Partie III. Tableau de Young

MPSI B Année 2018-2019. DM 12 pour le 15/03/19 29 juin 2019

Problème

Dans ce problème,E désigne un espace vectoriel de dimension niensur un corpsKet f un endomorphisme deE. On souhaite montrer que, lorsquef est nilpotent, il est cyclique si et seulement si tout endomorphisme commutant avecf est un polynôme enf.

Dans tout le problème, f est supposé nilpotent c'est à dire qu'il existe un entier naturel m >1 tel que f^m = 0_L(E) et f^m−1 6= 0_L(E). La notation puissance, est relative ici à la composition def par lui même et on convient quef⁰= IdE.

Pour tout a∈ E, on note V(a) = Vect(f^k(a), k ∈N). On dit que l'endomorphisme f est cyclique si et seulement si il existe una∈E tel queV(a) =E.

Un endomorphismeg∈ L(E)commute avecf si et seulement sif◦g=g◦f. On noteC(f) (appelé le commutant def) l'ensemble des endomorphismes qui commutent avecf. On rappelle que siP=a₀+a₁X+· · ·+a_pX^p∈K[X], on dénitP(f)par :

P(f) =a₀Id_E+a₁f+· · ·+a_pf^p∈ L(E) On pourra utiliser sans démonstration que

∀(P, Q)∈K[X]², (P Q)(f) =P(f)◦Q(f)

Partie I. Commutant et polynômes.

1. Montrer queC(f)est une sous-algèbre deL(E).

2. Montrer que, pour toutP ∈K[X], l'endomorphismeP(f)appartient àC(f).

3. On suppose queg∈ L(E)est un polynôme enf c'est à dire qu'il existeP ∈K[X]tel queg=P(f).

a. Montrer qu'il existeQ∈K[X]tel quedeg(Q)< met g=Q(f).

b. En précisant algorithmiquement ses coecients à l'aide deg, de composées def et d'un vecteur bien choisi, montrer que ce polynômeQest unique.

Partie II. Endomorphisme cyclique.

1. Pour touta∈E, justier l'existence de l'entierµ(a) = min

k∈Ntqf^k(a) = 0E et vérier que1≤µ(a)≤m poura6= 0E dansE.

2. Montrer que pour a 6= 0E, la famille (a,· · · , f^µ(a)−1(a)) est libre. En déduire dim(V(a)).

3. a. Montrer quem≤n.

b. Montrer quef est cyclique si et seulement sim=n.

Dans la suite de cette partie, on supposef cyclique et on xe un élémenta deE tel queA= (a, f(a),· · ·, fⁿ⁻¹(a))soit une base deE.

4. Soitg ∈ C(f). En considérant les coordonnées deg(a)dans A, montrer queg est un polynôme enf.

5. Pourk∈ {0,· · · , n}, préciser une base dekerf^k, en déduire que sa dimension estk.

Partie III. Tableau de Young

Dans cette partie,fest toujours nilpotent mais il n'est pas forcément cyclique. On connait les inclusions (que l'on ne demande pas de justier)

{0}= kerf⁰⊂kerf ⊂kerf²⊂ · · · ⊂kerf^m−1⊂kerf^m=E

Dans un espace vectoriel de dimension nie, tout sous-espace admet des supplémentaires, il existe donc des sous-espaces vectorielsU_k pourk entre1 etm−1 tels queU_k et kerf^k soient supplémentaires danskerf^k+1 :

∀k∈J0, m−1K, kerf^k+1= kerf^k+U_k avec kerf^k∩U_k ={0_E}

en convenant queU₀= kerf. On noteu_k= dim(U_k)etp_k la projection dekerf^k+1 surU_k parallélement àkerf^k en convenant quep₀= Id_kerf.

1. Montrer que les inclusions présentées au début de cette partie sont strictes, c'est à dire qu'il n'y a aucune égalité parmi elles.

2. Pour k ∈ {0,· · · , m−2}, montrer que six∈ Uk+1 alors pk◦f(x)est bien déni et appartient àUk. Montrer que l'application deUk+1dansUkainsi construite est linéaire et injective.

3. a. Montrer queu0≥u1≥ · · · ≥u_m−1. b. Montrer queu0+u1+· · ·+u_m−1=n.

4. Que peut-on dire de la suite desuk lorsque f est cyclique ? 5. Cas particulier. On suppose ici quem=n−1.

a. Que valent lesuk et lesdim(kerf^k)dans ce cas particulier ? Montrer qu'il existe deux vecteursa∈E et b∈ kerf tels que (a, f(a),· · · , fⁿ⁻²(a), b) soit une base deE.

b. Construire ung∈ L(E)qui commute avecf et qui n'est pas un polynôme enf.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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6. On admet que lorsque f n'est pas cyclique, il existe des vecteursa1,· · · , ap tels que, pour tout x ∈ E, il existe un unique p-uplet (v1,· · · , vp) ∈ V(a1)× · · · ×V(ap) tel quex=v₁+· · ·+v_p. Expliquer comment on peut construire un endomorphismeg qui commute avecf sans être un polynôme enf. Conclure.

7. Par dénition, un tableau de Young attaché àf contient des colonnes indexées de0à m−1, la colonne indexée parkcomportantu_k cases.

Par exemple,

est un tableau de Young attaché à unf pour lequel

n= 12, m= 4, u₀= 4, u₁=u₂= 3, u₃= 2.

On remplit un tel tableau à partir de la droite en insérant dans la colonne la plus à droite une famille libre de vecteurs deU_m−1 (égal àU₃dans l'exemple)

a₁ a₂

On complète vers la gauche en composant parf

f³(a1) f²(a1) f(a1) a1

f³(a2) f²(a2) f(a2) a2

On répète ce processus en partant toujours de la droite f³(a1) f²(a1) f(a1) a1

f³(a2) f²(a2) f(a2) a2

f²(a₃) f(a₃) a₃ a4

Dans le cas particulier proposé.

a. Montrer que (p2(f(a1)), p2(f(a2))) est libre. Montrer qu'il existe a3 tel que (p2(f(a1)), p2(f(a2)), a3)base deU2.

b. Montrer que (f³(a1), f³(a2), f²(a3)) est libre. Montrer qu'il existe a4 tel que (f³(a1), f³(a2), f²(a3), a4)base de U0= kerf.

c. Montrer que (a1, a2, a3, a4)satisfait aux conditions de la question 5.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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