Note sur le sinus de la moitié d'un arc

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A YNARD

Note sur le sinus de la moitié d’un arc

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 5

(1846), p. 399-401

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NOTE

Sur le sinus de la moitié d'un arc,

P A R M. A T N A B D , Professeur de mathématique*.

Lorsque Ton donne le sinus d'un arc, et que Ton cherche à exprimer en fonction de cette unique donnée le sinus et le cosinus de sa moitié, on obtient, en combinant les deux équations,

A . 1 1

2 s i n - a COS-a = SlUa, À 2*

COS-a 4- 8m - a = 1 ;

les deux relations suivantes : sin-a-f-0 0 8;-*

2 2

(2) Sin-a— COS-a = \/\ — slna;

A À

d'où Yov Séduit facilement les valeurs cherchées :

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- M 0 -

« n - a = \ l / i + sina -f X- V / l — siaa, cos-a = - l / l + sina — - K t — sino.

Aucune difficulté ne se présente lorsque Ton suppose 7

ainsi que l'énoncé du problème le comporte, que Parc a est donné par son sinus ; chacune des expressions a quatre va- leurs à cause de la duplicité des signes dont chacun des radi- caux peut être affecté, et Ton vérifie trigooométriquement qu'il en doit être ainsi. Mais, si l'arc a est donné par lui- même conjointement avec son sinus, il est clair qu'une seule détermination doit être acceptée pour le sinus de sa moitié et il reste à trouver le signe qui, dans ce cas, affecte chaque radical, ou, en d'autres termes, à préciser, dans l'équa- tion (2), le signe des sommes

. 1 , 1^t . 1 1

S i n - a -\- C O S - a , et S l ï l - a — COS-a.

On peut y parvenir plus simplement qu'on ne le fait ordi- nairement par les considérations suivantes. On a :

sin-« -f Cos-a = sin* a + s i n ( j — - a ^ , sm-a — cos-a = sin^« — sin ^. — -

ou, en développant les seconds membres de ces égalités d'après les formules qui servent à transformer en un pro- duit, soit la somme, soit la différence de deux sinus :

. 1 . i . •* /« ^ \ sm- a. + cos - a = 2sm 7 cos ( -- — - ),

2 2 4 \ïfl 4/

. 1 1 T: . (a. T:\

sin- a — cos - a = 2cos^T sm i Y 2 2 4 \ 2 4 / On voit par là que les signes des radicaux sont ceux de

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- 4 0 1

mais, puisque Tare a est connu, Tare ~ — r pourra être cal- culé ; l'on saura dans quel quadrant tombe son extrémité, et par suite le signe de son sinus et de son cosinus. Toute am- biguïté relative aux signes des radicaux disparaîtra par là même [F. p. 49).