RABATTEMENT D'UNE NAPPE À SURFACE LIBRE EXPLOITÉE PAR PUITS OU TRANCHÉES

(1)

252 LA HOUILLE BLANCHE N ° 3 - M A I - J U I N 1961

R a b a t t e m e n t d ' u n e n a p p e á surface libre e x p l o i t é e par puits o u tranchées

L o w e r i n g o f a n u n c o n f i n e d a q u i f e r b y w e l l s o r t r e n c h e s

pak E. d e CAZENOVE

I N G É N I E U R A L A S O G I É T É S O L É T A N C H E , P A R Í S

Les formules classiques de Dupuit donnent des indications fmiases sur les niveaux d'eau au voisinage des puits ou tranchées exploi- tant une nappe non captive. Les niveaux, qui dépendent de nombreuses variables, doiveni étre déterminées par des calculs dⁱapproxima- tions successives. Les cas traites avec preci- sión sont encoré peu nombreux.

En s'appuyant sur un seul résultat supplémen- taire, obtenu par un calcul de relaxation, on fait ici des extrapolations suffisamment pre- cises pour tous les cas qui se rencontrent en pratique.

Vécart entre les niveaux réels et les niveaux calcules par les formules classiques de Dupuit dépend ¿tu degré d'anisotropie du terral n. Cei écart est parfois important pour Vétude des essais de pompage et tres souveni pour Vétude des rabattements de nappe.

The conveniional Dupuifs formulae give wrong information as regards water levéis in the vicinity of wells or trenches draining an unconfined aquifer. As levéis are depending on several variables, they must be defermined by snccessive approximative compuiations.

There are still very few cases solved with pre- cisión.

One only additional resulf, obtained by relax- ation computation, gives enough accurate extra- polations applicable lo any practicle case.

The differenee betiveen the effeciive levéis and the levéis computed with the conveniional DupuiVs formulae varíes with the degree of anisoiropy. Such differenee is sometimes of great imporlance when studying pumping tests and very often important when studying water table lowering.

NOTATIONS K (LT-"1) : perméabilité pour les terrains

isotropes;

K^{7 ¿} et K^v ( L T "¹) : perméabilité dans le sens horizontal et dans le sens verti- cal pour les terrains anisotropes;

F i o . 1

Q ( L³T - i ) :débit du p u i t s ;

q (L2 T ~3) : débit de la tranchée p a r unité de longueur.

Les autres notations sont déíinies par les figures 1 et 2.

Méndienne reeíle ( K v ^ K h ) - |

FIG. 2

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961035

(2)

N° 3 - M A I - J U I N 1961 LA HOÜILLE BLANGHE 253

I N T R O D U C T I O N

O n suppose que les liypotliéses suivantes sont satísfaites :

— T e r r a i n permeable homogéne (mais pas né- cessairement isotrope); écoulement de l'eau en régime laminaire; h a u t e u r d'ascension ca- pillaire négligeable;

— Nappe n o n captive circulan! sur u n fond étanche horizontal. H a u t e u r d'eau H frxée á la distance D de la tranchée ou á la dis- tance R (« rayón d'action ») de l'axe du p u i t s ;

— Exploitation en régime stabilisé p a r t r a n - chée ou puits descendant j u s q u ' a u fond étanche.

Dans ees conditions, le débit exact est donné par les formules classiques de Dupuit [1] :

p o u r la tranchée

pour le puits :

Q = *.K^{f c}.

W — h²

2.D~~~

JJ2 fr2

ln R / r

(1)

(2) Ces formules ont été proposées en 1863 p a r Dupuit p o u r les t e r r a i n s isotropes; elles résul- taient alors d'un calcul approché; de nombreux chercheurs ont cru longtemps qu'elles donnaient les débits avec 5 % d'erreur. ou raéme 50 %. La démonstration rigoureuse a été donnée en 1951 par Tcharnyi . [2] pour les t e r r a i n s isotropes, pnis étendue au cas des t e r r a i n s anisotropes.

Brillant [3] a montré que K^v pouvait méme étre variable d'une maniere quelconque dans le ter- rain : le débit est fonction de Kⁿ uniquenient.

La « démonstration » de Dupuit conduit aux équations suivantes p o u r la surface libre de la n a p p e :

— p o u r la tranchée : y2 ^ ]²2 _¡_ 2.q.x

: & + (H² • h²). ^ (3)

•— pour le puits :

QAnx/r _ (H² h²). ln x/r y —n -ir ^W^<^K —ⁿ ~T ^l ⁿ ^R ^/ ^r

(4) La h a u t e u r d'eau Z dans le terrain á la paroi de la tranchée (x = 0) ou du puits (x — r) serait done égale á la h a u t e u r d'eau h dans la t r a n - chée ou le puits.

E n fait, la démonstration de Dupuit est vala- ble seulement lorsque li^v est inñni, cas p u r é - ment fictif : les terrains ou K^v est supérieur á K^h sont méme extrémement rares.

P a r contre, K^v est nul pour les terrains consti- tués p a r des coliches permeables séparées p a r de múltiples petites couches impermeables hori- zontales; d a n s ce cas, le terrain reste saturé sur toute la h a u t e u r H :

y = Z = H

Pour tous les autres cas, il n'existe aucune formule rigoureuse d o n n a n t r é q u a t i o n de la surface libre de la nappe : on peut seulement prouver que y et Z croissent des valeurs données p a r Dupuit á H lorsque le r a p p o r t K^/K^ croít de zéro á l'infini.

P o u r déterminer le tracé de la surface libre, on doit finalement avoir recours a des essais sur modele hydraulique ou électrique, peu précis, ou á des calcuis d'approximations successives, extrémement longs : nous utiliserons les resul- táis précis publiés p a r Chapman [4] pour récou- lement plan (vers une tranchée) et p a r Boulton

[5] pour quatre cas d'écoulement radial (vers u n puits).

Nous avons fait les calcuis d'approximations successives p a r « relaxation » (voir par exemple référence [10]) pour un cas supplémentaire d'écoulement p l a n ; et tous les cas d'écoulement plan sont des cas-limite d'écoulement radial.

En extrapolan! l'ensemble de ces resultáis, nous obtiendrons des données assez precises pour tous les cas qui peuvent se presenter en pratique.

Nous présenterons d'abord les resultáis obte- n u s (qui seront justifiés á Fannexe I), puis quelques applications.

(3)

254 LA H GUILLE B LAN CHE N ° 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1

ÉCOULEMENT PLAN La h a u t e u r d'eau Z dans le terrain á la paroi

de la tranchée se déd.uit de la figure 3, tracée d'aprés les resultáis de Chapman.

Voici la valeur de Z p o u r h n u l et pour ( D / H ) . \ / ( K 7 T Q supérieur á 1,2 :

Toutes clioses égales d'ailleurs, Z varíe ici comme VK^/K^.

Cette équation ( 5 ) est « empirique »; le coef-

ficient 0 , 7 5 , résultant de calculs approchés, est précis á 3 % prés.

P o u r tracer la surface libre, on dessiue d'abord la parabole qui passe p a r les points ( 0 ; Z) et (D ; H) :

*/² = Z² + (H² — Z²) , - g - (6) La méridienne réelle est u n tout petit peu au-

dessus de cette courbe; on demontre en effet qu'elle a u n e tangente verticale au point (0 ; Z) (point singulier á rayón de courbure nul) et u n e tangente horizontale au point (D ; H).

ÉCOULEMENT R A D I A L

Ici Z se déduit de la figure 4, valable en tout La courbe correspondant á (h = 0 ) sur ce gra- cas lorsque R est supérieur á : r + 3 . H , V K^A/ K^p; phique se traduit p a r Féquation suivante : cas le plus fréquent.

(4)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 E. d e C A Z E N O Y E 255

G'est aussi une équation empirique, á trois coefficients (2,667; 0,219 et 5) parce qu'elle a été obtenue p a r Fextrapolation de trois resultáis de calculs d'approximations successives.

Z varié ici comme \/Kⁿ/K^v si Q / K^t, . r² est pe- tit, beaucoup moins vite si Q/Kv.r2 est grand, p a r exemple comme (Kn/Kv)0,2* lorsque Q/K.t ;.r2

est égal á 60.

Cette équation (7) est encoré certainernent valable avec une precisión suffisante p o u r Q / K , , . r² égal á 200 000.

II n'y a pas de formule analytique simple qui donne la sur face libre avcc une precisión aecep- table et on doit opérer graphiquement en utili- sant la figure 5 :

a) Si h est mil, on calcule Q/K^v.r²; cela permet de placer deux points : u n sur Féchelle de gauche pour la valeur de Z (á calculer avec F équation (7), pour plus de precisión), et u n sur la courbe ABC. La méridienne doit étre tracée au jugé d'aprés l'allure des courbes déjá connues (courbes 3, 4 et 5).

b) Si h n'est pas nul, ii faut d'abord calculer le rayón / du puits qui, totalement exploité

(h = 0), donnerait le méme débit. On utilise la formule (2) qui donne :

H² — h² H² h² ,

In R A I n R / / ln r/f

On calcule ensuite Q/Kv.f2 et on trace la méri

dienne correspondan te. La méridienne cherchée est un peu en dessous et on en connait déjá le point de coordonnées (r; Z) qui se déduit de la figure 4 : on obtient ainsi un tracé suffisamment précis en p r a t i q u e .

Cas particulier.

Si R est neltemenl inférieur á la limite indi- quée plus haut, soit :

r + 3 . H . sf^

les figures 4 et 5 et la formule (7) nc sont géné- ralement plus valables.

Ce cas a été eludió seulement pour les puits totalement exploités (h nul) : la valeur de Z est alors donnée p a r la figure 6, valable quel que soit R.

POTENTIELS Les potentiels réels sont évidemment supé-

rieurs á ceux donnés par les formules de Dupuit (formules 3 et 4) le long des méridiennes données p a r ees formules et au-dessus. On peut aussi démontrer que les potentiels réels sont inférieurs

aux potentiels de Dupuit prés du fond é tan che.

Soit ij l'ordonnée de la courbe de Dupuit et Fordonnée des points oü les potentiels réels sont égaux aux potentiels ele Dupuit.

J. Brillant a demontre (travail inédit) que y1

4 FIG. 4

(5)

2 5 6 LA HOUILLE BLANCHE N ° 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1

F i o . 8 FIG. 5

(6)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 E. DE C A Z E N O V E 257

tend vers J//V3 lorsque x tend vers r i n ñ n i (en restant tres inférieur á R, supposé infini). A en j u g e r p a r les meilleurs exemples calcules p a r relaxation, il est méme possible qu'on ait tou- j o u r s p o u r les terrains isotropes :

y^x = y / V 3 (9)

Les écarts entre les potentiels réels et les po~

tentiels de Dupuit deviennent tres faibles á grande distance de la paroi. Ainsi, soit en écou- lement plan, le point (X ; Y) sur la courbe de Dupuit tel que :

X = 3 . Y . V K R / 1 £

E n ce point, la h a u t e u r d'eau réelle est (1,01 .Y).

De méme, soit en éeoulement radial le point (X, Y) sur la méridienne de Dupuit tel que :

X = r + 3 . Y . V K ¡ 7 K ¡

E n ce point, la h a u t e u r d'eau réelle est infé- rieure á ( 1 , 0 1 . Y ) , et d'autant plus voisine de Y que Q/K^v.r² est plus grand.

TERRAINS RÉELS Les terrains permeables sont le plus souvent

fortement anisotropes ;

— Les alluvions grossiéres sont souvent cons- tituées de couches de galets et graviers dont tous les interstices sont remplis de sable, alternant avec des couehes de galets et graviers sans sable, beaucoup plus permeables.

Voici, p a r exemple, un schéma r e n d a n t compte des propriétés moyennes des alluvions du Rhin en Alsace, étudiées p a r Cambefort [6] : tout se passe comme s'il y avait :

-— 95 % de couches sableuses, de perméabilité 2 . 1 0 -⁴ m / s ,

— et 5 % de couches sans sable, de perméabilité 2 0 0 0 . 1 0 -⁴ m / s .

Ceci donne les perméabilités moyennes suivantes :

K* = 0 , 9 5 . 2 . 1 0 -⁴m / s

+ 0,05.2 0 0 0 . 1 0 ~⁴ m / s = 1 0 2 . 1 0 ~⁴ m / s

1⁼ 0,95 0,05

X 2 . 1 0 -⁴m / s 2 0 0 0 . 1 0 -⁴m / s ' d'oü :

K^v = 2 , 1 . 1 0 - * m / s

F i n a l e m e n t :

I 4 / K , = 49 et V K ¡ / K , = 7

— Les alluvions fines sont souvent constituées p a r des alternances de sable propre et de sable argileux cent ou dix mille fois moins permeable.

D'oü un rapport K^7t/K^v parfois tres grand.

— Seuls, les sables de dune propres et cer- tains gres sédimentaires sont parfois presque isotropes.

Toutes les formules théoriques supposent que le terrain est homogéne et naturellement aucun terrain n'est parfaitement homogéne; cependant, les essais donnent souvent des resultáis cohé- rents, ce qui s'explique de la maniere suivante :

— les débits ne dépendent que de K^{7 i}, qui est souvent assez peu variable á l'échelle des puits ou tranchées d'exploitation;

— les niveaux de la nappe rabattue ne dépen- dent que du r a p p o r t K^{f t}/K,„ beaucoup plus variable, surtout lorsqu'il est elevé, mais on a vu que Z variait au plus comme la racine carree de ce rapport, et beaucoup moins vite lorsque Q/K^v.r² est elevé, soit précisément lorsque K⁷/ K^v est elevé.

APPLICATIONS PRATIQUES L'écart entre les méridiennes de Dupuit et les

niveaux réels, toujours i m p o r t a n t prés de la paroi de la tranchée ou du puits, commé on peut le voir sur les figures 1 et 2 (dessinées á l'échelle pour un terrain isotrope), est encoré notable á la distance de H . V K^A/ K^V, et ne devient tres faible qu'á une distance de l'ordre de :

3 . H . V I V K 7 .

Voici quelques cas oü cet écart doit étre pris en considération :

Equipement de puits filtrants.

II faut mettre un tubage filtra nt sur ton te la h a u t e u r Z sur laquelle Feau peut arriver au fo- rage, si on veut que ce tubage ne provoque pas de pertes de charge parasites.

(7)

258 LA HOUÍLLE BLANCHE N° 3 - M A I - J U I N 1961

Essais d e p o m p a g e .

Si on cherche á préciser seulement les débits exploitables, done K^h, les piézométres proches du ptiits doivent étre crépinés seulement vers le niveau oü le potentiel est le méme que d'aprés les formules de Dupuit.

Si on étudie aussi K^v> il faut placer en plus des piézométres arrétés peu en dessous de la surface de la nappe rabattue.

Rabattements d e nappe.

II est ici évidemment essentiel d'étudier les niveaux réels.

Les graphiques et les formules donnés plus h a u t ne sont valables que pour les puits isolés.

La méthode proposée pour Fétude des rabattements de nappe avec plusieurs puits est donnée á Faimexe IL

CONCLUSIONS

Les débits exaets des puits ou tranchées ex- ploitant une nappe non captive sont donnés pal- les formules de Dupuit. P a r contre, les h a u t e u r s d'eau dans le t e r r a i n ne sont á peu prés celles indiquées p a r les formules de Dupuit qu'á une distance de la paroi filtrante de Fordre de :

Plus prés de la paroi filtrante, l e s h a u t e u r s d'eau sont bien supérieures á celles indiquées p a r les formules de Dupuit. Les méridiennes réelles ont été obtenues p a r divers auteurs p o u r u n certain nombre de cas particuliers; les extrapolations faites ici á p a r t i r de ees cas p a r t i - culiers permettent de tracer la méridienne avec une precisión acceptable dans tous les cas qui se rencontrent en pratique.

A N N E X E I

E X T R A P O L A T I O N DES R É S U L T A T S FOURNIS P A R LES CALCULS D ' A P P R O X I M A T I O N S SUCCESSIVES Tous les calculs seront presentes ici pour le — q^} Q, H, h> ij, Z par q.\/K^h/K^v,

cas du terrain isotrope. Si le t e r r a i n est ani- Q.\/K^7l/K^v, H . V K^{7 í}/ K^{t > ?} etc., sotrope, il faut remplacer partout : _^{e f c K}^p^a ^r VK¡TE;.

ÉCOULEMENT PLAN

E n coordonnées honiogénes, Z / H est fonction de D / H et /z/H. L'étude de Fécoulement classique de De Vos [7] fournit déjá une valeur p a r excés de Z / H :

z / ^ T Z T ^ 3 S

H V H² 4 . D². H²

Par des études analytiques, on peut préciser la forme de Z / H dans deux cas :

— Pour h nul et D / H t e n d a n t vers Finfmi, Z / H tend vers a . H / 2 . D ; le coefficient a est iníerieur á 1 (ceci resulte de Finégalité ci-dessus) et supérieur á 2/% = 0,63 (ceci resulte de Fétude d'un calcul approché de Jaeger — référence [ 8 ] ) .

(8)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 E. DE CAZENOVE 259

— Lorsque D / H tend vers zéro. Z / H tend vers (1 — & . D / H ) ; le coefficient b, indépendant de h/H, est inférieur á 1.

Nous avons étudié le premier cas p a r les calculs d'approximations successives dits de « re- laxaiion ». Les resultáis sont donnés par les figures 7 et 8 ; les calculs ont été faits p a r t o u t avec une décimale de plus que ce qui est indi

qué sur la figure 7, et une maille j u s q u ' á huit fois plus fine. Le coefficient a cherché est égal á 0,75, á ± 3 % prés : d'oü la formule (5) déjá citée :

Z = 0

'

^{7 5}

* X F " ° '

^{7 5}

' K~

^{( 5 )}

L'ordonnée de la méridienne réelle est :

— de 10 % supérieure á celíe de Dupuit pour x — l , 6 . ( g / K ) ;

— de í % supérieure á celle de Dupuit p o u r x = 1 7 . ( 7 / K ) . P o u r tous les autres cas, nous nous sommes hornés á reproduire les resultáis de Chapman (fig. 3), qui ont été obtenus p a r des calculs d'approximations successives á partir de formules analytiques de Muskat (voir référence [4]) :

— ees résultats confirment que le coefficient a est voisin de 0,75. La formule (5) est méme déjá applicable avec une bonne approxima- tion des que D / H est supérieur á 1,2;

•—• le coefficient b parait voisin de 0 , 8 ; il n'a pas été spécialement determiné p a r Chapman.

F i « . 7

(9)

260 LA HOUÍLLE BLANCHE 3 - MAI-JUIN 1961

ÉCOULEMENT R A D I A L

E n coordonnées homogénes, Z / r est fonction de trois grandeurs, p a r exemple H / r , h/r et R/r.

On étudiera successivement des domaines de plus en plus étendus :

I^o h nul et R / H tres g r a n d ; a priori, si R / H tend vers Finfini de telle maniere que le débit reste constant, Z / r tend vers une limite fonc

tion de ce seul débit, soit, en coordonnées h o mogénes, Q / K . r² (ou : H²/ r². L o g R / r ) .

2° h non nul, R / H encoré tres grand.

3^o R / H quelconque : ce probléme ne sera étu- dié que pour h nul.

Premier probléme ;

h = 0; R / H tres grand. Nous utiliserons seu- lement trois exemples, tous obtenus p a r calculs de relaxation :

— Exemple 3 de Boulton [5] : R / r = 52; H / r = 35,6.

D'oú, avec la formule 2 : Q / K r²= ^ 1 008;

Boulton a trouvé :

Z / r = 25,765.

F i o . 8

(10)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 E. DE CAZENOVE 261

— Exemple 4 de Boulton :

R / r = 16; H / r = 4.

D'oú : Q / K . r² = 18,15;

Boulton a trouvé :

Z / r = 1,5.

-— Enfln, si R et r tendent vers rinflni, la dif- f érence ( R —- r) restant fixe et égale á D, récoulement se fait entre deux cylindres co- axiaux de périmétres 2. 7 7. r et 2.T»;.R iníini- m e n t voisins en valeur relative; c'est l'honio- logue de 1'écoulement plan avec débit q par imité de longueur remplacé p a r Q / 2. 7 t. r . La formule (5) donne le résultat :

Z = 0,75. -&r = 0,75 — % — = 0,119 j ^ - (10)

K 2 T c. K . r K . r

Ceci n'est valable que si R et r sont tres grands par rapport á ( R — r ) ; la formule (2) indique que Q / K . r² est alors infiniment petit.

Sur graphique (Log Q / K . r²; Log Z / r ) , on a done :

— u n e asymptote pour Q / K . r² infiniment petit : Z/r = 0,119. ( Q / K . r²) ;

— et les deux points correspondan! aux deux exemples de Boulton.

P o u r extrapolar, il faut absolument se r a t t a - cher á la courbe de Dupuit. Soit sur cette courbe, le point S de coordonnées (X ; Z) (fig. 9) et le point P de coordonnées (r ; 0) : la pente de la droite PS est :

Les trois exemples utilisés donnent :

— pour Q / K r² infiniment petit — i = 2,667;

— pour Q / K r² = 18,15 i = 3,137;

— pour Q / K r² = 1 008 i = 3,727.

La pente i est certainement une fonction mo- notoñe croissante de ( Q / K . r²) . De méme la pente j de la tangente menee á la méridienne de

FIG. 9

Dupuit á p a r t i r du point (r ; Z) est une fonction monotone décroissante de ( Q / K . r²) .

Prenons z = 2,667 : pour ton te valeur de ( Q / K . r²) supérieure á 0, cela déíinit une limite par excés de ( Z / r ) ; on peut ainsi tracer sur la figure 4 les six courbes correspondan! aux valeurs experimentales de i et j ; ees courbes delimiten!

le dómame oü doit passer la courbe (h = 0).

Ce domaine est tres étroit; ainsi les valeurs experimentales de i et j pour ( Q / K . r² = 1 008) donnent pour ( Q / K . r² == 200 000) des valeurs de (Z/r) difierant de 5 '% seulement.

La formule (7), empirique, donne pour (Z/r) des dérivées premieres et secondes corréeles dans tout le domaine étudié; elle s'ohtient en ex- plicitant z dans la formule d'extrapolation suivante :

í = 2,667 + 0,219 In (1 + 5 Z / r )

Zee, Peterson et Bock (référence [9]) ont donné une courbe analogue á celle qui est dé- duite de la formule (7), tracée au jugé d'aprés de nombreux resultáis probablement beaucoup moins précis que ceux de Boulton; les valeurs de Z / r données par ees auteurs sont en moyenne inférieures de 10 % á celles trouvées ici pour Q / K r² inférieur á 500, presque les mémes pour Q / K r² compris entre 1 000 et 4 000.

D e u x i é m e probléme :

h non n u l ; R et H tres grands (fig. 4). Nous nous sommes bornes á reprendre les resultáis de Zee, Peterson et Bock en les modifiant pour teñir compte de la courbe limite (h = 0) donnée ci-dessus et de deux resultáis de Boulton.

Fixons R (tres grand) et r : Q/K est u n e fonc- tion de h et H, et on peut tracer sur la figure 4 des courbes d'égale valeur de H; a priorU ees derniéres courbes doivent avoir une allure b a r - monieuse : le respect de cette condition suffit á permettre une extrapolation assez súre dans de larges domaines a u t o u r de chaqué point repré- sentatif des données les plus precises.

Troisiéme probléme :

R et H quelconques, h nul. La formule (7) ne peut avoir une valeur genérale : si on y fait ten- dré H vers zéro et R vers r de facón que le débit reste constan!, H devient inférieur á Z, ce qui est absurde.

C'était la méme chose pour récoulement plan :

— d'aprés la formule (5), si D tend vers zéro, le rapport (H — Z ) / D passe par un máximum égal á 0,67 puis décroit et devient négatif, ce qui est a b s u r d e ;

(11)

262 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - M A I - J U I N 1 9 6 1

— en réalité ( H — Z ) / D tend vers 0 . 8 , soit

0 , 6 7 X 1,2.

Faute de données experimentales, nous propo- sons le méme processns pour Fécoulement ra

dial : R / r étant fixé, on calcule le rapport ( H — Z ) / r en fonction de H / r avec la formule ( 7 ) ; ce rapport passe par un m á x i m u m M. Nous avons admis qu'il devait en réalité tendré vers

( 1 , 2 . M ) lorsque H tend vers Finfini.

Les résultats ainsi obtenus sont donnés p a r la figure 6.

Ces résultats sont certainement assez précis pour toute la courbe R / r = 1,5. Pour les autres valeurs de R / r , les résultats déduits de Fextrapo- lation arbitraire proposée sont t r a d u i t s p a r des courbes en traits interrompus, qui correspondent d'ailleurs á des cas tout á fait exceptionnels.

MÉRIDIENNE DE LA N A P P E

Les auteurs deja cites ont proposé des métho- des simplifiées sans doute suffisantes pour une grande partie des cas qui se rencontrent en p r a - tique.

Voici cependant une méthode qui nous paraít plus logique, plus süre et plus expressive :

— Pour h — 0 : repórter les meilleures courbes obtenues p a r les calculs de relaxation sur u n graphique avec Log x/r en abscisse et y.\ÍK/Q en ordonnée. Sur ce graphique (fig. 5 ) , la formule ( 4 ) de Dupuit se traduit p a r une courbe unique et toutes les méri- diennes obtenues pour diverses valeurs de Q / K . r² admettent la courbe de Dupuit comme asymptote.

Nous avons reporté sur ce graphique :

— les méridiennes des exemples 3 et 4 de Boulton,

— et une courbe ABC obtenue en majorant de 1 0 % les ordonnées de la courbe de Dupuit.

Cette derniére coui'be a été graduée en valeur de Q/K.r², suivant une méthode analogue á celle qui a été utilisée pour obtenir la formule ( 7 ) .

Pour tracer la méridienne correspondant á une valeur donnée de Q / K . r², on dispose de deux points : Fun pour x = r, déduit de la formule ( 7 ) ,

Fautre sur la courbe ABC; compte tenu de l'allure des courbes de Boulton, on peut tracer une méridienne assez corréete : la courbe 5 de la figure 5 a été dessinée de cette maniere pour Q / K . r² égal á 5 8 5 0 .

— Pour h non mil; soit / le rayón du puits qui, totalement exploité (avec h — 0 ) , fournirait le m é m e débit que le puits de rayón r étudié.

D'aprés la formule ( 2 ) , f est défini p a r Féqua- tion suivante :

H² — h² H² h^{2 g}

Log R / r Log R/f Log r/f

On porte m a i n t e n a n t en abscisse : x/f; ainsi toutes les méridiennes admettent la méme courbe

de Dupuit comme asymptote.

Fixons f, H et R (done le débit) et faisons croítre h (done r) : les méridiennes successives s'abaisseront progressivement (en restant toujours au-dessus de celle de D u p u i t ) ; ainsi la méridienne de Fexemple 2 de Boulton est á peine en dessous de la courbe 5 tracée p o u r la méme valeur de Q / K . r².

La figure 5 n'est valable que dans le méme cas que la figure 4 : R / H « grand ». On peut m a i n t e n a n t préciser ce que cela signifie : si on fixe Q, h et r et qu'on fasse décroitre H et R, le point (R/f; H . V T T / Q ) suit la courbe de D u p u i t ; lorsque ce point arrive dans la zone oú la méri

dienne initiale se séparait nettement de la courbe de Dupuit, la méridienne nouvelle s'abaisse né- cessairement. A ce point de vue, la valeur de R est juste sufíisante pour les exemples 1 et 3 , u n peu insuffisante pour Fexemple 2 . Boulton a p r o - posé de prendre 1 , 5 . H comme valeur limite de R : c'est insuffisant pour Q / K . r² inférieur á 2 0 ; pour Q / K . r² tres petit, il faut m é m e p r e n d r e R et H tels que (R — r) soit supérieur á 3 . H .

Les valeurs de Z données p a r Boulton sont ce

p e n d a n t certainement correctes; il suffit de se souvenir que la formule ( 5 ) pour Fécoulement plan, d o n n a n t la limite de Z pour D / H infini, est encoré acceptable pour D / H égal á 1,2.

(12)

MAI-JUIN 1961 - N ° 3 E. DE C A Z E N O V E 263

PRECISIÓN DES RÉSULTATS

Les cinq résultats de calculs de relaxation u t i - lisés iei pourraient étre precises en tenant compte des données salvantes :

I^o On sait que les calculs de relaxation sont tres simplifiés, done donnent des résultats plus exaets, si Fon p a r t initialement de potentiels deja assez proches des potentiels réels.

La relation (9), ménie si elle n'est valable que pour x infini, facilite beaucoup la premiére esti

ra ation des potentiels. Ainsi, pour Fécoulement plan, il faudrait, tous calculs faits, p r e n d r e comme méridienne initiale la parabole :

if = 2 . x + 2 / 3

Orí devrait ensuite prendre comme équipo- tentielles initiales les paraboles homofocales et orthogonales.

Comme nous ignorions la relation (9) lorsque nous avons fait les calculs, nous avons deter

miné p a r t á t o n n e m e n t s la parabole la plus p r o -

che á Finfini de la méridienne réelle et nous avons trouvé :

Y 2 = 2 . X + 0 , 7

résultat u n peu diflérent du résultat exact in

diqué ci-dessus.

Le coefíicient ( 0 , 7 5 ) que nous avons trouvé pourrait done étre faux de 3 %.

2^o Pour accélérer les calculs d'itération, il est avantageux de contróler fréquemment, pour diverses valeurs de x^} le débit. Or, Boulton igno- rait, lorsqu'il a fait ses calculs, que les formules de Dupuit donnaient le débit exact : de ce fait, il faut faire u n e petite correction á u n des exemples de Boulton.

Malgré ees petites erreurs sur les données de base, les résultats obtenus ici sont des mainte- n a n t assez précis pour toutes les applications pratiques : on s'intéresse en eílet ici au rapport K^{/ t}/ K^y et presque tous les t e r r a i n s sont tres hété- rogénes á cet égard.

A N N E X E I I

A P P L I C A T I O N A U X R A B A T T E M E N T S D E N A P P E

Tout ce qui precede n'est valable que pour Jes puits isolés. Voici la méthode logique pour éva- luer la h a u t e u r d'eau réelle lorsqu'il y a plusieurs puits :

— Calculer p a r les formules de Dupuit le débit Q arrivant á chaqué puits et la h a u t e u r d'eau /?⁰ au point étudié (les débits ainsi calcules sont exaets : voir référence [ 3 ] ) .

— Calculer, toujours avec les formules de Dupuit, la méridienne d*un puits isolé qui, avec les

mémes valeurs de r et h, fournirait le méine débit Q que le puits le plus voisin du point étudié : sur cette méridienne, la h a u t e u r d'eau est égale á 7 í⁰ á une distance x⁰ de Faxe du puits.

— Calculer la h a u t e u r d'eau réelle j /⁰ á la dis

tance x⁰ du puits isolé.

La h a u t e u r d'eau réelle au point étudié est en general u n tout petit peu supérieure á ij⁰.

(13)

264 LA HOUILLE BLANGHE N ° 3 - M A I - J U I N 1061

EXEMPLE NUMÉRIQUE

Soit 50 puits repartís réguliérement sur u n e enceinte circulaire de rayón F = 50 m, avec : r = 0,25 ni R = 250 ni H = 10 ni h n u l

On cherche la h a u t e u r d'eau réelle au centre de cette enceinte.

On fait la transformation conforme classique ( Z = 2^{5 0}) ; il vient, tous calculs faits :

7 t . K^A. H²

ln ( F / 5 0 . r ) + 50 In (R/F)

d'oú :

h0 = 1,30 m

( 3 , 8 4 m2) . K7 l

R

Pour un puits isolé alimenté au débit Q (done avec H = 10 m et R extrémement grand, ou R = 250 m et H bien inférieur á 10 m), la h a u - teur d'eau d'apres Dupuit serait 7i⁰ á une dis- tance x0 telle que :

* . KF C. / !02 = Q.ln - f - ,

d'oü :

Voici le calcul des niveaux réels correspon- dants :

a) Pour le terrain isotrope : Q _ 3,84 m2

= 61,4 K . r² (0,25 m )²

La figure 4 donne :

(Z/r) = 3,8, d'oü Z = 3,8.0,25 m = 0,95 m.

D'oü :

~ 0,95 m

V "Q V3.84 m² = 0,485

On trace la méridienne correspondante sur la figure 5; pour x⁰ = 1 m — 4.r, on trouve :

¿7o. \ j 0,70 environ

d'oü :

ij0 = 0,70. V3,84 m2 = 1,37 m environ b) P o u r u n terrain anisotrope avec K/./K^ = 25,

voici les resultáis obtenus :

= 6 1 , 4 . 2 5 = 1 535 K^v. r²

La figure 4 donne (Z/r) . V K⁷/ K^V = 33,2;

d'oü :

33,2.0,25 m

Z =

V55'

^{1,66 m}

II vient

7 I K^7f.

Z V - Q -

1,66 m V3,84 m2

= 0,85

La méridienne s u r la figure 5 est á peine au- dessus de la courbe 3. P o u r x⁰ = l m = 4 . r⁾ on trouve ;

9 0

' V ^ Q ^

⁰

'

^{9 0}

'

d'oü :

ijo = 0,90. V3,84 m2 = 1,76 m

D'oü les niveaux á Fintérieur de l'enceinte :

— p o u r Kⁿ/K^v = 0 (Dupuit) : 1,30 m ;

— p o u r K^7í,/K.y = 1 : u n peu plus de 1,37 m ;

— p o u r K^h/K^v = 25 : u n peu plus de 1,76 m . C'est la u n exemple avec des données tout á fait ordinaires; on fait souvent des r a b a t t e m e n t s de nappe avec des puits de bien plus petit diamé- tre, dans des t e r r a i n s bien plus anisotropes;

l'écart entre les niveaux calcules p a r les formules de Dupuit et les niveaux réels est alors bien plus grand.

(14)

MAI-JUIN 1 9 6 1 - N ° 3 E . TM CÁZENOVE 265

RÉFÉRENCE5

[ 1 ] J . D U P U I T . — E t u d e s t h é o r i q u e s et p r a t i q u e s s u r le m o u v e m e n t des e a u x d a n s les e a n a u x décou- v e r t s et á t r a v e r s les t e r r a i n s p e r m e a b l e s -— Dunod (París) 2C éd. — 1 8 6 3 .

[ 2 ] J . TCHARNYI. •— La d é m o n s t r a t i o n r i g o u r e u s e des f o r m u l e s de D u p u i t p o u r la filtration d ' e a u sous p r e s s i o n avec zone de s u i n t e m e n t . Comptes rendus de TAcadémie des Sciences de VU.R.S.S. •— V o l u m e 8 9 , n° 6 — 1 9 5 1 .

[ 3 ] J. BRILLANT. — Le d é b i t des é c o u l e m e n t s en t e r r a i n p e r m e a b l e l i m i t é p a r u n s u b s t r a í u m h o r i z o n t a l é t a n c h e — Le Génie Civil — P a r í s , 1 / 3 / 1 9 5 6 , page 9 5 .

[ 4 ] T. G. CHAPMAN. — Two d i m e n s i o n a l g r o u n d - w a t e r flow trougli a b a n k w i t h v e r t i c a l faces. Revue Géotechnique, L o n d r e s , m a r s 1 9 5 7 , p . 3 5 .

[ 5 ] N, S. BOULTON. •— T h e flow p a t t e r n n e a r a g r a v i t y well in a u n i f o r m w a t e r - b e a r í n g m é d i u m — Jour

nal of the Institution of Civil Engineers, L o n d r e s , 11° 1 0 , d é c e m b r e 1 9 5 1 , p . 5 3 4 .

[ 6 ] H. CAMBEFORT. — Les a l l u v i o n s graveleuses f e u i l - letées et á s t r u c t u r e o u v e r t e . Quaíriéme Congrés des grands barrages — New-Delhi, 1 9 5 1 , Vo

l u m e IV, page 4 3 1 .

[ 7 ] H . C . P . DE Vos. — Das S t r ó m c n von W a s s e r d u r c h E r d d á m e u n d deren Unterlage — Premier Congrés des Grands Barrages, Stockholm, 1 9 3 3 , v o l u m e IV, page 7 1 .

[ 8 ] C . JAEGER. — H y d r a u l i q u e t e c h n i q u e , P a r í s , Dunod, 1 9 5 4 , page 4 0 5 .

[ 9 ] C h o n g - H u n g Z E E , D. F . PETERSON a n d R . O . BOCK,

— F l o w into a w e l l b y electric a n d m e m b r a n e a n a l o g y — Proceedings AJS.C.E., New York, Vo

l u m e 8 1 , n ° 8 1 7 , october 1 9 5 5 .

[ 1 0 ] Voir< p a r e x e m p l e : H . P . HALL. — Recherches con- e e r n a n t l'éeoulement p e r m a n e n t a l i m e n t a n t u n p u i t s g r a v i t a i r e , La Houille Blanche, Grenoble, j a n v . 1 9 5 5 , page 4 1 .

SSIR3 P A P E T E R I E , banlieue de Grenoble, CHERCHE :

I N G É N I E U R L E . G .

ÉVENTUELLEMENT DÉBUTANT, C O M M E

C H E F S E R V I C E S É L E C T R I C I T E F O R C É M O T R I C E , É T U D E ET E X P L O I T A T I O N

LOGEMENT ASSURÉ. SITUATION D'AVENIR. Ecrire : HAVAS GRENOBLE 5 . 5 1 7 .