G161 – Un élan de générosité [*** à la main]
Dans ce petit royaume,il y a très longtemps, le roi fort généreux donnait un écu à chacun de ses sujets au moment de Noël. Une année,souhaitant changer sa façon d’opérer, il consulta son chambellan qui avait la bosse des maths en lui proposant le scénario suivant : Je dispose dans mes coffres de dés en or qui ont tous la même forme d’icosidodécaèdres avec les faces triangulaires numérotées de 1 à 20. 500 personnes tirées au hasard dans le royaume sont alignées devant le palais et de mon balcon je lance un certain nombre k dés. La première personne de la file d’attente reçoit les seuls dés dont la face triangulaire n°1 apparaît sur le dessus, me rapporte tous les autres dés puis s’en va.Je lance à nouveau tous les dés restants.
La seconde personne emporte les dés dont la face triangulaire n°2 apparaît sur le dessus. Et ainsi de suite les personnes de la file d’attente emportent respectivement les dès dont les faces triangulaires n° 3,4,...20 prises dans cet ordre apparaissent sur le dessus puis à nouveau les n° 1,2,3,...20,etc... La distribution s’arrête au 500ième lancer des dés ou bien avant si tous les dés ont été distribués.
Après avoir précisé que pour éviter le mécontentement des derniers servis, la 500ième personne de la file devrait avoir au moins 50 chances sur 100 d’emporter au moins un dé, le roi demanda à son chambellan de lui donner une estimation du nombre k. Le chambellan fit ses calculs et lui donna cette estimation.Le roi convaincu qu’en augmentant le nombre de personnes le nombre de dès à distribuer augmenterait grosso modo dans les mêmes proportions, eut un élan de générosité et demanda au chambellan de doubler le nombre de personnes à convoquer. Quelle fut la réponse du chambellan ?
Nota : on suppose que les dés façonnés à la perfection avaient une probabilité de faire apparaître l’une quelconque des faces proportionnelle à l’aire de cette face.
Source : d’après Gunnar Blom
Solution proposée par Patrick Gordon
En prenant l'arête du polyèdre égale à l'unité, l'aire des premières vaut √3/4 et celle des secondes 5/4 cotπ/5.
D'où p =
5 33 5 52 5 4
3 = 0,014775734...
1)La probabilité que le dé n°i donne une face favorable à la 300ième personne de la file est égale à Pi = p (1– p)299. Cette probabilité Pi est la même quel que soit i. Soit Pi = P
En effet, il faut et suffit pour cela que ce dé ait été lancé au cours de chacun des 299 premiers lancers et n'ait jamais donné de face favorable, auquel cas, et dans ce cas seulement, il est encore en course pour le 300ème lancer.
2)La probabilité que cette même personne reparte les mains vides est (1– P)k
En effet, qu'elle "reparte les mains vides" signifie qu'aucun des k dés ne lui est favorable, soit qu'il soit déjà sorti au cours des 299 premiers lancers, soit qu'il soit encore en course au 300ème mais ne sorte pas une face triangulaire avec le bon numéro – et ces deux éventualités sont bien mutuellement exclusives et constituent le complément de l'événement "le dé n°i donne une face favorable au 300ième lancer".
3)La probabilité que cette personne emporte au moins un dé est 1– (1– P)k et cette probabilité doit être supérieure à 1/2 .
D'où l'inégalité :
1 – (1– P)k ≥ 1/2 ou encore (1 – p (1– p)299)k ≤ ½.
Soit k ≥ 4020,36 et l’on retient k = 4021
Le même calcul avec 600 personnes au lieu de 300 donne : (1 – p (1– p)599)k ≤ ½.
Soit k ≥ 349715
Ainsi, si le nombre de personnes doubles, k est loin d'augmenter grosso modo dans les mêmes proportions, puisqu'il est multiplié par près de 87.
