PROBLEME
Au ministère de l 'agriculture, on a é tabli l a f onction de profit s uivante pour les f ermes cultivant des germes de soja et des pistaches :
xy y
x y x
y
x, ) 600 800 2 2
(
P = + − 2− 2 −
Où P(x, y) sont les profits annuels en DA, x représente le nombre d'hectares plantés en germes de soja, et y donne le nombre d’hectares plantés en pistaches.
Un f ermier pos sède une t erre de 50 0 hectares. C omment devrait-il a llouer ses t erres à ces deux cultures pour obtenir un p rofit maximal, sachant que la surface réservée au soja (x) ne doit pas dépasser 350hec? Utiliser la méthode de KKT. Montrer qu'il s'agit d'un maximum absolu et donner le montant du profit obtenu.
Réponse
Formulation du problème : le problème peut être formulé comme suit :
0 350 - x y) g(x,
0 500 - y x y) h(x,
:
2 2 800
600 ) , ( P
MAX 2 2
≤
=
= +
=
−
−
− +
= SC
xy y x y x y
x
C’est un problème d’optimisation non linéaire avec des contraintes d’égalité et d’inégalité :
1. calculer lesconditions nécessaires d'optimalité de karush Kuhn et Tucker (KKT)
) 350 .(
) 500 .(
2 2 800
600 ) , , KKT(P
) , ( . ) , ( . ) , ( ) , , KKT(P
2
2− − − + − − −
− +
=
−
−
=
x y
x xy y x y x
y x g y x h y x P
µ λ
µ λ
µ λ
µ λ
Stationnarité
conditions autres
les verifiant
50 500, avec
(350,150) est
e stationair point
le 50
: trouve on equation, première
la dans remplace on
500 0
500
0 450
: restent qui equations les
dans remplace en
150, y equation dernière
la de
0 150
0 4
100
0 2
100
: équations autres
les dans x remplace on
350, x 4, equ l' de
4 ...(
...
...
...
0 350
3 .(
...
...
...
0 600
2 .(
...
...
0 2
4 800
1 ...(
...
0 2
2 600
) 350 .(
) 600 .(
) 2 2 800
600 ( ) , ,
KKT(P 2 2
=
=
=
−
=
⇒
=
−
−
=
−
−
−
=
=
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
=
−
=
=
− +
=
=
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
−
∇
−
− +
∇
−
−
−
− +
∇
=
∇
µ λ
µ
λ λ
µ λ
λ µ λ
λ µ λ
µ λ
µ λ
y y
μ λ y x KKT
y x KKT
x y KKTy
y x KKTx
x y
x xy
y x y x
Faisabilité principale
350 350 0 y*) g(x*,
500 h(350,150) 0
y*) h(x*,
≤
⇒
≤
=
⇒
=
Faisabilité Duelle
0 50
0⇒ ≥
µ≥
Négligence complémentaire
0 ) 350
* .(
*)
*, (
.g x y =µ x − =
µ
Donc les conditions de KKT sont vérifiées alors le point stationnaire peut être un maximum, mais il faut vérifier la deuxième condition d’optimalité.
xy y x y x y
x
p( , )=600 +800 − 2−2 2 −2
Etude la concavité de la fonction P(x,y)
) 2 4 800
; 2 2 600 ( ) ,
(x y x y y x
p = − − − −
∇ .
−
−
−
= −
4 2
2 ) 2
, (x y
H ; det(H(x, y))=4>0 et -2<0 et -4<0, ∀(x, y); p(x, y) est strict. concave.
Le point (350,150) est un maximum absolu du problème d’optimisation sous contraintes car on maximise une fonction concave sous un domaine convexe (contraintes affines).
p = 57500 da
L’interprétation économique que l’on peut donner à λ*= -500 signifie qu’en ne cultivant pas tous les champs (c.-à-d. ses 500 hectares de champs), le fermier augmenterait ses profits, à cause du signe négatif de λ*. En effet, lorsque le fermier satisfait les contraintes, ses profits ne sont que de 57500 DA, alors qu'ils sont de 100 000 DA lorsque l'on ne tient pas compte des contraintes (il cultive alors 300 Hectares de champs).
