Correction bac blanc 2
Mathématiques Term ES-L
2017-2018
La solution exacte de l’équation
1
2 x
= 3 10 est :
1 1,74
2 ln 10−ln 3
ln 2 3 −ln 3 ln 5
4 0,5 1
2 x
= 3 10 ⇐⇒
La solution exacte de l’équation
1
2 x
= 3 10 est :
1 1,74
2 ln 10−ln 3
ln 2 3 −ln 3 ln 5
4 0,5 1
2 x
= 3
10 ⇐⇒2x = 10 3
La solution exacte de l’équation
1
2 x
= 3 10 est :
1 1,74
2 ln 10−ln 3
ln 2 3 −ln 3 ln 5
4 0,5 1
2 x
= 3
10 ⇐⇒2x = 10 3
⇐⇒ln(2x) =ln 10
3
La solution exacte de l’équation
1
2 x
= 3 10 est :
1 1,74
2 ln 10−ln 3
ln 2 3 −ln 3 ln 5
4 0,5 1
2 x
= 3
10 ⇐⇒2x = 10 3
⇐⇒ln(2x) =ln 10
3
⇐⇒xln(2) =ln(10)−ln(3)
La solution exacte de l’équation
1
2 x
= 3 10 est :
1 1,74
2 ln 10−ln 3
ln 2 3 −ln 3 ln 5
4 0,5 1
2 x
= 3
10 ⇐⇒2x = 10 3
⇐⇒ln(2x) =ln 10
3
⇐⇒xln(2) =ln(10)−ln(3)
⇐⇒x = ln(10)−ln(3) ln(2)
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16
Soitf une fonction dérivable, etAun point de la courbe d’abs- cisse a. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f′(a).
Définition
Soitf une fonction dérivable, etAun point de la courbe d’abs- cisse a. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f′(a).
Définition
Soit f une fonction dérivable en un point A d’abscisse a.
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abs- Propriété
Soitf une fonction dérivable, etAun point de la courbe d’abs- cisse a. La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite passant par le point A et de coefficient directeur f′(a).
Définition
Soit f une fonction dérivable en un point A d’abscisse a.
L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abs- cisse a est :
y =f′(a) (x−a) +f(a) Propriété
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a)
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =11+5 ln(1)
f(1) =11+5×0 f′(1) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =11+5 ln(1) f(1) =11+5×0 f(1) =11
f′(1) =
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =11+5 ln(1)
f(1) =11+5×0 f′(1) = 5 1
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ parf(x) = 11+5ln(x). Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
1 y =5x+11 2 y =5x +6 3 y =11x−6 4 y =5x+16 y =f′(a) (x −a) +f(a) f′(x) = 5
x
f(1) =11+5 ln(1) f(1) =11+5×0 f(1) =11
f′(1) = 5 1 f′(1) =5 Donc l’équation de la tangente est : 5(x 1) +11.
f est la fonction définie pour tout x de l’intervalle ]0; +∞[ par f(x) = (2x +3)lnx.
On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0; +∞[.
On rappelle que f′ désigne la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ on a :
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2
x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =u′v +uv′ avec
(
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =u′v +uv′ avec
(u(x) =2x +3
v(x) = ln(x) =⇒
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =u′v +uv′ avec
(u(x) =2x +3
v(x) = ln(x) =⇒
u′(x) =2 v′(x) = 1 x f′(x) =
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =u′v +uv′ avec
(u(x) =2x +3
v(x) = ln(x) =⇒
u′(x) =2 v′(x) = 1 x
f(x) = (2x +3)lnx.
1 f′(x) = 2x +3
x 2 f′(x) = 2 x
3 f′(x) = 2 lnx+ 3
x +2 4 f′(x) =2 lnx+ 3 x f =uv =⇒f′ =u′v +uv′ avec
(u(x) =2x +3
v(x) = ln(x) =⇒
u′(x) =2 v′(x) = 1 x f′(x) = 2 ln(x) + (2x +3)× 1
x =2 ln(x) + 3 x +2
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
f(x) =0
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
f(x) =0 11+5 ln(x) =0
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
f(x) =0 11+5 ln(x) =0
5 ln(x) =−11
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
f(x) =0 11+5 ln(x) =0
5 ln(x) =−11 ln(x) =−11 5
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) =11+5 ln(x).
L’équation f(x) =0 d’inconnue x a pour solution : a. −e11
5 b. −ln
11
5
c. e−115 d. e−11 5
f(x) =0 11+5 ln(x) =0
5 ln(x) =−11 ln(x) =−11 5 x =e−115
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel .
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel . Déterminons la valeur de k telle que F(1) =0.
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel . Déterminons la valeur de k telle que F(1) =0.
3 ln(1) +12−8×1+k =0
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel . Déterminons la valeur de k telle que F(1) =0.
3 ln(1) +12−8×1+k =0
3 0 1 8 0
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel . Déterminons la valeur de k telle que F(1) =0.
3 ln(1) +12−8×1+k =0 3×0+1−8+k =0
−7+k =0
Quelle est la primitive qui s’annule en 1 de la fonction f définie sur ]0,+∞[ parf(x) = 3
x +2x −8.
a. 3 lnx + x2−8x+7
b. − 3 x2 + x2−8x +10
c. − 3
x2 +2 d. ln(x3) + x2−8x −7 Les primitives de F sont de la forme :
F(x) =3 ln(x) +x2−8x+k où k est un réel . Déterminons la valeur de k telle que F(1) =0.
3 ln(1) +12−8×1+k =0
3 0 1 8 0
Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des
quotidiens français d’information générale et politique, c’est-à-dire le nombre moyen d’exemplaires imprimés par jour.
Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires :
Année 2007 2008 2009 2010
Tirage moyen journalier
en milliers d’exemplaires 10 982 10 596 10 274 10 197 Source : D.G.M.I.C Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.
Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et
Si on noteVDepart la valeur de départ etVArrivee la valeur d’ar- rivée : taux d’évolution= VArrivee
VDepart −1 Définition
Si on noteVDepart la valeur de départ etVArrivee la valeur d’ar- rivée : taux d’évolution= VArrivee
VDepart −1 Définition
On utilise souvent cette formule dans une autre version, équivalente :
taux d’évolution= VArrivee −VDepart VDepart Propriété
Si on noteVDepart la valeur de départ etVArrivee la valeur d’ar- rivée : taux d’évolution= VArrivee
VDepart −1 Définition
On utilise souvent cette formule dans une autre version, équivalente :
taux d’évolution= VArrivee −VDepart VDepart Propriété
Année 2007 2008 2009 2010 Tirage moyen journalier
en milliers d’exemplaires 10 982 10 596 10 274 10 197 Source : D.G.M.I.C Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
Année 2007 2008 2009 2010 Tirage moyen journalier
en milliers d’exemplaires 10 982 10 596 10 274 10 197 Source : D.G.M.I.C Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
Le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est 10 596−10 982
10 982 ×100 ≈ −3,51%.
Pour tout entier naturel n, on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année (2007+n).
Soit (Vn) la suite définie par V0 =10 982 et, pour tout entier naturel n, Vn+1 =0,96Vn+100.
Calculer V1 puis V2.
Pour tout entier naturel n, on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année (2007+n).
Soit (Vn) la suite définie par V0 =10 982 et, pour tout entier naturel n, Vn+1 =0,96Vn+100.
Calculer V1 puis V2.
V1 =0,96V0+100=0,96×10 982+100=10 642,72 et V2 =0,96V1+100=0,96×10 642,72+100≈10 317,01
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
Wn+1 =0,96(Wn+2 500)−2 400
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
Wn+1 =0,96(Wn+2 500)−2 400 Wn+1 =0,96Wn+2 400−2 400
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
Wn+1 =0,96(Wn+2 500)−2 400 Wn+1 =0,96Wn+2 400−2 400 Wn+1 =0,96Wn
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
Wn+1 =0,96(Wn+2 500)−2 400 Wn+1 =0,96Wn+2 400−2 400 W =0,96W
V0 =10 982 etVn+1 =0,96Vn+100
Soit (Wn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par
Wn=Vn−2 500. Montrer que(Wn) est une suite géométrique de raison 0,96 puis déterminer son premier terme.
Wn+1 =Vn+1 −2500
Wn+1 =(0,96Vn+100)−2500 Wn+1 =0,96Vn−2400
Wn+1 =0,96(Wn+2 500)−2 400 Wn+1 =0,96Wn+2 400−2 400 Wn+1 =0,96Wn
W0 =V0−2 500=10 982−2 500=8 482
Donc la suite est géométrique de raison 0,96 et de
Déterminer l’expression de Wn en fonction de n.
la suite (Wn) est géométrique de raisonq =0,96 et de premier terme W0=8 482.
Déterminer l’expression de Wn en fonction de n.
la suite (Wn) est géométrique de raisonq =0,96 et de premier terme W0=8 482.
On déduit de la question précédente que, pour tout n, Wn=W0×qn =8 482×0,96n.
En déduire que pour tout entier naturel n, Vn=8 482×0,96n+2 500.
Rappel : On a Wn=8 482×0,96n et Wn=Vn−2 500
En déduire que pour tout entier naturel n, Vn=8 482×0,96n+2 500.
Rappel : On a Wn=8 482×0,96n et Wn=Vn−2 500
Pour tout n, Vn =Wn+2 500 donc Vn =8 482×0,96n+2 500.
Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017.
Rappel : on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année (2007+n)
Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017.
Rappel : on note Vn le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année (2007+n)
L’année 2007 correspond à n =0 donc l’année 2017 correspond à n =10.
Le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017 est
V10=8 482×0,9610+2 500≈8 139,11 milliers d’exemplaires.
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000 8482×0,96n≤1500
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000 8482×0,96n≤1500 0,96n≤ 1500 8482
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000 8482×0,96n≤1500 0,96n≤ 1500 8482 ln(0,96n)≤ln
1500 8482
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000 8482×0,96n≤1500 0,96n≤ 1500 8482 ln(0,96n)≤ln
1500 8482
n×ln(0,96)≤ln
1500 8482
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100
8482×0,96n+2500≤4000 8482×0,96n≤1500 0,96n≤ 1500 8482 ln(0,96n)≤ln
1500 8482
n×ln(0,96)≤ln
1500
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100 Donc n ≥43.
Résoudre l’inéquation Vn ≤4000 et interpréter par une phrase le résultat obtenu.
Rappel : On a Vn =8 482×0,96n+2 500 et Vn+1 =0,96Vn+100 Donc n ≥43.
Ceci signifie que 43 années après 2007, le nombre de tirage moyen journalier sera inférieur à 4000 milliers d’exemplaire /pause soit inférieur à 4 millions.
Déterminer la limite de la suite (Wn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Rappel : Wn=8 482×0,96n
Déterminer la limite de la suite (Wn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Rappel : Wn=8 482×0,96n
La suite (Wn)est une suite géométrique de raison q =0,96 ; or 0<q<1 donc la suite (Wn) admet le nombre 0 pour limite.
Déterminer la limite de la suite (Wn). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Rappel : Wn=8 482×0,96n
La suite (Wn)est une suite géométrique de raison q =0,96 ; or 0<q<1 donc la suite (Wn) admet le nombre 0 pour limite.
On en déduit que la suite (Vn)a pour limite 2 500 ce qui veut dire que le nombre d’exemplaires vendus va tendre vers 2 500 milliers.
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n), pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur :
Initialisation
Saisir la valeur de n
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n), pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur :
Initialisation
Saisir la valeur de n V prend la valeur 10 982
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n), pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur :
Initialisation
Saisir la valeur de n V prend la valeur 10 982 Traitement et affichage
Pour k variant de 1 à n
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n), pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur :
Initialisation
Saisir la valeur de n V prend la valeur 10 982 Traitement et affichage
Pour k variant de 1 à n
V prend la valeur 0,96×V +100
Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n),
L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année (2007+n), pour un nombre d’années n saisi par l’utilisateur :
Initialisation
Saisir la valeur de n V prend la valeur 10 982 Traitement et affichage
Pour k variant de 1 à n
V prend la valeur 0,96×V +100 Afficher V
Fin Pour
L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale).
On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans 20 % des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test.
Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :
• si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 % des cas ;
• si l’angine est virale, le test est positif dans 10 % des cas.
Représenter la situation par un arbre de probabilité.
Représenter la situation par un arbre de probabilité.
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T
Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
L’angine du malade est bactérienne et que le test est positif correspond à B∩T :
Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
L’angine du malade est bactérienne et que le test est positif correspond à B∩T :
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T
Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?
L’angine du malade est bactérienne et que le test est positif correspond à B∩T :
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T
Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T
Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T
Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T D’après la formule des probabilités totales :
p(T) = p(B∩T) +p(B∩T) =
Montrer que la probabilité que le test soit positif est 0,22.
0,2 B
1−0,3= 0,7 T 0,3 T
B 1−0,2=0,8
0,1 T 1−0,1=0,9 T
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ? Rappel : p(B∩T) =0,2×0,7=0,14 et p(T) =0.22.
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ? Rappel : p(B∩T) =0,2×0,7=0,14 et p(T) =0.22.
La probabilité pour que son angine soit bactérienne sachant que le test est positif est : pT(B) =
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ? Rappel : p(B∩T) =0,2×0,7=0,14 et p(T) =0.22.
La probabilité pour que son angine soit bactérienne sachant que le test est positif est : pT(B) = p(B∩T)
p(T) =
Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.
Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ? Rappel : p(B∩T) =0,2×0,7=0,14 et p(T) =0.22.
La probabilité pour que son angine soit bactérienne sachant que le test est positif est : pT(B) = p(B∩T)
p(T) = 0,14 0,22 = 7
11 ≈0,64.
On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
Pour un malade, il n’y a que deux possibilités : il a un test positif avec une probabilité de p =0,22, ou il a un test négatif avec une probabilité de 1−p=0,78.
On note X la variable aléatoire qui donne, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
Pour un malade, il n’y a que deux possibilités : il a un test positif avec une probabilité de p =0,22, ou il a un test négatif avec une probabilité de 1−p=0,78.
On est dans le cas d’une répétition de 5 expériences identiques et indépendantes. La variable aléatoire X qui donne le nombre de malades dont le test est positif suit une loi binomiale de paramètres n =5 et p =0,22.
Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
La probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif est :
p(X >1) =1−p(X =0) =1− 5
0
×0,220×0,785 ≈0,71.
Calculer l’espérance mathématique de X.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
Calculer l’espérance mathématique de X.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
L’espérance mathématique de X est
Calculer l’espérance mathématique de X.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
L’espérance mathématique de X estE(X) =np =
Calculer l’espérance mathématique de X.
Rappel : X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,22.
L’espérance mathématique de X estE(X) =np =5×0,22=1,1.
1 2 3 4 5 6 7 8
x y
Cf
b b
b
A
B
D
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Donner la valeur de f′(−2) :f′(−2) =f′(xA) = 0 car la tangente au
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Interpréter géométriquement f′(0)et donner sa valeur.
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Interpréter géométriquement f′(0)et donner sa valeur.
f′(0) est le coefficient directeur de la tangente en B à la courbe Cf.
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Interpréter géométriquement f′(0)et donner sa valeur.
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Interpréter géométriquement f′(0)et donner sa valeur.
f′(0) est le coefficient directeur de la tangente en B à la courbe Cf. Cette tangente est la droite (BD) donc a pour coefficient directeur
1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
x y
Cf
b b
b
A
B
D
Interpréter géométriquement f′(0)et donner sa valeur.
On admet désormais que la fonction f de la partie A est définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par
f(x) = (x +3)e−x.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 dériver (x+3)∗exp(−x)
exp(−x) + (x+3)∗(−exp(−x)) 2 factoriser (dériver(x + 3) ∗
exp(−x))
(−x −2)∗exp(−x) Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
D’après le logiciel de calcul formel, f′(x) = (−x −2)e−x; or, pour tout x, e−x >0, f′(x) est du signe de −x −2.
Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
D’après le logiciel de calcul formel, f′(x) = (−x −2)e−x; or, pour tout x, e−x >0, f′(x) est du signe de −x −2.
Donc f′(x)>0 sur [−3; −2[; f′(−2) =0 ;
f′(x)<0 sur ]−2; 8].
Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
D’après le logiciel de calcul formel, f′(x) = (−x −2)e−x; or, pour tout x, e−x >0, f′(x) est du signe de −x −2.
Donc f′(x)>0 sur [−3; −2[; f′(−2) =0 ;
f′(x)<0 sur ]−2; 8].
Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 8].
Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
D’après le logiciel de calcul formel, f′(x) = (−x −2)e−x; or, pour tout x, e−x >0, f′(x) est du signe de −x −2.
Donc f′(x)>0 sur [−3; −2[; f′(−2) =0 ;
f′(x)<0 sur ]−2; 8].
Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 8].
f(−3) =0,f(−2) =e2 ≈7,39 et f(8) =11e−8 ≈0,003 7
Étudier le signe de la dérivée de la fonction f.
D’après le logiciel de calcul formel, f′(x) = (−x −2)e−x; or, pour tout x, e−x >0, f′(x) est du signe de −x −2.
Donc f′(x)>0 sur [−3; −2[; f′(−2) =0 ;
f′(x)<0 sur ]−2; 8].
Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 8].
f(−3) =0,f(−2) =e2 ≈7,39 et f(8) =11e−8 ≈0,003 7
x −3 −2 8
f′(x) +++ 0 −−−
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
x −3 −2 8
e2 f(x)
0 11e−8
3 α
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
x −3 −2 8
e2 f(x)
0 11e−8
3 α
f(−3) =0<3 et f(−2) =e2 >3,
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
x −3 −2 8
e2 f(x)
0 11e−8
3 α
f(−3) =0<3 et f(−2) =e2 >3, f est continue
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
x −3 −2 8
e2 f(x)
0 11e−8
3 α
f(−3) =0<3 et f(−2) =e2 >3, f est continue et strictement croissante sur [−3; −2],
Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution α sur [−3 ; −2].
x −3 −2 8
e2 f(x)
0 11e−8
3 α
f(−3) =0<3 et f(−2) =e2 >3, f est continue et strictement croissante sur [−3; −2], donc d’après le théorème des valeurs
Donner une valeur approchée de α à 0,01 près.
Donner une valeur approchée de α à 0,01 près.
A l’aide de la calculatrice on trouve α≈ −2,821.
Donc −2,82 est une valeur approchée de α à 0,01 près.
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
F′(x) = (−1)e−x+ (−x −4)(−1)e−x
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
F′(x) = (−1)e−x+ (−x −4)(−1)e−x = (−1+x+4)e−x
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
F′(x) = (−1)e−x+ (−x −4)(−1)e−x = (−1+x+4)e−x = (x+3)e−x
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
F′(x) = (−1)e−x+ (−x −4)(−1)e−x = (−1+x+4)e−x = (x+3)e−x =f(x)
Justifier que la fonction F définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par :
F(x) = (−x −4)e−x
Soit F la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 8] par : F(x) = (−x −4)e−x.
F′(x) = (−1)e−x+ (−x −4)(−1)e−x = (−1+x+4)e−x =
(x+3)e−x =f(x)donc la fonctionF est une primitive de la fonction f sur [−3 ; 8].
