × N termes,
nous obtenons au total 1 + 2N + 2N2constantes inconnues indépendantes, y compris la longueur
de glissement effective b.
Pour les constantes inconnues susmentionnées, nous avons besoin d’un système de 1 + 2N + 2N2 équations linéaires. La méthode des points de collocation présentée dans Ng et Wang (2010)
est adoptée ici. Grâce à la symétrie de ω, nous pouvons étudier seulement un quart de ω. En appliquant cette méthode, deux différents types de points discrétisés sont introduits. Le premier type se compose de (N + 1) × (N + 1) points s(x)qui sont définis par
s(x) ≡ (x(1)i , y (1) k ) = (i − 1)δx, (k − 1)δy (2.46) où i, k = 1, 2, ..., N + 1, δx = 0.5/N et δy = 0.5ϕ/N. Le deuxième contient N × N points s(y)
spécifiés par s(y) ≡ (x(2)i , y (2) k ) = x (1) i + 0.5δx, y (1) k + 0.5δy (2.47) où i, k = 1, 2, ..., N. Par exemple, deux distributions des points de collocation sont esquissées dans la figure 2.4 correspondant respectivement à la texture des poteaux et de l’échiquier. Ici, on ajuste les positions des points sur les deux côtés de l’interface séparant deux régions pour que la distance entre chacune d’elles et l’interface soit égale à 0.5δx. Il faut rappeler que, si les points s(x) et s(y)
se trouvent sur la jème région, alors la longueur de glissement microscopique (ou la longueur de
glissement locale) dans les expressions (2.37) et (2.38) sont égales à λj.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 x y (a) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 x y (b)
FIGURE 2.4: Distributions des points de collocation : (a) Texture de deux régions; (b) Texture de
