Q2 – PGCD (méthode)
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PGCD 1
Pour déterminer le PGCD, il y a deux méthodes :
1) L’algorithme des différences ou soustractions successives 2) L’algorithme d’Euclide
L’algorithme des différences
Déterminer le PGCD de 285 et 114 en utilisant l’algorithme des différences
285 − 114 = 171
171 − 114 = 57 114 − 57 = 57 − 57 = 0
PGCD 285; 114 = 57
Exercice d’application
Déterminer le PGCD de 500 et 448 en utilisant l’algorithme des différences
Résolution
500 – 448 = 52 448 – 52 = 396 396 – 52 = 344 344 – 52 292 292 – 52 = 240 240 – 52 = 188 188 – 52 = 136 136 – 52 = 84 84 – 52 = 32 52 – 32 = 20 32 – 20 = 12 20 – 12 = 8 12 – 8= 4 8 – 4 = 4 4 – 4 =0
PGCD 500; 448 = 4
On calcule la différence entre les deux nombres
Puis on calcule la différence entre les deux plus petits nombres en mettant le plus grand des 2 nombres en premier
Le PGCD est le résultat de la dernière différence non nulle On commence
par 171
Les deux plus petits
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L’algorithme d’Euclide
Déterminer le PGCD de 585 et 481 en utilisant l’algorithme des différences 81
585 = 481 × 1 + 104
481 = 104 × 4 + 65 104 = 65 × 1 + 39 65 = 39 × 1 + 26 39= 26 × 1 + 13
26= 13 × 2 + 0
PGCD 585; 481 = 13
Exercice d’application
Déterminer le PGCD de 500 et 448 en utilisant l’algorithme d’Euclide 500 = 448 × 1 + 52
448 = 52 × 8 + 32
52 = 32 × 1 + 20 32 = 20 × 1 + 12
20 = 12 × 1 + 8 12 = 8 × 1 + 4
8 = 4 × 2 + 0
Partage équitable
Une rencontre sportive est organisée entre 2 villes de la région. Les organisateurs souhaitent constituer le plus grand nombre d’équipes possible comprenant chacune le même nombre de filles et de garçons.
a) Sachant qu’il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le nombre maximal d’équipes que l’on peut constituer ?
b) Combien y a-t-il de garçons et de filles de chaque équipe ?
Résolution a)
Déterminer le nombre ‘maximal d’équipes que l’on peut constituer équivaut à déterminer le PGCD de 294 et 210.
On peut utiliser l’une ou l’autre des 2 méthodes (peu importe).
J’utilise l’algorithme d’Euclide
294 = 210 × 1 + 84 210 = 84 × 2 + 42 84 = 42 × 2 + 0 PGCD 294; 210 = 42
Le plus grand nombre d’équipes qui sera composé est 42.
b)
Pour déterminer la composition de chaque équipe, il faut diviser le nombre de filles et de garçons par le PGCD trouvé.
294 ÷ 42 = 7
Il y aura 7 garçons par équipe
210 ÷ 42 = 5
Il y aura 5 filles par équipe
On effectue la division euclidienne des deux nombres en mettant en évidence le quotient et le reste
On effectue des divisions euclidiennes successives entre le diviseur de la division précédente (en vert) et par le reste (en rouge)
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Le quotient Le reste
