APPROCHE HISTORIQUE DES COMPLEXES

APPROCHE HISTORIQUE DES COMPLEXES

EQUATION DU TROISIEME DEGRE

LA FORMULE DE CARDAN

1) En étudiant la fonction f définie par fx=x³– 6 x – 6 , montrer que E admet une solution unique réelle qui se situe dans [ 2 ; 3].

2) On pose u³v³=6 et u.v = 2

a) Démontrer que u + v est une solution de E.

b) Démontrer que si u³ et v³ existent, alors ils sont solutions de l’équation X² - 6 X + 8 = 0.

c) Déterminer u³ et v³ , puis en déduire l’unique solution réelle de E.

Remarque : 

pour a positif , est le nombre positif qui, élevé au cube donne a . De manière analogue en posant

et

3 ,

en 1545 Jérôme Cardan a démontré que si

alors









est une solution de l’équation

L’AUDACE DE BOMBELLI

3) Que se passe-t-il si l’on applique la formule de Cardan pour E_{2 : x}³_{=15 x4} ?

En 1572, afin de tenter de généraliser la méthode de Cardan, Raphaël Bombelli invente «quelque chose» ( qu'il osa noter  – 1 et noté i en 1777 par Euler) dont le carré est -1 ( i

= -1 ). Ainsi -121 est le carré de 11i.

4) a) En utilisant les mêmes règles de calcul que dans ℝ, montrer que ( 2 + i )³ = 2 + 11i et que ( 2 - i )³ = 2 - 11i.

b) Quelle est alors la solution réelle donnée par la formule de Cardan ? c) Vérifier que 4 est solution de l’équation (E₂): _x³_{=15 x4}

d) En factorisant x³ - 15 x - 4 par ( x - 4 ), achever la résolution de E₂.

Par l’intermédiaire de nombres nouveaux, Bombelli retrouve une des solutions réelles de l’équation. L’introduction du nombre i semble alors justifiée algébriquement.

Conjointement, il énonce les règles de calcul sur ces nouveaux nombres.

L’apparition au 16

siècle de ces nouveaux nombres entraîna de vives polémiques.

En 1637, Descartes leur donna le nom d’imaginaires. Il fallut attendre deux siècles pour qu’ils obtiennent de la communauté mathématique un réel statut.

REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE

A la fin du 18e et au début du 19e Wessel et Argand propose de représenter le

complexe x + i y, avec x et y réels par le point M de coordonnées (x ; y) dans le plan muni d’un repère orthonormé.

En 1811, Gauss écrit «....de même qu’on peut représenter tous les réels au moyen d’une

ligne droite , on peut représenter les imaginaires (complexes) au moyen d’un plan, où

chaque point déterminé par son abscisse x et son ordonnée y représente en même temps

la quantité x + i y.»

LES NOMBRES COMPLEXES

I ) DEFINITION ET REPRESENTATION GRAPHIQUE Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O;u ,v

1) Définition Définition :

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = x + i y, où x et y sont des réels et i un nombre imaginaire vérifiant i² = - 1. L’ensemble des complexes se note ℂ .

Remarque : Si y = 0 alors z est un réel donc ℝ⊂ℂ . Si x = 0 on dit que z est un imaginaire pur;

2) Représentation graphique x et y étant des réels.

A tout complexe z = x + i y on peut associer un unique point M ( x ; y ) et réciproquement.

De même à tout complexe z = x + i y on peut associer un unique vecteur w ( x ; y ) et réciproquement.

Définition :

z s’appelle l’affixe du point M et du vecteur w ( rq : w=OM ).

M s’appelle le point image de z. w s’appelle le vecteur image de z.

Remarque : l’axe des abscisses s’appelle l’axe des réels.

l’axe des ordonnées s’appelle l’axe des imaginaires purs.

3) Forme algébrique

Soient x et y deux réels si x = 0 et y = 0 alors x + i y = 0

si x + i y = 0 alors x = i y donc x² = - y² ce qui n’est possible que si x = 0 et y = 0.

Propriété :

x + i y = 0 avec x et y réels ⇔ x = 0 et y = 0

soient x ; y ; x’ ; y’ 4 réels x + i y = x’ + i y’ ⇔ ( x - x ’ ) + i ( y - y’ ) = 0 ⇔ x = x’ et y = y’

Propriété :

x + i y = x’ + i y’ avec x ; y ; x’ ; y’ réels ⇔ x = x’ et y = y’

Tout complexe z admet une écriture unique de la forme x + i y avec x et y réels.

Cette forme s’appelle la forme algébrique de z . x s’appelle la partie réelle de z notée Re (z) = x.

y s’appelle la partie imaginaire de z notée Im (z) = y.

Attention !!!! z = 7 + i ( 5 + 4 i ) Re (z) = 3 et Im (z) = 5 Propriété :

Z ∈ ℝ ⇔ Im (z) = 0 z imaginaire pur ⇔ Re (z) = 0

4) Conjugué Définition :

Pour tout complexe z = x + i y, où x et y sont des réels, on appelle complexe conjugué le complexe noté z=x – iy

Remarque : M’ ( z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.

II ) OPERATIONS DANS LES COMPLEXES 1) Somme et produit

Définition :

Soient x ; y ; x’ ; y’ et k des réels.

(x + i y ) + ( x’ + i y’) = ( x + x’) + i ( y + y’) k (x + i y ) = kx + i ky

(x + i y ) . ( x’ + i y’) = ( x x’- y y’) + i (x y’ + x’ y) Propriété :

Les propriétés de l’addition et de la multiplication dans les complexes sont les mêmes que dans les réels ( commutativité, associativité, 0 est le neutre pour +, 1 est le neutre pour × ,

× est distributive par rapport à +.

Rq : les produits remarquables sont donc les mêmes. Il y en a même un nouveau xiyx – iy=x²y² 2) Quotient

Soit z’ = x’ + i y’ avec x’ et y’ des réels. Admet-il un inverse?

Or z'× z ' = x’² +y’² donc si z’ ≠ 0 alors x’² +y’² ≠ 0 et donc ^{z '× z '}

x '²y '²=1 donc Propriété :

Tout complexe z’ ≠ 0 admet un inverse z '

z '×z ' noté 1 z ' et

z

z '=z×1

z ' = z × z ' z '×z '

En pratique : _{3 – 5 i}^{1 =}_{3 – 5 i}^{35 i}_{35 i}

= 3 34 5

34i 1i

– 23 i= 1i– 2 – 3 i

– 23 i– 2 – 3 i= 1 13– 5

13i Exercices : 1 - 2 - 3 - 4 feuille polycopiée

3) Propriétés des conjugués Propriété :

z = z z + z = 2 Re (z) z - z = 2 i Im (z) z . z = (Re (z))² +(Im (z))² zz ' = z ' + z ' z×z ' = z × z '





z∈ℝ⇔ z = z z∈ iℝ ⇔ z = - z Ex ercice :

III ) EQUATION DU SECOND DEGRE A COEFFICIENTS REELS

Rq : - 3 = ( i 3 )² - 16 = (4 i)² ... dans ℂ tout nombre peut s'écrire sous la forme d'un carré.

Soient a, b et c 3 réels avec a ≠ 0 alors P (z) = a z² +b z + c =...= a

[ ^

^

]

soit = b²– 4 ac si 0 alors =





Propriété :

Soient a, b et c 3 réels avec a ≠ 0 , on pose = b²– 4 ac le discriminant de P (z) = a z² +b z + c.

Dans ℂ le polynôme P admet toujours deux racines (confondues si  = 0 ) z1 = – b – d

2 a et z₂ = – bd

2 a où d est le complexe tel que d² = .

Rq : Si  > 0 alors les racines sont réelles

Si < 0 alors les racines sont complexes conjuguées Si  = 0 alors les racines sont confondues ( racine double)

Exemples : résoudre z² + 4 z + 4 = 0 3 z² - 5 z - 7 = 0 2 z² - 3 z + 4 = 0 ex 5 - 6 -7

IV ) IN TREPRETATION GEOMETRIQUE

Soient t ( z = x + i y) et s ( z’ = x’ + i y’) …...alors ts ( x + x’ ; y + y’) donc ts ( z + z’) Si k est un réel alors k t ( kx ; ky) …...donc P(kz)

Propriété :

Si t et s ont pour affixes z et z’ alors ts a pour affixe z + z’ et celle de k t est kz. (k ∈ℝ) Propriété :

Si A, B et C ont pour affixes ^zA , ^zB et zc alors : l'affixe de AB est zB– z_A

l'affixe du milieu I de [AB] est z_I=z_Az_B 2

l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC est z_G=z_A+z_B+z_C 3

Dans tous les exercices le plan est muni d’un repère orthonormé direct O;u ,v

EX 1 :

a) Calculer la forme algébrique des complexes suivants

z₁ = 2(5+3i)-3(-2+7i) ; ^z2 = (2-5i)(3+4i) ; z₃ = (2+3i)² + (3-5i)² ;

c) Calculer la forme algébrique des complexes suivants

1

3 i ; 1

5 – 3 i ; 3 – 5 i

23 i ; ^{52 i3i} 2 i7 ;





EX 2 :

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : ( 1 + 2 i ) z - ( i - 1 ) = i z - 3

2 z - 2 + i z = 8 - 6 i + ( 1 + 2 i ) z 4 z - 3 z = 1 - 14 i

4z – 7 i z = -13 - 2i

EX 3 :

On pose z = x+iy avec x et y réels.

a) Déterminer la partie réelle et imaginaire de Z = 2 z² + 3z – 4 en fonction de x et y.

b) Déterminer l’ensemble des complexes z tels que Z soit un réel .

EX 4 :

Pour z≠i on pose Z=2 zi z – i soit z = x+iy avec x et y réels.

1) Déterminer la partie réelle et imaginaire de Z en fonction de x et y.

2)

a) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z pour que Z soit un réel .

b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z pour que Z soit un imaginaire pur.

E X 5 :

Résoudre dans ℂ : z⁴ + 5 z² + 4 = 0

EX 6 :

Soit p(z) = z³ - 6 z² + 13 z - 10 où z ℂ∈

1) Calculer P(2) puis montrer que P(z) est factorisable par (z-2);

2) Résoudre dans ℂ l'équation p(z) = 0.

EX 7 :

Soit l’équation d’inconnue z complexe (E) : z³ + ( 2 i + 3 ) z² + ( 6 i + 7 ) z + 14 i = 0

Montrer que E admet une solution imaginaire pur puis résoudre E .