A10155. Rien qu’avec 2, 3, 5, 7
Reconstituez la multiplication ci-dessous, sachant qu’elle utilise seulement les chiffres 2, 3, 5 et 7.
∗ ∗ ∗
× ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
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Solution
Dans la multiplication
a b c
× d e
f g h i
j k l m
n o p q r
regardons le produit abc×e = f ghi. Son chiffre des unit´es i est celui du produit c×e, et la table de multiplication r´eduite aux facteurs 2, 3, 5, 7 donne les possibilit´es 0, 1, 4, 5, 6 et 9. Il faut donci= 5, etcet/ouevalent aussi 5,c ete´etant impairs.
On a 5 cas `a examiner, selon que le couple (e, c) vaut (3,5), (5,3), (5,5), (5,7) ou (7,5).
Chaque couple (e, c) donne le chiffre des dizaines du produit c×e, d’o`u 4 possibilit´es (selon queh= 2, 3, 5 ou 7) pour le chiffre des unit´es du produit b×e; il en r´esulte 0, 1 ou 2 possibilit´es pour le chiffre b, d’o`u on tire le chiffre des centaines du produitbc×e, et ainsi de suite.
On trouve que les cas (5,3) et (5,7) ne donnent pas de solution, et il reste les 4 possibilit´es 775×3 = 2325, 555×5 = 2775, 755×5 = 3775, 325×7 = 2275 avec des multiplicandes chaque fois diff´erents.
La multiplicationabc×d=jklma le mˆeme multiplicande que la pr´ec´edente, c’est donc la mˆeme et d=e,jklm=f ghi.
L’addition finale exclut 3 possibilit´es sur 4, et la solution unique est 7 7 5
× 3 3
2 3 2 5
2 3 2 5
2 5 5 7 5
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