J A N V . - F É V . 19(51 — NÜ 1 L A H 0 U 1 L L E B L A N C H E 59
Sur les milieux poreux
et les coefficients de porosité
Porous media and coefficients of porosity
PAR M A MlN-YüAN
I N G É N I K U K A L A S O í H i É A H
La porosité et les coefficients de porosiié sont un su jet fort particulier dans Vhydraulique, mais tres complexc. II a suscité d'intéressantes éhides et des contro verses passionnées., et il pro
voque aujonrd'hui méme des discassions, sur- tout en ce qui concerne les valeurs á utiliser vour les divers coefficients.
C'est á propos de ceux-ci que Vauteur resume ici ses diverses réflexions sur le su jet, Et dans son exposéy it montre implicitement comment on peut mienx saisir le sens de « porosité » et choisir ensuiie les valeurs des coefficients d'une fagon plus adéquate.
Porosity and coefficients of porosity are a very particular and complex aspect of hydraulics, wlüch has given rise to interesting studies and much controuersij. Opinions are still divided on some points, especialfy regarding the valúes of the various coefficients involved.
The author states his own opinión on this last point and shoivs in his exposé how to gain a better understanding of the meaning of porosity and thus give the coefficients more represen- tative valúes.
O n sait q u e les p h é n o m é n e s d ' é c o u l e m e n t dans les m i l i e u x p o r e u x ont leur influence sur la soli- dité des o u v r a g e s des installations h y d r o é l e c t r i - ques. E t p o u r étudier ees influences, nous avons besoin des coefficients de p o r o s i t é p o u r f a i r e des calculs. C'est ainsi q u e nous avons été a m e n é a consulter les o u v r a g e s de M M . T i s o n [ 1 ] , T e r z a - g h i [ 2 ] , Serafina [ 3 ] . . . ainsi q u e des études de Graton et F r a s e r ] 4 ] , H a r z a [ 5 ] , L e l i a v s k y [ 6 ] . N o u s e x p o s o n s ci-aprés certaines de nos r é flexions p r o v o q u é e s p a r ees lectures.
#*
D a n s certains exposés, on attache p o u r r a i - son d e c o m m o d i t é l e sens d e « v i d e » g é o m é t r i - q u e au sens de p o r o s i t é . C'est ainsi q u e généra- l e m e n t o n définit, p o u r un m i l i e u consideré, le r a p p o r t g é o m é t r i q u e :
v V
oü v = le v o l u m e du v i d e g é o m é t r i q u e contenu dans le m i l i e u consideré,
V = le v o l u m e g é o m é t r i q u e du milieu consi
deré.
O n appelle ce r a p p o r t : porosité, ou coefíi- cient v o l u m i q u e de porosité, du m i l i e u c o n s i d e r é ; o n le designe souvent p a r m. Cette f a c ó n de de
finir la p o r o s i t é est s i m p l e et c o m m o d e , m a i s elle m a n q u e de r é a l i s m e . E t nous en i n d i q u e r o n s plus l o i n la raison.
A i n s i , p o u r un m i l i e u p o r e u x f o r m é p a r des grains de f o r m e sphérique et sensiblement égaux e n t r e eux, on peut, dans des études, a s s i m i l e r ce m i l i e u á un a m a s de sphéres pleines de r a y ó n R . U n e fois cette idéalisation adoptée, il est n a t u r e l de v o i r si F o n peut calculer le coefficient m d'aprés la définition d o n n é e ci-dessus.
P o u r f a i r e un calcul, i l faut donner une h y p o - thése sur Tentassement de T a m a s . E n eflet, en ad- m e i t a n t q u e les sphéres soient pleines et en c o n -
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961023
60 L A H O U í L L E BLANCHE N ° 1 — J A N V . - F É V . 1901
iact entre elles de Lelle t a c ó n que les d r o i l e s passant par le c e n t r e et les p o i n t s de c o n t a c t í'or- m e n t u n systéme d'axes t r i o r t h o g o n a u x ( v o i r les figures 1 et 2 ) , on sait que, p h y s i q u e m e n t , ect
F i a . 2
entassement est en e q u i l i b r e , mais instable. O r} des calculs faits m o n t r e n t que dans ce cas :
m = 1 — = 0,476
De F e n t a s s e m e n t défini par les figures 1 et 2, si on garde le dispositif dans le plan xoij, mais si, en r e v a n c h e , on déplace les spheres ( d o n t les centres sont de z = 2 R ) , dans la d i r e c t i o n oy, de la distance R, p o u r avoir dans le plan yaz l ' a r r a n g e m e n t figuré dans la figure 3, i l est á re-
> Y
F i o .
a
m a r q u e r que cet a r r a n g e m e n t est en e q u i l i b r e , instable l u i aussi. M a i s dans ce cas, o n a :
m = 1 - - — ^ — = 0,396 3 V 3
Si, á p a r t i r de F e n t a s s e m e n t défini par les figu
res 2 et 3, on déplace les spheres d o n t le c e n t r e est de z V 3 R dans la d i r e c t i o n ox, telle que
Faspect de cette c o u c h e de spheres dans le plan xoy est figurée dans la figure 4, on t r o u v e alors un entassement stable, et dans ce cas :
;n = 1 — = 0,259 3 V 2
N o u s signalons en passant que ce d e r n i e r en
tassement est le i n é m e que F e n t a s s e m e n t des
> y
x Y
Fio. 4
spheres en p y r a m i d e á base de t r i a n g l e r é g u l i e r . O n pent m o n t r e r eeci par le c a l c u l de 727, ou di- r e c t e m e n t par des c o n s i d é r a t i o n s g é o m é t r i q u e s .
Les valeurs t h é o r i q u e s obtenues ci-dessus sont bien c o n n u e s et sans r e p r o c h e s , mais m a l g r é ees calculs sans r e p r o c h e s , nous nous s o m m e s de
m a n d é q u e l l e est la v a l i d i t é de ees c o n s i d é r a t i o n s g é o m é t r i q u e s .
*
E n réalité, Fentassement n a t u r e l d'un m i l i e u p o r e u x h o m o g é n e f o r m é par des grains s p h é r i - ques assimilables á un amas de spheres pleines a d m e t r a r e m e n t 0,259 c o m m e coefficient de p o - rosité v o l u m i q u e , p u i s q u e , dans le m i l i e u n a t u rel f o r m é par des spheres parfaites, les spheres ne sont pas toutes entassées d'une f a c ó n serrée j u s q u ' á Fidéal; et F e n t a s s e m e n t n a t u r e l p e u t étre consideré c o m m e un m é l a n g e de parties á coeffi- cients de p o r o s i t é v o l u m i q u e différents et q u i sont de :
0.476 0,396 0,259
r e s p e c t i v e m e n t . D e plus, on p e u t m é m e a d m e t t r e que, dans la n a t u r e , la p o s s i b i l i t é de t r o u v e r des parties á m = 0.476 est tres faible, en sorte que, p r a t i q u e m e n t , on p e u t p r é t e n d r e q u e Fentasse
m e n t n a t u r e l est f o r m é par deux catégories de parties :
— « c a t é g o r i e A » , á coefficient de p o r o s i t é v o l u m i q u e = 0,396,
— « c a t é g o r i e B » , á coefficient de p o r o s i t é v o l u m i q u e = 0,259.
FIG. 1
J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 M.-Y. MA 61
G'est ainsi q u e , si la « c a t é g o r i e A » r e p r é - sente 50 % du v o l u m e total, la p o r o s i t é v o l u m i - q u e est de 0,327 et si la « c a t é g o r i e A » est de 25 % , alors la p o r o s i t é v o l u m i q u e est de 0,293.
O n v o i t alors q u e Pentassement naturel s'ap- p r o c h e plus de Pétat ideal l o r s q u e son coefñcient v o l u m i q u e de p o r o s i t é s'approche de 0,259. M a i s i l est á r e m a r q u e r q u ' a v e c des spheres p a r f a i t e s , on a r r i v e tres d i f f í c i l e m e n t á un tel entassement, á cause des f r o t t e m e n t s n o n nuls entre les sphe- res, ce q u i r e v i e n t á d i r é que, m é m e avec des spheres pleines de r a y ó n s a b s o l u m e n t i d e n t i q u e s , de d i m e n s i o n s o r d i n a i r e s , on n ' a r r i v e qu'á t a i r e un m i l i e u p o r e u x , t h é o r i q u e m e n t h o m o g é n e , m a i s
d'un m plus g r a n d q u e 0,259 et assez petit p a r r a p p o r t á 0,396, car p o u r m = 0,396, on a un é l a t h o m o g é n e tres instable vis-á-vis des secousses.
A n o t r e p o i n t de v u e , sans e x p é r i e n c e s faites, on peut r a i s o n n a b l e m e n t c o n c e v o i r des m i l i e u x p o r e u x h o m o g é n e s stables dans la nature, de coefficient de p o r o s i t é v o l u m i q u e de P o r d r e de 0,28 á 0,3, m a i s nous disons tout de suite q u e la connaissance de cette l i m i t e est tres intéres- sante, et nous en i n d i q u e r o n s plus l o i n la raison.
Jusqu'ici nous avons consideré la question de p o r o s i t é du p o i n t de v u e de la g é o m é t r i e .
Or, p h y s i q u e m e n t , les m a t i é r e s sont considé- rées c ó r a m e f o r m é e s de m o l é c u l e s de f o r m e s plus ou m o i n s s p h é r i q u e s . E t , p o u r le présent exposé, on peut c o n s i d é r e r q u e les m i l i e u x m a t é r i e l s sont f o r m e s p a r des m o l é c u l e s en contact entre eux, et q u e les m o l é c u l e s d'eau p e u v e n t étre assimi- lées á des spheres d'un d i a m é t r e de P o r d r e de 3,5 . 1 0 ~8c m ; de m é m e , les m o l é c u l e s de fer ou de silice sont assimilables á des spheres de dia-
m é t r e s de P o r d r e de 2,5 á 3 . 1 0 ~se m . O n v o i t alors q u ' i l est possible de c o n s i d é r e r les aciers, les silices, c o m m e un m i l i e u p l e i n de v i d e , c'est- á-dire p o r e u x ; m a i s il est i n c o n c e v a b l e de d i r é q u e des m o l é c u l e s d'eau c h i m i q u e m e n t libres p e u v e n t s ' e m m a g a s i n e r dans ce g e n r e de m i l i e u . E t dans ce cas, le coefficient v o l u m i q u e de p o r o - sité d o i t étre m i l , c'est-á-dire :
m = 0
ce qui m o n t r e que, dans P h y d r a u l i q u e , si nous considérons des m i l i e u x p o r e u x f o r m e s par des grains s p h é r i q u e s de d i a m é t r e d entassés d'une facón i d é a l e , alors on v o i t que m d o i t v a r i e r de 0 j u s q u ' á 0,259 en suivant P a u g m e n t a t i o n de Péchelle de d. D a n s l a nature, i l n'est pas sans raisons d ' a d m e t t r e q u e p o u r c/, de P o r d r e de de 10~~3cm et m é m e de P o r d r e de 1 0_ 4c m ou
10~r > cin, m peut a t t e i n d r e la v a l e u r t h é o r i q u e :
0,259. A i n s i , p o u r des m i l i e u x p o r e u x f o r m e s p a r des g r a i n s d e d i m e n s i o n s o r d i n a i r e s , de f o r m e sphérique, assimilables á des spheres, il est tout
á fait réaliste de penser a v o i r dans P h y d r a u - l i q u e :
m = 0,259
ou plus g r a n d , c o m m e nous P a v o n s e x p l i q u é plus haut.
» *
A v a n t de p o u r s u i v r e les e x a m e n s d'autres as- peets de la p o r o s i t é , nous signalons ici le p o i n t suivant, r e l a t i f á la m e s u r e de m dans les l a b o - ra toires.
D a n s la p r a t i q u e , p o u r la m e s u r e du v i d e laissé p a r des spheres de r a y ó n R entassées dans le m i l i e u , on entasse souvent les spheres dans une c u v e cubique, dont les cotes sont b e a u c o u p plus g r a n d s q u e R , et on m e s u r e la quantité d'eau q u e peut contenir e n c o r é la c u v e p a r des m é t h o d e s apprc#>rrees. N o u s savons b i e n que ees mesures ne se f o n t pas sans p e i n e , m a i s i l est á r e m a r q u e r q u e le m ainsi t r o u v é n'est pas exact si P o n a pris seulement la précaution que le cote du cube soit b e a u c o u p plus g r a n d q u e R . E n effet, il est tres j u s t e de penser que, dans la cuve, au contact des p a r o i s et á leur a p p r o c h e , les spheres sont m o i n s b i e n entas- sées que celles q u i se situent plus á P i n t é r i e u r du cube. Si P o n c o n s i d e r e que cet état de d i o s e s c o r r e s p o n d á un v o l u m e v ( d e coefficient de p o - rosité M p a r surface de p a r o i ) oú les spheres s'entassent plus m a l que celles situées plus á P i n t é r i e u r du cube et d o n t le coefficient de p o r o - sité est m ( o n sait que M > m ) , on v o i t q u e (le v o l u m e g é o m é t r i q u e du cube étant V et le coef- ficient de p o r o s i t é de la c u v e entiére étant m7) , o n a :
6 v . M + ( V — 6 v) . m = V m ,
ce q u i m o n t r e b i e n que m3 n'est pas la v a l e u r m que P o n v e u t ob teñir.
A n o t r e p o i n t de v u e , i l est tres facile de t r o u v e r au m o i n s t h é o r i q u e m e n t la v r a i e v a l e u r de m. E n effet, on peut f a i r e une d e u x i e n i e m e - sure en p r e n a n t une autre cuve á base du m é m e carré que la p r e n d e r e cuve, mais de hauteur double. Si la d e u x i e n i e m e s u r e d o n n e m2 c o m m e coefficient de p o r o s i t é v o l u m i q u e , on sait alors q u e m2 s'approche plus p r é s de m que mt. O r , dans ce cas, on a :
10 » M + (2 V — 10 v) ni — 2 Vino O n deduit de ees deux m e s u r e s q u e ;
2 vM — 2vm=2 V;??1 — 2 Vm<>
et :
í T i . V = V. 7 7 7 , — 3 ( 2 V . m , — 2 V . m2)
E t on v o i t q u e la v r a i e v a l e u r du coefíicient de
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])orosité v o h i m i q u e á m e s u r e r est donnée alors par la r e l a t k m tres s i m p l e :
ni. = 6 m2 — 5 P r e n o n s par e x e m p l e :
V mx = 0,50 ; 7 7 ?2 = 0,48,
on a : m = 2,88 — 2,5 = 0,38;
2o mx = 0 , 3 3 ; m2 = 0,32,
on a : m = 1,92 — 1,65 = 0,27.
ees e x e m p l e s n u m é r i q u e s m o n t r e n t déjá q u ' i l y a des p r é c a u t i o n s á p r e n d r e dans les mesures faites dans les laboratoires d'essais p o u r a v o i r des résultats plus c o n f o r m e s á la réalité.
D ' a i l l e u r s , la f o r m u l e m = 6 m2 — 5 í nx m o n - tre e n c o r é q u e si T e r r e u r m a x i m a l e c o m m i s e dans
les mesures de m2, m1 est de 0,01, T e r r e u r m a x i - male c o m m i s e sur la v a l e u r de m peut alors afcteindre :
(6 + 5) 0 , 0 1 = 0 , 1 1
ceci illustre p a r f a i t e m e n t le fait q u e la d é t e r m i - nation p r a t i q u e de m dans la nature est une o p é r a t i o n tres délicate, m é m e dans le cas le plus s i m p l e .
**
N o u s avons e x a m i n é les d i v e r s aspeets du coefflcient de p o r o s i t é v o l u m i q u e d'un m i l i e u p o r e u x ideal, f o r m é p a r des sphéres pleines de m é m e r a y ó n R . E t nous allons m a i n t e n a n t exa- m i n e r p o u r ce m é m e m i l i e u la question du eoef- íicient superflciel de p o r o s i t é .
E n p a r t a n t de n o u v e a u de la n o t i o n du v i d e g é o m é t r i q u e p o u r definir le coefñcient superfl- ciel de porosité, on sait q u e ce coefflcient doit é l r e un r a p p o r t de deux surfaces g é o m é t r i q u e s . P o u r ce taire, on p r e n d un p l a n q u i coupe le m i l i e u p o r e u x f o r m é p a r des sphéres pleines.
A l o r s , o n a :
S¿ = la surface totale des cercles dans le plan, Se = la surface t o t a l e des zones intercercles dans le p l a n ; on a p p e l l e coefflcient superflciel de
p o r o s i t é du m i l i e u consideré, le r a p p o r t :
Si -f- Se
q u ' o n designe q u e l q u e f o i s p a r TJ.
E n adoptant cette définition g é o m é t r i q u e , nous v o y o n s i m m é d i a t e m e n t q u e TJ ainsi défini. p o u r le m i l i e u p o r e u x f o r m é p a r des sphéres pleines i d e n t i q u e s , d é p e n d :
1 ° de la g r a n d e u r de la p o r t i o n considérée S du p l a n de r e p é r e ;
2° de la d i r e c t i o n et de la p o s i t i o n du p l a n de r e p é r e .
E n effet, si Ton p r e n d Tentassement i d e a l des sphéres definí p a r les figures 2 et 4, on v o i t q u ' e n t e n d a n t le p l a n de r e p é r e Tiníini, o n a, suivant T o r i e n t a t i o n de ce p l a n :
10 L e p l a n est p a r a l l é l e á xoij et de cote z : 1
7} =
(tc/4) [ 1 — ( Z / R )2]
p o u r 0 < 2 ^ ( V 2 — 1 ) R 1 — ( * / 2 ) . ( z / R ) ( V 2 — z/K)
p o u r ( V 2 — D . R ^ z ^ R c'est~á-dire
z / R 0 0,2 0,414 0,707
( V 2 — 1 ) ( 1 / V 2 ) 1
•r. 10,215 S 0,246 S 0,35 \ 0,215 ^ 0 , 3 5 2 o L e p l a n est p e r p e n d i c u l a i r e á oy :
c'est-á-dire :
y / R
1
vi I
O 0,5 1
'1 0,445 \ 0,167 / * 0,445
E t il est á r e m a r q u e r , c o m m e nous T a v o n s dit, q u e Tentassement c o n s i d e r é ici est le m é m e q u e celui d'entassement en p y r a m i d e á base de t r i a n - gles r é g u l i e r s . M a i s si T o n c o n s i d e r e un p l a n i n -
fini p a r a l l é l e á celui passant p a r les centres de trois sphéres i d e n t i q u e s en contact et de dis- tance S p a r r a p p o r t au p í a n des trois centres i n d i q u e s , on a :
Fia. 5
J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N " 1 M.-Y. MA 6 3
- I ^ [ - - ( i J ]
p o u r 0 < 8 ^ 2 . y / y — l ^ R
2 V 3 _ _ 3 F V 3 R \ R / _
| p o u r f 2 ^ / | - _ 1 ^ R ^ S ^ R c'est-á-dire :
o/ R : 0 0,2 0,4 ( 2 . V 3 7 3 " — 1 ) V 2 / 3 1 7] : 0,093 ^ 0 , 1 3 / * 0,238 / * 0,458 \ 0,395 0,458
D e v a n t les d i v e r s e s v a l e u r s de v\ i n d i q u é e s i c i p o u r u n cas tres s i m p l e de m i l i e u p o r e u x assi- m i l a b l e á un m i l i e u h o m o g é n e , on est o b l i g é de se d e m a n d e r q u e l l e est la v a l e u r de v¡ á utiliser dans des études t h é o r i q u e s oú T o n veut assimiler le m i l i e u p o r e u x á u n m i l i e u homogéne (nous di- sons h o m o g é n e au sens m a t h é m a t i q u e ) en v u e de t a i r e des calculs.
A ce sujet, deux p r o p o s i t i o n s des plus connues ont été faites. N o u s allons les e x a m i n e r c i - dessous.
L a p r e m i é r e p r o p o s i t i o n est de p r e n d r e la m o y e n n e de TJ le l o n g d'une d i r e c t i o n d o n n é e ( o n velara plus l o i n q u e cette d i r e c t i o n n ' e n t r e pas en j e u ) sur l a q u e l l e T é l é m e n t de distance est de- signé p a r dn; on p r e n d alors, si S est une sur- face p l a ñ e assez g r a n d e , p e r p e n d i c u l a i r e á la di- rection considérée, le r a p p o r t :
(St\.dn
I I est á r e m a r q u e r q u e le r a p p o r t ainsi déñni v a r i é suivant la v a l e u r de d é p a r t de r„ de S, et de T i n t e r v a l l e d ' i n t é g r a t i o n de dn. P o u r des S p a r t i - culiers et des i n t e r v a l l e s p a r t i c u l i e r s de n, on a :
fSv). dn _ v
JSdn ~ u ~ m
et p o u r un i n t e r v a l l e q u e l c o n q u e entre n et S, s u f í i s a m m e n t g r a n d s , le r a p p o r t consideré dif- i e r e tres peu de m et on v o i t i c i raéme q u e cette v a l e u r ne d é p e n d pas de la d i r e c t i o n considérée.
A i n s i , on v o i t q u e l q u e f o i s des auteurs r e c o m - m a n d e r de p r e n d r e :
coefficient superficiel de p o r o s i t é = m p o u r le m i l i e u p o r e u x assimilé á un état i d e a l .
Cette p r o p o s i t i o n n'est pas, á n o t r e p o i n t de
v u e , p a r f a i t e . E n efíet, la m o y e n n e ainsi obte- nue dépend, c o n i m e nous T a v o n s dit, de S et de T i n t e r v a l l e d ' i n t é g r a t i o n de dn. O r , dans les étu- des, on utilise souvent la n o t i o n de coefficient superficiel de porosité, p o u r e x a m i n e r des ques- tions liées á la pression lócale, a u x m o u v e m e n t s des p a r t i c u l e s d'eau, ce qui d e m a n d e q u e la v a - leur á utiliser soit une m o y e n n e p a r r a p p o r t á toutes les directions (et n o n une m o y e n n e p a r r a p p o r t á la distance dans une d i r e c t i o n d o n n é e ) et de plus, soit i n d é p e n d a n t e de la g r a n d e u r de S c o n s i d é r é e (et n o n d é p e n d a n t e de cette g r a n d e u r ) l o r s q u e S est p e t i t e
D ' a i l l e u r s , la p r o p o s i t i o n :
coefficient superficiel de p o r o s i t é = m nous c o n d u i t á T i n t e r p r é t a t i o n suivante de la réalité :
« L e v i d e dans le m i l i e u p o r e u x idéalisé se c o m p o r t e c o m m e s'il était f o r m é de tubes c o n t i - nus de surface totale m fois plus petite dans tou- tes les d i r e c t i o n s , »
O r , p h y s i q u e m e n t , il est tres difficile d ' i m a - g i n e r u n tel m i l i e u .
L a d e u x i é m e p r o p o s i t i o n consiste á p r e n d r e : / n2/3 c o m m e coefficient superficiel de p o r o s i t é .
A n o t r e p o i n t de v u e , ceci satisfait plus á T e s - prit. E n effet, p o u r i d é a l i s e r le m i l i e u p o r e u x , il est plus r a i s o n n a b l e de supposer q u ' e n r e m p l a - cant le v i d e p a r des m o l é c u l e s d'eau, ees m o l e - cules se dispersent d'une facón h o m o g é n e , dans tout v o l u m e p a r t i e l q u e l c o n q u e . D e la sorte, si dans un v o l u m e r e m p l i d'eau ( m a i s dans lequel seront u l t é r i e u r e m e n t i m m e r g é s des corps p o - r e u x ) , une surface S coupait N m o l é c u l e s d'eau, cette m é m e surface ne rencontrera, dans le m i - lieu p o r e u x dont le v i d e est occupé p a r Teau, q u e
m2 / 3 N m o l é c u l e s d'eau, en a d m e t t a n t q u e Teau se disperse dans ce m i l i e u d'une f a c ó n h o m o - géne.
D o n e le coefficient superficiel de p o r o s i t é est alors m2/3 q u e l l e que soit la surface S ( m a i s beaucoup plus g r a n d e q u e les échelles m o l é c u - laires qui sont de T o r d r e de 3 . 5 . 1 0 ~8c m ) .
E t on en déduit q u e p o u r un m i l i e u p o r e u x h o m o g é n e , la r e l a t i o n :
7) = m2 / 3
est t h é o r i q u e m e n t admissihle. C'est ainsi que, p o u r le m i l i e u p o r e u x ideal des sphéres pleines et identiques,, de d i m e n s i ó n o r d i n a i r e , on peut p r e n d r e :
TI = ( 0 , 2 5 9 )2/3 == 0,406
C o m p a r o n s cette v a l e u r t h é o r i q u e avec les diverses v a l e u r s caículées plus h a u t ; on v o i t q u ' e l l e est p a r f a i t e m e n t acceptable, tout en n o -
L A H O U Í L L E B L A N C H E N ° 1 — J A N V . - F K V . 1 9 6 1
taut que dans certaines directions, le 7} réel peut étre plus g r a n d .
N o u s avons consideré j u s q u ' i c i les m i l i e u x p o - reux f o r m e s p a r des grains de f o r m e sphérique, assimilables á des sphéres identiques, tout en supposant q u e les sphéres sont pleines (c'est- á-dire les m o l é c u l e s d'eau n ' a r r i v e n t pas á p e n é - trer á Fintérieur des s p h é r e s ) . N o u s p r o p o s o n s d'appeler ce g e n r e de p o r o s i t é « porosité s i m p l e » .
E t p o u r des m i l i e u x p o r e t i x f o r m e s p a r des grains, qui sont á leur i o u r p o r e u x , nous dirons alors que ees m i l i e u x p o r e u x sont de « p o r o s i t é c o m p o s é e » .
D o n n o n s un e x e m p l e : un m i l i e u p o r e u x f o r m é p a r des sphéres en acier ou en silice puré, de r a y ó n 1 m m , est de p o r o s i t é s i m p l e , car on sait q u e les m o l é c u l e s d'eau n ' a r r i v e n t pas á p é - nétrer á F i n t é r i e u r de ees sphéres.
Mais, p o u r le m i l i e u p o r e u x f o r m é , par e x e m - ple, p a r des sphéres de r a y ó n 1 m m , ees sphéres, dites sphéres-grains, sont c o m p o s é e s á leur tour par des petites particules sphériques de d i a m é - tres assez petits, par e x e m p l e 5 . 1 0 ~4c m . I I est alors raisonnable d ' a d m e t t r e q u e les m o l é c u l e s d'eau p e u v e n t entrer l i b r e m e n t á Fintérieur des sphéres-grains et remplissent les v i d e s i n l e r p a r - ticules. Ce d e r n i e r genre de p o r o s i t é est p h y s i q u e . m e n t b i e n d i f i e r e n ! du p r e m i e r . Ce qui nous pousse á p a i i e r de « p o r o s i t é c o m p o s é e » et á y p o r t e r une attention p a r t i c u l i é r e .
N o u s nous placons ici dans le g e n r e de p o r o - sité c o m p o s é e i n d i q u é e ci-dessus et nous sup- posons q u e les particules soient bien entassées pour f o r m e r les sphéres-grains et que les sphé- res-grains soient b i e n entassées p o u r f o r m e r le milieu p o r e u x . D ' a p r é s les calculs faits p o u r les m i l i e u x p o r e u x , de p o r o s i t é s i m p l e , m a i s idéaux, il est facile de v o i r que, p o u r íe m i l i e u p o r e u x de porosité c o m p o s é e , o n a :
mc = ms + ( 1 — j n j m&
o ti m(, : coefficienl v o l u m i q u e de p o r o s i t é c o m - posée du milieu p o r e u x c o n s i d e r é ; : coefficient v o l u m i q u e de p o r o s i t é simple
en a d m c t l a n t les sphéres grains p l e i n s ; m}} : coefficient v o l u m i q u e de p o r o s i t é des
particules dans les sphéres-grains.
Bien entendu, si m})—0, on t r o u v e que mfl=mS9 ce qui m o n t r e que m<; peut se réduire au coeffi- cient v o l u m i q u e de p o r o s i t é s i m p l e .
P o u r la d e t e r m i n a t i o n de mc dans les labora- toires, on doit e m p l o y e r la m é t h o d e i n d i q u é e plus haut, c'est-á-dire :
si (mc)1 d o n n e la m e s u r e de mc p o u r les échantillons places dans une c u v e cubique,
et si (mc)2 d o n n e la m e s u r e d e mc p o u r les échantillons places dans une cuve de m é m e base, mais de hauteur double,
la v r a i e v a l e u r de mc est alors d é ñ n i e p a r : mc= 6 ( mc)2 — 5 ( mc) i
II est á r e m a r q u e r que la v a l e u r me e s t tres v a r i a b l e . E n effet, p o u r les m i l i e u x p o r e u x f o r - mes de sphéres-grains entassées d'une f a c ó n par- faite, on a t h é o r i q u e m e n t :
ms = 0,259
et d'autre part, si les particules sphériques ( d e d i a m é t r e s assez g r a n d s ) sont aussi entassées d'une f a c ó n p a r f a i t e p o u r f o r m e r les sphéres- grains, on a aussi :
mp = 0,259
O n t r o u v e alors que :
mc = 0,259 + (1 — 0,259) X 0,259 = 0,451 N o u s avons eu P o c c a s i o n de p a r l e r de la l i m i t e de ms au debut de n o t r e e x p o s é . Or, p o u r dis- tinguer la p o r o s i t é s i m p l e et la p o r o s i t é c o m p o - sée, la connaissance de cette l i m i t e p h y s i q u e est d e v e n u e une nécessité. I I est entendu q u e F o n peut f a i r e des essais avec des sphéres en a c i e r ou en silice de d i m e n s i o n s o r d i n a i r e s , et q u e ees es- sais p e u v e n t d o n n e r la l i m i t e Ms q u i est plus g r a n d e q u e 0,259.
A i n s i , p o u r des m i l i e u x p o r e u x réels d o n t les grains sont des sphéres i d e n t i q u e s , on v o i t que, suivant la v a l e u r de ni obtenue d'aprés des m e s u - res, il est p e r m i s de d i r é q u e le m i l i e u c o n s i d e r é est :
Io de p o r o s i t é s i m p l e , si m ^Ms; 2 o de p o r o s i t é c o m p o s é e , si m ^ Ms;
íí° de porosité s i m p l e , m a i s m a l tassée, si m est l é g é r e m e n t supérieur á Ms.
D a n s la p r a t i q u e , il est pensable que ms peut a t l e i n d r e 0,28 á 0,3. Quant a rnp9 il peut, c ó r a m e nous Favons vu, étre v a r i a b l e dans F i n t e r v a l l e 0 et 0,3, ou m é m e pius g r a n d , suivant la construc- tion des sphéres-grains.
N o u s allons m a i n t e n a n t e x a m i n e r des ques- tions r e l a t i v e s au coefficient superficiel de p o r o -
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sité p o u r les m i l i e u x p o r e u x de « p o r o s i l é coin- posée » i n d i q u é e plus haut.
E n efí'et, p o u r ce g e n r e d e m i l i e u p o r e u x assi- m i l a b l e á l ' e x e m p l e cité plus haut. r h o m o g é n é i - sation d e ce m i l i e u nous incite á p r e n d r e dans les études t h é o r i q u e s :
•n = m*»
Or, l e schéma q u e nous a v o n s p r i s p o u r c a l - culer mc m o n t r e u n fait p h y s i q u e tres i m p o r - t a n t : la situation des moléculas d'eau a Vinté- rieur des sphéres-grains n'est pas du tout la mema que celle des maléenles d'eau emmagasU nées entre les sphéres-grains. I I est alors raison- nable d e penser q u e la facilité d e se déplacer est beaucoup plus g r a n d e p o u r la d e r n i é r e c a t é g o r i e de m o l é c u l e s d'eau q u e p o u r ceux d e la p r e m i é r e c a t é g o r i e . Ce q u i r e v i e n t á d i r é que, r e l a t i v e m e n t , les m o l é c u l e s d'eau situées á í'intérieur des sphé- res-grains sont liées á ees sphéres-grains m é - mes. A i n s i , p o u r les études du m o u v e m e n t p e r - m a n e n t des m o l é c u l e s d'eau á t r a v e r s l e m i l i e u p o r e u x , le c o e f ñ c i e n t superficiel d e p o r o s i t é á u l i l i s e r est lié á mH, c'est-á-dire q u e l ' o n doit taire i n t e r v e n i r :
-n = mt» / 2
M a i s au p o i n t d e v u e d e l ' e m m a g a s i n a g e et de la pression, on d o i t f a i r e i n t e r v e n i r r e s p e c t i v e - m e n t :
mc et 7) = mc 2/3
P a r e x e m p l e , p o u r ;ns, = mp — 0,3, on doit ]>rendre t h é o r i q u e m e n t :
mc = 0,51
7 1 = (mc) 2 / 8=0, 0 3 1
E t cette v a l e u r de T¡ d o i t étre considérée c o m m e une l i m i t e i n f é r i e u r e .
Or, si l ' o n e x a m i n e de plus prés la poussée h y - d r a u l i q u e sur les corps solides q u i constituent íe m i l i e u p o r e u x , o n s'apercoit q u e si S est la sur- face d'une section de r é f é r e n c e , et s, la s o m m c , p r o j e t é e sur S, des surfaces d e contact des sphé- res-grains ou des m o l é c u l e s m é m e s (s est tres
petite p a r r a p p o r t á S ) , la pression h y d r a u l i q u e s'applique alors sur :
S — s'
ou sJ est plus g r a n d e q u e st p u i s q u e a u x alen- tours i m m é d i a t s des surfaces d e contact s, i l n ' y a pas d e m o l é c u l e s d'eau. O n a alors :
E t l a v a l e u r d e rj ainsi obtenue peut atteindre des v a l e u r s p r o c h e s d e 1.
N o u s a v o n s j u s q u ' i c i e x a m i n é les cas des m i - lieux p o r e u x f o r m e s p a r des grains sensiblement i d e n t i q u e s et d e f o r m e sphérique. L e r a i s o n n e - m e n t peut s'étendre a u x cas des m i l i e u x p o r e u x f o r m e s d e grains d e f o r m e s sensiblement sphéri- ques et d e d i m e n s i o n s assez r a p p r o c h é e s .
Q u a n t a u x m i l i e u x p o r e u x f o r m e s p a r des grains de f o r m e n o n sphérique, i l est tres di f u - cile d e f o n d e r des hypothcses simples et d ' e n c h e r c h e r des conclusions m a t h é m a t i q u e s . Mais les c o n s i d é r a t i o n s exposées ci-dessus p o u r les m i - lieux p o r e u x f o r m e s p a r des grains-sphéres, t e l - les q u e les précautions p o u r la m e s u r e d e p o r o - sité v o l u m i q u e , les sens de porosités s i m p l e ou c o m p o s é e . . . e t les relations entre -t\ et m, les coefficients á utiliser p o u r un p r o b l é m e d o n n é . . . restent v a l a b l e s .
N o u s signalons en t e r m i n a n t q u e i'idée d e d o n - ner u n schéma d e g r i l l a g e aux m i l i e u x p o r e u x de g r a n d e p o r o s i t é v o l u m i q u e est tres intéres- sante, mais nous y ajoutons s i m p l e m e n t une p e - tite m o d i f i c a t i o n en disant : « aux m i l i e u x p o r e u x de g r a n d coefficient v o l u m i q u e d e porosité sim- ple, c'est-á-dire de grand m8 » .
O n peut peut-étre nous o b j e c t e r q u ' i l est diffi- cile d e séparer p r a t i q u e m e n t mfí et mH. M a i s nous pensons q u ' e n s'appuyant sur les p r o p r i é t é s dif- férentes, du p o i n t d e vue h y d r a u l i q u e , des m o l é - cules d'eau situées entre grains ou á Í'intérieur des grains, o n d o i t a r r i v e r p r a t i q u e m e n t á d i s - t i n g u e r mc et ms, avec des valeurs plus ou m o i n s approchées.
B I B L I O G R A P H I E [ 1 ] L . J . TISON. — « Cours d'hydraulique » , Gand, 1953.
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[4] L . C. GRATOK et H. J. FRASEH. — « Systematic packing of spheres with particular relation lo porosity and
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