Note sur le développement en série de arc <span class="mathjax-formula">$\sin x$</span> au moyen de la formule de MacLaurin

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

C ^HEVILLIET

Note sur le développement en série de arc sin x au moyen de la formule de MacLaurin

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 13

(1874), p. 209-212

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(2)

NOTE SUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE a r c s i AU MOYEN DE LA FORMULE DE MAGLAURIN;

PAR M. CHEVILLIET,

Professeur à la Faculté des Sciences de Besançon.

Il suffit de considérerle cas où x est positif.

On connaît la loi des coefficients 5 car, si l'on pose f{x) z=z arcsinj:,

on a, en général (BERTRAND, Calcul différentiel, p. 146),

,/2"(o) ^ Q /2" - ( o ) _ i . 3 , 5 . . . ( 2 w — 3 ) 1 1.2.3...2/2 ' 1.2.3. ..(2/2 — l) 2.4.6.. .(2/2—2J2«—l'

ce qui permet d'écrire

n3 1 . 3 x* I . 3 . 5 . T7

arc s i n x = x -4- - -$• H 7 -=• H -r—x h . . . -+- R,

2 3 2.4 5 2.4.0 7 où

en adoptant la troisième forme du reste \ n est l'exposant de x dans le terme qui précède immédiatement R.

fn+i (Qx) est donné par la formule [ibid., p. 144)

in{i—xYs!i —x*

[

^{I 7? / I} — .r I2fl-I\l

1.3 n(n — \) fi — xy

in— i)(2« — ó) \i-i-xj 1.3.5 /z(/2-—i) (/? — 2 ) / i 1.2.3 (2/2— 1) (2/2—3) (2/2—5) \ 1

— I < 3-5 n(n-i)(n-i) I, - * \ «-'

~^~ r~o/'I— w öTT F" I )

1 . 2 . 3 ( 2 / 2 — ï ) ( 2 / 2 — 3 ) 1.3

1.2 2/2

r Jiïathém., t. XIII, 2e série. (Mai 1874.)

(3)

le signe supérieur correspondant au cas où n est pair, et le signe inférieur à celui où il est impair. Ici n est impair; par conséquent, il faut prendre le signe infé- rieur. On a donc

R i . 3 , 5 . . .(in — i) fx—Qx 2 . 4 - 6 . ..2/1

r ⁱ ' ⁿ

L i in —

fx—Qx\ x

\ I — Qx) y / j ^

i in — i \ i -f- Bx

n

i -f-

Si n augmente indéfiniment, le premier facteur tend vers zéro, car son inverse

H - in — i

\

3 5 ' " ' m — i /

augmente indéfiniment. Le deuxième a aussi pour limite zéro, si x est inférieur à l'unité, ce qu'on doit supposer pour que la série soit convergente. Le troisième facteur reste fini.

Le quatrième également, comme nous allons essayer de le prouver. D'abord il est facile de voir, comme M. Bertrand l'a déjà montré (ibid., p. i44)> que les coeffi- cients des différents termes dont il se compose vont en diminuant en valeur absolue jusqu'au milieu. Cela posé, nous disons que :

Si dans le polynôme Ü.-A.. + .

— A2 z2n~x -4- A , z2n —- Ao 2

où les coefficients positifs Ao, Al5 Aî 5..., An vont en di- minuant, z est positif et <^ i , la valeur de ce polynôme est moindre que A^o.

(4)

On peut en effet mettre (i) sous la forme

ou, en mettant i — z en facteur commun, ( i — z)[A0(i-f-zH-22-f-. . . H - zi n)

— A,z (

En ordonnant l'expression entre crochets, on a

A , - 4 - A , z -f- A^o

- A ,

4 - A²

a2 - h . . -+- Ao

~~~ A i

-f-A,

s " - h . . .

-4-A0 Ai

-f-A2

— A,

Or, d'après les hypothèses que nous avons faites, les coefficients des différentes puissances de z sont positifs, et, à l'exception des deux extrêmes, moindres que Ao, de sorte que l'expression (2) est moindre que

A0(H-2-f-Z3-f~...-+-32re),

moindre, a fortiori, que

A0(l + Z + Z2 + , . . ) = r L-.

donc le polynôme (1) est plus petit que Ao.

(Le cas o ù z = i ne fait pas exception, car alors le po- lynôme est nul).

Dans le cas actuel A^o = 1 et l'on a, par suite, . I . 3 . 5 . . .(2/2 — i) f.r — Bjr\n T

2 . 4 . 6 . . .2/1 \1-9J:) Jl— 02X/

(5)

qui tend vers zéro quand n augmente indéfiniment; donc

ix3 1.3-r* I . 3 . 5 . T7

s 3 1.4 5 2.4.6 7