UDS - UFR Physique et Ing´enierie - Lyc´ee Couffignal Licence QM2E
15 octobre 2010
Bases scientifiques – Contrˆ ole continu n˚1 Correction
Enseignant : E. Laroche
1 Logique (3 points)
1. Une condition suffisante pour que xsoit nul est quexsoit inf´erieur `a 1 : ´evidemment faux. Cela s’observe en prenant n’importe quelxtel quex <1 etx6= 0 (par exemple x= 0.5).
2. a≥0⇒a−1>0 : faux. Prenez par exemple x= 0.5.
3. La contrapos´ee de “Si le courant d´epasse 10 A, alors l’interrupteur disjoncte” est
“l’interrupteur n’a pas disjonct´e, cela implique que le courant n’a pas d´epass´e 10 A”.
2 Evolution du courant dans une inductance (9 points) ´
Figure 1 – Allures de la tension et du courant
1. Voir Figure 1.
2. hu(t)i=U/3 = 33 V 3. Ueff =U = 100 V.
4. L’´equation de l’inductance est u(t) = Ldi(t)/dt. En int´egrant, on obtient l’expres- sion suivante : i(t) =i(t0) + 1/LRτ=t
τ=t0u(τ)dτ. Comme l’expression de la tension est constante par intervalle, il est pratique de s´eparer l’´etude sur les diff´erents sous- intervalles pour lesquelsu(t) est constant.
1
– Pour t ∈ [0; 2T /3], on a i(t) = i(0) + 1/LRτ=t
τ=0 u(τ)dτ. Comme τ ∈ [0;t], on a u(τ) = U, ce qui donne i(t) = i(0) + 1/LRτ=t
τ=0Udτ, d’o`u i(t) = U t/L. En fin d’intervalle, on a i(2T /3) = 23U T /L= 66.7 mA.
– Pourt∈[2T /3;T], on ai(t) =i(2T /3)+1/LRτ=t
τ=2T /3u(τ)dτ. Commeτ ∈[2T /3;t], on a u(τ) = −U, ce qui donne i(t) = i(2T /3)−1/LRτ=t
τ=2T /3Udτ, d’o`u i(t) =
2
3U T /L −U/L(t − 2T /3) = 43U T /L −U t/L. En fin d’intervalle, on a i(T) =
1
3U T /L= 33.3 mA.
5. Voir Figure 1.
6. A t = 2T /3, le courant a atteint 20/3 A. Sur une p´eriode T, le courant croit de 10/3 A. Ainsi, apr`est = 2T /3 et 4 p´eriodes T, la valeur sera de 20/3 + 4×10/3 = 20 A. Le temps total est de 2T /3 + 4T = 14T /3 = 4.67 A.
3 R´ eseau monophas´ e en r´ egime sinuso¨ıdal (8 points)
U U C I
R
Figure 2 – Sch´ema de la charge RC et de la source
1. Voir figure 2.
2. Y = 1/R+jCω o`uω = 2πf, d’o`uY = 0.1 + 0.0314×j 3. P =U2/R= 16 kW.
4. Q = −CωU2 = −5.03 kvar (Remarque : comme il s’agit de la puissance r´eactive fournie par la source `a la charge, cette puissance est bien n´egative).
5. I =Y U o`u Y =|Y|=p
1/R2+C2ω2, d’o`uI = 10.48 A 6. Fp =P/S = (1/R)/Y = 1/√
1 +R2C2ω2 = 0.954
7. φ= arccos(Fp) = 0.304 rad = 17.4 deg. Le courant est en avance (charge capacitive) 8. Voir figure 3
φ I
U
Figure 3 – Diagramme vectoriel
2
