Mini Bac 1 Première S1 Mathématiques Mardi 14 novembre 2017
Calculatrice en mode examen Exercice 1 : Le second degré
Les questions de cet exercice sont indépendantes
1) a) Dresser le tableau de variation de la fonction u définie par u(x)=2 x2−3 x−2
b) En déduire le tableau de variation de la fonction f définie par f(x)=
√
2 x2−3 x−2 et celui de lafonction g définie par g(x) = 1
2 x2−3 x−2 . On justifiera soigneusement la réponse
2) Résoudre dans ℝ, l'inéquation −5 x2+19 x+4 ≥ 0
3) Déterminer les valeurs du nombre réel m pour lesquelles l'équation 2 x2+mx+2=0 n'a pas de solution
4) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=4 x3+9 x2−16 x−36 a) Démontrer que 2 est une racine de f
b) Démontrer que f(x)=(x−2)(4 x2+17 x+18) c) Résoudre alors l'équation f(x) = 0
d) Dresser un tableau de signe de f(x)
e) Ecrire f sous la forme d'un produit de facteur du premier degré
5) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x)=∣x+3∣ et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
a) Exprimer f(x) sans valeur absolue puis tracer C b) Résoudre graphiquement l'équation f(x)=2
M. PHILIPPE 1 / 3
6) On considère le trinôme suivant P(x)=ax2+ax−6 a où a est un réel différent de 0.
a) Déterminer la forme canonique de P(x) b) Donner selon les valeurs de a, le signe de P(x)
c) Démontrer que si a est un réel strictement positif alors la fonction f définie par f(x)=ax2+ax−6 a est strictement croissante sur [– 0 , 5 ;+∞[
7) On considère l'algorithme ci-contre :
Les nombres calculés à partir de cet algorithme forment la suite de Syracuse de n .
Par exemple, la suite de syracuse de 6 est : 6 , 3 , 10 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1
Donner la suite de Syracuse obtenue pour n = 34
Variable : n entier naturel non nul Traitement :
Lire n
Tant que n ≠ 1 faire
Si n est divisible par 2 alors n prend la valeur n/2 Sinon
n prend la valeur 3n+1 Fin Si
Afficher n Fin tant que
Exercice 2 :
Partie 1 : Cet exercice est un QCM. Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie, pour chaque affirmation, son numéro et la réponse correcte.
Aucune justification n'est demandée.
On considère la famille de droite (Dm) d'équation cartésienne (m+2)x−(m+1)y−1=0 où m est un nombre réel.
Affirmation Réponse A Réponse B Réponse C
N°1 Lorsque m = –2 : (Dm) n'est pas une droite
(Dm) est une droite parallèle à l'axe des abscisses
(Dm) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées N°2 (Dm) passe par
l'origine du repère...
...pour aucune valeur de m
… pour n'importe quelle valeur de m
… pour une seule valeur de m N°3 (Dm) passe par le
point A(1;1) ...
… pour aucune valeur de m
… pour n'importe quelle valeur de m
… pour une seule valeur de m N°4 (Dm) admet pour
vecteur directeur :
⃗
u
(
m+m+12)
⃗v(
−m−1m+2)
w⃗(
2 m2 m+4+2)
M. PHILIPPE 2 / 3
Partie 2 : Répondre par VRAI ou FAUX aux affirmations suivantes en justifiant vos réponses
Affirmation 1 : Dans le plan muni d'un repère, on donne A(1 ;−4) , B(5 ; 2) et (Δ) : y=1,5 x−7 Les droites (AB) et (Δ) sont parallèles
Affirmation 2 : L'inéquation −x2+x−1>0 n'a aucune solution réelle
Affirmation 3 : On considère les fonctions f et g définies par f(x) = x2+5 x−4 et g(x)=−2 x+2 La courbe de f est au dessus de la courbe de g sur l'intervalle [1;2]
Exercice 3 :
1) On considère les points A(−2 ;−2) , B(4 ; 1) , C(2 ; 3) et le vecteur ⃗u
(
−4−2)
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par C et de vecteur directeur ⃗u . c) Les droites (d) et (AB) sont-elles parallèles ? Justifier.
2) Soit ABC un triangle. On définit les points M, N et P par :
⃗AM=2
5⃗AB , ⃗NA−2⃗CN=⃗0 et ⃗PC=−1 2⃗BC
a) Démontrer que ⃗AN=2 3⃗AC b) Faire une figure
c) Exprimer le vecteur ⃗MN puis le vecteur ⃗NP dans la base (⃗AB ;⃗AC) d) En déduire que les points M, N et P sont alignés
Exercice 4 :
Une ficelle longue de 20 cm est fixée à ses extrèmités par deux clous A et B distants de 13 cm.
Est-il possible de tendre la ficelle de manière à ce que le triangle ABC soit rectangle en C ?
Bonus : le triangle peut-il être rectangle en A ou en B ?
