Exercices de transition du chapitre 1 au chapitre 2
Exercice 1 : On note ℬ = , , la base canonique de ℝ.
Soit f un endomorphisme de ℝ de matrice canoniquement associée = 5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3 . 1) Calculer + , + et + .
2) Montrer que + , + , + est une base de ℝ et exprimer la matrice de f dans cette base.
3) Exprimer la matrice de passage de la base canonique à la base + , + , + . 4) Donner une relation entre et .
5) La matrice est-elle inversible ? Si oui, quelle est son inverse ?
Exercice 2 : E désigne l’espace des fonctions polynômes à coefficients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l’entier naturel 2.
On considère l’application qui, à tout élément P de E, associe la fonction polynôme Q telle que : Pour tout réel, = − 1 + et ℬ = , , la base canonique de E définie par : pour tout réel : = 1; = et = .
1) Montrer que est un endomorphisme de .
2) Vérifier que la matrice A de dans ℬ , s’écrit sous la forme : = 1 −1 0 0 2 −2 0 0 3 . 3) Déterminer Ker(). est-il un automorphisme de E ? Pouvions-nous l’affirmer avant ? 4) Déterminer trois polynômes ", " et " tels que " = ", " = 2" et " = 3". 5) Montrer que la famille ", ", " est une base de .
6) Exprimer la matrice de dans cette base.
7) Quelle relation existe-t-il entre et ? Exercice 3 :
Soit l’endomorphisme de ℝ de matrice dans la base canonique : = 5 −8 −4 8 −15 −8
−10 20 11. On pose : $%⃗ = 2,4, −5 , '⃗ = 1,0,1 et (%%⃗ = 0,1, −2 .
1) Calculer $%⃗ .
2) Montrer que '⃗ et (%%⃗ appartiennent à Ker − +, .
3) Montrer que $%⃗, '⃗, (%%⃗ est une base de ℝ et exprimer la matrice ′ de dans cette base.
4) Exprimer la matrice de passage de la base canonique à la base $%⃗, '⃗, (%%⃗ . 5) Donner une relation entre et ′.
6) Calculer et en déduire.
