G1911 – Un robot à la découpe [**** à la main]
A PizzaTech les pizzas sont de forme circulaire et elles sont découpées par un robot. Celui-ci choisit au hasard et indépendamment l’un de l’autre deux points sur la circonférence de la pizza puis fait une coupe selon la corde qui relie ces deux points.
Q₁ Vous demandez une pizza de taille moyenne en spécifiant que vous souhaitiez que le robot réalise
exactement trois coupes. Déterminez l’espérance mathématique du nombre de morceaux qui vous seront servis.
Q₂ Vous souhaitez une pizza de très grande taille pour 15 personnes. Déterminez le nombre de coupes qu’il convient de demander au robot pour obtenir une espérance mathématique aussi proche que possible de 15 morceaux.
Nota : bien entendu, dans un cas comme dans l’autre, le client admet que les morceaux découpés n’ont pas la même surface.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁ On établit la liste des configurations possibles des trois coupes réalisées par le robot :
Les numéros 1,2,3,4,5,6 placés le long de la circonférence de chaque pizza indiquent l’ordre selon lequel les six points sont successivement choisis par le robot. Les coupes sont ensuite effectuéee selon les cordes 12,34 et 56.
On obtient 15 = 5*3*1 configurations selon le décompte suivant : le robot a cinq possibilités d’apparier le point n°1 avec l’un des cinq restants puis il a trois possibilités d’apparier le point n°3 avec l’un des trois restants, l’appariement des deux derniers points étant automatique.
D’où le tableau qui donne la distribution des configurations selon le nombre de morceaux obtenus : minimum = 4, 5, 6, jusqu’à maximum = 7.
4 morceaux (pas d’intersection des trois cordes) : 5 configurations avec c₁, c₃, c₇,c₁₃ et c₁₅,
5 morceaux (une seule intersection de deux cordes) : 6 configurations avec c₂,c₄,c₆,c₁₀, c₁₂ et c₁₄, 6 morceaux (deux points d’intersection) : 3 configurations avec c₅,c₉ et c₁₁,
7 morceaux (trois points d’intersection) : 1 seule configuration c₈
Comme les six points sont choisis au hasard indépendamment les uns des autres, les 15 arrangements sont équiprobables.
D’où l’espérance mathématique du nombre de morceaux servis = (5*4 + 6*5 + 3*6 + 1*7)/15 = 5
Q₂
On désigne par E(k) l’espérance mathématique du nombre de morceaux obtenus avec k coupes (ainsi E(3) = 5).
La (k + 1)ième coupe du robot entraine de manière certaine l’addition d’un morceau supplémentaire. La nouvelle corde Ck+1 a une chance sur trois de couper l’une quelconque Ci des autres cordes : les deux extrémités de Ck+1
peuvent se trouver sur le même arc d’un même côté ou de l’autre de la corde Ci sans couper cette corde ou bien sur deux arcs distincts, Ck+1 coupe alors la corde Ci et c’est l’addition d’une part supplémentaire.
D’où l’équation E(k + 1) = E(k) + 1 + k/3. En partant de E(1) = 2, E(2) = 2 + 1 + 1/3 = 10/3, on obtient aisément la formule générale E(k) = (k + 2).(k + 3)/6.
Avec k = 7 coupes, on obtient exactement les 15 morceaux souhaités.
