Nom :
Classe : 2nde 4 DS n°4
le 27/01/2020 Note :
… / 20
Evaluation des capacités Non Oui Avoir une bonne connaissance du cours (vocabulaire, définitions, propriétés et remarques)
Réussir convenablement des exercices déjà travaillés en classe.
Développer puis réduire.
Calculer.
Justifier le sens de variation d'une fonction affine.
Dresser le tableau des signes d'une fonction affine.
Obtenir le tableau des valeurs d'une fonction sur un intervalle et avec un pas donnés.
Lire l'image / l'antécédent d'un nombre dans un tableau de valeurs.
Comparer des images.
Tracer la représentation graphique d'une fonction affine dans un repère orthonormé.
Déterminer si un point appartient ou non à la représentation graphique d'une fonction.
Lire graphiquement l'équation d'une droite.
Résoudre une inéquation graphiquement.
Résoudre une inéquation algébriquement.
Traiter un problème modélisé à l'aide d'une fonction.
Contrôl
e de la connaissance du cours : Compléter les extraits du cours suivants. … / 5 1. a) Une fonction affine est une fonction définie sur … par = ………… où … et … sont deux réels.
b) On dira que :
▪ … est l'ensemble de définition de .
▪ est ……… de . Inversement, est ……… de .
c) Une fonction affine est représentée graphiquement par une ……… d'équation ………
d) est appelé le ……… et est appelé ………
2. Soient A( ; ) et B( ; ) deux points de la représentation graphique d'une fonction affine . = ……… et = ……
3. Un point M( ; ) appartient à la représentation graphique d'une fonction affine si et seulement si
………
4. Les identités remarquables sont :
▪ ……… = ………
▪ ……… = ………
▪ ……… = ………
Exercices contrôlés : … / 5
1. Soit une fonction affine telle que = et = . Déterminer l'expression de en fonction de .
2. Dresser le tableau de signes de la fonction affine définie par = .
3. Le taux normal de TVA s'appliquant à la majorité des biens et des prestations de service est de 20 %.
a) On note le prix HT (hors taxe) d'un article et son prix TTC (toutes taxes comprises).
Exprimer en fonction de .
b) Justifier les variations de la fonction .
c) Compléter la fonction python suivante afin qu'elle renvoie le prix TTC d'un article, arrondi au centième, son prix HT étant saisi en paramètre.
d) Que faut-il taper dans la console python pour obtenir le prix TTC d'une cuisine qui coûte €HT ? Donner le résultat fourni par python.
f(x)
f(x) f(x)
f
f
f p
m
m p
x x
xA
xM yM
yA xB yB
3
f(x) x
f f(-3) -2 f(5) 3
1 850
x t(x)
t(x) x
t
f(x) 1 2x¡5
Exercice n°2 : Développer puis réduire. … / 3
A = B = C =
Exercice n°3 : est la fonction définie sur R par : … / 7
=
On note d sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O;I,J).
1. a) Montrer que pour tout réel on a = . En déduire la nature de la fonction . b) Déterminer le sens de variations de .
c) Dresser le tableau des signes de .
2. a) Compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau des valeurs de sur [ ; ] avec un pas de . b) En déduire l'image de par la fonction et l'antécédent de 2.
c) Comparer, sans calcul supplémentaire, les images de et par . Justifier.
3. a) Tracer la représentation graphique de dans le repère ci-dessous.
b) Les points M( ; ) et N( ; ) appartiennent-ils à d . Justifier.
4. a) Justifier, par lecture graphique, l'équation de la droite ∆.
b) Résoudre graphiquement l'inéquation ≤ . c) Résoudre algébriquement cette inéquation.
Exercice n°4 : Bonus … / 2
On étudie, dans un certain milieu, l'évolution d'une population de bactéries.
Le nombre de bactéries, en milliers, a été modélisé en fonction du temps écoulé en jours par la fonction définie par :
=
où est un réel compris dans l'intervalle [ ; ].
1. Donner une estimation du nombre de bactéries au bout de jour.
2. Déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries aura atteint .
(2x¡5)(2x+ 5)¡(3x+ 5)2 (3¡p 5)2 4 (2x¡3)2+ 2 (4x¡3)
N
N(t) (0,5t+ 1)2 0 10 t
1 16 000
f(x) f
f(x)
5¡ 3 (8x¡2) 6
f - 4x+ 6
x
f f(x)
f(x) - 5 5 1
- 2 f
f
f
∆ 4 5 1
5 f
9
4 f
p1
2 3,17
f(x) 3x¡1 - 3
Correction du DS n°4
Contrôl
e de la connaissance du cours : Cf cours #4 et AP 4
Exercices contrôlés : Voir la correction des exercices n°4, 12 et 13 du cours #4.
Exercice n°2 : Développer puis réduire.
A = A = A = A =
B = B = B = B =
C =
C =
C =
C =
Exercice n°3 : est la fonction définie sur R par : =
On note d sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O;I,J).
1. a) Montrer que pour tout réel on a = . En déduire la nature de la fonction .
∀ ∈ R, = = = = = On a = avec = et =
Donc est une fonction affine.
b) Déterminer le sens de variations de . On sait que est une fonction affine.
= < donc est strictement décroissante sur R.
c) Dresser le tableau des signes de .
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < ⇔ <
On en déduit le tableau des signes de :
-∞ +∞
+ –
2. a) Compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau des valeurs de sur [ ; ] avec un pas de .
b) En déduire l'image de par la fonction et l'antécédent de 2.
L'image de par la fonction est . L'antécédent de par est .
c) Comparer, sans calcul supplémentaire, les images de et par . Justifier.
On sait que < et que la fonction est strictement décroissante sur R.
On en déduit : >
f
f(x) 5¡ 3 (8x¡2) 6
f
x f(x) - 4x+ 6 f
f
f(x)
f(x) - 5 5 1
- 2 f
1 5
4
5 f
4 (2x¡3)2+ 2 (4x¡3) 4 (4x2¡12x+ 9) + 8x¡6 16x2¡48x+ 36 + 8x¡6 16x2¡40x+ 30
(2x¡5)(2x+ 5)¡(3x+ 5)2 (2x)2 ¡52¡(9x2+ 30x+ 25)
4x2¡25¡9x2¡30x¡25 - 5x2¡30x¡50
(3¡p 5)2 32¡2£3p
5 + (p 5)2 9¡6p
5 + 5 14¡6p
5
x f(x) 5¡ 3 (8x¡2) 6
5£6¡3 (8x¡2) 6
30¡24x+ 6 6
- 24x+ 36
6 - 4x+ 6 f(x) m x+p m - 4 p 6
f
f
m - 4 0 f
f(x) 0 - 4x+ 6 0 6 4x x 6 4
3 2 f(x) 0 - 4x+ 6 0 6 4x x 6
4
3 x 2 f(x)
f(x)
x 3
2 O
x f(x)
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 2 - 6 - 10 - 14
26 22 18 14 10 6 2
- 2 f
1 f 2
14
1 5
4
5 f
f(1
5) f(4 5)
3. a) Tracer la représentation graphique de dans le repère ci-dessous.
b) Les points M( ; ) et N( ; ) appartiennent-ils à d . Justifier.
= = = Donc M( ; ) ∈ d
= = = = = ≈ ≠ Donc N ∉ d
4. a) Justifier, par lecture graphique, l'équation de la droite ∆.
Graphiquement, l'ordonnée à l'origine de ∆ est = .
De plus, pour passer de C à D on « monte » de graduations quand on « avance » de . Le coefficient directeur de ∆ est donc : = =
Ainsi, la droite ∆ a pour équation =
b) Résoudre graphiquement l'inéquation ≤ .
Graphiquement, on a ≤ lorsque d est en dessous de ∆, c'est-à-dire sur [ ; +∞[.
c) Résoudre algébriquement cette inéquation.
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Exercice n°4 (Bonus) : On étudie, dans un certain milieu, l'évolution d'une population de bactéries.
Le nombre de bactéries, en milliers, a été modélisé en fonction du temps écoulé en jours par la fonction définie par = où est un réel compris dans l'intervalle [ ; ].
1. Donner une estimation du nombre de bactéries au bout de jour.
= = =
Au bout de jour il y aura milliers bactéries, c'est-à-dire .
2. Déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries aura atteint .
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= ⇔ =
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. On en déduit :
• = ⇔ = ⇔ = = =
• ou = ⇔ = ⇔ = = . Un nombre de jour = est impossible.
On en déduit que le nombre de bactéries aura atteint au bout de 6 jours.
f
p1
2 3,17 f
f(x) 3x¡1 f(9
4) - 4£ 9
4 + 6 - 9 + 6 - 3 9
4 - 3
9
4 - 3 f
f( 1
p2) - 4£ 1
p2 + 6 - 4
p2 + 6 - 4p 2 (p
2)2 + 6 - 4p 2
2 + 6 - 2p
2 + 6 3,172 3,17 f
- 1
1 3
3 3 m¢ 1
p¢
3x¡1 y
f(x) 3x¡1 f 1
f(x) 3x¡1 - 4x+ 6 3x¡1 6 + 1 3x+ 4x 7 7x 7
x 7 x 1
N(t) 16 (0,5t+ 1)2 16 (0,5t+ 1)2¡42 0 (0,5t+ 1¡4) (0,5t+ 1 + 4) 0 N(t) 16 (0,5t¡3) (0,5t+ 5) 0
0,5t¡3 0,5t+ 5
0 0
16 000
N
N(t) (0,5t+ 1)2 t 0 10
1 N(1) (0,5£1 + 1)2 1,52 2,25
1 2,25 2 250
0,5t 3 t 3
0,5 30 6 5 0,5t - 5 t - 5
0,5 - 10 t - 10
16 000
