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Computation of order conditions for symplectic partitioned Runge-Kutta schemes with application to optimal control

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Academic year: 2021

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(1)Computation of order conditions for symplectic partitioned Runge-Kutta schemes with application to optimal control J. Frederic Bonnans, Julien Laurent-Varin. To cite this version: J. Frederic Bonnans, Julien Laurent-Varin. Computation of order conditions for symplectic partitioned Runge-Kutta schemes with application to optimal control. [Research Report] RR-5398, INRIA. 2004, pp.18. �inria-00070605�. HAL Id: inria-00070605 https://hal.inria.fr/inria-00070605 Submitted on 19 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Computation of order conditions for symplectic partitioned Runge-Kutta schemes with application to optimal control J. Frédéric BONNANS — Julien LAURENT-VARIN. N° 5398 Décembre 2004. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--5398--FR+ENG. Thème NUM. apport de recherche.

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(57) ÍÃÈ#Ì¢Ê#Ì=ˆ’°+}fjln‘l‚fˆ’1º¯nFm¿4ij1n1‚ {~}rˆI‚f“ln<‚4lnK”nK{„{fŠ‚fy'ˆ’H(u, ‘l}„ƒ­mo’º¯ƒ¯}~y”ˆ’¢“|ƒ±}fƒ¯ˆI1{4ˆ’° }fjlƒ†{)‘l‚fˆ’lº­n<m8mQÐyQXn¼)‚„ƒ¯}¸}fn<ƒ­}fjln °²ˆ’º­º­ˆ#¼)ƒ¯l£>°²ˆ’‚f&m #    .  . y(t) ˙ = f (u(t), y(t)), p(t) ˙ = Hy (u(t), y(t), p(t)), 0 = Hu (u(t), y(t), p(t)),    p(T ) = Φ0 (y(T )), y(0) = y 0 .. t ∈ [0, T ],. (OC). . ¬ n{„Ðyd}fj1#} (¯u, y¯, p¯) ƒ†{)Š n<Åz}„‚fn<mQŠºÛƒ¯°

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(59) ÍÃÈ#Ì1Ê Šy(t), Ìǐ’{ p(t)) ¿dqr{„ƒ¯l£ H (φ(y(t), p(t)), y(t), p(t)) = 0 » H(y, p) := H(φ(y, p), y, p) ˆI|}f’ƒ¯ µMžI¹ H (y, p) = H (φ(y, p), y, p); H (y, p) = H (φ(y, p), y, p). ŽˆI1{„nF H€ln<H}fº¯yI»1€l1“ln<‚gjHyz‘XˆŠ}fjlnF{„ƒ­{>µ~¡Ð¹9» (OC) ƒ­{tº¯ˆ|”FŠº­º¯ynF H€lƒ­®#Šº­n<H}4}„ˆ }„jlnÉ„Ë Î  Ë 'Î $ dÊ

(60) ÍÃÈ#Ì¢Ê #Ì ,9ÍÃË  y(t) ˙ = H (φ(y, p), y, p), t ∈ [0, T ], µ¶˜I¹ −p(t) ˙ = H (φ(y, p), y, p), t ∈ [0, T ], ¬ nlˆ#¼ }„€l‚f }fˆo}„jln“lƒ­{fp(T ”€1{f{„)ƒ¯ˆI=ˆ’°

(61) Φ}fjln(y(T “|ƒ†{„”<)),‚„n<}„ƒ­³Fy(0) #}fƒ¯ˆI=ˆ’y°?}f.jlnˆ’‘|}fƒ¯mQ’º?”ˆII}f‚„ˆIºÛ‘l‚„ˆIlº­n<m (P ) ¿ ij1n 4€ll£’n<·Á¾ €l}¸}fo“|ƒ†{f”‚fn}„ƒ­³FŠ}„ƒ­ˆ’”ˆI1{¸ƒ†“|nF‚„nK“'ƒ­9 " %Ò $&ƒ†{ uu. ∞. ∞. u. u. y. y. p. p. p. y 0. 0.  Min Φ(yN );   P  y = yk + hk Psi=1 bi f (uki , yki ), k+1 s yki = yk + hk j=1 aij f (ukj , ykj ),    y0 = y 0 ,. (DP1 ). °²ˆI‚Šº­º k = 0 }fˆ N − 1 Š¢“ i = 1 }fˆ s ¿'Örn<‚fn h > 0 ƒ†{g}„jln'{„ƒ¯}„nQˆŠ°;}„j1n k}„jÄ}„ƒ­mon'{~}fn<‘&»+Š1“ ƒ­{g}fjlnQ{¸n<}ˆŠ°;4€ll£’n<·Á¾ €l}¸}f”ˆzn1Q”<ƒ¯nFH}f{F¿  n}€1{ €l1“ln<‚fº¯ƒ­lnd}„jlnQ” jlˆIƒ­”<n>ˆ’°€1{„ƒ­l£S“|ƒ(&Ûn<‚fn<H} (a, b) k. ²î+õ

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(96) ­ È |É„Ë ÎOȊÉ9ʶËÌ¢ÍÁË Î ’É   t = (V, E, c)  ÕÊÑÍ   È#Ì  ÌÛË ÍÃË 9Î  È  1È#ÌÛËÌ¢Í  {t , q ∈ Q}  Ê Í lË ÛɄÈFÎ ÍdÈ~ÏÍ 1ËOË

(97) ­Ë QËÌ¢Í ŠÉ *Ë<(Ê ,zÍ SȸÏÊÑÍ   È#Ì¢ÌXË <ÍÁË Î  È  1È#ÌÛËÌ¢Í   %Ê ÑË   Y µ¸¡Kž’¹ φ(t) = φ(t ). ɄÈFȸ!Ï  ¬ nj1Ð®Inr}fj1#} v∈V iv =1 k∈V. (k,`)∈E. i`. i1. q. i. q. q. q∈Q. φ(t). =. s Y XX. ˜bi k. v∈V iv =1 k∈V. =. s Y XX. v∈V iv =1 q∈Q. =. Y.  . X. a ˜ ik i` ˜bi. Y. (k,`)∈E.  . s X. Y. ˜bi k. k∈Vq.  . `. Y. Y. (k,`)∈Eq. ˜bi k.  a ˜ ik i`  ˜bi `. Y.  a ˜ik i`  , ˜bi `. ¼)j1n<‚fn)}„jlntº­I{~};nF H€1’º¯ƒ¯}~y>€¢{¸nK{C}fjlnrƒ†“|n<H}fƒ±}~ySµ²®#’º¯ƒ†“o°²ˆ’‚Š‚flƒ¯}„‚ Š‚fy°¶Šmoƒ­º¯ƒ­nF{ˆŠ°?{„n} { I Š¢“o°²€l1”}„ƒ­ˆ’1{ ¹ A     Y X XX Y µ¸¡F˜I¹   A (i) = A (i) . q∈Q. v∈Vq iv =1. k∈Vq. (x,y)∈Eq. q. q. q. q∈Q. i∈Iq. q. r∈Q i∈Ir. q∈Q. ²î+õ

(98) Ñö

(99).

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(101) ¯Ë<ÍMÊ ŠÉ9ÍMÊÑÍ[ʶÈ#ÌÛË Î|ÌHË|Í[ÍlËQË i j1n ”<ˆ’1”<º¯€¢{¸ƒ­ˆ’°²ˆ’º­º¯ˆ#¼4{F¿ ƒ­®’nFOŠˆ’‚fƒ¯nFH}„nF“£’‚ Š‘1j }fjlˆI{„n ˆŠ° F ƒ†{4“|nFlˆŠ}fnF“’{.  . t = (V, E). »¢’1“. F ⊂E. ™. »1}„jln>{¸n<}4ˆŠ°CŠ‚ ”<{ƒ­Sˆ’‘l‘XˆI{„ƒ¯}„n“|ƒ­‚„nK”9}fƒ¯ˆI}fˆ. E > := {(x, y) ∈ V × V ; (y, x) ∈ E}..  ØzÝ ¨ Ø   l ËdË

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Références

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