E681– La saga diophantienne (les disques Blu-ray)
Diophante a mis au point une série d’énigmes mathématiques en cinq épisodes qui sont gravés sur cinq disques Blu-ray et la résolution complète de ces énigmes ne peut se faire que si on respecte l’ordre dans lequel on lit consécutivement les cinq épisodes. Malheureusement l’éditeur a oublié de mettre les numéros des épisodes sur chaque disque.
Un lecteur (courageux) de diophante.fr souhaite lire consécutivement les cinq épisodes dans le bon ordre. Combien d’épisodes doit-il regarder pour être certain de résoudre complètement les cinq énigmes*.
Par exemple avec une série d’énigmes en deux épisodes gravés sur deux disques, le lecteur devrait regarder trois disques selon l’une des deux séquences : 1, 2, 1 ou 2, 1, 2 qui assurent que les épisodes 1 et 2 sont lus dans le bon ordre.
Pour les plus courageux : mêmes questions avec une saga en six épisodes, sept épisodes, etc...
*Nota : on suppose que chaque disque ne donne aucune indication sur le numéro de l’épisode qu’il contient et sur les numéros des autres épisodes.
Proposition de solution empirique par Patrick Gordon
Nous comprendrons l'énoncé comme signifiant qu'il faut trouver la chaîne la plus courte possible de caractères 1, 2, 3, 4, 5 telle qu'en lisant successivement les sous-chaînes de longueur 5 on retrouve toutes les permutations possibles (en l'occurrence 120) des 5 caractères. Avec la chaîne ainsi constituée, on est donc certain d'avoir vu à un moment quelconque les cinq épisodes dans le bon ordre.
Les 120 permutations des chiffres 1 à 5 se décomposent par une partition selon la relation d'équivalence "i se déduit de j par permutation circulaire"
Comme chaque classe a 5 éléments, il y a 24 classes. On peut les identifier au besoin en listant les termes de chacune dans l'ordre d'apparition des termes à partir de 1. Ainsi la classe
"15243" comprendra les permutations 15243, 52431, 24315, 43152 et 31524.
On peut épuiser une classe donnée par une chaîne de 9 termes. Ainsi la chaîne 123451234 couvrira toutes les permutations de la classe "12345".
Parvenu à la fin de cette chaîne, soit 234, on ne peut pas enchaîner avec 51, sauf à "reboucler"
dans la même classe (ce qui conduirait à une solution non optimale). On enchaînera donc sur 15. On entre ainsi dans une autre classe, celle à laquelle appartient 23415. Comme on a "pris de l'avance" avec le 234 final de la chaîne, 6 nouveaux termes suffisent pour épuiser aussi la seconde classe. En l'occurrence : 123451234152341.
On remarque que, si l'on a épuisé 2 classes avec 15 termes, la longueur de la chaîne minimale ne saurait dépasser 15 × 24 / 2 = 180. Ce n'est là qu'une borne supérieure, naturellement.
On continue de la même manière à partir des trois derniers termes de la chaîne : 341. Pour la même raison que ci-dessus, on enchaînera non sur 52 (qui ferait reboucler) mais sur 25. On entre ainsi dans une troisième classe, celle à laquelle appartient 34125.
Là encore, on a "pris de l'avance" avec le 341 final de la chaîne et 6 nouveaux termes suffisent pour épuiser aussi la troisième classe. En l'occurrence : 123451234152341253412.
On remarque que, si l'on a épuisé 3 classes avec 21 termes, la longueur de la chaîne minimale ne saurait dépasser 21 × 24 / 3 = 168. Le bornage supérieur se restreint.
On continue de la même manière à partir des trois derniers termes de la chaîne : 412. Pour la même raison que ci-dessus, on enchaînera non sur 53 (qui ferait reboucler) mais sur 35. On entre ainsi dans une quatrième classe, celle à laquelle appartient 41235.
Là encore, on a "pris de l'avance" avec le 412 final de la chaîne et 6 nouveaux termes suffisent pour épuiser aussi la quatrième classe. En l'occurrence : 123451234152341253412354123.
Ici, les choses se compliquent. En effet, on ne peut enchaîner les 3 derniers termes de la chaîne (123) ni sur 45 ni sur 54 car tant 12345 que 12354 sont déjà pris (et l'on bouclerait ou perdrait de la longueur). On essayera donc d'enchaîner sur les deux derniers termes (23) seulement.
On constate que 23451, 23415 et 23541 sont déjà pris. Restent 23145, 23154 et 23514.
On essaye 23145. L'enchaînement est alors : 231452314 et la chaîne devient 1234512341523412534123541231452314, avec cette fois 7 nouveaux termes.
On continue comme ci-dessus à partir de 314. On choisira 31425, car 452 est déjà utilisée (avec 4523 seulement, il est vrai). L'enchaînement est alors : 314253142 et la chaîne devient : 1234512341523412534123541231452314253142 avec 6 nouveaux termes.
On peut continuer en enchaînant 142 sur 35. L'enchaînement est alors : 142351423 et la chaîne devient : 1234512341523412534123541231452314253142351423 avec 6 nouveaux termes, soit 46 termes à ce stade.
On continue comme ci-dessus à partir de 423 que l'on enchaîne sur 15. L'enchaînement est alors : 423154231 et la chaîne devient :
1234512341523412534123541231452314253142351423154231, avec 6 nouveaux termes, soit 52, pour 8 classes.
Ici, les choses se compliquent à nouveau. En effet, on ne peut enchaîner les 3 derniers termes de la chaîne (231) ni sur 45 ni sur 54 car tant 23145 que 23154 sont déjà pris. On essayera donc d'enchaîner sur les deux derniers termes (31) seulement.
On essaye 31245. L'enchaînement est alors : 312453124 et la chaîne devient
12345123415234125341235412314523142531423514231542312453124, avec cette fois 7 nouveaux termes soit 59, pour 9 classes.
On continue comme ci-dessus à partir de 124 que l'on enchaîne, par exemple, sur 35.
L'enchaînement est alors : 124351243 et la chaîne devient :
12345123415234125341235412314523142531423514231542312453124351243, avec 6 nouveaux termes soit 65, pour 10 classes.
On continue comme ci-dessus à partir de 243 que l'on enchaîne sur 15. L'enchaînement est alors : 243152431 et la chaîne devient :
12345123415234125341235412314523142531423514231542312453124351243152431, avec 6 nouveaux termes soit 71, pour 11 classes.
On continue comme ci-dessus à partir de 431 que l'on enchaîne sur 25. L'enchaînement est alors : 431254312 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 12, avec 6 nouveaux termes soit 77, pour 12 classes.
Ici, les choses se compliquent plus encore. En effet, on ne peut enchaîner les 3 derniers termes de la chaîne (312) ni sur 45 ni sur 54 car tant 31245 que 31254 sont déjà pris. Mais on ne peut pas enchaîner sur les deux derniers termes (12) seulement non plus car les 6 permutations commençant par 12 sont toutes prises.
On repartira donc presque à zéro, en commençant par 2. Il faudra ici 8 nouveaux termes.
On constate que les permutations commençant par 213, 214, 215, 251 sont entièrement libres et celles commençant par 245 et 254 partiellement.
On essaye de continuer à partir de 2 que l'on enchaîne sur 1345. L'enchaînement est alors : 213452134 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 1213452134, avec 8 nouveaux termes soit 85, pour 13 classes.
On continue à partir de 134 que l'on enchaîne sur 25. L'enchaînement est alors : 134251342 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 1213452134251342, avec 6 nouveaux termes soit 91, pour 14 classes.
On continue à partir de 342 que l'on enchaîne sur 15. L'enchaînement est alors : 342153421 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 1213452134251342153421, avec 6 nouveaux termes soit 97, pour 15 classes.
On continue à partir de 421 que l'on enchaîne sur 35. L'enchaînement est alors : 421354213 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 1213452134251342153421354213, avec 6 nouveaux termes soit 103, pour 16 classes.
Ici, les choses se compliquent à nouveau. En effet, on ne peut enchaîner les 3 derniers termes de la chaîne (213) ni sur 45 ni sur 54 car tant 21345 que 21354 sont déjà pris. On essayera donc d'enchaîner sur les deux derniers termes (13) seulement.
On essaye 13245. L'enchaînement est alors : 132451324 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 12134521342513421534213542132451324, avec 7 nouveaux termes soit 110, pour 17 classes.
On continue à partir de 324 que l'on enchaîne sur 15. L'enchaînement est alors : 324153241 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 12134521342513421534213542132451324153241, avec 6 nouveaux termes soit 116, pour 18 classes.
On continue à partir de 241 que l'on enchaîne sur 35. L'enchaînement est alors : 241352413 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 12134521342513421534213542132451324153241352413, avec 6 nouveaux termes soit 122, pour 19 classes.
On continue à partir de 413 que l'on enchaîne sur 25. L'enchaînement est alors : 413254132 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543
12134521342513421534213542132451324153241352413254132, avec 6 nouveaux termes soit 128, pour 20 classes.
On ne peut enchaîner les 3 derniers termes de la chaîne (132) ni sur 45 ni sur 54 car tant 13245 que 13254 sont déjà pris. On essayera donc d'enchaîner sur les deux derniers termes (32) seulement.
On essaye 32145. L'enchaînement est alors : 321453214 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214, avec 7 nouveaux termes soit 135, pour 21 classes.
On continue à partir de 214 que l'on enchaîne sur 35. L'enchaînement est alors : 214352143 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214352143, avec 6 nouveaux termes soit 141, pour 22 classes.
On continue à partir de 143 que l'on enchaîne sur 25. L'enchaînement est alors : 143251432 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214352143251432, avec 6 nouveaux termes soit 147, pour 23 classes.
On continue à partir de 432 que l'on enchaîne sur 15. L'enchaînement est alors : 432154321 et la chaîne devient :
123451234152341253412354123145231425314235142315423124531243512431524312543 121345213425134215342135421324513241532413524132541321453214352143251432154 321, avec 6 nouveaux termes soit 153, pour 24 classes.
Sauf erreur donc, le nombre cherché est 153.
À noter que le nombre de termes utilisés dans la chaîne est : 3 (d'"amorçage", au départ) + 6 à chaque passage d'une classe à l'autre, ainsi que pour la classe 24 (soit au total 24 passages) + 1 à chaque passage de type classe 4 à classe 5 ou 8 à 9 (soit au total 5 passages) + 1 de plus pour le passage de 12 à 13, ce qui donne bien, pour les 24 classes : 3 + 6 × 24 + 5 + 1 = 153.
Pour les plus courageux (mais un peu tricheurs)…
Comme, pour 2, 3, 4, 5 épisodes on trouve des chaînes de respectivement 3, 9, 33, 153, l'idée est de rechercher cette suite dans le site OEIS.
On trouve :
k=1n k!
Ce qui permet de proposer pour six épisodes, sept épisodes, etc.
6 873
7 5 913 8 46 233 9 409 113
