Structure de données : Arbres

Structure de données : Arbres

Définition: un arbre est un ensemble de nœuds organisés à partir d’un nœud distingué appelé racine.

Applications : - organisation des fichiers : unix

- Représentation des pgmes en compilation Propriété intrinsèque : récursivité naturelle.

Exemples d’arbres binaires:

1) Tournoi de Tennis

Abbes Riad Riad

Karim Younes Karim

Karim

y z

2) Expressions arithmétiques

2 y

* - x

/ + x

3

* +

Vocabulaire

n₁

n₇ n₂

n₆ n₃

n₅ n₄

n₈

n₉ n₁₁

Racine Père de n₂, n₇

(Ascendant de n₉)

n₁₀ Fils gauche de n₁

(premier fils de n₁) Nœud interne

Sous arbre gauche de n₂

Fils droit de n₁ (2^èmefils de n₁) (Frère de n₂)

Descendant de n₁ Nœud Externe = feuille

Mesures sur les arbres

Taille=nombre des nœuds Taille (arbre-vide)=0

Taille(<o, B₁, B₂ >)=1+taille(B₁)+taille(B₂) Hauteur=niveau d’un nœud x d’un arbre B h(x)=0 si x = racine (B)

h(x)=1+h(y) si y est le père de x

C’est le nombre de liens de la racine vers x.

Hauteur = Profondeur d’un arbre B h(B)=max {h(x); x nœud de B}

Le degré d’un nœud est le nombre de ses fils. Degré(n1)=2, degré(n3)=1

Le degré d’un arbre est le degré maximum de ses nœuds.

n₁

n₄ n₂

n₃

n₆

n₅

n₁₀ n₈

n₇

n₉ h(n₁)=0

h(n₄)= h(n₂)=

h(n₁)+1=1

h(n₃)= h(n₅)=h(n₇) =2

h(n₆)= h(n₉)=3

h(n₈)=h(n₁₀)=4

Donc : h(Arbre B)=4

y z

1) Expressions arithmétiques

2 y

* -

x

/ +

x

3

* +

Utilisation des arbres

2) Chaînes de caractères

er

tion -

eur orité

eri Inf

orm

ati

que

3) Arbres généalogiques

…

… -

… …

Ismail Ibrahim

Ishak

Yakoub

Youcef

• Un arbre binaire est un arbre dont le degré max est égal à 2.

càd chaque nœud possède 0, 1 ou 2 fils.

• Un arbre général est un arbre non binaire.

Arbre binaire

A B C

D E

A B C

D E F

Arbre général

Parcours en profondeur à main gauche d’un arbre binaire : Examen systématique ordonné de tous les nœuds = traversée de l’arbre.

Pour un arbre :

Pour un nœud :

Montée de droite Montée de

gauche Descente

n₁

n₂ n₃

n₄

n₅ n₆ n₇

n₈ n₉ n₁₁ n₁₂ n₁₃ n₁₄ n₁₅ n₁₆

n₂₀ n₁₉

n₁₈

n₁₇ n₂₁ n₂₂

Algorithme récursif de parcours d’un arbre binaire Procedure Parcours (A : Arbre);

Begin If A = Arbre-vide then Term else begin

T

;

Parcours (g(A));

T

;

Parcours (d(A));

T

;

end;

End;

L’algorithme précédent peut être simplifié par les 3 parcours suivants : Préfixe : P-G-D

Infixe : G-P-D Suffixe : G-D-P

P

G D

Exercices de TD

Exercice 01 : Une expression arithmétique peut être représentée par un arbre binaire.

Soit l’expression arithmétique représentée par l’arbre A : Donner les expressions représentées par A

lorsque A est parcouru en ordre préfixe, infixe et post-fixe.

+

- *

x * 3 +

2 y / x

y z

SUITE de TD Exercice 02 :

Soit l’expression arithmétique représentée par l’arbre binaire A :

Donner les expressions représentées par A Dans le parcours en profondeur à main droite, préfixe, infixe et post-fixe.

+

- *

x * 3 +

2 y / x

y z

Transformation d’un arbre général en un arbre binaire (Bijection fils aîné – frère droit ):

- L’arbre binaire se construit par le procédé suivant : étant donné un nœud dans un arbre général, on crée un lien gauche vers son premier fils (fils aîné) et un lien droit vers son frère situé à droite.

- L’arbre général se construit à partir de l’arbre binaire par la conservation des liens gauches et la suppression des liens droits tout en les mettant au même niveau que le fils aîné.

n₁

n₀

n₂ n₃ n₄



n₁

n₀

n₂

n₃

n₄