TD 12 : Séries de fonctions

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_seriesfonc.pdf

TD 12 : Séries de fonctions

Modes de convergence

Exercice 1. Étudier la convergence (simple, normale, uniforme) des séries de fonctions : (1) X

nÊ1

(−1)ⁿ pn+p

x surR^{+ (2) Xn2xn(1}−x)ⁿsur [0, 1] (3) X

nÊ1

xe^−nx

n+x surR⁺ Réponse.

(1) On montre qu’il y a convergence simple surR⁺puis convergence uniforme surR⁺avec le théorème des séries alternées. On n’a pas convergence normale surR^+.

(2) Avec une étude de fonction, on trouve que le maximum dex7→x(1−x) est atteint en 1/2. Si on notefn:x7→n²xⁿ(1−x)ⁿ, alors :

°

°fn

°

°∞,[0,1]=n² 4ⁿ

°

°fn°

°∞,[0,1]= o

n→+∞

µ 1 n²

¶

par croissances comparées

ce qui permet de montrer que la sériePfn converge normalement donc uniformément et simplement sur [0, 1].

(3) Posonsg(t)=te^−t pourtÊ0. Cette fonction est positive et une étude rapide montre qu’elle atteint un maximum en 1. On a donc :

∀n∈N^∗,∀x∈R⁺,

¯

¯

¯

¯ xe^−nx

n+x

¯

¯

¯

¯=

¯

¯

¯

¯

nxe^−nx n(n+x)

¯

¯

¯

¯= g(nx)

n(n+x)Ég(1) n²

Ceci permet d’établir la convergence normale, donc uniforme et simple, surR⁺(à rédiger).

Exercice 2(Oral CCP, PC, 2019 adapté). Soit (a_n)_n∈N^∗une suite positive et décroissante. On pose un(x)=anxⁿ(1−x).

(1) Montrer que pour toutx∈[0, 1] et pour toutn∈N^{∗, 0}Éun(x)Éa1xⁿ(1−x).

En déduire la convergence simple deX

u_nsur [0, 1].

(2) Soitxn= n

n+1. Donner un équivalent simple dexⁿ_n(1−xn).

(3) Montrer l’équivalence :X

unconverge normalement sur [0, 1]≺=ÂXan

n converge.

(4) On définitR_n(x)=

+∞X

k=n+1

a_kx^k(1−x). Montrer que 0ÉR_n(x)Éa_n+1.

(5) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour la convergence uniforme deP un. Réponse.

(1) La suite (a_n) est positive et décroissante, de plus pour toutx∈[0, 1], 1−xÊ0 donc :

∀n∈N^{∗, 0}Éun(x)=anxⁿ(1−x)Éa1xⁿ(1−x) Soitx∈[0, 1]. On distingue deux cas :

• Six∈[0, 1[, alors la série géométriquePxⁿconverge donc la sériePa1xⁿ(1−x) converge, donc par comparaison de séries à termes positifs la sériePun(x) converge ;

• Six=1, alors la sérieP

un(x) converge carun(1)=0.

On en déduit que la série de fonctionsP

unconverge simplement sur [0, 1].

(2) On trouve :

xⁿ_n(1−x_n)= 1 n+1exp

µ

−nln µ

1+1 n

¶¶

n→+∞∼ e⁻¹

n car nln µ

1+1 n

¶

−−−−−→_n

→+∞ 1

(3) Par une étude rapide de fonction, on trouve que la fonctionvn:x7→xⁿ(1−x) est positive sur [0, 1] et admet un maximum enxn. On a donc :

kvnk_∞,[0,1]=vn(xn)=xⁿ_n(1−xn) kunk_∞,[0,1]=anx_nⁿ(1−xn)_n ∼

→+∞

a_ne⁻¹ n

Par comparaison de séries à termes positifs (avec équivalence, donc les séries sont de même nature) :

Xa_n

n converge ≺===Â X

kunk_∞,[0,1]converge

≺===Â X

unconverge normalement sur [0, 1]

(4) Pour toutx∈[0, 1[, la suite (an) étant décroissante et positive etxⁿ(1−x)Ê0 : 0ÉRn(x)=

+∞X

k=n+1

akx^k(1−x)Éa_n+1(1−x)

+∞X

k=n+1

x^k=a_n+1xⁿ⁺¹Éa_n+1

Cette inégalité reste vraie pourx=1 (puisqueR_n(1)=0). On en déduit : kRnk_∞,[0,1]Éan+1

(5) Si la suite (an) converge vers 0, alors la suite (Rn) converge uniformément vers 0 sur [0, 1] donc la série de fonctionsPunconverge uniformément sur [0, 1]. Réciproquement, on suppose que la série de fonctions converge uniformément sur [0, 1]. On noteusa somme. On note`la limite de la suite (an) (décroissante, minorée). On a alors :

∀x∈[0, 1[,u(x)=

+∞X

n=1

anxⁿ(1−x)Ê`x Chaque fonctionunest continue sur [0, 1] et la sérieP

unconverge uniformément sur [0, 1].

Par conséquent, la fonctionuest continue sur [0, 1] et en particulier elle est continue en 1 : u(1)=lim

x→1u(x)Ê` oru(1)=0 donc`=0. On a donc démontré que la sérieP

unconverge uniformément sur [0, 1]

si, et seulement si, la suite (an) converge vers 0.

Continuité et dérivabilité de la somme

Exercice 3(Oral Mines Télécom, PC, 2013). f(x)=

+∞X

n=0

e^−nx 1+n². (1) Domaine de définitionDdef.

(2) Montrer quef est continue surD. (3) Montrer quef est de classe C¹surR^+∗. Exercice 4.On considère les fonctionsf :x>07→

+∞X

n=1

(−1)ⁿ

n^x etg:x>17→

+∞X

n=1

1 n^x. (a) Démontrer quef est définie et continue sur ]0,+∞[.

(b) Démontrer quegest définie et continue sur ]1,+∞[.

(c) Pourx>1, exprimerf(x) en fonction deg(x).

Exercice 5.Démontrer que la sérieP

nÊ1ne^−nxconverge surR^+∗et déterminer sa somme.

Exercice 6. Soitf(x)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿe^−nx n+1/2 . (a) Donner le domaine de définition def.

(b) Étudier la continuité et la dérivabilité def sur ]0,+∞[.

(c) À l’aide d’une équation différentielle, calculerf. Réponse.

(1) Pourn∈N, on définit la fonction :

fn:x7→(−1)ⁿe^−nx n+¹₂

PourxÊ0, la suite ((−1)ⁿfn(x)) est de signe constant et converge vers 0. De plus :

¯¯fn+1(x)¯

¯−¯

¯fn(x)¯

¯= e^−(n+1)x

n+1+¹₂ −e^−nx n+¹₂ É0

car e^−(n+1)x Ée^−nx etn+1Ên. D’après le théorème des séries alternées, la série Pfn(x) converge. Par ailleurs, pourx<0,f_n(x) −−−−−→_n /

→+∞ 0 (par croissances comparées) donc la série Pfn(x) diverge grossièrement. La fonctionf est donc définie sur [0,+∞[.

(2) On va directement démontrer quefn est de classe C¹sur ]0,+∞[. PournÊ0, la fonctionfn

est de classe C¹sur ]0,+∞[ et on sait que la série de fonctionsP

fnconverge simplement sur ]0,+∞[. Soita>0 :

∀nÊ0,∀x∈[a,+∞[,¯

¯f_n⁰(x)¯

¯=ne^−nx

n+¹₂ Ée^−nxÉe^−na et ainsi :

∀nÊ0,°

°f_n⁰°

°∞,[a,+∞[Ée^−na Commea>0, la sérieP

e^−na converge et donc, par comparaison de séries à termes positifs, la sérieP

kf_n⁰k∞,[a,+∞[converge. Ainsi la série de fonctionsP

f_n⁰ converge normalement sur [a,+∞[. D’après le théorème de classe C¹,f est de classe C¹sur [a,+∞[ et ceci étant vrai quel que soita>0, on en déduit quef est de classe C¹sur ]0,+∞[.

(3) Toujours avec le théorème de classe C¹:

∀x>0, f⁰(x)=

+∞X

n=0

−n(−1)ⁿe^−nx n+1/2

=

+∞X

n=0

−(n+1/2)(−1)ⁿe^−nx n+1/2 +1

2f(x)

=1

2f(x)− e^x 1+e^x

On résout l’équation différentielle (résolution de l’équation homogène puis méthode de va- riation de la constante, voir le cours de première année) et on obtient qu’il existeC∈R^tel que :

∀x>0, f(x)=e^x/2¡

C−2 arctan(e^x/2)¢

Il reste à déterminer la constanteC. En général, on utilise pour cela des valeurs particulières pour f mais ici, vu quef est définie comme somme d’une série, il n’est pas si évident d’obtenir de telles valeurs. On va donc plutôt utiliser la limite def en+∞. On remarque que :

f(x)=2− e^−x

1+¹₂ +e^−2x 2+¹₂ + · · · et onconjecturequef(x)−−−−−→_x

→+∞ 2. Démontrons-le rigoureusement :

∀x>0,¯

¯f(x)−2¯

¯=

¯

¯

¯

¯

¯

+∞X

n=1

(−1)ⁿe^−nx n+¹₂

¯

¯

¯

¯

¯ Avec le théorème des séries alternées :

∀x>0,¯

¯f(x)−2¯

¯É e^−x

1+¹₂ −−−−−→_x

→+∞ 0 Par encadrement,f(x)−−−−−→

x→+∞ 2. En particulier,f a une limite finie en+∞et la seule possibilité pour cela estC=π(sinon la limite serait+∞ou−∞). Par conséquent :

∀x>0, f(x)=e^x/2¡

π−2 arctan(e^x/2)¢

Exercice 7(Oral Mines-Ponts, PC, 2016). SoitS:x7→

X∞ n=0

(−1)ⁿ n!(x+n). (a) Montrer queSest de classe C¹surR^+∗.

(b) Étudier les variations deSsurR^+∗(déterminer en particulier les limites aux bornes du domaine de définition).

Exercice 8.Démontrer que la fonctiong:x∈[−1, 1]7→

+∞X

n=2

(−1)ⁿ

n+x est de classe C^∞(ou C², au choix).

Étude de la somme et équivalents Exercice 9.Soitf :x7→

+∞X

n=1

1 n+n²x.

(a) Montrer quef est définie et de classe C¹surR^+∗. (b) Trouver des équivalents simples def en+∞et en 0.

Exercice 10. Pourx>0, on poseS(x)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ n+x.

(a) Montrer queS(x) est bien défini et que la fonctionSest de classe C¹surR^+∗. (b) Déterminer les variations de la fonctionS.

(c) Déterminer une relation entreS(x) etS(x+1).

(d) Déterminer des équivalents deSen 0 et en+∞.

Réponse. Notonsfn:x>07→(−1)ⁿ n+x.

(a) On utilise le théorème des séries alternées pour démontrer que la série de fonctionsPf_n converge simplement sur ]0,+∞[, donc la fonctionSest bien définie sur ]0,+∞[. On utilise ensuite le théorème de classe C¹, chaque fonctionfnest de classe C¹sur ]0,+∞[, la sériePfn

converge simplement sur ]0,+∞[. On considère un réela>0 :

∀n∈N^,∀x>0, f_n⁰(x)=−(−1)ⁿ (n+x)²

∀n∈N^,∀x∈[a,+∞[,¯

¯f_n⁰(x)¯

¯É 1 (n+a)²

On en déduit :

°

°f_n⁰°

°∞,[a,+∞[É 1 (n+a)²

°

°f_n⁰°

°∞,[a,+∞[= O

n→+∞

µ 1 n²

¶

La série de RiemannP

n⁻²converge donc par comparaison de séries à termes positifs, la série Pf_n⁰ converge normalement sur [a,+∞[. D’après le théorème de classe C¹, la fonctionSest de classe C¹sur [a,+∞[ et ceci est vrai quel que soita>0 doncSest de classe C¹sur ]0,+∞[.

(b) On a alors :

∀x>0,S⁰(x)=

+∞X

n=0

−(−1)ⁿ (n+x)²

On utilise à nouveau le théorème des séries alternées (non rédigé ici) qui permet d’établir que S⁰(x) est du signe du premier terme de la somme, donc négatif. AinsiSest décroissante sur ]0,+∞[.

(c) Pourx>0, avec un changement d’indice : S(x+1)=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ n+x+1=

+∞X

n=2

(−1)ⁿ⁻¹

n+x = −S(x)+1 x (d) La fonctionSest continue en 1 doncS(x+1)−−−→

x→0 S(1) donc : S(x)=1

x−S(x+1) xS(x)=1−xS(x+1)−−−→

x→0 1 S(x) ∼

x→0

1 x

Pour l’étude en+∞, la fonctionSétant décroissante :

2S(x+1)ÉS(x)+S(x+1)É2S(x) autrement dit :

2S(x+1)É1

xÉ2S(x) On en déduit pourx>1 l’encadrement :

1

2xÉS(x)É 1 2(x−1) On multiplie parx>0 :

1

2ÉxS(x)É x

2(x−1) et x

2(x−1)−−−−−→

x→+∞

1 2 Par encadrement,xS(x)−−−−−→

x→+∞

1

2doncS(x) ∼

x→+∞

1 2x. Exercice 11.On considère la série de fonctions : X

nÊ0

2x n²+x². (a) Montrer la convergence simple sur ]0,+∞[.

(b) On notef la somme. Déterminer la limite def en+∞. (c) Déterminer un équivalent def en 0⁺.

Exercice 12(Oral Mines-Ponts, PC, 2019). On posef(x)=

+∞X

n=1

arctan(nx) n² . (a) Montrer que la fonctionf est définie et continue surR^.

(b) Montrer que la fonctionf est de classe C¹sur ]0,+∞[.

(c) Trouver un équivalent de f⁰(x) quandxtend vers+∞.

Réponse. On notef_n:x7→arctan(nx)

n² . La fonctionf_nest de classe C¹surRet :

∀x∈R^{, f}n⁰(x)= 1 n(1+n²x²) (a) On a la majoration :

∀nÊ1,∀x∈R^,¯¯fn(x)¯

¯É π 2n²

Ceci permet de montrer que la série de fonctions fnconverge normalement surR^{et on en} déduit ensuite facilement que la fonctionf est définie et continue surR(non rédigé ici).

(b) Soita>0. On a la majoration :

∀x∈[a,+∞[,∀nÊ1,¯

¯f_n⁰(x)¯

¯= 1

n(1+n²x²)É 1 n³a²

Ceci permet de montrer que la série de fonctionsPf_n⁰ converge normalement sur [a,+∞[ et on en déduit ensuite facilement que la fonctionf est de classe C¹sur [a,+∞[ pour touta>0 donc de classe C¹sur ]0,+∞[ (non rédigé ici).

(c) Avec le théorème de classe C¹, on a :

∀x>0, f⁰(x)=

+∞X

n=1

1 n(1+n²x²)

= 1

1(1+x²)+ 1

2(1+2²x²)+ 1

3(1+3²x²)+ · · · Chaque terme est équivalent en+∞à 1

n(1+n²x²) doncon conjecture que: f⁰(x) ∼

x→+∞h(x)=

+∞X

n=1

1 n³x²

Démontrons cette conjecture,on effectue pour cela la différence : h(x)−f⁰(x)=

+∞X

n=1

1 n

µ 1

n²x²− 1 1+n²x²

¶

0Éh(x)−f⁰(x)=

+∞X

n=1

1

n×n²x²×(1+n²x²)É 1 x⁴

+∞X

n=1

1 n⁵

Posons pour simplifier : A=

+∞X

n=1

1

n³ ainsi h(x)= A x² B=

+∞X

n=1

1

n⁵ ainsi 0Éh(x)−f⁰(x)É B x⁴

On en déduit que :

h(x)−f⁰(x)= O

x→+∞

µ1 x⁴

¶

f⁰(x)=h(x)+ O

x→+∞

µ 1 x⁴

¶

= A x²+ O

x→+∞

µ1 x⁴

¶

f⁰(x) ∼

x→+∞

A

x² avec A=

+∞X

n=1

1 n³

Attention :un encadrement par intégrales ne permet pas de conclure concernant un équivalent de f⁰en+∞(erreur d’indication de ma part). En effet si on considère pourx>0 fixé, on définit la fonction :

g:t7→ 1 t(1+t²x²)

La fonctiongest continue, positive et décroissante sur ]0,+∞[ et on en déduit (faire également un dessin) :

∀nÊ1,g(n+1)É Z _n+1

n

g(t) dtÉg(n) ConsidéronsNÊ1 et ajoutons ces inégalités pournallant de 1 àN :

XN n=1

g(n+1)É Z _N+1

1

g(t) dtÉ XN n=1

g(n) On fait tendreN vers+∞, on a :

N

X

n=1

g(n)=

N

X

n=1

1

n(1+n²x²)−−−−−→

N→+∞ f⁰(x)

N

X

n=1

g(n+1)=

N+1

X

n=2

g(n)−−−−−→

N→+∞

+∞X

n=2

1

n(1+n²x²)=f⁰(x)− 1 1+x² Z _N+1

1

g(t) dt= Z _N+1

1

1

t(1+t²x²)dt−−−−−→

N→+∞

Z _+∞

1

1 t(1+t²x²)dt car cette intégrale est convergente par comparaison de fonctions positives puisque :

g(t)= O

t→+∞

µ1 t³

¶

On a donc :

f⁰(x)− 1 1+x²É

Z _+∞

1

1

t(1+t²x²)dtÉf⁰(x) Si on calcule l’intégrale, on obtient :

f⁰(x)− 1 1+x² É1

2ln µ

1+ 1 x²

¶ Éf⁰(x) soit :

1 2ln

µ 1+ 1

x²

¶

Éf⁰(x)É 1 1+x²+1

2ln µ

1+ 1 x²

¶

et on constate alors que les équivalents lorsquex→ +∞des termes de gauche et de droite ne sont pas identiques et on ne peut donc pas conclure de cette manière. En revanche, on peut écrire cet encadrement sous la forme :

−ln(x)+1

2ln(1+x²)Éf⁰(x)É 1

1+x²−ln(x)+1

2ln(1+x²) et il permet d’établir quef⁰(x) ∼

x→0⁺−ln(x) (ce qui n’était pas demandé).

Exercice 13(Oral Mines-Ponts, PC, 2009). Donner un équivalent def :t7→

+∞X

n=1

e^−tpnquandt→0⁺. Réponse. Il est clair que la série converge pour toutt>0. Soitt>0 fixé, on définitgt:x7→e^−tpx. La fonctiong_t est continue, positive, décroissante et intégrable sur [0,+∞[. On montre alors qu’on a (sans rédiger ici) :

f(t)=

+∞X

n=1

gt(n)É Z _+∞

0

gt(x) dx

= −1+

+∞X

n=0

e^−tpnÊ −1+ Z _+∞

0

gt(x) dx Or, avec le changement de variableu=tp

x: Z _+∞

0 e^−t

pxdx= 2 t²

Z _+∞

0 ue^−udu= 2 t² Par conséquent,f(t) ∼

t→0⁺2/t². Intégration

Exercice 14. Pourn∈N^{, on posea}n= Z _π/2

0

cosⁿtdtet on définit : f(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ

Montrer quef est définie au moins sur ]−1, 1[ et calculer sa somme.

Réponse. Pour toutn∈N^{, on a :}

0ÉanÉ Z _π/2

0 1 dt=π 2 donc la suite (an) est clairement bornée. Ainsi, pourx∈I=]−1, 1[ :

¯

¯anxⁿ¯

¯= O

n→+∞

¡|x|ⁿ¢

La série géométriqueP

|x|ⁿ converge donc, par comparaison de séries à termes positifs, la série Pa_nxⁿconverge absolument donc converge. On en déduit que f(x) est bien définie pourx∈I. On fixex∈I et on considère pourn∈Nla fonction :

gn:t7→xⁿcosⁿt Les fonctionsgnsont continues sur [0,π/2] et :

∀n∈N^,∀t∈h 0,π

2 i,¯

¯gn(t)¯

¯É |x|ⁿ La série géométriqueP

|x|ⁿconverge donc la série de fonctionsP

nÊ0gnconverge normalement sur [0,π/2]. On applique le théorème d’échange série intégrale avec convergence uniforme :

+∞X

n=0

Z _π/2

0

gn(t) dt=f(x)= Z _π/2

0

µ_+∞

X

n=0

xⁿcosⁿt

¶ dt=

Z _π/2

0

1 1−xcostdt On réalise le changement de variableu=tan(t/2) de classe C¹:

f(x)= Z 1

0

2

1+u²· 1 1−x^1−u_1+u²2

du= 2 1+x

Z 1 0

d u

u²+¹₁₊^−x_x = 2 1+x

…1+x 1−xarctan

…1+x 1−x

Exercice 15. Démontrer la convergence de la série X

nÊ0

(−1)ⁿ

3n+1puis l’égalité Z 1

0

dx 1+x³=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ 3n+1. Réponse. Pourx∈[0, 1] et N ∈N^∗, on utilise la formule pour la somme des termes d’une suite géométrique de raison−x³6=1 :

N−1X

n=0

(−x³)ⁿ=1−(−x³)^N 1−(−x)³ = 1

1+x³−(−1)^Nx^3N 1+x³ et ainsi :

1 1+x³=

N−1X

n=0

(−1)ⁿx³ⁿ+(−1)^N x^3N 1+x³ En intégrant sur [0, 1], on obtient :

Z 1 0

dx 1+x³=

N−1

X

n=0

(−1)ⁿ Z 1

0

x³ⁿdx+(−1)^N Z 1

0

x^3N 1+x³dx Par ailleurs :

0É Z 1

0

x^3N 1+x³dxÉ

Z 1 0

x^3Ndx= 1

3N+1−−−−−→

N→+∞ 0 donc :

N−1X

n=0

(−1)ⁿ Z 1

0

x³ⁿdx= Z 1

0

dx

1+x³−(−1)^N Z 1

0

x^3N

1+x³dx−−−−−→

N→+∞

Z 1 0

dx 1+x³ Par définition, la sérieP

nÊ0(−1)ⁿR1

0x³ⁿdxconverge et :

+∞X

n=0

(−1)ⁿ Z 1

0

x³ⁿdx= Z 1

0

dx 1+x³ En calculant les intégrales, on obtient l’égalité voulue.

Rq. Sur cet exemple, aucun des deux théorèmes du cours concernant l’échange série intégrale ne s’applique.

C’est pourquoi on a fait une démonstration directe.

Exercice 16(Oral CCP, PC, 2017). Soit (an) une suite de réels définie pour toutndansNet telle que : an>0, (an) est croissante et divergente vers+∞. On posefnla fonction deI=]0,+∞[ dansR^{qui à} xassocie (−1)ⁿexp(−anx).

(1) Montrer que l’intégrale Z _+∞

0 exp(−anx) dxexiste et la calculer.

(2) Montrer que la sérieP

fnconverge simplement sur ]0,+∞[ et qu’elle converge uniformément sur un intervalle du type [b,+∞[ avecb>0.

(3) (a) Montrer que la sommeSde la sériePfnetSnla somme partielle sont continues surI. En déduire que le resteRnest continu surI.

(b) Montrer queRnetSnsont intégrables surI, en déduire queSest intégrable surI. (4) Montrer que lim

n→+∞

Z _+∞

0

Rn(x) dx=0.

(5) Montrer que Z _+∞

0 +∞X

n=0

fn(x) dx=

+∞X

n=0

(−1)ⁿ an

.

TD 12 : Séries de fonctions

Indications

Ex 1(1). Théorème des séries alternées pour les convergences simples et uniforme. Déterminer la norme infinie pour la convergence normale.

Ex 1(2). Convergence simple à l’aide d’une comparaison. Déterminer le maximum pour la conver- gence normale.

Ex 1(3). Justifier que la fonctiont7→te^−test majorée surR⁺. En déduire un majorant de la norme infinie.

Ex 2. (1) La majoration est facile. Utiliser une série géométrique pour la convergence. Attention aux cas particuliers. (2) Forme exponentielle, équivalents usuels. (3) Déterminer la norme infinie sur [0, 1]

(étude de fonction), utiliser la question précédente. (4) Majorera_kdans la somme, calculer le reste de la série géométrique. (5) Démontrer que si la suite (a_n) converge vers 0, alors la série converge uniformément sur [0, 1].

Ex 3. (a) Montrer que f est définie surR⁺, utiliser des comparaisons pour la convergence. (b) Appli- cation des théorèmes du cours. (c) Application des théorèmes du cours sur l’intervalle [a,+∞[ pour una>0 fixé.

Ex 4. (a) Théorème des séries alternées et convergence uniforme sur [a,+∞[ pour una>0 fixé. (b) Théorème des séries alternées et convergence normale sur [a,+i n f t y[ pour una>1 fixé. (c) Pour x>1, simplifierf(x)+g(x).

Ex 5. Comparaisons pour la convergence, ou autre méthode. Démontrer que la somme de cette série est la dérivée d’une somme que l’on peut calculer.

Ex 6. (a) Théorème des séries alternées pourx∈[0,+∞[. (b) Théorème de classe C¹sur [a,∞[ pour una>0 fixé. (c) Simplifier 2f⁰(x)−f(x) puis résoudre l’équation différentielle obtenue.

Ex 7. (a) Méthode du cours sur [a,+∞[ pour una>0 fixé. (b) Théorème des séries alternées pour obtenir le signe deS⁰(x). MinorerS(x) pour obtenir la limite en 0⁺. Majorer|S(x)|pour la limite en +∞.

Ex 8. Application des théorèmes du cours.

Ex 9. (a) Théorème du cours sur [a,+∞[ aveca>0 fixé. (b) Équivalent en+∞: deviner un équivalent et le justifier. Équivalent en 0 : encadrement par des intégrales.

Ex 10. (a) Théorème des séries alternées pour la convergence simple. Théorème de classe C¹sur [a,+∞[ poura>0 fixé. (b) Théorème des séries alternées pour obtenir le signe deS⁰(x). (c) Chan- gement d’indice pour simplifierS(x+1). (d) La relation obtenue à la question précédente permet d’obtenir un équivalent en 0. Pour l’équivalent en+∞, démontrer à partir des questions précédentes l’encadrement :

1

2x ÉS(x)É 1 2(x−1)

Ex 11. (a) Convergence simple par comparaison. (b) Encadrement par des intégrales. (c) Mettre à part le termen=0 dans la somme, conjecturer un équivalent def(x) en 0 et le justifier.

Ex 12. (a) Comparaison pour la convergence simple, on peut obtenir également la convergence normale. (b) Théorème de classe C¹sur [a,+∞[ aveca>0 fixé. (c) Conjecturer un équivalent et le démontrer.

Ex 13. Encadrement par des intégrales.

Ex 14. Convergence : montrer que la suite (an) est bornée, utiliser une série géométrique. Somme : utiliser le théorème d’échange série intégrale.

Ex 15. Convergence : théorème des séries alternées. Somme : partir de l’égalité

N−1

X

n=0

(−x³)ⁿ=1−(−x³)^N 1−(−x)³ = 1

1+x³−(−1)^Nx^3N 1+x³

Ex 16. (1) Comparaison. (2) Théorème des séries alternées. (3a) Théorème du cours, utiliser la ques- tion précédente. (3b) Majorer|Rn|pour montrer son intégrabilité. (4) Utiliser la majoration précé- dente. (5) Écrire queS(x)=S_n(x)+R_n(x).