Page 1 sur 5 Exercice 1 (7 points)
1B 𝑥2− 2𝑥 + 1 2C -2
3B -3 4C 18°
5A = 𝐴2^2 + 7 6A 5
7A 4 + 3√5
Exercice 2 (4 points)
1. Le nombre x est compris entre 0 et 20 cm.
2. Si x = 5, alors on obtient une boîte de base carrée, de côté 30 cm et de hauteur 5 cm. Son volume est 𝑉 = 30 × 30 × 5 = 4 500 𝑐𝑚3
3. Le volume semble maximal lorsque x = 6,5 cm.
Si on souhaite un volume de 2 000 cm3, on peut prendre x = 2 cm ou x = 14 cm.
Exercice 3 (4 points)
1. On va vérifier que l’on peut appliquer le théorème de Pythagore :
² 6, 25² 39, 0625
² ² 3, 75² 5² 39, 0625 AC
BC AB
AC² = BC² + AB²
D’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. On sait que (DE) ⊥ (AD), qui est aussi (AB)
On vient de prouver à la question 1. que (BC) ⊥ (AB)
Si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite, alors ces droites sont parallèles entre elles.
Donc (BC) // (DE)
3. Pour calculer DE, on peut appliquer le théorème de Thalès.
En effet ;
- Les points C ; E et A sont alignés ; - Les points B ; D et A sont alignés ; - (BC) // (DE)
Page 2 sur 5 On a ainsi :
3, 2
6, 25 5 3, 75 3, 75 3, 2
5 2, 4
AE AD DE
AC AB BC
AE DE
DE
DE cm
4. Pour savoir si (MN) et (BC) sont parallèles, on va essayer d’appliquer la réciproque du théorème de Thalès :
5 0,8 6, 25 AN
AC et 4
5 0,8 AM
AB
Les points C ; N et A sont alignés ;
Les points B ; M et A sont alignés dans le même ordre;
AN AM
AC AB
D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC)
Exercice 4 (7 points)
1. La figure, avec les traits de construction apparents, est la suivante :
2. Le triangle ABC est bien rectangle car si le diamètre du cercle circonscrit à un triangle est un des côtés de ce triangle, alors celui-ci est rectangle.
Le segment BC ne mesure pas 10 cm, en appliquant le théorème de Pythagore, on trouve 𝐵𝐶 = √108 ≈ 10,4 𝑐𝑚
O C
B A
Page 3 sur 5
L’angle 𝐴𝑂𝐶̂ mesure bien 60° ; soit par le théorème de l’angle au centre, soit en constatant que dans le triangle AOC isocèle en O, les deux angles 𝑂𝐴𝐶̂ et 𝐴𝐶𝑂̂ sont les angles à la base, donc égaux. Comme 𝑂𝐴𝐶̂ = 180 − 90 − 30 = 60°, il reste pour l’angle 𝐴𝑂𝐶̂ 180 − 2 × 60 = 60°.
L’aire du triangle ABC est de 18√3 cm². En effet l’aire de ce triangle est : 2
6 108
2
6 36 3
2 18 3 ²
AC CB Aire
Aire Aire
Aire cm
L’angle 𝐵𝑂𝐶̂ ne mesure pas 31° ; on a vu au-dessus que 𝐴𝑂𝐶̂ = 60°, il reste donc 120° pour l’angle 𝐵𝑂𝐶̂.
Exercice 5 (4 points)
Pour cet exercice, on va utiliser un résultat de 4e : augmenter/diminuer une quantité de n% consiste à multiplier cette quantité par 1 /
100
n
1. 13000 1, 04
12500 , le prix a été multiplié par 4 1, 04 1
100 . Le pourcentage de hausse est donc de 4%
2. Les effectifs sont multipliés par 12
1 0,88
100 puis par 8
1 1, 08
100 soit en tout par 0,88 1, 08 0,9504 1 4
100 . Le nombre d’élèves n’a pas baissé de 4%.
3. Si p est l’ancien prix, on a la relation 𝑝 × 0,8 = 18. Donc 𝑝 = 18/0,8 = 22,50 AUD.
Page 4 sur 5 Exercice 6 (4 points)
Pour répondre à ce problème, on va lister les décompositions possibles de 12 en essayant d’éviter les doublons (tels que 12 = 2 + 10 et 12 = 10 + 2).
Tout d’abord avec 2 nombres :
12 2 10 2 10 20
12 3 9 3 9 27
12 4 8 4 8 32
12 5 7 5 7 35
12 6 6 6 6 36
et et et et et
À partir des décompositions en 2 nombres, on trouve celles à 3 nombres :
12 = 2 + 10 donne :
12 2 2 8 12 2 3 7
12 2 4 6
12 2 5 5
12 = 3 + 9 donne :12 3 3 6 12 3 4 5
et enfin 12 = 4 + 4 + 4.
On continue :
12 = 2 + 2 + 8 donne :
12 2 2 2 6 12 2 2 3 5 12 2 2 4 4
12 = 2 + 3 + 7 donne :12 2 3 2 5
12 2 3 3 4
et 12 = 3 + 3 + 3 + 3 Avec 5 nombres :12 2 2 2 3 3 et avec 6 nombres : 12 2 2 2 2 2 2
En multipliant tous les termes des sommes obtenues, on constate que 3 3 3 3 81 est le plus haut produit que l’on peut obtenir.
Exercice 7 (6 points)
On commence par calculer les loyers pour chaque emplacement : - Paillotte : 2500 3 7500€
- Boutique : 60 92 5520€
On sait que sur les 92 jours, 75% seront ensoleillés, soit 69 jours et 23 jours nuageux.
Les recettes prévues sont ainsi :
- Paillotte : 500 69 50 23 35650€ - Boutique : 350 69 300 23 31050€
Page 5 sur 5 Les bénéfices seront donc :
- Paillotte : 35650 7500 28150€ - Boutique : 31050 5520 25530€
Peio doit choisir la paillotte.
