Exercice 1
1) Calculer le PGCD de 518 et 210.
Méthode des soustractions (4 étapes) :
PGCD(518 ; 210) = PGCD(308 ; 210) = PGCD(210 ; 98) = PGCD(112 ; 98) = PGCD(98 ; 14) = 14 car 14 est un diviseur de 98.
Algorithme d’Euclide (2 étapes) :
PGCD(518 ; 210)=
avec PGCD(210 ; 98)=
avec PGCD(98 ; 14)=14 car 14 divise 98 2) En utilisant le PGCD, simplifier la fraction .
Algorithme d’Euclide (2 étapes) :
PGCD(616 ; 168)=
avec PGCD(168 ; 112)=
avec PGCD(112 ; 56)=56 car 56 divise 112 Donc : .
3) 273 et 163 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
Algorithme d’Euclide ( étapes) :
PGCD(273 ; 163)=
avec PGCD(163 ; 110)=
avec PGCD(110 ; 53)=
avec PGCD(53 ; 4)=
avec PGCD(4 ; 1)=1 Le PGCD de 273 et 163 est 1 donc 273 et 163 sont premiers entre eux.
Exercice 2 – Brevet Amérique du Nord juin 2013
Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et 1045 dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes.
1) Peut-il faire 76 sachets ? Justifier la réponse.
et
Donc 76 est un diviseur de 760 mais pas de 1045, on ne pourra donc pas répartir la totalité des dragées dans 76 sachets de même composition.
2)
a. Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser ? Algorithme d’Euclide :
PGCD(1045 ; 760)=
avec PGCD(760 ; 285)=
avec PGCD(285 ; 190)=
avec PGCD(190 ; 95)=95 car 95 divise 190.
On pourra faire au maximum 95 sachets de même composition.
b. Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
et
Dans chaque sachet, il y aura 11 dragées aux amandes et 8 dragées au chocolat.
Exercice 3
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
( )
