QUOTIENT DE RAYLEIGH DE FONCTION BOOL ´EENNE
PAVLE MICHKO
R´esum´e. On s’interesse aux quotients de Rayleigh des fonctions bool´eennes.
1. quotient de Rayleigh
On utilise les notations habituelles :F2 le corps `a deux ´el´ements, le car- dinal de Fm2 est not´e q, identifi´e au corps L. Pour une fonction de Fm2 dans F2, le coefficient de Walsh en avaut :
(1) fw(a) =X
x
µ(f(x) +ax).
On dit quef est courbe si fw(a) =±√
q =µ( ˜f(a))×√ q
L’existence d’une fonction courbe implique que m est pair. On dit que f est autoduale quand f = ˜f et andiduale si f + 1 = ˜f. Le coefficient de Rayleigh def est :
R(f) = X
x,y∈Fm2
µ(f(x) +xy+f(y))
=X
a
fw(x)×µ(f(x))
Il s’agit du quotient de Rayleigh R(F, µ◦f) du vecteurµ◦f par rapport
`
a l’op´erateur de Fourier Fqui poss`ede deux valeurs propres ±√
q. On note alors que
−√ q ≤ 1
qR(f) =R(F, f)≤√ q
Les fonctions antiduales et autoduales sont aux fronti`eres de ces in´egalit´es et r´eciproquement.
On introduit les notations r(f) = 1
qR(f), ρ(q) = sup
f
r(f) Probl`eme 1. Comment de distribuent les nombres r(f)?
En dimension paire r(q) =√
q. En dimension impaire, il n’existe pas de fonction courbe mais il me semble raisonnable de conjecturer
Date: Automne 2014, derni`ere compilation 20 septembre 2014.
1
2 PAVLE MICHKO
Conjecture 1.
q→∞lim r(q)√
q = 1
Avec deux fonctions bool´eennes f et g, on construit une fonction de di- mension m+ 1 en posant :
(f, g)(x, t) =tf(x) + (t+ 1)g(x).
On a
(f, g)w(a, t) =fw(a) +µ(t)gw(a) Et
R(f, g) =X
a,t
(fw(a) +µ(t)gw(a))µ((f, g)(a, t))
=X
a
(fw(a) +gw(a))µ(g(a)) +X
a
(fw(a)−gw(a))µ(f(a))
=X
a
fw(a)(µ(f(a)) +µ(g(a))) +X
a
gw(a))(µ(f(a))−µ(g(a)))
en particulier sif =g est autoduale : r(f, f) = 2R(f)/2q =√
q=p 2q/√
2 en dimension impairer(q)≥ √1
2.
2. Maiorana-MacFarland
On supposm pair. L’espace Fm2 est identifi´e au produit de K×K, ou K est le corps d’ordre √
q. Soit π une permutation de K, la fonction d´efinie par :
f(x, y) = trace (xπ(y))
est courbe. Il s’agit d’une fonction de Maiorana-MacFarland, la duale d’ob- tient par un calcul direct :
fw(a, b) =X
x,y
µ(xπ(y) +ax+by)
=√
q X
π(y)=a
µ(by)
=√
qµ(b.π−1(a)) Le coefficient de Rayleigh vaut
3
R(f) =√ qX
a,b
µ(aπ(b) +bπ−1(a)
=√ qX
a,b
µ(π(a)π(b) +ab)
Notons que dans le cas ou π est l’identit´e, on obtient la valeur q√ q qui correspond aux fonctions autoduales.
3. Distribution
Dans le cas d’une inversion π(x) = c1/2x , avecc non nul, et la convention π(0) = 0, on obtient
R(f) =√ qX
x,y
µ( c
xy +xy)
=√ q[(√
q−1)X
t
µ(c
t +t) +q] =q+qkloosc−√
qkloos (c) o`u kloos (c) est une somme de Kloosterman qui prend toutes les valeurs enti`eres multiples de 4 dans l’intervalle [−2√4
q,+2√4 q].
Proposition 1. Pour tout entierxmultiple de4dans l’intervalle[−2√4
q,+2√4 q], il existe une quantit´e r´eellede valeur absolue au plus 2 telle que 1 +x+ soit le r(f) d’une fonction courbe.
D´emonstration. Les sommes de Kloosterman v´erifient|kloos (c)| ≤2√4
q.
4. Quotient faible On ne suppose rien sur la parit´e dem.
On consid`ere la fonctionfc(x) = trace (c/x), son quotient de Rayleigh est connect´e `a une somme de Kloosterman g´en´eralis´ee.
R(fc) =X
x,y
µ(c/x+c/y+xy)
= 2X
y
µ(c/y)−1 + X
xyz=1
µ(c/x+c/y+z)
=−1 + X
xyz=1
µ(c/x+c/y+ 1/z)
=−1 + X
xyz=c2
µ(x+y+z)
On sait que cette somme de Kloosterman g´en´eralis´ee est major´ee par 3q ce qui conduit `a
|r(fc)| ≤3 un comportement moyen.
4 PAVLE MICHKO
5. moyenne
Tout quadruplet x,y,z,t, conduit `a un caract`ere addifif : χx,y,z,t(f) =µ(f(x) +f(y) +f(z) +f(t)).
On suppose V un espace d’application tel que pour toutx,y,z,t: χx,y,z,t ⊥V =⇒]{x, y, z, t}= 1,2.
On en d´eduit la moyenne : X
f∈V
R(f) = X
f∈V
X
x,y
µ(f(x) +f(y) +xy) =|V|X
x
µ(x2) = 0 et la moyenne quadratique :
X
f∈V
R(f)2 =X
f∈V
X
x,y,z,t
µ(f(x) +f(y) +f(z) +f(t) +xy+zt)
=X
f∈V
X
x,y,z,t
µ(f(x) +f(y) +f(z) +f(t) +xy+zt)
=|V|[ X
x=y,z=t
µ(x2+z2) + X
x=z,y=t
µ(2xy) + X
x=t,y=z
µ(2xy)−2 X
x=y=z=t
µ(2x2)]
=|V|[q2−2q]
En moyenne
|R(f)| ∼q
