Page1sur2 E340. La variante valaisanne du problème impossible Cette énigme peut être résolue à la main
Jules dit à Simon et à Paul qu’il a choisi deux entiers naturels supérieurs à 1 et inférieurs à 40. Il leur dit qu’il donne discrètement à Simon la somme de ces deux nombres, et qu’il donne discrètement à Paul le produit de ces deux nombres. Puis il leur demande de déterminer les deux nombres choisis. Après un moment de recherches de la part de Simon et Paul, s’instaure le dialogue suivant :
Simon dit à Paul : « Tu ne peux pas connaître ma somme. »
Un peu plus tard, Paul dit à Simon : « Grâce à toi, je connais maintenant ta somme. » Quelques minutes plus tard, Simon dit à Paul : « Je connais alors ton produit. » Quels sont les nombres choisis pas Jules ?
Solution(Augustin Genoud)
Les sommes de Simon peuvent aller de 4 à 78 et les produits de Paul de 4 à 1521.
Une somme x de Simon est impossible si elle peut correspondre à un produit y de Paul qui renvoie à une somme unique x. Ainsi, si x = 8, il existe un y = 15 (provenant de 3 et 5) qui renvoie forcément à 8. Donc, si Simon a 8, il ne peut pas dire à Paul « Tu ne peux pas connaître ma somme. »
Autrement dit, lorsque x est la somme de a + b dont le produit y = a .b renvoie uniquement à x, alors ce x est impossible. C’est notamment le cas lorsque a et b sont des nombres premiers. Il est facile de construire le tableau suivant où l’on trouve toutes les sommes de Simon qui sont impossibles.
Paul sait maintenant que les seules sommes possibles sont 11, 17 et 23.
Dans le tableau suivant, pour chaque somme possible, on a tous les produits possibles (à gauche dans les colonnes), et à chaque produit, toutes les sommes correspondantes possibles.
Sommes 11 17 23
ProduitsSommes 1811 2411 2811 3011, 17
3011, 17 4223, 17 5217 6023, 17 6617 7017 7217
4223, 17 6023, 17 7623 9023 10223 11223 12023 12623 13023 13223
4 = 2 + 2 5 = 3 + 2 6 = 3 + 3 7 = 5 + 2 8 = 5 + 3 9 = 7 + 2 10 = 7 + 3 12 = 7 + 5 13 = 11 + 2 14 = 11 + 3 15 = 13 + 2 16 = 13 + 3 18 = 13 + 5 19 = 17 + 2 20 = 17 + 3 21 = 19 + 2 22 = 19 + 3 24 = 19 + 5 25 = 23 + 2 26 = 23 + 3 27 = 23 + 4 28 = 23 + 5 29 = 23 + 6 30 = 23 + 7 31 = 23 + 8 32 = 23 + 9 33 = 23 + 10 34 = 23 + 11 35 = 23 + 12 36 = 23 + 13 37 = 23 + 14 38 = 23 + 15 39 = 23 + 16 40 = 23 + 17 41 = 23 + 18 42 = 23 + 19 43 = 23 + 20 44 = 23 + 21 45 = 23 + 22 46 = 23 + 23 47 = 23 + 24 48 = 23 + 25 49 = 23 + 26 50 = 23 + 27 51 = 23 + 28 52 = 23 + 29 53 = 23 + 30 54 = 23 + 31 55 = 23 + 32 56 = 23 + 33 57 = 23 + 34 58 = 23 + 35 59 = 23 + 36 60 = 23 + 37 61 = 23 + 38 62 = 23 + 39 63 = 37 + 26 64 = 37 + 27 65 = 37 + 28 66 = 37 + 29 67 = 37 + 30 68 = 37 + 31 69 = 37 + 32 70 = 37 + 33 71 = 37 + 34 72 = 37 + 35 73 = 37 + 36 74 = 37 + 37 75 = 37 + 38 76 = 37 + 39 77 = 38 + 39 78 = 39 + 39
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Paul affirme : « Je connais maintenant ta somme. » Cela signifie que Paul n’a ni 30, ni 42, ni 60.
En enlevant les produits 30, 42 et 60 du tableau précédent, on obtient le tableau suivant :
Sommes 11 17 23
ProduitsSommes 1811 2411 2811
5217 6617 7017 7217
7623 9023 10223 11223 12023 12623 13023 13223
Il n’est pas possible à Simon d’affirmer « Je connais alors ton produit » car aucune de ces trois sommes ne conduit à un produit unique. Le problème ainsi posé n’apas de solution.
Si on change la seule affirmation de Paul par « Merci, mais je ne la connais toujours pas », cela signifie que Paul a 30 ou 42 ou 60. On obtient alors le tableau suivant :
Sommes 11 17 23
ProduitsSommes 3011, 17 3011, 17 4223, 17 6023, 17
4223, 17 6023, 17
La seconde affirmation de Simon disant qu’il connaît le produit de Paul signifie que Simon a 11.
Dans ce cas, les nombres choisis par Jules sont 5 et 6.
