C
NOM . . . - Date de naissance . . . .
Exercice — Internet
pointsD’après BAC : Ponichéry, mai- exercice
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France du premier trimestreau quatrième trimestre.
Trimestre T T T T T T T T
Abonnements
(en millions) 3,56 3,63 3,88 4,3 4,5 4,77 5,04 5 + m 10
Partie A – Modèle
Une première étude permet d’envisager que le nombre d’abonnements à inter- net en très haut débit en France pourrait continuer à augmenter de 300 000 uni- tés chaque trimestre, à partir de la fin de l’année.
On noteun le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut dé- bit en France au bout dentrimestres à partir de la fin de l’année. Ainsi u0= 5 + m
10.
. Calculeru1(c’est un nombre appartenant à [5,4 ; 6,5]).
300 000 = 0,3 millions, doncu1=u0+ 0,3
. Quelle est la nature de la suite ? Donner sa raison. (un) est une suite arithmétique de raison 0,3
. Exprimerunen fonction den.un=u0+ 0,3×n
. Avec ce modèle, déterminer le nombre d’abonnés au deuxième trimestre de l’année.
Le deuxième trimestre de l’annéecorrespond àn= 6 ; u6=u0+ 0,3×6 =. . .
F. Leon (--) c LATEX document /
Partie B – Modèle
Une autre étude permet d’envisager que le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France pourrait continuer à augmenter de 6 % chaque tri- mestre, à partir de la fin de l’année.
On note vn le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut dé- bit en France au bout dentrimestres à partir de la fin de l’année. Ainsi v0= 5 + m
10.
. Calculer v1 en arrondissant au centième (c’est un nombre appartenant à [5,41 ; 6,58]) .
Augmenter de 6 % revient à multiplier par 1 + 6 100
!
; doncv1= 1 + 6
100
!
×v0.
. Quelle est la nature de la suite ? Donner sa raison. (vn) est une suite géométrique de raison 1,06
. Exprimervnen fonction den.vn=v0×1,06n
. Avec ce modèle, déterminer le nombre d’abonnés au deuxième trimestre de l’année.
Le deuxième trimestre de l’annéecorrespond àn= 6 ; v6= 5,43×1,066=. . .
Exercice — Recyclage
pointsD’après Bac : Métropole - Réunion, juin- exercice
On s’intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la masse d’EMPCS recyclés entre
et. Cette masse est exprimée en millier de tonnes et arrondie au mil- lier de tonnes.
Année (xi) 2 011 2 012 2 013 2 014 2 015 2 016 Masse d’EMPCS
recyclés (yi) 229 243 250 256 266 282
Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le//
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2020_21/lycee/maths/TSTMG1/evals/201017_t1_c02/
Partie A – Premier modèle
. Déterminer les coefficientsaetbde la droite de régression d’équationy=ax+b obtenue par la méthode des carrés. Arrondiraau dixième etbà la centaine la plus proche.
y= 9,7x−19 300
. À l’aide de ce modèle, estimer la masse de déchets recyclés en. pour x= 2020,y= 294. En, 294 tonnes de déchets seront recyclés.
Partie B – Pourcentages
. Expliquer pourquoi le pourcentage d’augmentation équivalent à cinq aug- mentations successives de 4,2 % est 23 %.
Augmenter de 4,2 % c’est multiplier par 1 + 4,2 100
!
= 1,042.
Cinq augmentations successives c’est multiplier cinq fois de suite par 1,042, c’est à dire par 1,0425≈1,23, soit une augmentation de 23 %.
. Vérifier que le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre
et, exprimé en pourcentage et arrondi à l’unité, est de 23 %.
En, la masse de déchets est 229. Si elle augmente de 23 % on trouve 1 + 23
100
!
×229≈282, ce qui correspond à la masse d’EMPCS en.
Partie C – Deuxième modèle
On fait l’hypothèse qu’à partir de, le taux d’évolution annuel de la masse d’EMPCS recyclés est constant et égal à 4,2 %.
La masse d’EMPCS recyclés au cours de l’année (2016 +n), exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang nd’une suite (un) de premier termeu0= 282.
. Justifier que la suite (un) est géométrique. Préciser sa raison.
Chaque année la masse de déchets augmente de 4,2 %, elle est donc multi- pliée par 1 + 4,2
100
!
= 1,042 chaque année.
C’est la définition par récurrence d’une suite géométrique de raison 1,042.
. Exprimerunen fonction de l’entiern.un=u0×1,042n= 282×1,042n
. À l’aide de ce modèle, donner une estimation de la masse d’EMPCS recyclés en(arrondir à l’entier).
F. Leon (--) c LATEX document /
2020 = 2016 + 4, donc la masse de déchets recyclés correspond àu4. u4= 282×1,0424≈332, c’est à dire 332 millions de tonnes.
. On souhaite calculer le rang de l’année à partir de laquelle la masse d’EMPCS recyclés aura doublé par rapport à l’année. Expliquer la méthode utili- sée et donner l’année cherchée sachant que la suite (un) est croissante.
On sait queun= 282×1,042n, on cherchentel queun>2×282 = 564.
En testant différentes valeurs den:u16 ≈544 etu17≈567, doncn= 17 et l’année cherchée est 2016 + 17 = 2033.
/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2020_21/lycee/maths/TSTMG1/evals/201017_t1_c02/
